Lo primero que voy a hacer es pintar la molécula y mirar a qué grupo pertenece: Vista alzado: Vista planta: NHH HHN H H La clasificamos: • ¿Es lineal? No • ¿Tiene simetría especial? No • ¿Tiene un eje de orden máximo? Si, un C3 que pasa por el átomo de Nitrógeno. • ¿Contiene un eje impropio S2n , sólo o con i? No • ¿Contiene n ejes C2 perpendiculares a Cn? No • ¿Contiene plano horizontal? No • ¿Contiene n planos verticales? Si, tres. Por lo que podemos decir que la molécula de Amoniaco (NH3), pertenece al grupo C3v. Genera las siguientes operaciones: • La identidad. (E) • C3. • C3 dos veces. • Plano que pasa por H1. • Plano que pasa por H2. • Plano que pasa por H3. Hacemos las matrices asociadas a esas operaciones de simetría y las nombramos para simplificar la tabla. 100001010 E = 0 1 0 C3 = 1 0 0 C3 dos veces = 0 0 1 001010100 100001010 Plano 1 = 0 0 1 Plano 2 = 0 1 0 Plano 3 = 1 0 0 010100001 Esta es la colección de matrices del grupo C3v, en este caso en particular las del amoniaco referidas a los H 1
del NH3. Y las nombramos, por este orden, E = E ; C3 = A ; C3 dos veces = B ; Plano que pasa por H1 = C ; Plano que pasa por H2 = D ; Plano que pasa por H3 = F. Hacemos una tabla de Cayley poniendo las matrices es la parte superior y lateral de dicha tabla, así: E
A
B
C
D
F
E A B C D F Ahora hacemos todas las multiplicaciones: • Todas las matrices multiplicadas por la identidad, se quedan igual, luego... • E A B C D F E E A B C D F A A B B C C D D F F • Hacemos AxA, AxB, AxC, AxD y AxF 001001010 1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1 Y así sucesivamente. 010010100 • Haciendo todas las multiplicaciones de matrices asociadas a las operaciones de simetría queda una tabla como esta: Nota: adjunto hoja con las matrices hechas.
E A B C D F
E E A B C D F
A A B E F C D
B B E A D F C
C C D F E A B
D D F C B E A
F F C D A B E
001001010 2
AxA=B 1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1 010010100 001010100 AxB=E 1 0 0 x 0 0 1 = 0 1 0 010100100 001100010 AxC=F 1 0 0 x 0 0 1 = 1 0 0 010010001 001001100 AxD=C 1 0 0 x 0 1 0 = 0 0 1 010100010 AxF=D No hace falta hacerla porque como no se pueden repetir en una misma columna dos matrices iguales, deducimos que ha de ser D. 010001100 BxA=E 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0 100010001 010010001 BxB=A 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0 100100010 010100001 BxC=D 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0 100010100 010001010 BxD=F 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0 100100001 BxF=C Deducimos que tiene que ser C, no hay otra posibilidad. 100001001 3
CxA=D 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0 010010100 100010010 CxB=F 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0 010100001 100100100 CxC=E 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0 010010001 100001001 CxD=A 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0 010100010 CxF=B Deducimos que es B. 001001010 DxA=F 0 1 0 x 1 0 0 = 1 0 0 100010001 001010100 DxB=C 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1 100100010 001100010 DxC=B 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1 100010100 001001100 DxD=E 0 1 0 x 0 1 0 = 0 1 0 100100001 DxF=A Deducimos que es A. FxA=C La deducimos porque en la fila de la matriz A, es la única que falta por darse y si se diese otra, estaría repetida y hemos dicho que no puede ser. 4
De esta forma deducimos todos los demás productos de matrices: FxB=D FxC=A FxD=B FxF=E