Pruebas de hipótesis para una muestra

Ref: Apuntes de Estadística, Mtra Leticia de la Torre Instituto Tecnológico de Chiuhuahua

Las secciones anteriores han mostrado cómo puede estimarse un parámetro de una población a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro de la población. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. tesis Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis. tesis

Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. Empecemos con un ejemplo, suponga que se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor sólido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulación de aeronaves. El interés se centra sobre la rapidez de combustión promedio. De manera específica, el interés recae en decir si la rapidez de combustión promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como dos alternativas o hipótesis: Ho; μ = 50 cm/s La rapidez promedio sí es de 50 cm/s H1; μ ≠ 50 cm/s La rapidez promedio no es de 50 cm/s La proposición Ho; μ = 50 cm/s se conoce como hipótesis nula (PENSAR: NO HAY DIFERENCIA) , mientras que la proposición H1; μ ≠ 50 cm/s, recibe el nombre de hipótesis alternativa (PENSAR: SÍ HAY DIFERENCIA).

Ahora bien, se podría considerar sólo una dirección en el caso en la hipótesis alternativa o sea que la hipótesis alternativa especifique valores de μ que pueden ser mayores o menores que 50 cm/s, esto también se conoce como hipótesis alternativa de una cola o unilateral. unilateral En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hipótesis alternativa unilateral, como en los casos: Ho; μ = 50 cm/s H1; μ > 50 cm/s o Ho; μ = 50 cm/s H1; μ < 50 cm/s

Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la población o distribución bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. muestra Por lo general, el valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes: 1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parámetro. 2.

Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo.

3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas tales como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la prueba de hipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones.

Un procedimiento que conduce a una decisión sobre una hipótesis en particular recibe el nombre de prueba de hipótesis. tesis Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis, se concluye que ésta es verdadera; sin embargo si esta información es inconsistente con la hipótesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapié en que la verdad o falsedad de una hipótesis en particular nunca puede conocerse con certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la población. Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prácticas. Por tanto, es necesario desarrollar un procedimiento de prueba de hipótesis teniendo en cuenta la probabilidad de llegar a una conclusión equivocada.

La hipótesis nula, nula representada por Ho, Ho es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la “creencia a priori”). La hipótesis alternativa, alternativa representada por H1, es la afirmación contradictoria a Ho, y ésta generalmente es la hipótesis a investigar. investigar La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a Ho, se continúa creyendo en la validez de la hipótesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis son:

Rechazar Ho o No rechazar Ho.

Prueba de una Hipótesis Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema anterior de la rapidez de combustión. La hipótesis nula podría ser que la rapidez promedio de combustión es 50 cm/s, mientras que la hipótesis alternativa es que ésta no es igual a 50 cm/s. Esto es, como se mencionó al principio, lo que se desea probar es: Ho; μ = 50 cm/s H1; μ ≠ 50 cm/s Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especímenes, y que se observa cual es la rapidez de combustión promedio muestral. La media muestral es un estimador de la media verdadera de la población. Un valor de la media muestral x que esté próximo al valor hipotético μ = 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero valor de la media μ es realmente 50 cm/s; esto es, que apoya la hipótesis nula Ho. Por otra parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hipótesis alternativa H1. Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadístico de prueba.

La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supóngase que si 48.5 ≤ x ≤ 51.5, entonces no se rechaza la hipótesis nula Ho; μ = 50 cm/s, y que si x < 48.5 ó x >51.5, entonces se acepta la hipótesis alternativa H1; μ ≠ 50 cm/s. Los valores de x que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen la región crítica de la prueba, mientras que todos los valores que están en el intervalo 48.5 ≤ x ≤ 51.5 forman la región de aceptación de la hipótesis nula. Las fronteras entre las regiones crítica y de aceptación reciben el nombre de valores críticos. ticos La costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hipótesis nula Ho. Por tanto, se rechaza Ho en favor de H1 si el estadístico de prueba cae en la región crítica, de lo contrario, no se rechaza Ho. ¿Puedes ver la similitud de esto con los intervalos de confianza?

Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones erróneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio de combustión del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos los especímenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadístico de prueba x que cae en la región crítica. En este caso, la hipótesis nula Ho será rechazada en favor de la alternativa H1 cuando, de hecho, Ho en realidad es verdadera. Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo I.

El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es verdadera.

Para probar si cometemos un error del tipo I consideramos un “nivel de significancia” que nos ayuda a determinar la probabilidad de cometer este tipo de error. A este nivel se denomina con la letra α. Si tuviéramos un nivel de confianza del 95% (0.95) entonces el nivel de significancia sería del 5% (0.05). Nivel de confianza = (1- α) Análogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el nivel de significancia sería del 10%.

Ahora supóngase que la verdadera rapidez promedio de combustión es diferente de 50 cm/s, aunque la media muestral x cae por error de muestreo dentro de la región de aceptación. En este caso se acepta Ho cuando ésta es falsa. Este tipo de conclusión recibe el nombre de error tipo II. II A la probabilidad de tener un error de tipo II se denomina con la letra β.

El error tipo II se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa.

Tipos de Pruebas de Hipótesis Como mencionamos antes, se pueden presentar dos tipos de pruebas de hipótesis que son: 1.

De dos colas, o bilateral. Ho; μ = 50 H1; μ ≠ 50

2.

De una cola, o uniilateral. Ho; μ = 50 Este último puede ser de cola derecha o izquierda.

H1; μ > 50

H1; μ < 50

El tipo de prueba depende de lo que se necesite probar. 1. De una cola derecha. El investigador desea comprobar la hipótesis de un valor mayor en el parámetro que el de la hipótesis nula, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Prueba de hipótesis: Ho; Dato ≤ x H1; Dato > x Región de aceptación de Ho

Región de rechazo de Ho = α

2. De una cola izquierda: El investigador desea comprobar la hipótesis de que el parámetro sea menor que el de la hipótesis nula, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Prueba de hipótesis: Ho; Parámetro ≥ x H1; Parámetro < x

Región de rechazo de Ho= α

Región de aceptación de Ho

De dos colas: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro, es decir, no importa si es mayor o menor y lo que se busca es si hay diferencia con el valor planteado. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. Prueba de hipótesis: Ho; Parámetro = x H1; Parámetro ≠ x

Región de rechazo de Ho= α/2

Región de aceptación de Ho

Región de rechazo de Ho= α/2

Una Regla para Rechazar H0

„ Seleciona la probabilidad de error tipo I: α

(nivel de significancia). „ Encuentra el valor estadístico crítico correspondiente (zα en la tabla de la distribución normal estándar o tα en la distribución t de student). „ Calcula el valor del estadístico para la muestra „ Si Z o t cae en el rango crítico zα ,tα entonces, rechaza H0

EJEMPLOS. 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años. Queremos probar si la vida media hoy en día es mayor a 70 años con base en esa muestra. La muestra parecería indicar que es así pero ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra no refleje la verdadera media de la población? Utilizar un nivel de significancia de 0.05.

Solución:

Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. 1.Datos:

μ =70 años s = 8.9 años x = 71.8 años n = 100 α = 0.05

2. Establecemos la hipótesis Distribution Plot Normal, Mean=0, StDev=1

Ho; μ = 70 años. H1; μ > 70 años.

0.4

3. Nivel de significancia α = 0.05, zα = 1.645 4. Regla de decisión: Si z ≤ 1.645 no se rechaza Ho. Si z > 1.645 se rechaza Ho.

Density

0.3

0.2

0.1 0.05 0.0

0 X

1.64

5. Cálculos:

6. Decisión y justificación. Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.

2. Una empresa eléctrica fabrica baterías de celular que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 baterías tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media no es 800? Utilice un nivel de significancia del 0.04.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar poblacional conocida. Por lo tanto usamos la distribución normal. 2. Datos: μ =800 horas s = 40 horas x = 788 horas n = 30 α = 0.04

3. Prueba de hipótesis. Como a la empresa no le preocupa si la duración es igual o mayor a su propuesta, entonces las hipótesis a plantear son: Ho; μ ≥ 800 horas H1; μ < 800 horas 4. Nivel de significancia a = 0.04, za = -1.75

Distribution Plot Normal, Mean=0, StDev=1 0.4

Density

0.3

0.2

0.1

0.04 0.0

-1.75

0 z

Distribution Plot Normal, Mean=0, StDev=1 0.4

0.3 Density

5. Regla de decisión: Si z ≥ -1.75 no se rechaza Ho. Si z < -1.75 se rechaza Ho.

0.2

0.1

0.04

6. Cálculos:

0.0

-1.75

0 z

7. Decisión y justificación Como -1.643 ≥ -1.75 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de las baterías no ha cambiado.

Muestras pequeñas „

Para el caso de muestras pequeñas (n < 30), el procedimiento a seguir es similar al anterior, con la diferencia que empleamos la distribución t de student

Ejemplos: 1. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos eléctrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de 11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal. Solución: 1. Datos:

μ= 46 kilowatt-hora s= 11.9 kilowatt-hora

x

= 42 kilowatt-hora

n = 12 α = 0.05

2. Prueba de hipótesis

Ho; μ = 46 kilowatt-hora Distribution Plot

H1; μ < 46 kilowatt-hora

tc para 0.95 (α = 0.05) con 11 grados de libertad

0.4

0.3 Density

3. Valores críticos

T, df=11

0.2

0.1

0.05 0.0

4. Regla de decisión: Si t ≥ -1.796 No se rechaza Ho Si t < -1.796 Se rechaza Ho

-1.796

0 X

5. Cálculo del valor t para los datos Distribution Plot T, df=11 0.4

Density

0.3

0.2

0.1

0.05 0.0

-1.796

0 X

42 − 46 x−μ = = −1.16 t= 11.9 s 12 n 6. Decisión y justificación : Como –1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el número promedio de kilowatt-hora que gastan al año las aspiradoras no es significativamente menor que 46.

Nivel de significancia α ¿Cuál es el máximo de probabilidad de error tipo I (α) que estaríamos dispuestos a aceptar?

Región de rechazo de Ho= α

Pruebas de Hipótesis en general „ Si σ es conocida y los datos son normales, aplicamos el Teorema

del Límite Central y dependiendo de lo que se desea probar:

„ H0 : µ = µ 0 „ H0 : µ = µ 0 „ H0 : µ = µ 0

Se compara

Ha: µ < µ0 una cola izquierda Ha: µ > µ0 una cola derecha Ha: µ ≠ µ0 dos colas

z=

x − μ0

σ

n

con zα/2 ó zα

„ Si σ es desconocida (la desviación estándar de la población), pero

tenemos datos distribuídos de forma normal y n ≤ 30. Usamos la prueba t con la desviación estándar de la muestra:

x − μ0 t= s n

y se compara con α/2 ó α

t

t

Recordando que: „ La estadística de la prueba

t tiene una distribución t de

student con n-1 grados de libertad.

„ Cuando n > 30, se puede usar la tabla de la distribución normal

en vez de la t.

Valor p de la prueba „ Es la probabilidad de observar un valor extremo de la estadística a

prueba si se supone que la hipótesis nula es cierta.

„ Si H0 es cierta, y la alternativa es Ha: µ< µ0 ¿Cuál es la probabilidad de

observar

z < -2.41?

El área desde z = -2.41 hacia el extremo nos da un valor de 0.00798 por lo que ese es el valor de p. 0.4

Distribution Plot Normal, Mean=0, StDev=1

Density

0.3

0.2

0.1

0.00798 0.0

-2.41

0 X

Ejemplo de empleo del valor p. El área color amarillo sería el valor p para una t = - 2.41, puede verse que es menor al área azul que es la región crítica. Eso implica que un valor de t = - 2.41 rechaza la hipótesis nula.

-t.05 = -1.7293

P(t 1.7613 Se rechaza Ho

Cálculos:

t=

p− P P (1 − P ) n

=

0.533 − 0.70 (0.70)(0.30) 15

= −1.41

Decisión y justificación: Como –1.7613≤ -1.41 ≤ 1.7613 No se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.10 que la afirmación del constructor es cierta.

3. Una lata de 12 onzas de refresco se diseña para que contenga una cantidad ligeramente mayor que 12 onzas, de tal manera que si excede este volúmen no hay problemas. Sin embargo, un volúmen menor a 12 onzas ocasiona que los consumidores demanden al fabricante. En el proceso normal de producción, el fabricante supone que μ es igual o mayor a 12 onzas. Suponiendo que se prueba una muestra de 45 latas y se encuentra un volúmen promedio de 10.5 onzas con una desviación estándar de 2 onzas, establecer si se puede afirmar con un nivel de significancia de 0.01 que el fabricante está en lo correcto.

Solución Se trata de una distribución de medias con n > 30.

Datos:

μ= 12 x =10.5 s=2 n = 45 α = 0.01

Prueba de hipótesis Ho; μ ≥ 12 onzas H1; μ < 12 onzas α =0.01 Zα=-2.326

Regla de decisión:

Si Z ≥ -2.326 No se rechaza Ho Si Z < -2.326 Se rechaza Ho

Cálculos:

x − μ 10.5 − 12.0 z= = = −5.03 s 2 n 45

Justificación y decisión:

Como –5.03 < - 2.326 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.01 que no se pude afirma que las latas tengan un volumen de 12 onzas en promedio.

4. Resolver el problema anterior considerando un nivel de significancia de 0.05.

Solución Mismos datos excepto α = 0.05 Mismas hipótesis Mismos cálculos Encontramos que el valor crítico de Z es ahora Zα = -1.649, por lo que el resultado anterior no se altera ya que –5.03 < - 1.649, por lo tanto la Ho también se rechaza a un nivel de significancia de 0.05