PNF en Mecánica

Vibraciones Mecánicas

Prof. Charles Delgado

Vibraciones en máquinas LOS MOVIMIENTOS VIBRATORIOS en máquinas se presentan cuando sobre las partes elásticas actúan fuerzas variables. Generalmente, estos movimientos son indeseables, aun cuando en algunos casos (transportadores vibratorios, por ejemplo)se diseñan deliberadamente en la máquina.

EL ANÁLISIS DE LAS VIBRACIONES requiere el siguiente procedimiento general: 1. Evaluar las masas y la elasticidad de las partes envueltas. 2. Calcular la cantidad de rozamiento envuelta. 3. Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistema aproximadamente equivalente de masas, resortes y amortiguadores. 4. Escribir la ecuación diferencial de movimiento del sistema idealizado. 5. Resolver la ecuación e interpretar los resultados.

EL SISTEMA IDEAL MAS SENCILLO consiste de una masa única, un resorte único y un amortiguador, como muestra la figura 1. La ecuación diferencial de movimiento para este sistema es

donde m = masa. k = constante del resorte (fuerza por unidad de deformación). c = constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). (Se supone que la amortiguación es viscosa, es decir que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad.) F(t) = fuerza externa cualquiera, función del tiempo. x = desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio estático. = derivadas, primera y segunda respectivamente, de x con respecto a t.

Figura 1: Sistema Masa Resorte Amortiguador

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CUALQUIER SISTEMA DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD puede describirse por medio de la misma forma de ecuación diferencial escrita anteriormente y si la fuerza de restitución (fuerza del resorte) es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de un solo grado de libertad podemos escribir

Donde son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento x puede ser lineal o angular.

La función excitadora, F(t), puede ser de cualquier forma en La práctica. Para este análisis se supone que es sinusoidal:

donde F0 es la amplitud de la fuerza aplicada externamente y ω es la frecuencia angular. LAS VIBRACIONES LIBRES se presentan cuando después de una perturbación inicial, no existe ninguna función externa de excitación, esto es, F(t) = 0. La ecuación diferencial es

La solución de esta ecuación puede escribirse

donde y y A1 y A2 son constantes determinadas por las condiciones iniciales. En el caso particular en que

, S1 = S2 = S y la solución es

EL AMORTIGUAMIENTO CRITICO se refiere al caso especial que se acaba de mencionar para el cual y

, es llamado el valor crítico del coeficiente de amortiguamiento.

Si el amortiguamiento es mayor que el crítico, entonces la solución de la ecuación para vibraciones libres no contiene términos periódicos. La masa, después de la perturbación inicial, regresa hacia la posición de equilibrio pero no oscila.

AMORTIGUAMIENTO MENOR QUE EL CRÍTICO. Esta es la situación oscilatoria. La solución de la ecuación diferencial para vibraciones libres puede escribirse en la forma

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donde ,

,

es la frecuencia amortiguada del sistema. Si el amortiguamiento fuera cero la frecuencia seria Las constantes X y

, la cual se llama frecuencia natural.

se determinan de las condiciones iniciales.

PARA VIBRACIONES FORZADAS, la solución de la ecuación diferencial es la dada anteriormente para vibraciones libres, adicionada de una integral particular. La solución puede escribirse en la forma

La primera parte de la expresión anterior representa la vibración transitoria, la cual desaparece con el tiempo. La segunda parte se llama vibración en estado estacionario y es la parte que generalmente presenta más interés para el ingeniero.

LA AMPLITUD EN ESTADO ESTACIONARIO Y es

Esta expresión puede escribirse

donde es la relación de frecuencias y es la relación de amortiguamiento

EL FACTOR DE AMPLIFICACIÓN M es

M es la relación entre la amplitud del desplazamiento en estado estacionario y el desplazamiento que produciría una fuerza estática igual a F0. EL ÁNGULO DE FASE

puede determinarse de las expresiones

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LA FUERZA TRASMITIDA A LA BASE es la suma de la fuerza del resorte y de la fuerza de amortiguamiento;

Usando la solución en estado estacionario mostrada anteriormente para x, puede demostrarse que la amplitud de la fuerza trasmitida es

LA TRASMISIBILÍDAD es la relación entre la amplitud de la fuerza transmitida y la amplitud que se tendría si la masa estuviera anclada a la base (sin resorte y amortiguado)

LA FUNCIÓN EXCITADORA, en la discusión anterior, estaba en la forma de una fuerza periódica aplicada a la masa móvil. Otra situación importante se ilustra en la figura 2. Aquí un movimiento periódico de la base produce el movimiento de la masa, Corrientemente, el problema de diseño en esta situación consiste en escoger un resorte y un amortiguador tales que la amplitud del movimiento de la masa sea pequeña en comparación con la amplitud del movimiento de la base.

Z(t)

x

ke

ce Figura 2

Si z(t) se toma de modo que sea sinusoidal, esto es

la ecuación diferencial para el movimiento de la

masa es

donde

es un ángulo de fase.

La ecuación diferencial anterior, excepto por el ángulo de fase

, es idéntica en su forma a la ecuación discutida

previamente. La solución muestra que la amplitud de la vibración en estado estacionario es

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LA TRASMISIBILIDAD es la relación entre la amplitud del movimiento de la masa y el de la base.

LOS SISTEMAS DE MAS DE UN GRADO DE LIBERTAD no pueden describirse mediante una simple ecuación diferencial de segundo orden. Un análisis completo de un sistema tal requeriría, en general, la solución simultánea de un sistema de n ecuaciones de segundo orden, donde n es el número de grados de libertad del sistema. Sin embargo, existen métodos prácticos relativamente sencillos que permiten determinar la frecuencia más baja de vibración (o frecuencia fundamental), Esta información es de gran importancia para el ingeniero proyectista. El sistema de dos grados de libertad de la figura 3 pasee dos modos de vibración. En el primer modo las dos masas se mueven en fase, alcanzando los desplazamientos máximos en el mismo sentido y en el mismo instante. En el segundo modo las masas están fuera de fase, alcanzando los desplazamientos máximos en sentidos opuestos y en el mismo instante.

Figura 3

EL MÉTODO DE LA ENERGÍA para determinar la frecuencia del primer modo se basa en que, si se desprecia el rozamiento, la energía cinética máxima del sistema debe ser igual a su energía potencial máxima. Sean X1 = amplitud del desplazamiento de la masa mi y X2 = amplitud del desplazamiento de la masa m2. Supongamos un movimiento sinusoidal de frecuencia

.

La energía cinética máxima del sistema será

La energía potencial máxima almacenada en el resorte será

Sin rozamiento,

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de la cual ó

Esta ecuación daría la primera, o más baja, frecuencia natural de vibración, si se conociera la relación de amplitudes . El procedimiento práctico consiste en ensayar una serie de valoree para esta relación. El valor que dé el resultado más bajo para w es el más cercano al valor correcto.

LA RESONANCIA se define en varias formas en textos diferentes. El término se refiere generalmente a la operación en la vecindad de la amplitud máxima en vibración forzada, Para un sistema sin rozamiento significa operación a la frecuencia natural

.

Con amortiguamiento viscoso y una función excitadora de la forma se obtiene cuando la frecuencia de operación

aplicado a la masa, la amplitud máxima

es

Notar que es diferente a la frecuencia amortiguada

.

En ausencia de implementos de amortiguamiento colocados deliberadamente, el factor y

y

son aproximadamente iguales. Por tanto,

es generalmente pequeño

se usa ordinariamente en cálculos de ingeniería. En los

problemas, cuando se menciona la resonancia, significará operación a la frecuencia natural

.

Para sistemas de varios grados de libertad, resonancia significará operación a cualquiera de las frecuencias naturales.

Referencia: 

SETO, William. Vibraciones Mecánica, Serie Schaum. McGraw Hill.

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