Los ángulos se clasifican de acuerdo a diferentes criterios. Además, se pueden realizar algunas operaciones matemáticas con ellos y entre ellos. Para ver cada tema haga Click en la opción correspondiente:

Clasificación de los ángulos 1. 2. 3. 4.

Por su tamaño Por su posición Por el valor de su suma Por la posición entre paralelas y una recta transversal o secante

Operaciones con ángulos 1. Suma y resta 2. Multiplicación por un entero 3. División entre un entero

Clasificación de los ángulos: por su tamaño

De acuerdo a su tamaño, los ángulos se clasifican en: (V es el vértice) -

Ángulo agudo: es aquel ángulo que mide menos de 90º.

V

α

Ejemplo: Un ángulo de 50º es un ángulo agudo. -

Ángulo recto: es todo ángulo que mide 90º. α=90

V -

Ángulo obtuso: es aquel ángulo que mide más de 90º.

α

V Ejemplo: Un ángulo de 140º es un ángulo obtuso. -

Ángulo llano: Es todo ángulo que mide 180º α=180

V -

Ángulo completo: Es todo ángulo que mide 360º. α=360

V

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Clasificación de los ángulos: por su posición

De acuerdo a su posición, los ángulos se clasifican en: (V es el vértice) -

Ángulos consecutivos: son aquellos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común. ß α

V En la figura anterior, los ángulos α y ß son consecutivos, ya que el lado que está en color diferente es común a los dos ángulos.

-

Ángulos adyacentes: son aquellos ángulos que tienen un lado en común y que los otros dos lados forman un ángulo de 180º.

ß

α

V

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Clasificación de los ángulos: por su suma

De acuerdo a su suma, los ángulos se clasifican en: (V es el vértice) -

Ángulos complementarios: son aquellos ángulos cuya suma es igual a 90º. ß α

V

En la figura, los ángulos α y ß son complementarios. Los ángulos complementarios también se pueden clasificar como consecutivos. Ejemplo: A= 50º suma es 90º. -

y B=40º son ángulos complementarios ya que su

Ángulos suplementarios: son aquellos ángulos cuya suma es igual a 180º.

ß

α

V En la figura, los ángulos α y ß son suplementarios. Los ángulos complementarios también se pueden clasificar como adyacentes. Ejemplo: A= 70º suma es 180º.

y B=110º son ángulos complementarios ya que su

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Clasificación de los ángulos: Por su posición entre paralelas y una recta transversal o secante Para explicar más fácilmente este tema, vamos a dibujar las dos paralelas y la recta transversal y le colocaremos un número a cada ángulo. En esta situación, se generan ocho (8) ángulos: 1 3 5 7

2 4

6 8

Opuestos por el vértice: El ángulo 1 El ángulo 5 El ángulo 2 El ángulo 6

es igual al ángulo es igual al ángulo es igual al ángulo es igual al ángulo

4 8 3 7

Alternos internos: El ángulo 5 es igual al ángulo 4 El ángulo 6 es igual al ángulo 3 Alternos externos: El ángulo 1 es igual al ángulo 8 El ángulo 2 es igual al ángulo 7 Angulos correspondientes: El ángulo 1 El ángulo 4 El ángulo 2 El ángulo 3

es igual al ángulo es igual al ángulo es igual al ángulo es igual al ángulo

5 8 6 7

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Suma y resta de ángulos Para poder realizar sin problema las operaciones entre ángulos, es necesario que siempre recuerde lo siguiente: 1. 2. 3. 4.

Modo de escritura grados= º minutos= „ Un grado equivale a 60 minutos  Un grado equivale a 3.600 segundos  Un minuto equivale a 60 segundos 

segundos= “ 1º = 60‟ 1º = 3.600” 1‟ = 60”

Si los minutos se pasan de 60, entonces se dice que hay un grado y lo que pase de 60 son minutos: Ejemplo: 78‟ = 60‟ + 18‟ = 1º18‟ Lo mismo ocurre con los segundos, si se pasan de 60, se dice que hay un minuto y lo que pase de 60 son segundos. Ahora sí, vamos a realizar sumas y restas. Para sumar o restar ángulos, se deben ubicar un ángulo debajo del otro teniendo en cuenta que segundos quede debajo de segundos, minutos debajo de minutos y grados debajo de grados. Cuando se trata de resta, se debe colocar el ángulo más pequeño debajo. Para explicar mejor, veamos un ejemplo: Sumar los siguientes ángulos: Ubicamos los ángulos uno debajo del otro:

Sumamos en orden: Primero sumamos los segundos: Como se pasa de

, entonces decimos que hay

Entonces, debajo de la línea, colocamos

y llevamos

Segundo sumamos los minutos: Como se pasa de

, entonces decimos que hay

Entonces, debajo de la línea, colocamos

y llevamos

Tercero sumamos los grados: Los grados se colocan exactamente lo que de y así termina la operación

Otro ejemplo: Sumar los siguientes ángulos: Ubicamos los ángulos uno debajo del otro:

Sumamos en orden: Primero sumamos los segundos: Como se pasa de

, entonces decimos que hay

Entonces, debajo de la línea, colocamos

y llevamos

Segundo sumamos los minutos: Como se pasa de

, entonces decimos que hay

Entonces, debajo de la línea, colocamos

y llevamos

Tercero sumamos los grados: Los grados se colocan exactamente lo que de y así termina la operación

Ahora vamos a restar: Restar

de

Primero restamos los segundos: Como no podemos hacer esa resta, debemos decirle al vecino, o sea a los minutos, que nos presten uno, pero como ya sabemos entonces realmente lo que nos prestan son por lo que el número queda convertido en y ahora sí podemos restar:

Colocamos

debajo de la línea y procedemos ahora a restar los minutos.

Segundo restamos los minutos. Recuerde que el señor a los segundos entonces quedó convertido en

le prestó un minuto

Como no podemos hacer esa resta, debemos decirle al vecino, o sea a los grados, que nos presten uno, pero como ya sabemos entonces realmente lo que nos prestan son por lo que el número queda convertido en y ahora sí podemos restar:

Colocamos

debajo de la línea y procedemos ahora a restar los grados.

Tercero restamos los grados. Recuerde que el señor los minutos entonces quedó convertido en

le prestó un grado a

Colocamos el resultado debajo de los grados y ha quedado resuelta la resta.

A continuación hay algunos ejercicios resueltos para que practique: Realizar las operaciones indicadas:

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Multiplicación de un ángulo por un entero Para multiplicar un ángulo por un número entero, debemos tener en cuenta lo mismo que en la suma, es decir, cuando los segundos o minutos se pasen de 60, agregamos uno a la unidad siguiente. En la multiplicación puede suceder que no solamente se pase de 60 sino que sea un número mucho más grande, entonces debemos ver cuántas veces exactamente cabe 60 en ese número y ese valor será la cantidad que le sumemos a la unidad siguiente y el residuo será lo que se escribe. Veamos un ejemplo: Multiplicar Realizamos la multiplicación por separado: segundosX8, minutosX8 y gradosX8 y el resultado lo colocamos debajo de la línea:

Obviamente, este número debemos arreglarlo para expresarlo de una mejor forma porque los minutos y segundos siempre deben ser menor que 60. Primero arreglaremos los segundos. Como se pasa mucho de 60, entonces vamos a dividir 200 entre 60:

Los 20 que sobran, serán los segundos y el 3 se lo sumamos a los minutos. Entonces ahora tenemos:

Segundo arreglaremos los minutos. Como se pasa mucho de 60, entonces vamos a dividir 347 entre 60:

Los 47 que sobran, serán los minutos y el 5 se lo sumamos a los grados. Entonces ahora tenemos el resultado final:

Veamos otro ejemplo: Multiplicar Realizamos la multiplicación por separado: segundosX8, minutosX8 y gradosX8 y el resultado lo colocamos debajo de la línea:

Obviamente, este número debemos arreglarlo para expresarlo de una mejor forma porque los minutos y segundos siempre deben ser menor que 60. Primero arreglaremos los segundos. Como se pasa mucho de 60, entonces vamos a dividir 1050 entre 60:

Los 30 que sobran, serán los segundos y el 17 se lo sumamos a los minutos. Entonces ahora tenemos:

Segundo arreglaremos los minutos. Como se pasa mucho de 60, entonces vamos a dividir 492 entre 60:

Los 12 que sobran, serán los minutos y el 8 se lo sumamos a los grados. Entonces ahora tenemos el resultado final:

Ahora veamos algunos ejercicios resueltos para que practique:

Realizar las siguientes multiplicaciones:

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División de un ángulo entre un entero La división, es el proceso inverso de la multiplicación. La división de ángulos, al igual que la división de números, se realiza de izquierda a derecha.

Se dividen primero los grados, luego los minutos y por último los segundos. Debemos tener en cuenta, que cuando sobran grados, deben convertirse en minutos y sumárselos a los minutos del ángulo y luego hacer la división. Lo mismo para los minutos: cuando sobran minutos, deben convertirse en segundos y sumárselos a los segundos del ángulo y luego hacer la división.

Veamos un ejemplo:

Dividir Primero: dividimos los grados: Los que sobraron, los convertimos en minutos sumamos a los minutos del ángulo:

y este valor se lo

Segundo: dividimos los minutos: Los que sobraron, los convertimos en segundos sumamos a los segundos del ángulo:

y este valor se lo

Tercero: dividimos los segundos: Entonces, la respuesta final se obtiene de unir los resultados que están resaltados:

Otro ejemplo: Dividir Primero: dividimos los grados: Los que sobraron, los convertimos en minutos sumamos a los minutos del ángulo:

y este valor se lo

Segundo: dividimos los minutos: Los que sobraron, los convertimos en segundos lo sumamos a los segundos del ángulo:

y este valor se

Tercero: dividimos los segundos: Entonces, la respuesta final se obtiene de unir los resultados que están resaltados:

Ahora algunos ejercicios resueltos: Realizar las siguientes divisiones:

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