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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f(x) = {x R | existe f(x)}
b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f(x) = 0 : (x,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje OY (ordenadas): f(0) = y , (0,y). Ninguno o un punto.
c. Asíntotas
Asíntotas verticales: La recta x = a es asíntota vertical si
lim f ( x ) , o
x a
algún limite lateral lo es.
Asíntotas horizontales: La recta y = b es asíntota horizontal si lim f ( x ) b R o bien lim f ( x ) b R .
x
x
Asíntotas oblicuas: La recta y = mx + n es una asíntota oblicua, cuando: f(x) R y n lim f ( x ) mx R x x x
m lim
d. Crecimiento, decrecimiento. Extremos relativos
Si para todo x I D f´(x) > 0 f es creciente en I. Si para todo x I D f´(x) < 0 f es decreciente en I. Si f´(x0) = 0, o bien f no es derivable en x0 D, y f´(x) cambia de signo a izquierda y derecha de x0, en x0 hay un extremo relativo.
Representación gráfica de funciones 1.
f (x) x 2 x 4 a) Dominio: R, es continua y derivable en R b) Puntos de corte con los ejes i) x = 0 y = 0, (0, 0)
x 0 x 1
ii) y = 0 x 2 x 4 0 x 2 1 x 2 0
(0, 0)
1,0 , 1, 0
c) Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica. d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x 0 y 2x 4x 3 0 x 1 2 x 2 2
Signo f´ f es:
+ Creciente 2 2 Máx.
Decreciente
+ 0 Mín.
Creciente
2 2
Decreciente
Máx.
2 1 2 1 Mínimo relativo en el punto (0,0), y máximos relativos en los puntos , , , 2 4 2 4
2.
f ( x ) x 3 6x 2 9x a) Dominio: R, es continua y derivable en R b) Puntos de corte con los ejes i) x = 0 y = 0, (0,0)
x 0 (0, 0) x 3 3, 0
ii) y = 0 x 3 6x 2 9 x 0 x x 2 6x 9 0 c) Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica. d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x 1 y 3x 2 12x 9 0 x 3 4x 3 0 x 3
Signo f´ f es:
+ Creciente
1 Máx.
Decreciente
La función tiene un mínimo relativo en el punto: (1, 4), y un máximo relativo en el punto (3, 0)
3 Mín.
+ Creciente
x 2 1 3. f ( x ) x a) Dominio: R {0} b) Puntos de corte con los ejes: no tiene. c) Asíntotas i) Asíntotas verticales: x = 0 x2 1 . No tiene x x
ii) Asíntotas Horizontales: lim iii) Asíntotas oblicuas: y = x
d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y
x2 1 x
2
Signo f´ f es:
0 x 2 1 0 x 1
+ crece
1 Máximo
decrece
0
decrece 1 mínimo
Tiene un máximo en el punto: (1, 2) y un mínimo en (1, 2) g) Gráfica:
+ crece
4. f ( x )
x3 (1 x ) 2
a) Dominio: R {1} b) Puntos de corte con los ejes: (0, 0). c) Asíntotas lim
i) Asíntotas verticales:
x 1
lim
x 1
x3
1 x 2 x3
1 x 2
ii) Asíntotas Horizontales: lim x
x = 1
x3 (1 x ) 2
. No tiene
iii) Asíntotas oblicuas: m= 1 ¬> y = x 2 d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y
x 3 3x 2 (1 x ) 3
Signo f´ f es:
x 0 0 x 2 ( x 3) 0 . Dom f ( x ) R {1} x 3
+ crece
3 decrece Máximo
Tiene un máximo en el punto: (3, 27/4) h) Gráfica:
+ crece 1 No def.
0
+ crece
5. f ( x )
x x2 4
a) Dominio: R {2} b) Puntos de corte con los ejes: (0, 0). x x c) Simetrías: f ( x ) 2 f ( x ) impar, simétrica respecto del origen 2 ( x) 4 x 4 d) Asíntotas
x
i) Asíntotas verticales: x 2 x 4 x 2 x lim 2 x 2 x 4 x ii) Asíntotas Horizontales: lim 2 0 y=0 x x 4 lim
2
x
x 2 x 4 x 2 x lim 2 x 2 x 4 lim
2
iii) Asíntotas oblicuas: No tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x2 4 y 0 x 2 4 0 x 2 4 x 4 R . No tiene 2 2 x 4
Signo f´ f es:
Decrece
2
Decrece
Decrece
2
f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: y
2x 3 24x
x
2
Signo f´´ f es:
4
3
x0 0 2 x ( x 2 12) 0 2 x 12 0 x 12 R
Convexa
2
+ Cóncava 0 Convexa Punto de inflexión
Tiene un punto de inflexión en el punto (0, 0) i) Gráfica:
2
+ Cóncava
6. f ( x )
x 3 3x 2 4 x2
a) Dominio: R {0} b) Puntos de corte con los ejes: i)
x = 0 no definida (0 Dom f) x 3 3x 2 4
x 3 3x 2 4 0 x 1 ( 1, 0), x 2 ( 2, 0) x2 ( x ) 3 3 x 2 4 c) Simetrías: f ( x ) f ( x ) f no tiene. ( x ) 2 d) Asíntotas x 3 3x 2 4 lim 2 i) Asíntotas verticales: x 0 3 x 2 x0 x 3x 4 lim x 0 x2
ii) y = 0
ii) Asíntotas Horizontales: lim
x
x 3 3x 2 4 x2
no tiene
iii) Asíntotas oblicuas: y = x 3 e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x3 8 y 0 x3 8 0 x3 8 x 3 8 2 . 3 x Signo f´ + + f es: Crece 0 Decrece 2 Crece No definida Mínimo Tiene un mínimo en el punto: (2, 0) f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: 24 y 4 0 , no tiene puntos de inflexión. x Signo f´´ + + f es: Cóncava 0 Cóncava j) Gráfica:
2 2 f ( x ) x 7. x a) Dominio: R {0} b) Puntos de corte con los ejes: i)
x = 0 no definida (0 Dom f)
2 x3 2 0 0 x 3 2, 3 2, 0 x x c) Simetrías: f ( x ) f ( x ) f no tiene. d) Asíntotas x3 2 lim i) Asíntotas verticales: x 0 3x x 0 x 2 lim x x 0
ii) y = 0 x 2
x3 2 no tiene x x f (x ) x3 2 iii) Asíntotas oblicuas: m lim lim no tiene x x x x 2 e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 2 2x 3 2 y 2x 2 0 2x 3 2 0 x 3 1 x 3 1 1 . x x2 Signo f´ + f es: Decrece 0 Decrece 1 Crece No definida Mínimo Tiene un mínimo en el punto: (1, 3) f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: 4 2x 3 4 y 2 3 0 2x 3 4 0 x 3 2 3 x x Signo f´´ + + 3 f es: Cóncava 2 Convexa 0 Cóncava Pto. Inflexión No definida
ii) Asíntotas Horizontales: lim
Punto de inflexión en ( 3 2 , 0)
x3
8. f ( x )
x 2 1
a) Dominio: R 1 b) Puntos de corte con los ejes: (0,0) ( x) 3 x3 c) Simetrías: f ( x ) f ( x ) f es impar y por lo tanto es simétrica (x ) 2 1 x2 1 respecto al origen de coordenadas. d) Asíntotas i) Asíntotas verticales: x = 1 y x = 1 ii) Asíntotas Horizontales: No tiene iii) Asíntotas oblicuas: y = x e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x 0 x 4 3x 2 2 2 y 0 x x 3 0 2 x 3 x2 1
Signo f´ f es:
+
+ Crece 3 decrece 1 decrece 0 decrece 1 decrece 3 crece Máximo no def. No def. mínimo 3 3 3 3 y un mínimo en 3, Tiene un máximo en el punto: 3, 3 3
f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: x 0 2x 3 6x y 0 x ( 2x 2 6) 0 3 x 3 R x2 1
Signo f´´ f es:
Convexa
1
+ Cóncava 0 Convexa Pto. Inflex.
Tiene un punto de inflexión en el punto: (0 , 0) g) Gráfica:
1
+ Cóncava
9.
f (x ) x 2 1 a) Dominio: ,1 1, b) Puntos de corte con los ejes: 1, 0 , 1, 0 c) Simetrías: f ( x )
x 2 1
x 2 1 f ( x ) , es simétrica respecto del eje OY.
d) Asíntotas i)
Asíntotas verticales: No tiene
ii) Asíntotas horizontales: No tiene iii) Asíntotas oblicuas: y = mx + n
m lim
x2 1 1, n lim x 2 1 x 0 y x x x
m lim
x2 1 lim x x
x
x
x2 1 lim x x
x 2 1 1, n lim x 2 1 x 0 y x 2 x x
e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y
x x2 1
0 x 0 Dom f .
Dom f´= , 1 1, En el intervalo ,1 f ( x ) 0 f es decreciente En el intervalo 1, f ( x ) 0 f es creciente f) Concavidad,
convexidad,
puntos
de
inflexión:
f ( x )
1
x
2
1
3
0,
Dom
f´´=
, 1 1, , la derivada segunda es negativa en todo su dominio es siempre convexa g) Gráfica:
10. f ( x )
1 x2
a) Dominio: 1, 1 b) Puntos de corte con los ejes: 1, 0 , 1, 0 c) Simetrías: f ( x ) 1 x 2 1 x 2 f ( x ) , es simétrica respecto del eje OY. d) Asíntotas i)
Asíntotas verticales: No tiene
ii) Asíntotas horizontales: No tiene ya que el dominio de f = 1, 1 iii) Asíntotas oblicuas: No tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y
x 1 x2
x = 0.
Dom f´= (1, 1) En el intervalo 1, 0 f ( x ) 0 f es creciente En el intervalo 0 , 1 f ( x ) 0 f es decreciente Tiene un máximo en el punto: (0, 1) f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: f ( x )
1
1 x
2 3
0 , Dom f´´=(1, 1), la
derivada segunda es negativa en todo su dominio es siempre convexa. g) Gráfica:
11. f ( x )
1 ex
a) Dominio: R {0} b) Puntos de corte con los ejes: i)
x = 0 no definida (0 Dom f), no corta al eje de ordenadas (Y). 1 ex
0 no corta al eje de abscisas (X). 1 c) Simetrías: f ( x ) e1 x e 1 / x 1 / x f ( x ) f no tiene. e d) Asíntotas i) Asíntotas verticales: lim e1 / x e 0 no tiene
ii) y =
x0
lim e1 / x e x = 0
x 0
ii) Asíntotas Horizontales: lim e1 / x e 0 1 y =1 x
e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y mínimos. Signo f´ f es:
decrece
e1 / x (1 2x ) x4
+ Convexa 1/2 cóncava 0 Pto. Inflexión No definida
Punto de inflexión en (1/2, e2 ), e2 0.135335 g) Gráfica:
x2
0 . No tiene máximos ni
decrece
0 No definida
f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: y Signo f´´ f es:
e1 / x
= 0, x = 1/2
+ Cóncava
12.
y
ln x x
a) Dominio: (0, ) R . Continua en su dominio b) Puntos de corte con los ejes: 0 Dom f, luego no corta al eje OY f(x) = 0 ln x = 0 x = 1, (1, 0) corte con el eje OX. c) Simetrías: No hay (Si x Dom f , x Dom f) d) Asíntotas i)
Asíntotas verticales: lim x 0
ln x , x 0 x
ii) Asíntotas horizontales: lim x
ln x 0, y 0 x
e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 1 ln x f ( x ) 0 1 ln x 0 1 ln x x e x2 En el intervalo 0, e , f ( x ) 0 f es creciente En el intervalo e, , f ( x ) 0 f es decreciente 1 Para x = e tiene un máximo relativo: e , e 3
f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: f ( x ) 3 En el intervalo 0, e 2 , f ( x ) 0 f es convexa. 3 En el intervalo e 2 , , f ( x ) 0 f es cóncava. 3 3 3 3 Para x e 2 tiene un punto de inflexión: e 2 , e 2 2 Gráfica:
3 2 ln x 3 0 ln x x e 2 3 2 x
13.
y ln(x 2 1) a) Dominio: x2 1 > 0 Dom f = (, 1) (1, +) b) Puntos de corte con los ejes: x = 0 Dom f no corta al eje de ordenadas. ( 2 , 0) y = 0 ln( x 2 1) = 0 x2 1 = e0 = 1 x2 = 2 x = 2 ( 2 , 0 ) f ( x ) ln (( x ) 2 1) ln ( x 2 1) c) Simetrías: f(x) = f(x) f es par y por lo tanto la 2 f ( x ) ln ( x 1) gráfica es simétrica respecto del eje Y. d) Asíntotas i) Asíntotas verticales: lim ln ( x 2 1) ln 0 . Asíntota x = 1 x 1
lim ln ( x 2 1) ln 0 . Asíntota x = 1
x 1
ii) Asíntotas Horizontales: lim ln ( x 2 1) No tiene. x
f (x ) ln ( x 2 1) lim 0 No tiene x x x x e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 2x y 2 0 x = 0 Dom f x 1 Signo f´ + f es: decrece 1 No definida 1 crece no tiene máximo ni mínimo. f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: 2 ( x 2 1) 2x 2x 2x 2 2 y 2 0 no tiene puntos de inflexión. ( x 2 1) 2 ( x 1) 2 Signo f f es: convexa 1 No definida 1 convexa
iii) Asíntotas oblicuas: m = lim
g) Gráfica:
14.
f (x)
1 x ex
g) Dominio: R {0} h) Puntos de corte con los ejes: no tiene. 1 x i) Simetrías: f ( x ) x e x 1 f ( x ) no tiene e x j) Asíntotas i) Asíntotas verticales: 1
lim x e x 0 no tiene cuando x 0 pues la función tiende a cero
x0
1
lim
x 0
1 xex
( 0 ) lim x 0
1 x e
1 x
1 1 x 2 lim e x x 0 1 x 0 x2
ex lim x 0
1
ii) Asíntotas Horizontales: lim x e x e 0 . No tiene. x
1
f (x ) iii) Asíntotas oblicuas: y = mx + n ; m lim lim e x 1 x x x 1 1 n lim x e x x lim x e x 1 lim x x x
1 x e
1 ex
L´ Hop
1 1 x
lim
x
y x 1 k) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 1
1
1 1 x 1 y 1 e x 0 , como e x 0 1 0 0 x 1 x x x En el intervalo (,0) f ( x ) > 0 f es creciente En el intervalo (0,1) f ( x ) < 0 f es decreciente En el intervalo (1, ) f ( x ) > 0 f es creciente En x = 1 hay un mínimo relativo. Mínimo: (1, e) 1
l)
Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: f ( x ) En el intervalo (,0) f ( x ) < 0 f es convexa En el intervalo (0 , ) f ( x ) > 0 f es cóncava
1 x e 0 x3
1 1 x 2 lim e x 1 x 1 2 x
15. f ( x ) a) b) c) d)
x2 x
( x 2) x f (x) x2 x
si x 2 y x 0 si x 2
Dominio: R { 0 } Puntos de corte con los ejes: (0, 2) Simetrías: no tiene Asíntotas i) Asíntotas verticales: x = 0
x2 1 x = 1 x x2 lim f ( x ) lim 1 x = 1 x x x iii) Asíntotas oblicuas: no tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: ( x 2) si x 2 y x 0 x2 x f (x ) f ( x) , Dom f = R {0}, es continua en su x 2 x si x 2 x 1 f ( 2 ) 2 dominio, pero no es derivable en x = 2 : . La función derivada de f es: 1 f ( 2 ) 2 2 2 si x 2, x 0 f ( x ) x , f´(x) 0 para todo x Dominio de f´ 2 2 si x 2 x
ii) Asíntotas Horizontales: lim f ( x ) lim x
Signo de f´ f es:
x
0
+ 2 mínimo (2,0)
En los intervalos (,0) y (0,2) la función decrece, pues f´(x) < 0 En x = 2 tiene un mínimo relativo, f(2) = 0. El mínimo está en el punto (2,0) En el intervalo (2,+ ) decrece, pues f´(x) > 0 f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: (se deja como ejercicio)
16.
y ln x x a) Dominio: R+= (0,+) b) Puntos de corte con los ejes: No corta al eje de ordenadas pues para x = 0 no está definida 0 Dom f . Como x 0, ln x x ln x – x 0 y por lo tanto no corta al eje de abscisas. c) Simetrías: no tiene d) Asíntotas i)
Asíntotas verticales: lim ln x x x 0 x 0
ii) Asíntotas Horizontales: ln x ln x lim (ln x x ) ( ) lim x 1 ya que lim 0 , no tiene. x x x x x iii) Asíntotas oblicuas:y = mx + n 1 1 ln x x LH f (x ) x m lim lim lim 1 No tiene asíntota oblicua x x x x x 1 n lim f ( x ) mx lim ln x x x lim ln x x
x
x
e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y y
1 x2
1 1 x 1 0 0 x 1. x x
f (1) 1 0 máximo en x 1 , f (1) 1 máximo en el punto 1, 1.
En el intervalo (0 , 1) f´(x)> 0 f es creciente. En el intervalo (1,) f´(x)< 0 f es decreciente. f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: y la función es siempre convexa. g) Gráfica:
1 0 , f´´(x) < 0 para todo x Dom f x2