ÍNDICE CONDICIONES QUE GARANTIZAN EL PARALELISMO Dos rectas en el espacio pueden estar situadas de tres distintas maneras: • Pueden intersecarse en un punto. En este caso, tienen que ser coplanarias. • Pueden no intersecarse y no ser coplanarias. En este caso, se llaman rectas alabeadas. Por ejemplo consideremos la recta L1, trazada desde la parte de atrás hasta el frente en el piso del salón de clase y la recta L2 trazada de lado a lado en el techo. Ésas son rectas alabeadas. • Finalmente, las dos rectas pueden estar en un mismo plano sin intersecarse. En este caso, decimos que las dos rectas son paralelas. RECTAS ALABEADAS − DEFINICIÓN Dos rectas que no están en un mismo plano se llaman rectas alabeadas RECTAS PARALELAS − DEFINICIÓN Dos rectas son paralelas, si (1) están en un mismo plano y (2) no se intersecan. TEOREMA 9 − 1. Dos rectas paralelas están exactamente en un plano. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. TEOREMA 9 − 2 Dos rectas en un plano son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. TEOREMA 9 − 3 Sea L una recta y P un punto que no esta en L. Entonces hay al menos una recta que pasa por P y es paralela a L.

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Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. SECANTE A DOS RECTA − DEFINICIÓN Una secante a dos recta coplanarias, es una recta que las interseca en dos puntos diferentes. ÁNGULOS ALTERNO INTERNO − DEFINICIÓN Se dan dos rectas L1 y L2, cortadas por una secante T en los punto P y Q. Sea A un punto de L1 y b un punto de L2, tal que A y B están en lados opuestos de T. Entonces, el ðAPQ y el ðPQB son ángulos alterno interno. TEOREMA 9 − 4 Si dos rectas son cortadas por una secante, y si do ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos son también congruentes. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. TEOREMA 9 − 5 EL TEOREMA AIP Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES En la figura siguiente, los ángulos marcados a y a' se llaman ángulos correspondientes. Análogamente, b y b' son ángulos correspondientes, lo mismo que c y c' y también d y d'. Figura ÁNGULOS CORRESPONDIENTES − DEFINICIÓN 2

Si dos rectas cortadas por una secante de modo que el
Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos no están alineados, y los segmentos AB, BC, CD Y DA se intersecan solamente en sus extremos, entonces la reunión de lo cuatro segmentos se llama cuadrilátero. Los cuatro segmentos se llaman lados, los puntos A, B, C y D se llaman vértices. Los ángulos
Figura Demostración: Sea F el punto del rayo opuesto a ED tal que EF = DE. Ahora, tenemos la situación descrita por las marcasen la figura. La notación en la demostración siguiente corresponde a la figura:

PROPOSICIONES RAZONES 1. EF = DE 1. Definición de F 2. EB = EC 2. Definición de punto medio. 3.
PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. TEOREMA 9 − 27 EL TEOREMA DEL TRIÁNGULO 30−60−90 Un ángulo agudo de un triángulo rec-tángulo tiene medida 30, entonces la longitud del lado opuesto es la mitad de la longitud de la hipotenusa. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. TEOREMA 9 − 28 Si la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto tiene medida 30. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. SECANTES A VARIAS RECTAS PARALELAS Si una secante corta a dos rectas L1, L2 en los puntos A y B, entonces decimos que L1 y L2 determinan o marcan el segmento AB en la secante. Figura TEOREMA 9 − 29 Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante T, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier secante T' paralela a T. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2.

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TEOREMA 9 − 30 Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, en-tonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante. Figura PROPOSICIONES RAZONES 1. 2. Página 12 ___21011___1.doc L1 L2 E L1 L2 L Q P R? L1 L2 L Q P L1 L2 L P 7

L1 L2 T a P a' b' b L1 L2 T a P a' Q L1 L2 a c' d' b b' a' c d z

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y x L1 L2 T a P a' Q B A x y z C y' x' L B A C D B A C D

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B A C D A C D B A C B D A C B D B A C D y E x F w v

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B A C D B A C D B A C D B A C D M B A C M 30° 60° B A M

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C

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