Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribuciones discretas son aquellas en las que la variable sólo puede tomar valores aislados. Ejemplo: lanzar una moneda ( valores: cara, cruz); lanzar un dado ( valores:1, 2, 3, 4, 5 y 6) En las distribuciones de probabilidad discretas, a cada valor xi de la variable, se le asigna la probabilidad de obtenerle: Valor variable

x1

x2

....

xn

Probabilidad

p1

p2

....

pn

Propiedades: Cualquiera que se a p i se verifica que : •

0 ≤ pi ≤ 1

•

p1 + p 2 + . . . . + p n = 1

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Media aritmética: μ = Varianza: σ 2 =

∑x

2 i

∑x .p i

i

. p i - μ2

Desviación típica: σ = vaianza Ejercicios 1º.- Completa la tabla de probabilidad siguiente y calcula sus parámetros

xi

pi

x i. p i

x2.pi

Solución

0

0,1

0

0

1

0,3

0,3

0,3

2

?

1,0

2,0

3

0,1

0,3

0,9

1

1,6

3,2

a) Como p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 0,1 + 0,3 + p(2) + 0,1 = 1 deducimos que: p(2) = 0,5 b) Media μ = Varianza =

∑x .p

∑x

Desv,. Típica =

i

2 i

i

= 1,6

Tabla-1

. p i - μ2 = 3,2 – 1,62 = 0,64 0,64 = 0,8

2º.- Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases ( 0, 1, 2 ). Escribe la distribución de probabilidad y determina sus parámetros Solución Sacar dos cartas de la baraja equivale a sacar una carta y después otra -1-

xi

pi

xi.pi

x2.pi

0

0,808

0

0

1

0,185

0,185

0,185

2

0,007

0,007

0,028

1

0,192

0,213

Tabla-2

Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B sin devolución.

36 35 . = 0,808 40 39

•

p(0 ases ) = p(no as y no as ) = p( As´ ∩ As´) =

•

p(1 as) = p(1ª as y 2ª no as) + p(1ª no as y 2ª as) = p( As ∩As´) + p( As´∩ As) =

4 36 . + 40 39

36 4 288 . = = 0,185 40 39 1560 •

p(as y as ) = p( As ∩As) =

4 3 12 . = = 0,007 40 39 1560

Parámetros

De los valores obtenidos en tabla-2 resulta que:

∑ x . p = 0,192 Varianza = ∑ x . p - μ2 = 0,213– 0,1922 = 0,176

Media μ =

i

i

2 i

Desv,. Típica =

i

0,176 = 0,42

2º.- Lanzamos tres monedas al aire y anotamos el

1ª moneda

C

número de caras ( 0, 1, 2, 3 ). Escribe la distribución de probabilidad sabiendo que la probabilidad de obtener cara es 0,4 y la de obtener cruz 0,6. Determina sus parámetros

2ª moneda 3ª moneda C

0,4

0,4

+

C

0,6

0,4

C

Solución

En la tabla -4 se recogen las posibilidades:

+

0,4

0,6

+ 0,6

•

P(cara y cara y cara ) = 0,4 . 0,4 . 0,4 = 0,064

•

P(2 cara y una cruz ) = p(+cc y c+c y cc+) = 0,6

C

0,4

.0,4 .0,4 + 0,4 .0,6 .0,4 + 0,4 .0,4 .0,6 ) = 0,288

0,4

+

•

P(1 cara y dos cruces) = p(++c y +c+ y c++) = 0,6 .0,6 .0,4 + 0,6 . 0,4 . 0,6 + 0,4 . 0,6 . 0,6 = 0,432

•

P(0 caras ) = p(cruz y cruz y cruz ) = 0,6 .0,6.0,6 =

C

+

0,6

0,6

C +

0,4

0,6

+

0,216

0,6 Tabla-3

Parámetros

De los valores obtenidos en tabla-4 resulta que:

-2-

Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B

∑ x . p = 1,2 Varianza = ∑ x . p - μ2 = 2,16– 1,22 = 0,72 Media μ =

i

i

2 i

i

Desv,. Típica = σ =

0,72 = 0,848

xi

pi

xi.pi

x2.pi

0

0,216

0

0

1

0,432

0,432

0,432

2

0,288

0,576

1,152

3

0,064

0,192

0,576

1

1,2

2,16

Tabla-4

3º.- Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 28 fichas de un dominó. Si en cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades obtenemos las sumas 0, 1, 2, …, 12 con probabilidades distintas. Haz la tabla de distribución de probabilidades y calcula μ y σ Solución

Para la mejor comprensión del ejercicio construimos la tabla siguiente:

0

0

1

2

3

4

5

6

xi

prob

pi

xi.pi

x2.pi

0

1

2

3

4

5

6

0

1/28

0,036

0

0

2

3

4

5

6

7

1

1/28

0,036

0,036

0,036

4

5

6

7

8

2

2/28

0,071

0,142

0,284

6

7

8

9

3

2/28

0,071

0,213

0,639

8

9

10

4

3/28

0,107

0,428

1,712

10

11

5

3/28

0,107

0,535

2,675

6

4/28

0,143

0,858

5,148

7

3/28

0,107

0,749

5,243

8

3/28

0,107

0,856

6,848

1 2 3 4 5 6

12 Tabla-4

La suma de los valores de las 28 fichas se muestran, en color

9

2/28

0,071

0,639

5,751

verde, en la tabla-4.

10

2/28

0,071

0,710

7,10

En la tabla-5 se recoge la distribución de probabilidades de

11

1/28

0,036

0,396

4,356

la suma de resultados.

12

1/28

0,036

0,432

5,184

28/28

1

5,994

44,976

Media μ =

Varianza =

∑x .p i

∑x

2 i

i

= 5,994

Tabla-5

. p i - μ2 = 44,976 – 5,992 = 9,096

Desv,. Típica = σ =

9,096 = 3,02

-3-

Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B 4º.- Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extracciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas a) Haz la tabla de distribución de probabilidad •

•

xi

pi

xi.pi

x2.pi

0

0,47

0

0

= 0,47

1

0,47

0,47

0,47

Para 1 bolas rojas p(1) = p(1ª roja y 2ª no roja ) + p(1ª no

2

0,06

0,12

0,24

1

0,59

0,71

Para 0 bolas rojas p(0) = p(1ªno roja y 2ª no roja) =

roja y 2ª si roja )= •

7 6 . 10 9

3 7 7 3 . + . = 0,47 10 9 10 9

Para 2 bolas rojas p(2) = p(1ª roja y 2ª roja) =

3 2 . = 0,06 10 9

b) Halla sus parámetros

∑ x . p = 0,59 Varianza = ∑ x . p - μ2 = 0,71– 0,59 2 = 0,71 – 0,35 = 0,36 Media μ =

i

i

2 i

Desv,. Típica = σ =

i

0,36 = 0,6

Prob.número

Prob.rama

P(1)=1/5

1 1 1 . = 2 5 10

P(2)=1/5

1 1 1 . = 2 5 10

P(3)=1/5

1 1 1 . = 2 5 10

Solución

P(4)=1/5

1 1 1 . = 2 5 10

Aunque no lo pida el enunciado, en la tabla de la

P(5)=1/5

1 1 1 . = 2 5 10

P(6)=1/4

1 1 1 . = 2 4 8

P(7)=1/4

1 1 1 . = 2 4 8

P(8)=1/4

1 1 1 . = 2 4 8

P(9)=1/4

1 1 1 . = 2 4 8

2º.- En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bolas numeradas del 6 al 9. de A y si sale cruz se saca de B.

Cara

Se observa el número que tiene la bola:

P( c) =1/2

Urna A

Se lanza una moneda: si sale cara se saca una bola

a) Haz la tabla de distribución de probabilidad

derecha, se han representado las posibilidades que pueden presentarse para realizar el experimento juntamente con la probabilidad de cada una de estas

Cruz P(+) = 1/2

posibilidades.

-4-

Urna B

aleatorio descrito en el enunciado del ejercicio

Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B a) Tabla de distribución de probabilidad

xi

pi

xi.pi

x2.pi

0

0,1

0

0

1

0,1

0,1

0,1

2

0,1

0,2

0,4

3

0,1

0,3

0,9

4

0,1

0,4

1,6

5

0,1

0,5

2,5

6

0,125

0,75

4,5

7

0,125

0,875

6,125

8

0,125

1

8

9

0,125

1,25

11,25

5,375

35,375

1

b) Representación gráfica

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0 0

∑ x . p = 5,375 Varianza = ∑ x . p - μ2 = 35,375 – 5,375 2 = 6,48 i

2 i

Desv,. Típica = σ =

2

3

4

5

Serie1

c) Parámetros

c) Media μ =

1

i

i

6,48 = 2,55

-5-

6

7

8

9

Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B

Distribución Binomial Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: •

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario A´ (fracaso).

•

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

•

La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A´ es 1- p y la representamos por q .

•

El experimento consta de un número n de pruebas. Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la

distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada

prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n, suponiendo que se han realizado n pruebas. La distribución Binomial se suele representar por B(n, p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad de éxito en cada prueba. La probabilidad de obtener k éxitos en n pruebas realizadas viene dada por: ⎛n⎞ P(x = k) = ⎜⎜ ⎟⎟ .p k. q n - k ⎝k ⎠

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Media: μ= n. p Desviación típica: σ =

n. p.q

Nota: debemos tener presente que una distribución binomial es una distribución discreta de probabilidad y que como tal puede aplicársele el procedimiento descrito en página 1, pero dadas las características especiales de la distribución binomial sus parámetros se determinan más rápidamente por las relaciones: μ= n.p , σ =

n. p.q , obteniendo, por supuesto, el mismo resultado en ambos

procedimientos.

-6-

Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B Ejemplo 1 Lanzamos tres monedas al aire y anotamos el número de caras ( 0, 1, 2, 3 ). Escribe la distribución de probabilidad sabiendo que la probabilidad de obtener cara es 0,4 y la de obtener cruz 0,6. Determina sus parámetros Solución

En la página 2, tratando el problema como una distribución de probabilidad discreta cualquiera, hemos obtenido que μ = 1,2 y que σ = 0,848 Tratemos ahora el problema como una distribución binomial B (3, 0´4 ). Donde n = 3 (nº de monedas ) y p = 0´4 ( probabilidad de sacar cara en cada lanzamiento ). Sus parámetros son: μ= n.p = 3 . 0,4 = 1,2 y

σ=

n. p.q =

3.0,4.0,6 =

3.0,4.0,6 =

0,72 = 0,848

Ejemplo 2 Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa. Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1). ⎛n⎞ P(x = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .p k . q ⎝k ⎠

n–k

⎛ 50 ⎞ ⇒ P(x = 1 ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .0,007 1 . 0,993 49 = 0,248 ⎝1⎠

Ejemplo 3 La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72) ⎛n⎞ a) P(x = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .p k . q ⎝k ⎠ ⎛n⎞ b) P(x = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .p k . q ⎝k ⎠

n–k

n–k

⎛15 ⎞ ⇒ P(x = 15 ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .0,72 15 . 0,28 0 = 0,00724 ⎝15 ⎠ ⎛15 ⎞ ⇒ P(x = 0 ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .0,72 0 . 0,28 15 = 5,097 . 10 - 9 ⎝0⎠

-7-

Distribuciones de Probabilidad discretas-BN1B ⎛n⎞ c) P(x = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .p k . q ⎝k ⎠

n–k

⎛15 ⎞ ⇒ P(x = 13 ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .0,72 13 . 0,28 2 = 0,11503 ⎝13 ⎠

Ejemplo 4 La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar : a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La desviación típica. Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B( 1000 , 0,04) a) El nº de carburadores que se espera sean defectuosos en un lote de 1000 coincide con la media aritmética μ= n.p ⇒ 1000 . 0,04 = 40 b) σ 2 = n . p . q = 1000 . 0,04 . 0,96 = 38,4 ⇒ σ =

38,4 = 6,19

Ejemplo 5 En una familia de tres hijos, cuál es la probabilidad de que a lo más 2 sean niñas? Solución

La probabilidad de niña es 0´5; el sexo de cada hijo es independiente del de los demás. Se trata de una distribución Binomial B(3 ,0.5) ⎛ 3⎞ P(x ≤ 2) = p( x = 0) + p (x = 1) + p(x = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ .0,5 0 . 0,5 ⎝ 0⎠

3

⎛ 3⎞ + ⎜⎜ ⎟⎟ .0,5 1 . 0,5 ⎝1⎠

2

⎛ 3⎞ + ⎜⎜ ⎟⎟ .0,5 2 . 0,5 ⎝ 2⎠

1

= 0,1250 + 0,3750 + 0,3750 = 0,875

Ejemplo 6 Se extraen 4 bolas, con reemplazamiento, de una urna que tiene 5 blancas y 3 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan menos de 2 blancas?

Se trata de una distribución binomial B( 4 , 5/8) = B( 4, 0´625 ) La probabilidad que necesitamos es: ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ P(x