Procesado con Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo
March 9, 2009
1
Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)
1.1
Caracterizaci´ on de los sistemas LTI discretos
• Cualquier se˜ nal discreta x[n] puede escribirse en t´erminos de impulsos x[n] =
∞ X
x[k]δ[n − k]
k=−∞
• Si un sistema es LTI la respuesta a una entrada x[n] puede escribirse y[n] =
∞ X
x[k]h[n − k] = x[n] ∗ h[n]
k=−∞
donde h[n] es la respuesta al impulso del sistema. A esta operaci´on se le conoce como convoluci´ on discreta. • La convoluci´ on es conmutativa, asociativa y distributiva, y su elemento neutro es la funci´ on δ[n].
1.2
Caracterizaci´ on de los sistemas LTI continuos
• Cualquier se˜ nal continua x(t) puede escribirse en t´erminos de impulsos Z ∞ x(t) = x(τ )δ(t − τ ) dτ −∞
donde δ(t) es la funci´ on delta de Dirac, que cumple que Z ∞ δ(t) dt = 1 −∞
• Si un sistema es LTI su respuesta a una entrada x(t) puede escribirse Z ∞ y(t) = x(τ )h(t − τ ) dτ −∞
donde h(t) es la respuesta al impulso del sistema. A esta operaci´on se le conoce como convoluci´ on continua. • Un sistema LTI tambi´en puede caracterizarse mediante la respuesta al escal´on s(t): h(t) =
1
ds(t) dt
1.3
Propiedades de los sistemas LTI
Memoria: Si h(t) = Kδ(t) el sistema es sin memoria. Causalidad: Si h(t) = 0 ∀t < 0 el sistema es causal. Si h(t) = 0 ∀t ≥ 0 el sistema es anticausal. Invertibilidad: Se define la respuesta al impulso del sistema inverso hi (t) como h(t) ∗ hi (t) = δ(t). R∞ Estabilidad: Si −∞ |h(τ )| dτ < ∞ el sistema es estable.
1.4
Sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias y diferenciales
• Un sistema discreto descrito mediante una ecuaci´on en diferencias con coeficientes constantes N M X X ai y[n − i] = bk x[n − k] i=0
k=0
es un sistema LTI si imponemos como condiciones iniciales causalidad (o reposo inicial: y[n] = 0 ∀n < 0). • Un sistema continuo puede definirse mediante una ecuaci´on diferencial con coeficientes constantes: N M X di) y(t) X dk) x(t) ai = b k dti dtk i=0
• Las exponenciales son autosoluciones de los sistemas LTI: est ∗ h(t) = H(s)est con
Z
∞
H(s) =
h(t)e−st dt
−∞
2.2
Representaci´ on de se˜ nales peri´ odicas. La serie de Fourier
• Dos se˜ nales peri´ odicas est´ an arm´ onicamente relacionadas cuando tienen un periodo com´ un: ω1 ∈Q ω2 • Una se˜ nal peri´ odica x(t) de periodo T va a poderse escribir como una combinaci´on lineal de exponenciales complejas arm´onicamente relacionadas: Serie de Fourier: Z 2π 1 ck = x(t)e−jk T t dt (Ecuaci´on de an´alisis) T x(t) =
∞ X
2π
ck ejk T t (Ecuaci´on de s´ıntesis)
k=−∞
• Si la se˜ nal x(t) es real, los coeficientes cumplen la siguiente relaci´on ck = c∗k y la serie se puede escribir como una suma de senos y cosenos (ck = ak + jbk ): ! ∞ ∞ X X 2π 2π x(t) = c0 + 2 ak cos(k t) − bk sin(k t) T T k=1
k=1
o como una suma de cosenos (ck = rk ejθk ): x(t) = c0 + 2
∞ X k=1
! 2π rk cos(k t + θk ) T
• Una serie de Fourier converge si |x(t)|2 es integrable en un periodo. De manera m´as general, aplicaremos las condiciones de Dirichlet.
2.3
La transformada de Fourier
• la transformada de Fourier permite la representaci´on de la informaci´on de una se˜ nal en el dominio de la frecuencia. La definimos: Z ∞ X(ω) = x(t)e−jωt dt (Ecuaci´on de an´alisis) −∞
x(t) =
1 2π
Z
∞
X(ω)ejωt dω (Ecuaci´on de s´ıntesis)
−∞
3
• La transformada de Fourier converge si |x(t)|2 es integrable (energ´ıa finita). De manera m´ as general, aplicaremos las condiciones de Dirichlet. • la transformada de Fourier de una se˜ nal peri´odica se hace a partir de su Serie de Fourier. La TF de una exponencial es: F
ejω0 t ←→ 2πδ(ω − ω0 ) y la TF de una se˜ nal peri´ odica ser´a ∞ X
X(ω) =
2πck δ(ω − kω0 )
k=−∞ ∞ X
=
ω0 Xc (kω0 )δ(ω − kω0 )
k=−∞
siendo Xc (ω) la TF de la se˜ nal aperi´odica.
2.4
Sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales
Dada una ecuaci´ on diferencial N X k=0
M
dk) y(t) X dk) x(t) = bk ak dtk dtk k=0
que describe un sistema LTI, su transformada de Fourier es de la forma ! ! N M X X k k ak (jω) Y (ω) = bk (jω) X(ω) k=0
k=0
y la respuesta al impulso puede calcularse M P
Y (ω) = k=0 H(ω) = N X(ω) P
bk (jω)k = H1 (ω)H2 (ω) · · · Hp (ω) ak
(jω)k
k=0
3
An´ alisis de Fourier de Se˜ nales Discretas
3.1
Se˜ nales exponenciales. Autofunciones
• Las exponenciales son autosoluciones de los sistemas LTI discretos: z n ∗ h[n] = H(z)z n con
∞ X
H(z) =
h[k]z −k
k=−∞
• Concretamente para z = ejΩ ejΩn ∗ h[n] = H(Ω)ejΩn
4
Propiedad Se˜ nal Aperi´ odica Transformada de Fourier Linealidad ax(t) + by(t) aX(ω) + bY (ω) Desplazamiento temporal x(t − t0 ) e−jωt0 X(ω) Desplazamiento en frecuencia ejω0 t x(t) X(ω − ω0 ) ∗ Conjugaci´ on x (t) X ∗ (−ω) Inversi´ on temporal x(−t) X(−ω) ω 1 Escalado x(at) |a| X a Convoluci´ on x(t) ∗ y(t) X(ω)Y (ω) 1 Multiplicaci´ on x(t)y(t) 2π X(ω) ∗ Y (ω) d x(t) jωX(ω) Diferenciaci´ on en tiempo Rdtt 1 Integraci´ on jω X(ω) + πX(0)δ(ω) −∞ x(τ )dτ d X(ω) Diferenciaci´ on en frecuencia tx(t) j dω Relaci´ on de Parseval R +∞ R +∞ 1 2 2 −∞ |x(t)| dt = 2π −∞ |X(ω)| dω Table 1: Propiedades de la Transformada de Fourier
Propiedad
Convoluci´ on Peri´ odica
Se˜ nal peri´ odica x(t) Periodo T (ω0 = 2π T ) y(t) Ax(t) + By(t) x(t − t0 ) ejM ω0 t x(t) x∗ (t) x(αt), α > 0 Peri´ R odica con periodo T /α T x(τ )y(t − τ )dτ
Multiplicaci´ on
x(t)y(t)
Diferenciaci´ on
d x(t) Rdtt −∞ x(τ )dτ
Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugaci´ on Escalado temporal
Coef. Serie de Fourier ak bk Aak + Bbk ak e−jkω0 t0 ak−M a∗−k ak T ak bk +∞ P al bk−l l=−∞
Integraci´ on Simetr´ıa Conjugada Relaci´on de Parseval
(Finita y peri´odica
s´ olo si a0 = 0) x(t) real 1 T
R T
|x(t)|2 dt =
jkω0 ak 1 jkω0
ak = a∗−k +∞ P
|ak |2
−∞
Table 2: Propiedades de la Serie Continua de Fourier
5
ak
3.2
La serie discreta de Fourier
• Una se˜ nal peri´ odica x[n] de periodo N va a poderse escribir como una combinaci´on lineal de N exponenciales complejas arm´onicamente relacionadas (Serie Discreta de Fourier): ak =
1 N
2π
X
x[n]e−jk N n (Ecuaci´on de an´alisis)
n= 2π
X
x[n] =
ak ejk N n (Ecuaci´on de s´ıntesis)
k=
3.3
La transformada de Fourier de tiempo discreto
• la transformada de Fourier permite la representaci´on de la informaci´on de una se˜ nal discreta en el dominio de la frecuencia (continua). La definimos: ∞ X
X(Ω) =
x[n]e−jΩn (Ecuaci´on de an´alisis)
n=−∞
x[n] =
1 2π
Z
X(Ω)ejΩn dΩ (Ecuaci´on de s´ıntesis)
• La transformada de Fourier de tiempo discreto es una se˜ nal peri´odica de periodo 2π: X(Ω) = X(Ω + 2π) • Es aplicable a se˜ nales de registro finito que cumplan ∞ X
|x[n]| < ∞
n=−∞ ∞ X
|x[n]|2 < ∞
n=−∞
• la transformada de Fourier de una se˜ nal peri´odica se hace a partir de su Serie de Fourier. La TF de una exponencial es: F
ejΩ0 n ←→ 2πδp (Ω − Ω0 ) y la TF de una se˜ nal peri´ odica ser´a X(Ω) =
∞ X k=−∞
siendo δp (Ω) =
∞ P
2πak δp (Ω − k
2π ) N
δ(Ω − 2πk)
k=−∞
• No hay que confundir la transformada de Fourier de tiempo discreto con la transformada discreta de Fourier (DCT).
6
Propiedad Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugaci´ on Inversi´ on temporal Expansi´ on en tiempo Convoluci´ on Multiplicaci´ on Diferenciaci´ on en tiempo Acumulaci´ on
Diferenciaci´ on en frecuencia Relaci´ on de Parseval +∞ P n=−∞
1 X(Ω) 1−e−jΩ
+ πX(0)δp (Ω)
j dX(Ω) dΩ
nx[n] |x[n]|2 =
Transformada de Fourier aX(Ω) + bY (Ω) e−jΩn0 X(Ω) X(Ω − Ω0 ) X ∗ (−Ω) X(−Ω) X(kΩ) X(Ω)Y (Ω) X(Ω) ~ Y (Ω) (1 − e−jΩ )X(Ω)
1 2π
R 2π
|X(Ω)|2 dΩ
Table 3: Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto
3.4
Sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias
Dada una ecuaci´ on en diferencias con coeficientes constantes N X
ak y[n − k] =
k=0
M X
bk x[n − k]
k=0
que describe un sistema LTI, su transformada de Fourier es de la forma ! ! N M X X ak e−jkΩ Y (Ω) = bk e−jkΩ X(Ω) k=0
k=0
y la respuesta al impulso puede calcularse M P
Y (Ω) H(Ω) = = k=0 N X(Ω) P k=0
7
bk e−jkΩ ak e−jkΩ
Propiedad
Se˜ nal peri´ odica x[n] Periodo N (Ω0 = 2π N) y[n] Ax[n] + By[n] x[n − n0 ] ejM (2π/N )n x[n] x∗ [n] x[−n] x(m) [n] (Peri´ P odica de periodo mN ) x[r]y[n − r]
Linealidad Desplazamiento temporal Desplazamiento en frecuencia Conjugaci´ on Inversi´on de tiempo Escalado temporal Convoluci´ on Peri´ odica
r=
Multiplicaci´ on
x[n]y[n]
Diferenciaci´ on
x[n] − x[n − 1] n P x[k]
Acumulaci´ on
Coef. Serie de Fourier ak Periodo N bk Aak + Bbk ak e−jk(2π/N )n0 ak−M a∗−k a−k 1 m ak N ak b k P
al bk−l l= (1 − e−jk(2π/N ) )ak
(1−e−jk(2π/N ) )
k=−∞
(Finita y peri´odica s´olo si a0 = 0) x[n] real
Simetr´ıa Conjugada Relaci´on de Parseval 1 N
|x[n]|2 =
P n=
1
P
ak
ak = a∗−k
|ak |2
k=
Table 4: Propiedades de la Serie Discreta de Fourier
4
Muestreo
4.1
Muestreo y teorema del muestreo
• Para muestrear una se˜ nal continua x(t) la multiplicamos por un tren de impulsos p(t). xp (t) = x(t)p(t) ∞ X = x(t) δ(t − kTs ) =
=
k=−∞ ∞ X
x(kTs )δ(t − kTs )
k=−∞ ∞ X
x[k]δ(t − kTs )
k=−∞
siendo Ts el periodo de muestreo. • Posteriormente pasamos la se˜ nal por un conversor C/D que convierte las deltas continuas en deltas discretas.
8
• En frecuencia es equivalente a 1 [X(ω) ∗ P (ω)] 2π ∞ 1 X X(ω − kωs ) Ts
Xp (ω) = =
k=−∞
con ωs =
2π Ts .
(La se˜ nal se duplica en m´ ultiplos enteros de la frecuancia de muestreo).
• Teorema del Muestreo (de Nyquist): Dada una se˜ nal x(t) de banda limitada (X(ω) = 0 ∀ω > ωM ) la se˜ nal podr´a ser reconstruida tras ser muestreada si ωs > 2ωM .
4.2
Interpolaci´ on
• Para recuperar la se˜ nal continua filtramos la se˜ nal muestreada con un filtro pasobajo de ganancia Ts y frecuencia de corte ωs /2: x(t) =
∞ X
x[k]h(t − kTs )
k=−∞
El filtro en el dominio temporal ser´a: h(t) = sinc(t/Ts )
4.3
Procesado Discreto de Se˜ nales Continuas
• Relaci´ on de Transformadas de Fourier: F
x(t) ←→ X(ω) 1 X F X(ω − kωs ) xp (t) ←→ Xp (ω) = Ts k 1 X Ω − k2π F xd [n] ←→ Xd (Ω) = X Ts Ts k
• Procesado discreto de se˜ nales continuas: Relaci´on entre respuestas al impulso: H(ωT ) |ω| < ωs /2 Hc (ω) = 0 |ω| > ωs /2 o visto de otro modo H(Ω) = Hc (Ω/T )entre −π y π.
5
La Transformada Z
5.1
La transformada Z
• Se˜ nales exponenciales discretas de la forma z n con z = rejΩ son autosoluciones de los sistemas LTI. Para una entrada x[n] = z n la salida ser´a y[n] = z n H(z) Siendo H(z) la transformada Z de h[n] evaluada en el punto z.
9
Se˜ nal
Dominio temporal
Dominio frecuencial
x(t)
X(ω)
ω
t
x(t)
−B
0
0
B
p(t)
1
P (ω) 2π/T ω
t
p(t)
0
T
2T
3T
4T
5T
−ωs
6T
ωs
0
xp (t)
Xp (ω) 1/T
ω
t
xp (t)
0
T
2T
3T
4T
5T
−ωs
6T
−B
0
B
ωs
x[n]
X(Ω) 1/T
Ω
n
x[n]
0
1
2
3
4
5
−2π
6
−BT
0
BT
2π
Table 5: Resumen de un proceso de muestreo en tiempo y frecuencia
10
• Transformada Z:
∞ X
X(z) =
x[n]z −n
n=−∞
• Relaci´ on con transformada de Fourier X(Ω) = X(z)|z=ejΩ X(z) = F{x[n]r−n }
5.2
Regiones de convergencia
• Convergencia depende de r: ∞ X
|x[n]|r−n < ∞
n=−∞
• Propiedades de la ROC: 1. Anillos centrados en el origen. 2. No contiene polos. 3. Si x[n] es de duraci´ on finita: converge en todo el plano. 4. Si x[n] es derecha converge hacia afuera. 5. Si x[n] es izquierda converge hacia dentro. 6. Si x[n] es bilateral converge hacia en un anillo. (Cuidado con los puntos 0 e ∞).
Transformada Z X(z) X1 (z) X2 (z) aX1 (z) + bX2 (z) z −n0 X(z) −jΩ0 n X(e z)
ROC R R1 R2 Al menos R1 ∩ R2 R ± {0} R
an x[n]
z z0 X(a−1 z)
Inversi´on en n
x[−n]
X(z −1 )
Expansi´ on en n
x(k) [n]
X(z k )
Conjugaci´ on Convoluci´ on Primera diferencia
x∗ [n] x1 [n] ∗ x2 [n] x[n] − x[n − 1] n P x[k]
X ∗ (z ∗ ) X1 (z)X2 (z) (1 − z −1 )X(z)
|a|R (El conjunto de puntos {|a|z} para z en R) R−1 (el conjunto de puntos z −1 donde z est´a en R) R1/k (el conjunto de puntos z 1/k donde z est´a en R) R Al menos R1 ∩ R2 Al menos R ∩ (|z| > 0)
1 X(z) 1−z −1
Al menos R ∩ (|z| > 1)
z0n x[n]
Acumulaci´ on
k=−∞
Diferenciaci´ on en z
X
z0 R
R −z dX(z) dz Teorema del valor inicial Si x[n] = 0 para n < 0 entonces x[0] = lim X(z) nx[n]
z→∞
5.5
An´ alisis y caracterizaci´ on de sistemas LTI usando la Transformada Z
• En los puntos en que r = 1 se cumple que X(z)=X(Ω). • Si el c´ırculo unidad est´ a en la ROC el sistema es estable (y h[n] tiene transformada de Fourier). • Si h[n] es causal: ROC hacia la afuera. • Si h[n] es anticausal: ROC hacia dentro. • Sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias: ! N M N X X X Z ak y[n − k] = bk x[n − k] ←→ ak z −k Y (z) = k=0
k=0
k=0
k=0 M P
Y (z) H(z) = = k=0 N X(z) P k=0
12
M X
bk z −k ak z −k
! bk z −k
X(z)
6
La Transformada de Laplace
6.1
La transformada de Laplace
• Se˜ nales exponenciales de la forma est con s = σ + jω son autosoluciones de los sistemas LTI. Para una entrada x(t) = est la salida ser´a y(t) = est H(s) Siendo H(s) la transformada de Laplace de h(t) evaluada en el punto s. • Transformada de Laplace: Z
∞
X(s) =
x(t)e−st dt
−∞
• Relaci´ on con transformada de Fourier X(ω) = X(s)|s=jω X(s) = F{x(t)e−σt }
6.2
Regiones de convergencia
• Convergencia depende de σ: Z
∞
|x(t)|e−σt dt < ∞
−∞
• Propiedades de la ROC: 1. Bandas paralelas en plano s. 2. No contiene polos. 3. Si x(t) es de duraci´ on finita: converge en todo el plano. 4. Si x(t) es derecha converge hacia la derecha. 5. Si x(t) es izquierda converge hacia la izquierda. 6. Si x(t) es bilateral converge hacia en una banda. (Cuidado con los puntos −∞ e +∞).
6.3
La transformada inversa x(t) =
1 2πj
Z
σ+j∞
X(s)est ds
σ−j∞
13
6.4
Propiedades de la Transformada de Laplace
Propiedad
Linealidad Desplazamiento en tiempo Desplazemiento en s
T. de Laplace X(s) X1 (s) X2 (s) aX1 (s) + bX2 (s) e−st0 X(s) X(s − s0 )
Escalado en tiempo
x(at)
1 |a| X
s a
ROC R R1 R2 Al menos R1 ∩ R2 R R desplazada (s en ROC si s − s0 en R) R escalada (s en ROC si s/a en R) R Al menos R1 ∩ R2 Al menos R R Al menos R ∩ { 0}
x∗ (t) X ∗ (s∗ ) x1 (t) ∗ x2 (t) X1 (s)X2 (s) d sX(s) dt x(t) d −tx(t) ds X(s) Rt 1 s X(s) −∞ x(τ )dτ Teoremas del valor inicial y final Si x(t) = 0 para t < 0 y x(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en t = 0, entonces x(0+ ) = lim sX(s)
Conjugaci´ on Convoluci´ on Diferenciaci´ on en tiempo Diferenciaci´ on en s Integraci´ on en tiempo
s→∞
lim x(t) = lim sX(s)
t→∞
6.5
s→0
An´ alisis y caracterizaci´ on de sistemas LTI usando la Transformada de Laplace
• En los puntos en que σ = 0 se cumple que X(s)=X(ω). • Si el eje jω est´ a en la ROC el sistema es estable (y h(t) tiene transformada de Fourier). • Si h(t) es causal: ROC hacia la derecha. • Si h(t) es anticausal: ROC hacia la izquierda. • Sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales: ! M N N X X di) y(t) X di) x(t) L ai = bi ←→ ai si Y (s) = dti dti i=0