º

UNIVERSIDAD DE CHILE Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Matemática MA1102 – Álgebra Lineal Semestre Otoño 2011

PAUTA AUXILIAR Nº4 1. Sean los puntos

,

,

. Pruebe que no son colineales y encuentre la ecuación

vectorial del plano que definen. Pauta. Encontramos 2 vectores directores:

Para ver si son colineales o no, creamos la ecuación vectorial de una recta con vector director pasa por alguno de los valores que crearon ( o ), y vemos si es posible crear a partir de ella:

y que

Luego:

Al existir una contradicción ( debiese tener un único valor), los puntos son no colineales. Finalmente, usando los vectores directores obtenidos y cualquiera de los tres puntos iniciales, es posible hallar la ecuación vectorial del plano:

2. Muestre que las rectas siguientes se intersectan sólo en un punto. Encuéntrenlo.

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1

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Pauta. Supongamos que existe un punto, , en el cual ambas rectas se igualan. Por ende, deben existir tal que ambas ecuaciones vectoriales se igualen:

Igualando la primera y segunda ecuación, es posible despejar :

Al igualar estos valores en todas las ecuaciones, es posible percatarse que no existen inconsistencias, por lo que el punto en común existe. Para encontrarlo, basta reemplazar el valor obtenido para o en la ecuación de la recta respectiva:

3. Sea

el plano con vectores directores

la recta con vector director

y

, que pasa por el punto

que pasa por el punto

, donde

, y sea . Encuentre los

valores de los parámetros tales que: i. esté contenida en ii. y no tengan puntos en común ( ) iii. contenga exactamente un solo punto. Pauta. Primero encontramos las ecuaciones vectoriales del plano y de la recta:

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2

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Lo primero que corresponde es igualar ambas ecuaciones vectoriales, dejando a un lado solo constantes (las variables correspondes a y ) y al otro las variables. De esta forma:

Esta última ecuación se puede escribir de forma matricial como sigue:

Usamos la matriz aumentada y escalonamos el sistema:

Finalmente se encuentran las condiciones para que no exista solución, existan infinitas soluciones y exista una única solución.    4. [Control 4, 2006]. i.

Considere los puntos

. Verifique que son puntos no colineales y

encuentre la ecuación vectorial (o paramétrica) y cartesiana del plano ii.

Dadas las rectas

y

que los contiene.

definidas por:

Verifique que y son paralelas y distintas y encuentre la ecuación vectorial (o paramétrica) y cartesiana del plano que las contiene. iii.

Encuentre la ecuación vectorial de la recta ( )

que se obtiene como la intersección de los planos

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3

y

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iv.

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Encuentre el punto cartesiana del plano

de intersección de las rectas

y

y verifique que

satisface la ecuación

Pauta. i.

Se actúa igual que en la pregunta 1.

Luego:

Como existe contradicción, ya que debería ser único, los puntos son no colineales. Luego, la ecuación vectorial del plano es:

Para encontrar la ecuación cartesiana, procedemos a despejar en la primera ecuación: (1) En la segunda, despejamos : (2) Reemplazando (2) en (1), se encuentra en función de

e : (3)

En la última ecuación paramétrica del plano

, se reemplazan (2) y (3):

(4)

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4

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ii.

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Procedemos a encontrar la ecuación vectorial de

Tanto como comparten igual vector director, por lo que son paralelas. Para verificar que no son iguales, basta con mostrar que un punto cualquiera de una no pertenece a la otra (si un punto pertenece a ambas rectas, las rectas DEBEN ser iguales). Tomando en , :

Con lo que las rectas son distintas. Luego, es necesario encontrar un nuevo vector director para . Para ello, basta con restar dos puntos, uno perteneciente a cada recta. Para ello, se toma en ambas rectas:

Con lo que se obtiene la ecuación vectorial del plano . A continuación, se utilizan las primeras dos ecuaciones paramétricas de para encontrar en función de e :

(5) Reemplazando (5) en la última ecuación paramétrica de

, se obtiene la ecuación cartesiana del

plano:

(6)

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5

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iii.

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Para encontrar la ecuación vectorial de la recta , la forma más fácil corresponde a encontrar dos puntos comunes a ambos planos. En las ecuaciones cartesianas es más fácil ver esto:

De esta forma, elejimos un punto cualquiera, con lo que obtenemos . Tras ello, para obtener bastan con reemplazar los valores de e en cualquiera de las ecuaciones cartesianas iniciales. Conisderando e , se obtienes los siguientes vectores:

Con lo que la ecuación vectorial de

queda:

(7)

iv.

Encontramos la intersección de

con igualando sus ecuaciones vectoriales:

Matricialmente:

Resolviendo el problema como un sistema de ecuaciones:

Con ello se obtiene

, que al ser reemplazado en la ecuación de la recta

Finalmente, reemplazando los valores de en la ecuación cartesiana del plano

:

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6

se obtiene:

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