REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f(x) = {x R | existe f(x)}

b. Puntos de corte con los ejes:  Con el eje OX (abscisas): f(x) = 0 : (x,0). Ninguno, uno o más puntos.  Con el eje OY (ordenadas): f(0) = y , (0,y). Ninguno o un punto.

c. Asíntotas

 Asíntotas verticales: La recta x = a es asíntota vertical si

lim f ( x )   , o

x a

algún limite lateral lo es.

 Asíntotas horizontales: La recta y = b es asíntota horizontal si lim f ( x )  b  R o bien lim f ( x )  b  R .

x  

x  

 Asíntotas oblicuas: La recta y = mx + n es una asíntota oblicua, cuando: f(x)  R y n  lim f ( x )  mx   R x  x x  

m  lim

d. Crecimiento, decrecimiento. Extremos relativos

 Si para todo x I  D f´(x) > 0  f es creciente en I.  Si para todo x I  D f´(x) < 0  f es decreciente en I.  Si f´(x0) = 0, o bien f no es derivable en x0  D, y f´(x) cambia de signo a izquierda y derecha de x0, en x0 hay un extremo relativo.

Representación gráfica de funciones 1.

f (x)  x 2  x 4 a) Dominio: R, es continua y derivable en R b) Puntos de corte con los ejes i) x = 0  y = 0, (0, 0)





x 0 x  1

ii) y = 0  x 2  x 4  0  x 2 1  x 2  0  

(0, 0)

1,0 ,  1, 0

c) Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica. d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x  0 y   2x  4x 3  0   x   1 2  x   2 2

Signo f´ f es:

+ Creciente  2 2 Máx.

 Decreciente

+ 0 Mín.

Creciente

2 2

 Decreciente

Máx.

 2 1  2 1 Mínimo relativo en el punto (0,0), y máximos relativos en los puntos   , , ,  2 4  2 4 

 



2.

f ( x )  x 3  6x 2  9x a) Dominio: R, es continua y derivable en R b) Puntos de corte con los ejes i) x = 0  y = 0, (0,0)





x  0 (0, 0)  x  3 3, 0 

ii) y = 0  x 3  6x 2  9 x  0  x x 2  6x  9  0   c) Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica. d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x  1 y   3x 2  12x  9  0  x 3  4x  3  0   x  3

Signo f´ f es:

+ Creciente

1 Máx.

 Decreciente

La función tiene un mínimo relativo en el punto: (1, 4), y un máximo relativo en el punto (3, 0)

3 Mín.

+ Creciente

x 2 1 3. f ( x )  x a) Dominio: R  {0} b) Puntos de corte con los ejes: no tiene. c) Asíntotas i) Asíntotas verticales: x = 0 x2 1   . No tiene x   x

ii) Asíntotas Horizontales: lim iii) Asíntotas oblicuas: y = x

d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y 

x2 1 x

2

Signo f´ f es:

 0  x 2  1  0  x  1

+ crece

1 Máximo

 decrece

0

 decrece 1 mínimo

Tiene un máximo en el punto: (1, 2) y un mínimo en (1, 2) g) Gráfica:

+ crece

4. f ( x ) 

x3 (1  x ) 2

a) Dominio: R  {1} b) Puntos de corte con los ejes: (0, 0). c) Asíntotas lim 

i) Asíntotas verticales:

x  1

lim 

x  1

x3

1  x 2 x3

1  x 2

ii) Asíntotas Horizontales: lim x  

      x = 1    

x3 (1  x ) 2

  . No tiene

iii) Asíntotas oblicuas: m= 1 ¬> y = x  2 d) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y 

x 3  3x 2 (1  x ) 3

Signo f´ f es:

x  0  0  x 2 ( x  3)  0   . Dom f ( x )  R  {1} x  3

+ crece

 3 decrece Máximo

Tiene un máximo en el punto: (3, 27/4) h) Gráfica:

+ crece 1 No def.

0

+ crece

5. f ( x ) 

x x2 4

a) Dominio: R  {2} b) Puntos de corte con los ejes: (0, 0). x x c) Simetrías: f (  x )   2  f ( x )  impar, simétrica respecto del origen 2 ( x)  4 x  4 d) Asíntotas

x

     i) Asíntotas verticales: x 2 x  4   x  2 x lim 2     x  2  x  4 x ii) Asíntotas Horizontales: lim 2 0 y=0 x   x  4 lim



2

x

     x 2 x  4  x  2 x lim 2     x 2  x  4 lim



2

iii) Asíntotas oblicuas: No tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos:  x2  4 y   0   x 2  4  0  x 2  4  x    4  R . No tiene 2 2 x 4





Signo f´ f es:

 Decrece

2

 Decrece

 Decrece

2

f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: y  

2x 3  24x

x

2

Signo f´´ f es:

4



3

x0   0  2 x ( x 2  12)  0   2 x  12  0  x    12  R

 Convexa

2

+  Cóncava 0 Convexa Punto de inflexión

Tiene un punto de inflexión en el punto (0, 0) i) Gráfica:

2

+ Cóncava

6. f ( x ) 

x 3  3x 2  4 x2

a) Dominio: R  {0} b) Puntos de corte con los ejes: i)

x = 0 no definida (0  Dom f) x 3  3x 2  4

 x 3  3x 2  4  0  x  1 ( 1, 0), x  2 ( 2, 0) x2 (  x ) 3  3 x 2  4 c) Simetrías: f (  x )   f ( x )  f no tiene. ( x ) 2 d) Asíntotas  x 3  3x 2  4 lim    2  i) Asíntotas verticales: x 0 3 x 2 x0 x  3x  4 lim    x  0 x2 

ii) y = 0 

ii) Asíntotas Horizontales: lim

x  

x 3  3x 2  4 x2

   no tiene

iii) Asíntotas oblicuas: y = x  3 e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x3  8 y   0  x3  8  0  x3  8  x  3 8  2 . 3 x Signo f´ + +  f es: Crece 0 Decrece 2 Crece No definida Mínimo Tiene un mínimo en el punto: (2, 0) f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: 24 y   4  0 , no tiene puntos de inflexión. x Signo f´´ + + f es: Cóncava 0 Cóncava j) Gráfica:

2 2 f ( x )  x  7. x a) Dominio: R  {0} b) Puntos de corte con los ejes: i)

x = 0 no definida (0  Dom f)

2 x3  2 0  0  x  3  2, 3  2, 0 x x c) Simetrías: f (  x )  f ( x )  f no tiene. d) Asíntotas  x3  2 lim     i) Asíntotas verticales: x 0 3x x 0 x 2 lim    x x  0 

ii) y = 0  x 2 





x3  2    no tiene x   x f (x ) x3  2 iii) Asíntotas oblicuas: m  lim  lim    no tiene x   x x   x 2 e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 2 2x 3  2 y   2x  2   0  2x 3  2  0  x 3  1  x  3 1  1 . x x2 Signo f´ +   f es: Decrece 0 Decrece 1 Crece No definida Mínimo Tiene un mínimo en el punto: (1, 3) f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: 4 2x 3  4 y   2  3   0  2x 3  4  0  x  3  2 3 x x Signo f´´ + +  3 f es: Cóncava 2 Convexa 0 Cóncava Pto. Inflexión No definida

ii) Asíntotas Horizontales: lim

Punto de inflexión en ( 3  2 , 0)

x3

8. f ( x ) 

x 2 1

a) Dominio: R   1 b) Puntos de corte con los ejes: (0,0) ( x) 3 x3 c) Simetrías: f (  x )     f ( x )  f es impar y por lo tanto es simétrica (x ) 2  1 x2 1 respecto al origen de coordenadas. d) Asíntotas i) Asíntotas verticales: x = 1 y x = 1 ii) Asíntotas Horizontales: No tiene iii) Asíntotas oblicuas: y = x e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: x  0 x 4  3x 2 2 2 y   0  x x  3  0  2 x   3 x2 1



Signo f´ f es:







+

+     Crece  3 decrece 1 decrece 0 decrece 1 decrece 3 crece Máximo no def. No def. mínimo   3 3 3 3  y un mínimo en  3,  Tiene un máximo en el punto:   3,     3 3    

f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: x  0 2x 3  6x y    0  x ( 2x 2  6)  0   3 x    3  R x2 1



Signo f´´ f es:



 Convexa

1

+  Cóncava 0 Convexa Pto. Inflex.

Tiene un punto de inflexión en el punto: (0 , 0) g) Gráfica:

1

+ Cóncava

9.

f (x )  x 2  1 a) Dominio:  ,1  1,  b) Puntos de corte con los ejes:  1, 0 , 1, 0  c) Simetrías: f (  x ) 

 x 2  1 

x 2  1  f ( x ) , es simétrica respecto del eje OY.

d) Asíntotas i)

Asíntotas verticales: No tiene

ii) Asíntotas horizontales: No tiene iii) Asíntotas oblicuas: y = mx + n





m  lim

x2 1  1, n  lim x 2  1  x  0  y  x x   x

m  lim

x2 1  lim x   x

x  

x  

 x2 1  lim   x    x 

x 2  1   1, n  lim  x 2  1  x   0  y   x 2  x    x 

e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y  

x x2 1

 0  x  0  Dom f .

Dom f´=  ,  1  1,    En el intervalo  ,1 f ( x )  0  f es decreciente En el intervalo 1,    f ( x )  0  f es creciente f) Concavidad,

convexidad,

puntos

de

inflexión:

f ( x ) 

1

x

2



1

3

 0,

Dom

f´´=

 ,  1  1,    , la derivada segunda es negativa en todo su dominio  es siempre convexa g) Gráfica:

10. f ( x )

 1 x2

a) Dominio:  1, 1 b) Puntos de corte con los ejes:  1, 0 , 1, 0  c) Simetrías: f (  x )  1   x 2  1  x 2  f ( x ) , es simétrica respecto del eje OY. d) Asíntotas i)

Asíntotas verticales: No tiene

ii) Asíntotas horizontales: No tiene ya que el dominio de f =  1, 1 iii) Asíntotas oblicuas: No tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y  

x 1 x2

 x = 0.

Dom f´= (1, 1) En el intervalo  1, 0 f ( x )  0  f es creciente En el intervalo 0 , 1 f ( x )  0  f es decreciente Tiene un máximo en el punto: (0, 1) f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: f ( x ) 

1

1  x 

2 3

 0 , Dom f´´=(1, 1), la

derivada segunda es negativa en todo su dominio  es siempre convexa. g) Gráfica:

11. f ( x )



1 ex

a) Dominio: R  {0} b) Puntos de corte con los ejes: i)

x = 0 no definida (0  Dom f), no corta al eje de ordenadas (Y). 1 ex

 0  no corta al eje de abscisas (X). 1 c) Simetrías: f (  x )  e1 x  e 1 / x  1 / x   f ( x )  f no tiene. e d) Asíntotas i) Asíntotas verticales: lim e1 / x  e   0  no tiene

ii) y =

x0

lim e1 / x  e     x = 0

x  0

ii) Asíntotas Horizontales: lim e1 / x  e 0  1  y =1 x  

e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y   mínimos. Signo f´ f es:

 decrece

e1 / x (1  2x ) x4

+  Convexa 1/2 cóncava 0 Pto. Inflexión No definida

Punto de inflexión en (1/2, e2 ), e2  0.135335 g) Gráfica:

x2

 0 . No tiene máximos ni

 decrece

0 No definida

f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: y   Signo f´´ f es:

 e1 / x

= 0, x = 1/2

+ Cóncava

12.

y

ln x x

a) Dominio: (0, )  R  . Continua en su dominio b) Puntos de corte con los ejes: 0  Dom f, luego no corta al eje OY f(x) = 0  ln x = 0  x = 1, (1, 0) corte con el eje OX. c) Simetrías: No hay (Si x Dom f , x  Dom f) d) Asíntotas i)

Asíntotas verticales: lim x 0

ln x   , x  0 x

ii) Asíntotas horizontales: lim x  

ln x  0, y  0 x

e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 1  ln x f ( x )   0  1  ln x  0  1  ln x  x  e x2 En el intervalo 0, e  , f ( x )  0  f es creciente En el intervalo e,  , f ( x )  0  f es decreciente  1 Para x = e tiene un máximo relativo:  e ,   e 3

f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: f ( x )   3 En el intervalo  0, e 2  , f ( x )  0  f es convexa.      3  En el intervalo  e 2 ,   , f ( x )  0  f es cóncava.     3  3 3 3  Para x  e 2 tiene un punto de inflexión:  e 2 , e 2    2   Gráfica:

 3  2 ln x 3  0  ln x   x  e 2 3 2 x

13.

y  ln(x 2  1) a) Dominio: x2  1 > 0  Dom f = (, 1)  (1, +) b) Puntos de corte con los ejes: x = 0  Dom f  no corta al eje de ordenadas.  ( 2 , 0) y = 0  ln( x 2  1) = 0  x2 1 = e0 = 1  x2 = 2  x =  2  (  2 , 0 ) f (  x )  ln ((  x ) 2  1)  ln ( x 2  1) c) Simetrías:   f(x) = f(x)  f es par y por lo tanto la 2 f ( x )  ln ( x  1) gráfica es simétrica respecto del eje Y. d) Asíntotas i) Asíntotas verticales: lim  ln ( x 2  1)  ln 0   . Asíntota x = 1 x  1

lim ln ( x 2  1)  ln 0   . Asíntota x = 1

x 1

ii) Asíntotas Horizontales: lim ln ( x 2  1)    No tiene. x  

f (x ) ln ( x 2  1)  lim  0  No tiene x   x x   x e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 2x y  2  0  x = 0  Dom f x 1 Signo f´ +  f es: decrece 1 No definida 1 crece no tiene máximo ni mínimo. f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: 2  ( x 2  1)  2x  2x  2x 2  2 y    2  0  no tiene puntos de inflexión. ( x 2  1) 2 ( x  1) 2 Signo f    f es: convexa 1 No definida 1 convexa

iii) Asíntotas oblicuas: m = lim

g) Gráfica:

14.

f (x) 

1 x ex

g) Dominio: R  {0} h) Puntos de corte con los ejes: no tiene. 1 x i) Simetrías: f (  x )   x  e  x   1   f ( x )  no tiene e x j) Asíntotas i) Asíntotas verticales: 1

lim x  e x  0  no tiene cuando x  0  pues la función tiende a cero

x0

1

lim

x 0 

1 xex

 ( 0  )  lim x 0

1 x e

1 x

1 1 x 2  lim e x    x  0 1 x 0  x2

ex   lim x 0

1





ii) Asíntotas Horizontales: lim x  e x     e 0   . No tiene. x  

1

f (x ) iii) Asíntotas oblicuas: y = mx + n ; m  lim  lim e x  1 x   x x   1    1  n  lim  x  e x  x   lim x  e x  1  lim  x    x  x       

1 x e

1 ex

L´ Hop

1  1 x

lim

x  

y  x 1 k) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: 1

1

1 1 x 1  y   1   e x  0 , como e x  0  1   0   0 x 1 x x  x En el intervalo (,0) f ( x ) > 0  f es creciente En el intervalo (0,1) f ( x ) < 0  f es decreciente En el intervalo (1, ) f ( x ) > 0  f es creciente En x = 1 hay un mínimo relativo. Mínimo: (1, e) 1

l)

Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: f ( x )  En el intervalo (,0) f ( x ) < 0  f es convexa En el intervalo (0 ,  ) f ( x ) > 0  f es cóncava

1 x e 0 x3

1 1 x 2  lim e x  1 x   1 2 x 

15. f ( x )  a) b) c) d)

x2 x

  ( x  2)  x  f (x)   x2   x

si x  2 y x  0 si x  2

Dominio: R  { 0 } Puntos de corte con los ejes: (0, 2) Simetrías: no tiene Asíntotas i) Asíntotas verticales: x = 0

x2  1  x = 1 x x2 lim f ( x )  lim 1  x = 1 x   x   x iii) Asíntotas oblicuas: no tiene e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos:   ( x  2) si x  2 y x  0 x2  x f (x )  f ( x)   , Dom f = R {0}, es continua en su x 2 x  si x  2  x 1   f ( 2 )   2 dominio, pero no es derivable en x = 2 :  . La función derivada de f es: 1  f ( 2  )   2  2  2 si x  2, x  0 f ( x )   x , f´(x)  0 para todo x  Dominio de f´ 2  2 si x  2 x

ii) Asíntotas Horizontales: lim f ( x )  lim x  

Signo de f´ f es:



x  

 0

+ 2 mínimo (2,0)

En los intervalos (,0) y (0,2) la función decrece, pues f´(x) < 0 En x = 2 tiene un mínimo relativo, f(2) = 0. El mínimo está en el punto (2,0) En el intervalo (2,+ ) decrece, pues f´(x) > 0 f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: (se deja como ejercicio)

16.

y  ln x  x a) Dominio: R+= (0,+) b) Puntos de corte con los ejes: No corta al eje de ordenadas pues para x = 0 no está definida 0  Dom f  . Como x  0,  ln x  x  ln x – x  0 y por lo tanto no corta al eje de abscisas. c) Simetrías: no tiene d) Asíntotas i)

Asíntotas verticales: lim ln x  x     x  0 x 0

ii) Asíntotas Horizontales: ln x  ln x    lim (ln x  x )  (    )  lim x   1    ya que lim  0  , no tiene. x   x    x x   x    iii) Asíntotas oblicuas:y = mx + n 1 1 ln x  x LH f (x ) x m  lim  lim  lim  1 No tiene asíntota oblicua x   x x   x   x 1 n  lim f ( x )  mx   lim ln x  x  x   lim ln x   x  

x  

x  

e) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y   y   

1 x2

1 1 x 1  0   0  x  1. x x

 f (1)  1  0  máximo en x  1 , f (1)  1  máximo en el punto 1, 1.

En el intervalo (0 , 1) f´(x)> 0  f es creciente. En el intervalo (1,) f´(x)< 0  f es decreciente. f) Concavidad, convexidad, puntos de inflexión: y     la función es siempre convexa. g) Gráfica:

1  0 , f´´(x) < 0 para todo x  Dom f x2