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Resuelve ecuaciones Matemáticas en la vida diaria Para las aves Amy hace y vende casitas para pájaros en la feria de artesanías de su pueblo. Cuesta $10 alquilar una mesa en la feria y Amy gasta un promedio de $5 en materiales para hacer cada casita de pájaros. Mientras se prepara para el evento, ella puede usar la ecuación c $10 $5n para calcular el costo de hacer las casitas para pájaros. En la ecuación, c representa el costo total y n representa el número de casitas para pájaros. Supón que Amy tiene $75 para gastar en el alquiler de la mesa y en materiales. Para calcular cuántas casitas para pájaros puede fabricar, Amy puede resolver la ecuación $75 $10 $5n.
Piensa al respecto Amy piensa vender sus casitas para pájaros a $8 cada una. De
modo que la ecuación m $8n representa la cantidad de dinero que ella ganaría vendiendo las casitas. En la ecuación, m representa la cantidad de dinero que ella va a ganar y n representa el número de casitas. Ella espera ganar $120. ¿Cuál ecuación debería resolver?
Carta a la familia Estimados alumno(a) y familiares: Nuestro siguiente capítulo es acerca de la solución de ecuaciones. ¡No se preocupen! Han usado y resuelto ecuaciones durante años. Una ecuación es un enunciado numérico que incluye el signo de igualdad. Esto significa que dos expresiones tienen el mismo valor. He aquí tres ejemplos: 9 6 15 9653 7 8 18 3 Sin embargo, en este capítulo van a explorar ecuaciones con variables (cantidades que cambian), como 3 n 18. Aprenderán un método para resolver ecuaciones conocido como vuelta atrás. Por ejemplo, consideren la ecuación 4 n 5 t. Para hallar un valor de salida (t) con esta ecuación, usen un valor de entrada (n), multiplíquenlo por 4 y, finalmente, sumen 5. El siguiente flujograma muestra estos pasos: 4 n
4n
5
Entrada
4n5 Salida
He aquí un flujograma para un valor de entrada de 3: 4 3
5 12
17
Entrada Salida Si les dan primero el resultado, 21, pueden utilizar el flujograma y el método de vuelta atrás y determinar que el valor de entrada es 4. Descubrirán que algunas ecuaciones no se pueden resolver con el método de vuelta atrás. Debido a esto, explorarán otro método conocido como conjetura, verifica y mejora.
Vocabulario Aquí está la lista de palabras asociadas con la solución de ecuaciones. vuelta atrás conjetura, verifica enunciado abierto ecuación y mejora solución flujograma desigualdad ¿Qué pueden hacer en el hogar? Animen a su hijo(a) para que les muestre cómo usa las estrategias para resolver ecuaciones. Pueden incluso escribir una ecuación simple en un trozo de papel, después intercambien papeles y finalmente resuelvan la ecuación de la otra persona. Una vez que hayan resuelto sus respectivas ecuaciones, comenten acerca de cómo las resolvieron.
impactmath.com/family_letter
557
Entiende ecuaciones V O C A B U L A R I O ecuación
Has trabajado con ecuaciones por muchos años. Una ecuación es un enunciado matemático que indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Un signo de igualdad, , se usa para separar las dos cantidades. He aquí tres ejemplos de ecuaciones: 9 6 15
9653
7 5 15 3
Explora
Datos de
En el juego Reto con ecuaciones, verás cuántas ecuaciones puedes formular usando un conjunto determinado de números.
interés
Reglas del Reto con ecuaciones
Robert Record fue el primero en usar el signo de igualdad en su libro Whetstone of Witte, publicado en 1557. Record afirma que eligió segmentos de rectas paralelas de igual longitud porque “no hay dos cosas que puedan ser más iguales”.
• Tu maestro(a) dictará siete números de un solo dígito. Escribe los números en una hoja de papel. (Nota: Tu maestro(a) puede dictar el mismo número más de una vez. Por ejemplo, los números pueden ser 1, 2, 5, 3, 4, 9 y 3.) • Tienes 5 minutos para escribir tantas ecuaciones correctas como te sea posible, usando sólo los siete números, un signo de igualdad, símbolos de operación, puntos decimales y paréntesis. Sigue estas reglas al escribir tus ecuaciones: —Usa cada uno de los siete números solamente una vez en cada ecuación. —No necesitas usar todos los números en cada ecuación. —Puedes combinar los números para formular números con más de un dígito. Por ejemplo, podrías combinar 1 y 2 para formular 12, 21, 1.2, ó 12. • Al final de los 5 minutos, verifica tus ecuaciones para asegurarte de que están correctas. He aquí algunos ejemplos de ecuaciones para los números 1, 2, 5, 3, 4, 9 y 3: 35 1 9 9 5 3 3 (4 1) 9 5 14 4 Juega Reto con ecuaciones. ¡Usa tu creatividad cuando escribas tus ecuaciones!
558 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Investigación 1 V O C A B U L A R I O desigualdad
Como sabes, una ecuación es un enunciado matemático que afirma que dos cantidades tienen el mismo valor. Un enunciado matemático que afirma que dos cantidades tienen valores diferentes se llama desigualdad. Las desigualdades usan los símbolos , y . La siguiente tabla explica lo que significan estos símbolos. Símbolo
Lo que significa no es igual a
Ejemplo 7251
es menor que
4 5 20
es mayor que
6969
Datos de
interés Texas se convirtió en el 280 estado de EE.UU. en 1845. Alaska se convirtió en el 490 estado de EE.UU. en 1959.
Ecuaciones y desigualdades
Así como los enunciados con palabras pueden ser verdaderos o falsos, también las ecuaciones o desigualdades pueden ser verdaderas o falsas. Considera estos seis enunciados: Las señales de alto son amarillas.
4 32 8
5665
El Sol es caliente.
Alaska está al sur de Texas.
5 4 27 3
&
Piensa comenta ¿Cuáles de los enunciados anteriores son verdaderos y cuáles son falsos? Calcula una manera para hacer verdadero cada uno de los enunciados falsos al cambiar o añadir sólo una palabra, símbolo o número.
Serie de problemas
A
Los siguientes enunciados son falsos. Cambia un símbolo o un número para hacer verdadero cada enunciado. 1.
17 5 32 12
2.
14 5 12 11
3.
23 11 22 2
4.
6 5 (4 7) 8
Indica si cada enunciado es verdadero o falso. Si es falso, hazlo verdadero reemplazando el signo de igualdad con o . 5.
5 13 2 42 3
6.
7.
24 5 2 3
2 8. 5
9.
0.25 14
10.
7 (2 3) (6 2) 1 12
8 12 4 (8 12) 4
LECCIÓN 9.1
Entiende ecuaciones 559
&
Comparte
resume 1. Explica
la diferencia entre una ecuación y una desigualdad. Da un ejemplo de cada una.
2. Da un ejemplo de una ecuación o una desigualdad que sea falsa. Luego
explica cómo podrías cambiar el enunciado para hacerlo verdadero.
Investigación 2
Ecuaciones con variables
Puedes determinar si las ecuaciones en la Investigación 1 son verdaderas al calcular el valor de cada lado. Pero, ¿qué pasa si una ecuación contiene una variable? Por ejemplo, considera esta ecuación: 3 n 18
V O C A B U L A R I O enunciado abierto
No puedes decir si esta ecuación es verdadera o falsa a menos que conozcas el valor de n. Una ecuación o desigualdad que puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de la variable se llama un enunciado abierto.
&
Piensa comenta Para cada enunciado abierto, calcula un valor de n que lo haga verdadero y un valor de n que lo haga falso. 3 n 18
V O C A B U L A R I O solución
n 2 2.5
n 5 25
Calcular los valores de la variable o variables que hagan una ecuación verdadera se llama resolver la ecuación. Un valor que hace una ecuación verdadera es una solución de la ecuación. Considera esta ecuación: 6 n 1 29 Calcular una solución para 6 n 1 29 es lo mismo que contestar esta pregunta:
Recuerda “6 veces p” se puede escribir de las siguientes maneras: 6 p 6 p 6p 560 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
¿Para qué valor de n es 6 n 1 igual a 29?
Jing intentó varios valores para n. Esto es lo que ella encontró:
Recuerda Las ecuaciones con variables al cuadrado, como m2 3m 0 en Piensa & comenta, se llaman ecuaciones cuadráticas. Dichas ecuaciones se pueden usar para describir la trayectoria que sigue un proyectil: un objeto que se lanza, se arroja o se dispara en el aire.
6n1 17 23 29 35 41 47
n 3 4 5 6 7 8
Prueba 6 n 1 29 6 n 1 29 6 n 1 29 6 n 1 29 6 n 1 29 6 n 1 29
¿Solución? no no sí no no no
Jing calculó que 5 es una solución de 6 n 1 29, puesto que 6 5 1 29. Jing notó que los resultados continuaban aumentando a medida que aumentaba n. Entonces, concluyó que 5 debería ser la única solución.
Serie de problemas
B
Cada una de estas ecuaciones tiene una solución. Soluciona cada ecuación. 1.
6 n 1 41
2.
6 n 1 11
3.
2p 7 19
4.
4 4 b 20
6.
m 3 2m
5 5. 4
2d5
7.
Trata los números 1, 2, 3, 4 en la ecuación 2 d 3 15 2 d para probar si alguno de ellos es una solución.
8.
Escribe tres ecuaciones con una solución de 13. Verifica que tus ecuaciones sean correctas al sustituir 13 en la variable.
Todas las ecuaciones que has observado hasta ahora tienen una solución. Es posible que una ecuación tenga más de una solución o no tenga solución. Para algunas ecuaciones, cada número es una solución. Tales ecuaciones son siempre verdaderas, sin importar cuáles sean los valores de las variables.
&
Piensa comenta Frecuentemente las ecuaciones que incluyen una variable cuadrática tienen dos soluciones. Calcula dos soluciones para la ecuación m2 3m 0. Explica por qué cada una de las siguientes ecuaciones siempre es verdadera. n33n
a5aaaaa
LECCIÓN 9.1
Entiende ecuaciones 561
Serie de problemas 1.
C
Prueba los valores de 1, 2, 3 y 4 para ver si algunos son soluciones de esta ecuación: t2 8 6 t
Indica si cada una de las siguientes ecuaciones es siempre verdadera, algunas veces verdadera, o nunca verdadera y explica cómo lo sabes. 2.
mm0
r 3. 3
r
4.
q7q7
5.
p 7 17 p
6.
n2n1
7.
(a 3) 2 2a 6
8. Reto
Indica si cada ecuación tiene una solución de número entero. Explica cómo lo sabes.
Datos de
interés En meteorología, el estudio de los fenómenos meteorológicos, un signo de igualdad representa neblina.
562 C A P Í T U L O 9
a.
2 n 1 37
b.
2n 1 18
c.
3n5n7
d.
n2 2 1
&
Comparte
resume 1. Resuelve
la ecuación 3p 5 11 y explica cómo calculaste la solu-
ción. 2. Da
un ejemplo de una ecuación que es siempre verdadera y un ejemplo de una ecuación que nunca es verdadera.
Resuelve ecuaciones
Investigación
¡Anula!
de laboratorio
En esta investigación de laboratorio, practicarás la “anulación” de conjuntos de instrucciones. En la Lección 9.2, verás cómo las estrategias que usas en este laboratorio te pueden ayudar a resolver ecuaciones.
M AT E R I A L E S
Anula las instrucciones
• 1 bloque rojo y 1 bloque azul • 1 bloque rojo y 1 bloque azul • un mapa de las calles de Lompoc, California
Empieza con una hoja de papel en blanco y sigue estas instrucciones: • Dibuja una X pequeña (con lápiz) en el centro del papel. • Pon el bloque rojo en la X. • Pon la ficha amarilla en el bloque rojo. • Pon el bloque azul en la ficha amarilla. • Pon la ficha verde en el bloque azul. 1.
Escribe una lista de pasos que pienses que podrían anular estas instrucciones y que te deje con una hoja de papel en blanco. No toques ninguno de los artículos sobre el papel hasta que termines de escribir tus instrucciones.
2.
Sigue los pasos de la Pregunta 1. ¿Anularon tus pasos las instrucciones anteriores? Si no, reescríbelas hasta que lo hagan.
3.
¿En qué se parecen tus pasos a los del conjunto original de pasos?
Invierte las instrucciones Madeline vive en Lompoc, California, en la esquina de la avenida Nectarine y la calle R. Hoy se quedó de ver con su amiga T.J. en la piscina pública. T.J. le dio estas instrucciones para llegar a la piscina: • Empieza en la esquina de la avenida Nectarine con la calle R. • Camina 2 cuadras al este, por la avenida Nectarine. • Dobla a la derecha por la avenida Nectarine hacia la calle O. • Camina 4 cuadras al sur por la calle O. • Dobla a la izquierda en la calle O hacia la avenida Maple. • Camina 5 cuadras al este por la avenida Maple. • Dobla a la derecha en la avenida Maple hacia la calle J. • Camina 4 cuadras al sur por la calle J. • Dobla a la izquierda en la calle J hacia la avenida Océano. • Camina 7 cuadras al este por la avenida Océano. • La piscina está en la esquina de la avenida Océano y la calle C.
LECCIÓN 9.1
Entiende ecuaciones 563
Ahora Madeline debe invertir las instrucciones para regresar a casa.
Datos de
4.
Sin observar el mapa, escribe un conjunto de instrucciones que Madeline podría seguir para llegar a casa desde la piscina.
5.
En el mapa de las calles, cuidadosamente sigue las instrucciones que escribiste en la Pregunta 4. ¿Terminas en la esquina de la avenida Nectarine y la calle R? De lo contrario, cambia tus instrucciones hasta que funcionen.
6.
Escribe un conjunto de instrucciones para llegar de un lugar en el mapa a otro. Enuncia tus pasos como los de la página 563.
interés Se cree que los humanos hicieron mapas desde los tiempos prehistóricos. Los arqueólogos han descubierto sistemas de líneas dibujados en las paredes de las cavernas y lápidas de hueso que pueden ser mapas de senderos de caza hechos por pueblos prehistóricos.
• Cuando describas una vuelta, indica la calle en la que comienzas, si doblas a la derecha o a la izquierda y la calle por la que terminas. • Cuando describas una caminata a lo largo de una calle, indica el número de cuadras que caminas, la dirección hacia la que caminas y el nombre de la calle. Cuando termines, prueba tus instrucciones para asegurarte de que sean acertadas. 7.
Intercambia instrucciones con tu compañero(a). Sin observar el mapa, escribe los pasos que den marcha atrás a las instrucciones de tu compañero(a). Luego usa el mapa de las calles para probar tus instrucciones.
8.
Describe algunas estrategias generales que hayas encontrado útiles al invertir un conjunto de instrucciones.
¿Qué aprendiste? 9.
En esta investigación de laboratorio, anulaste dos tipos de instrucciones: • Pasos para apilar bloques y fichas. • Instrucciones para llegar de un lugar a otro. Describe en qué eran similares los métodos que usaste para anular las instrucciones en cada caso.
564 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Ejercicios por tu cuenta
& aplica
Practica
1.
En una ronda del juego Reto con ecuaciones, se dictaron los siguientes números: 1, 2, 2, 4, 5, 5 y 9. Escribe por lo menos cuatro ecuaciones que usen estos números.
En los Ejercicios 2 y 3, el enunciado no es verdadero. Cambia o añade un número o símbolo para hacerlo verdadero. 2.
5 16 3 8
3.
8 5 17 16 7
En los Ejercicios 4 a 9, indica si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, hazlo verdadero al reemplazar el signo de igualdad con o . 4.
3 11 42 9
5.
(3 5) 4 4 5 1
46 37 1268
7.
0.95 190
3 13 54 16
9.
16 8 4 (16 8) 4
1 6. 3
8.
Resuelve cada ecuación.
Datos de
interés La solución a la ecuación del Ejercicio 10, x 12 48, es el número de cajas con 12 huevos que se necesitan para tener cuatro docenas de huevos.
10.
x 12 48
11.
56 m 100
12.
6p 10 28
13.
50 4 z 30
14.
Considera las ecuaciones s 13 20 y p 13 20.
15.
a.
Resuelve cada ecuación.
b.
¿En qué se parecen las soluciones de las dos ecuaciones? Explica por qué esto tiene sentido.
Prueba los valores 0, 1, 3, 4 y 6 para ver si algunos son soluciones de 7m m2 10 16.
Indica si cada ecuación es siempre verdadera, algunas veces verdadera, o nunca verdadera y explica cómo lo sabes. 16.
25 m 5m 5
17.
5s 25
18.
t1t1
19.
p2 p p
20.
n67n
21.
7p p 7
22.
Escribe tres ecuaciones con una solución de 3.5.
impactmath.com/self_check_quiz
LECCIÓN 9.1
Entiende ecuaciones 565
23.
& amplía
Conecta
24.
26.
propias
palabras
Explica el significado de cada una de estas palabras: • ecuación • desigualdad • desigualdad • solución
566 C A P Í T U L O 9
a.
p2 6 5 p
b.
3p 5 3p 5
c.
4p57
Isabela y Jada jugaban un juego de ¿Cuál es mi regla? Ésta es la regla secreta de Isabela: o 37 4 i, donde o es la salida e i es la entrada.
25.
En t u s
De estas tres ecuaciones, una no tiene solución, una tiene una solución y una tiene dos soluciones. Decide cuál es cual y calcula las soluciones.
a.
¿Qué valor de entrada da una salida de 17? Verifica tu respuesta al sustituirla en la regla.
b.
¿Qué valor de entrada da una salida de 5? Verifica tu respuesta.
c.
¿Qué valor de entrada da una salida de 0? Verifica tu respuesta.
Imagina que juegas ¿Cuál es mi regla? Inventa una regla secreta para calcular un valor de salida a partir de un valor de entrada. Tu regla debería usar una o dos operaciones. a.
Escribe tu regla en símbolos.
b.
Calcula el valor de entrada para el que tu regla dé una salida de 25.
c.
Calcula el valor de entrada para el que tu regla dé una salida de 11.
Paul y Katarina jugaban ¿Cuál es mi regla? Ésta es la regla secreta de Katarina: n m 1 0 , donde n es la entrada y m es la salida a. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el valor de entrada que de una salida de 1.5. b.
Resuelve tu ecuación de la Parte a para calcular el valor de entrada n.
c.
Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el valor de entrada que da una salida de 20.
d.
Resuelve tu ecuación de la Parte c para calcular el valor de entrada n.
Resuelve ecuaciones
En los Ejercicios 27 a 31, usa esta idea: Puedes pensar en una ecuación como una balanza equilibrada. La balanza a la derecha representa la ecuación 3 n 9 6. La balanza está equilibrada porque ambos lados tienen el mismo valor. La segunda balanza representa la ecuación 4 n 10. Para resolver esta ecuación, debes despejar n, lo cual equilibrará la balanza.
4n
10
En los Ejercicios 27 a 31, resolverás rompecabezas con balanzas. Estos rompecabezas te pueden dar algunas ideas para resolver ecuaciones. 27.
28.
Esta balanza equilibra bolsas de maníes y cajas de palomitas.
a.
¿Cuántas bolsas de maníes equilibrará una caja de palomitas?
b.
Si una bolsa de maníes pesa 5 onzas, ¿cuánto pesa una caja de palomitas?
Considera esta balanza:
nn
10
a.
Escribe la ecuación que representa esta balanza.
b.
Qué número equilibrará una n?
n
?
LECCIÓN 9.1
Entiende ecuaciones 567
En los Ejercicios 29 a 31, consulta la información de la página 567. 29.
Considera esta balanza:
b7
a.
Escribe la ecuación que esta balanza representa.
b.
¿Qué número equilibrará una b?
b
30.
bb
?
Estas dos balanzas tienen jacks, canicas y un bloque:
a.
¿Cuántos jacks equilibrarán el bloque?
b.
¿Cuántos jacks equilibrarán una canica?
c.
Si el bloque pesa 15 gramos, ¿cuánto pesa un jack? ¿Cuánto pesa una canica?
31. Reto
a.
Estas balanzas tienen bloques, resortes y canicas:
¿Cuántas canicas equilibrarán un resorte?
?
b.
568 C A P Í T U L O 9
Si una canica pesa 1 onza, ¿cuánto pesa un resorte? ¿Cuánto pesa un bloque?
Resuelve ecuaciones
32. Ciencia
Estás familiarizado con las escalas de temperatura de Fahrenheit y Celsius. La escala kelvin se usa frecuentemente en ciencia. Esta ecuación demuestra cómo las temperaturas kelvin K se relacionan con las temperaturas Celsius C:
Datos de
interés No hay temperaturas negativas en la escala Kelvin. Se llama cero absoluto el 0 Kelvin. Se cree que es la temperatura a la cual cesa completamente todo movimiento, inclusive el movimiento de moléculas y átomos.
K C 273 a.
La temperatura media de la superficie en Mercurio es de unos 180°C. Expresa esta temperatura en kelvins.
b.
La temperatura de la superficie máxima en Marte es de unos 290 kelvin. Expresa esta temperatura en grados centígrados.
c.
¿Qué planeta es más caliente, Mercurio o Marte? Explica tu respuesta.
33. Economía
La unidad de moneda circulante en Sudáfrica es el rand. En septiembre 4 del 2000, un dólar estadounidense valía cerca de 6.96 rand. Esta relación se puede expresar como una ecuación, donde R representa al número de rand y D representa el número de dólares: 6.96 D R
Repaso mixto
a.
Ese día, Jacob cambió $75 por rand. ¿Cuántos rand recibió?
b.
Jacobo quería comprar una pequeña estatua que cuesta 20 rand. Pensó que serían cerca de $2.85. Su hermana pensó que serían cerca de $139.20.
Calcula cada producto o cociente sin usar una calculadora. 5 34. 6
37.
172
172
36.
23.7 1,000
538 259
39.
414 34
5 35. 6
3.1 50.7
38.
Sentido numérico Ordena cada conjunto de números del más pequeño al
más grande. 2 40. 3,
0.6, 56, 34, 23, 0.1
5 31 3 50 7 17 41. 7, 5 0 , 5 , 68 , 11 , 21
Geometría Calcula cada longitud faltante. 42.
43. 2 cm
4 cm
44.
15 cm
x 3 cm
x
25 cm x
2 cm
LECCIÓN 9.1
Entiende ecuaciones 569
Usa la técnica de vuelta atrás Jay jugaba ¿Cuál es mi regla? con su amiga Marla. Jay se dio cuenta de que ésta era la regla: Para calcular la salida, multiplica la entrada por 3 y súmale 7. Él escribió la regla en símbolos, usó n para representar la entrada y t para representar la salida.
Recuerda
t 3n 7
3 n, 3 n y 3n son todas maneras de escribir “3 veces n”.
Jay quería calcular la entrada que le daría una salida de 43. Es lo mismo que resolver la ecuación 3n 7 43.
3 veces el número más 7 es igual a 43.
Debe haber habido un 36 antes de que se sumara 7.
3 veces un número da 36... mmm... el número debe haber sido 12.
Sea n igual a 12. Entonces 3n + 7 es 3 x 12 + 7, lo cual da 43. Calculé bien. El número de entrada debe ser 12.
&
Piensa comenta Usa la regla de Jay, ¿qué entrada da una salida de 40? Explica el razonamiento que usaste para calcular la entrada. Verifica tu respuesta al sustituirla dentro de la ecuación 3n 7 40. El método de Jay para resolver 3n 7 43 trabajar al revés a partir del valor de salida para calcular el valor de entrada. En esta lección, aprenderás una técnica para trabajar al revés llamada vuelta atrás.
570 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Investigación 1
Aprende a usar la ténica de dar vuelta atrás
La clase de Hannah jugaba ¿Cuál es mi regla? Hannah se enteró de que la regla era t 4n 5, donde n es la entrada y t es la salida. Para calcular una salida con esta regla, haz lo siguiente: Comienza con una entrada. Multiplícala por 4. Suma 5.
V O C A B U L A R I O flujograma
Hannah dibujó un diagrama, llamado flujograma, para mostrar estos pasos.
Datos de
interés Los programadores de computadoras y los ingenieros usan flujogramas complejos para representar los pasos en los programas de computación, al elaborar operaciones, proyectos de construcción y otros procedimientos.
n
4
4n
5
Entrada
4n 5 Salida
El óvalo del lado izquierdo del flujograma representa la entrada. Cada flecha representa una operación matemática. El óvalo a la derecha de una flecha muestra el resultado de una operación matemática. El óvalo en el extremo derecho representa la salida. Éste es el flujograma de Hannah para el valor de entrada 3: 3
4
12
5
17
En la siguiente Serie de problemas, practicarás con flujogramas.
Serie de problemas
A
Copia cada flujograma y llena los óvalos. 1. 8 2. 5 3.
3
7
3
1
2
En la regla j 7m 2, m es la entrada y j es la salida. a.
Crea un flujograma para la regla, pero no llenes los óvalos.
b.
Usa tu flujograma para despejar j cuando el valor de m es 53.
LECCIÓN 9.2
Usa la técnica de vuelta atrás 571
4.
V O C A B U L A R I O vuelta atrás
En la regla d 3.2 a 10, a es la entrada y d es la salida. a.
Crea un flujograma para esta regla, pero no llenes los óvalos. (Asegúrate de pensar en el orden de las operaciones.)
b.
Usa tu flujograma para despejar d cuando el valor de a es 111.
En la Serie de problemas A, usaste flujogramas para trabajar hacia adelante. Comenzaste con la entrada y aplicaste cada operación para calcular la salida. También puedes usar flujogramas para trabajar al revés, al comenzar con la salida y anular cada operación para calcular la entrada. Este proceso, llamado vuelta atrás, es útil para resolver ecuaciones.
E J E M P L O
Cuando jugaba un partido de ¿Cuál es mi regla?, Hannah se dio cuenta de que la regla secreta era n1 t 2 Hannah quería calcular la entrada que da una salida de 33. Es decir, ella quería resolver esta ecuación: n 1 2 33 Para hallar la solución, primero hizo un flujograma: 1
2
Luego, calculó la entrada al usar la técnica de vuelta atrás: “Dado que 33 es la salida, lo pondré en el último óvalo”.
Recuerda Las operaciones que se anulan entre sí se llaman operaciones inversas. Para anular la división, Hannah utilizó la operación inversa, la multiplicación. Para anular la adición, ella utilizó la operación inversa, la sustracción.
“Dado que el número en el segundo óvalo se dividió entre 2 para obtener 33, debe ser 66”.
1
“Se sumó 1 a la entrada para obtener 66, de modo que la entrada debe ser 65”
1
Hannah verificó su solución, 65, sustituyéndola en la ecuación original:
65
1
65 1 66 2 33 2
572 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
2
66
66
2
2
33
33
33
Serie de problemas 1.
B
n1 Marcus usó la regla de Hannah, t 2 y obtuvo la salida de 53.
1
2
53
Usa la técnica de vuelta atrás para calcular la entrada de Marcus. Explica cada paso en tu solución. Tyrone resolvió tres ecuaciones usando vuelta atrás. Empezó con los siguientes flujogramas. Para cada flujograma, escribe la ecuación que trataba de resolver. (Usa cualquier letra para representar la variable de entrada.) Luego, vuelve atrás para hallar la solución. Verifica tus soluciones. 2. 3. 4. 5.
4
5
3
8
6
10
21
26 97
Terry dibujó este flujograma: 5
1
2
40
a.
Copia el flujograma de Terry y llena los óvalos.
b.
¿Cuál de estas operaciones puede representar el flujograma de Terry? Explica cómo lo sabes. 5 k 1 2 40 2 (5k 1) 40
(k 5 1) 2 40 5k 1 2 40
&
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resume 1. Explica
qué es un flujograma. Demuéstralo haciendo un flujograma para la regla t 5n 3.
2. Usa
tu flujograma de la Pregunta 1 para calcular la salida para la entrada 170 .
3. Explica
qué es la vuelta atrás. Demuestra cómo se puede usar esta técnica para resolver una ecuación, resolviendo 5n 3 45. Verifica tu solución.
LECCIÓN 9.2
Usa la técnica de vuelta atrás 573
Investigación 2
Practica la vuelta atrás
En esta investigación, practicarás la técnica de vuelta atrás de manera que puedas usarla en la solución rápida y fácil de ecuaciones.
Serie de problemas 1.
C
Un grupo de alumnos jugaba ¿Cuál es mi regla? Tanto Miguel como Althea pensaban que sabían cuál era la regla. Ambos alumnos usaron K para representar la entrada y P para representar la salida. Regla de Miguel: P 14 (K 7) Regla de Althea: P 14 K 7
2.
a.
Traza un flujograma para cada regla, pero no llenes los óvalos.
b.
Para cada regla, usa la técnica de vuelta atrás para calcular la entrada que te da la salida 105.
c.
¿Son equivalentes estas dos reglas? Explica tu respuesta.
Gabriela y Erin estaban jugando un juego que se llama Piensa en un número. Piensa en un número. Triplícalo. Réstale 6 al resultado. Multiplica ese resultado por 5. ¿Qué obtienes? 60.
Gabriela debe calcular el número de inicio de Erin.
574 C A P Í T U L O 9
a.
Dibuja un flujograma para representar este juego.
b.
¿Qué ecuación representa tu flujograma?
c.
Usa la técnica de vuelta atrás para resolver tu ecuación. Verifica la solución siguiendo los pasos de Gabriela.
Resuelve ecuaciones
&
Piensa comenta Luke quería resolver esta ecuación usando la vuelta atrás: 2 (n 1) 15 3 Él hizo este flujograma: 2
1
3
1
5
¿Representa correctamente el flujograma la ecuación? Explica tu respuesta. Resuelve la ecuación y explica cómo calculaste la solución. La ecuación en Piensa & comenta implica varias operaciones. Frecuentemente puedes resolver ecuaciones como ésta usando la vuelta atrás, pero debes prestar atención al orden de las operaciones al dibujar el flujograma.
Serie de problemas 1.
D
Conor, Althea y Miguel cada uno hizo un flujograma para representar esta ecuación: 1 n3 11 10 4 Indica cuál flujograma es correcto y explica los errores que los otros alumnos cometieron. Flujograma de Conor: 3
4
1
11
4
11
4
11
10
Flujograma de Althea: 1
3
10
Flujograma de Miguel: 3
1
LECCIÓN 9.2
10
Usa la técnica de vuelta atrás 575
En los Problemas 2 y 3, dibuja un flujograma para representar la ecuación. Luego usa la técnica de vuelta atrás para hallar la solución. Asegúrate de verificar tu solución. n 13 2. 2
6 15
3.
n 4 7 7 1 84
Resuelve cada ecuación. Asegúrate de verificar tus soluciones. 7z 2 4. 15
5.
2
(n 12 8) 100 2,100
36 6. 6 q
7.
16 83
4 b2 3 1 97
&
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resume Da un ejemplo para demostrar por qué es importante prestar atención al orden de las operaciones cuando haces un flujograma.
Investigación 3
Usa la técnica de vuelta atrás para resolver problemas
Estas “escaleras” se hicieron con mondadientes: 11 mondadientes 8 mondadientes 5 mondadientes
1 peldaño
2 peldaños
3 peldaños
La regla para el número de mondadientes n en una escalera con r peldaños es n 3r 2.
&
Piensa comenta ¿Puedes explicar por qué la regla para el número de mondadientes n en una escalera con r peldaños es n 3r 2? Supón que tienes 110 mondadientes. ¿Qué tamaño de escalera puedes hacer? ¿Cómo puede ayudarte la vuelta atrás a calcular tu respuesta? 576 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Serie de problemas
E
1.
Escribe y resuelve una ecuación para calcular el número de peldaños en una escalera de mondadientes con 53 mondadientes.
2.
Observa este patrón de figuras de mondadientes:
1 trapecio
3.
2 trapecios
3 trapecios
a.
Escribe una regla para calcular el número de mondadientes n que necesitarías para hacer una figura con t trapecios.
b.
Escribe y resuelve una ecuación para calcular el número de trapecios en una figura con 125 mondadientes.
Observa el patrón en esta tabla: n y
0 19
3 20
6 21
9 22
12 23
a.
Escribe una regla que relaciones n y y.
b.
Escribe y resuelve una ecuación para despejar n cuando y es 55.
En el siguiente problema, verás que la vuelta atrás puede usarse también para resolver problemas cotidianos.
Serie de problemas 1.
F
Leong hace manzanas de caramelo para vender en el mercado el sábado. Él se gana 35 centavos por manzana. a.
Escribe una regla que Leong podría usar para calcular su ganancia si sabe cuántas manzanas de caramelo vendió. Indica qué significa cada letra en tu regla.
b.
Leong quiere ganar $8 para poder ir al cine el sábado por la noche. Escribe una ecuación que Leong podría resolver para calcular el número de manzanas de caramelo que debe vender para ganar $8. c.
LECCIÓN 9.2
Usa la técnica de vuelta atrás para resolver tu ecuación. ¿Cuántas manzanas de caramelo necesita vender Leong?
Usa la técnica de vuelta atrás 577
2.
3.
4.
Los plomeros en Dripstoppers cobran $45 por visita a domicilio, más $40 por cada hora de trabajo. a.
Escribe una regla para lo que costaría que un plomero de DripStoppers venga a tu casa y haga n horas de trabajo.
b.
DripStoppers le envió al Sr. Valdez una cuenta de plomería por $105. Escribe y resuelve una ecuación para calcular el número de horas que el plomero trabajó en la casa del Sr. Valdez. Verifica tu solución.
Por lo general, cuando contratas un taxi, te cobran una suma fija de dinero cuando inicia el recorrido, más una cantidad que depende de la distancia que viajes. Supón que un taxi cobra $2 más $0.75 por cada cuarto de milla. a.
Escribe la ecuación que podrías resolver para calcular la distancia que puedes viajar con $20.
b.
Resuelve tu ecuación. ¿Qué distancia podrías viajar con $20? Verifica tu respuesta.
Caroline y Althea hacen una cometa. Los materiales para la parte principal de la cometa cuestan $4.50 y el cordón cuesta 9 centavos por yarda. a.
Escribe la ecuación que podrías resolver para calcular la longitud del cordón si las amigas tienen $30 para gastar en su proyecto.
b.
Resuelve tu ecuación para calcular la longitud del cordón.
&
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resume Ping utilizó mondadientes para crear este patrón:
Término 1
Término 2
Término 3
Para uno de los términos, ella requirió 112 mondadientes. ¿Cuál fue el término? Explica tu respuesta.
578 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Ejercicios por tu cuenta
& aplica
Practica
Copia cada flujograma y llena los óvalos. 1. 12 2. 2.7
2
12
3
1
4
Hannah resolvió tres ecuaciones usando la vuelta atrás. Empezó con los siguientes flujogramas. Para cada flujograma, escribe la ecuación que ella trataba de resolver. Luego, calcula la solución mediante la vuelta atrás. Verifica tus soluciones. 3.
4.
16
4
3
11
1
4
28
41
5. Reto
6.
5
15
En el juego ¿Cuál es mi regla?, Rosita escribió la regla b 3a 4, donde a es la entrada y b es la salida. a.
Traza un flujograma para la regla de Rosita.
b.
Usa tu flujograma para calcular la salida cuando la entrada es 18.
c.
Vuelve atrás para resolver la ecuación 3a 4 101.
Traza un flujograma para representar cada ecuación y, después, usa la técnica de vuelta atrás para resolver la ecuación. Asegúrate de verificar tus soluciones. 7.
4k 11 91
8.
4 (m 2) 38
LECCIÓN 9.2
Usa la técnica de vuelta atrás 579
9.
Neva y Jay estaban jugando Piensa en un número. Neva dijo: Piensa en un número. Réstale 1. Multiplica el resultado por 2. Luego suma 6. ¿Qué número obtienes? Jay dijo que obtuvo 10. Neva debe calcular el número de inicio de Jay.
10.
a.
Dibuja un flujograma para representar este juego.
b.
¿Cuál ecuación representa tu flujograma?
c.
Usa la técnica de vuelta atrás para calcular el número con que comenzó Jay. Verifica tu solución siguiendo los pasos de Neva.
Para el juego ¿Cuál es mi regla?, Mia y Desmond escribieron la reglas y 9(2x 1) 1, donde s es la entrada y y es la salida. a.
Dibuja un flujograma para la regla de Mia y Desmond.
b.
Usa tu flujograma para resolver la ecuación 9(2x 1) 1 46.
Dibuja un flujograma para representar cada ecuación. Después usa la técnica de vuelta atrás para hallar la solución. Asegúrate de verificar tus soluciones. 3m2 11. 6 8p 2 12. 5
13. 14.
1
5 19
5 n 3 4 15 3
Observa la sucesión de mondadientes siguiente. La regla para el número de mondadientes t necesaria para construir el término n es t 2n 3.
Término 1
15.
Término 3
a.
Explica por qué funciona esta regla para cada término.
b.
Escribe y resuelve una ecuación para calcular el número del término que requiere 99 mondadientes.
Observa el patrón en esta tabla: x y
580 C A P Í T U L O 9
Término 2
0 100
5 102.5
10 105
15 107.5
20 110
a.
Escribe una regla que relacione x y y.
b.
Escribe y resuelve una ecuación para despejar x cuando y es 197.5.
Resuelve ecuaciones
16. Economía
En el parque Marshall, puedes alquilar una canoa por $5, más $6.50 por hora.
Datos de
interés Las primeras canoas tenían armazones hechas de madera o de hueso de ballena y se cubrían con corteza o piel de animal.
& amplía
Conecta
a.
Escribe una regla para calcular el costo C de alquilar una canoa por h horas.
b.
Conor, Jing y Miguel pagaron $27.75 por alquilar una canoa. Escribe y resuelve una ecuación para calcular el número de horas que los amigos usaron la canoa. Verifica tu respuesta.
17. Economía
Los aguacates cuestan $1.89 cada uno. Hannah piensa hacer una gran cantidad de guacamole para una fiesta y quiere comprar tantos aguacates como sea posible. Ella tiene $14.59 para gastar.
18.
a.
Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular cuántos aguacates puede comprar Hannah con $14.59.
b.
Resuelve tu ecuación. ¿Cuántos aguacates puede comprar Hannah?
Evita quiere fabricar una cerca de postes de madera. Ella dibujó un diagrama para calcular cuántos postes necesitaría. 1 sección
2 secciones
3 secciones
4 postes
7 postes
10 postes
a.
Escribe una regla que conecte el número de postes p al número de secciones s.
b.
El almacén de maderas tiene 100 postes en existencias. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el número de secciones de cerca que Evita pueda construir con 100 postes.
c.
Resuelve tu ecuación. ¿Cuántas secciones de cerca puede construir Evita?
d.
Si cada poste mide 2 yardas de largo, ¿qué longitud tendría una cerca de 100 postes?
LECCIÓN 9.2
Usa la técnica de vuelta atrás 581
19. Física a.
Un autobús viaja a una velocidad promedio de 65 millas por hora.
Copia y completa la tabla para mostrar la distancia que el autobús viajaría en los números de horas determinados. Tiempo (horas), t Distancia (millas), d
2
3
4
5
En una cuadrícula como la siguiente, traza los puntos de tu tabla. Si tiene sentido hacerlo, conecta los puntos con segmentos de recta.
Distancia (millas), d
b.
1
400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Tiempo (horas), t
20.
c.
Usa tu gráfica para estimar cuánto se tardaría el autobús en viajar 220 millas.
d.
Escribe una regla que relacione el tiempo viajado t (en horas) a la distancia viajada d (en millas).
e.
Escribe y resuelve una ecuación para calcular el tiempo que le tomaría al autobús viajar 220 millas. ¿Cómo se compara la solución a tu estimación de la Parte c?
Julie y Noah jugaban Piensa en un número. Noah dijo: Piensa un número. Elévalo al cuadrado. Súmale 3. Divide tu resultado entre 10. ¿Qué número obtienes? Julie dijo que obtuvo 8.4. Noah debe calcular el número inicial de Julie. Él dibujó este flujograma para representar el juego: Al cuadrado
582 C A P Í T U L O 9
3
10
a.
¿Qué ecuación necesita resolver Noah para calcular el número inicial de Julie?
b.
Usa la técnica de vuelta atrás para resolver tu ecuación. Verifica tu solución al seguir los pasos de Noah.
Resuelve ecuaciones
21. Economía
En t u s
propias
palabras
En esta lección, usaste flujogramas para resolver ecuaciones. Explica cómo hacer un flujograma para esta ecuación:
(3d 5) 2 4 30 También muestra cómo usarías tu flujograma para despejar d.
Althea quiere comprar una chaqueta en la tienda por departamentos de Donovan. La tienda tiene una venta “20% de descuento”. Además, Althea tiene un cupón de $5 de descuento en cualquier artículo en la tienda.
a.
Escribe una regla que Althea podría usar para calcular el precio P que pagaría por una chaqueta con un precio original de d dólares. (Nota: se resta $5 después de que se calcula el descuento del 20%.)
b.
Althea paga $37.80 por una chaqueta. Escribe y resuelve una ecuación para calcular el precio original de la chaqueta.
22. Sinopsis
Esta ecuación da la altura h de una pelota de béisbol, en pies, t segundos después de que se lanzara hacia arriba en línea recta desde el nivel del suelo: h 40 t 16 t2
a.
¿A qué altura se halla la pelota después de 0.5 segundos?
b.
¿A qué altura se halla la pelota después de 1 segundo?
c.
Basado en lo que aprendiste en las Partes a y b, estima cuánto tiempo le tomaría a la pelota alcanzar una altura de 20 pies. Explica tu estimación.
d.
Sustituye t con tu estimación en la ecuación para calcular a qué altura se hallaría la pelota después de ese número de segundos. ¿Se acercó tu estimación a la respuesta correcta? ¿Fue tu estimación demasiado alta o demasiado baja?
23. Deportes
Lana prepara anzuelos de pesca. Cada anzuelo requiere 2 centavos del hilo de pescar. Lana usa plumas y pesas para hacer los anzuelos. Las plumas cuestan 17 centavos por pieza y las pesas cuestan 7 centavos por pieza.
a.
Escribe una regla para el costo C de un anzuelo hecho con f plumas y w pesas.
b.
Lana no quiere gastar más de 65 centavos en cada anzuelo. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular cuántas plumas podría usar en un anzuelo con dos pesas.
c.
Resuelve tu ecuación para calcular cuántas plumas Lana puede usar en un anzuelo con dos pesas.
LECCIÓN 9.2
Usa la técnica de vuelta atrás 583
24. Economía
Jordan tiene un trabajo de medio tiempo en telemercadeo. Gana $14.00 por hora más 50 centavos por cada cliente que llame.
Repaso mixto
a.
Escribe una regla para calcular cuánto ganará Jordan en un turno de tres horas si llama a c clientes.
b.
A Jordan le gustaría ganar $100 en su turno de 3 horas. ¿Cuántos clientes debe llamar?
Calcula el valor de cada expresión sin usar una calculadora. 25.
27 32 10
26.
4432
27.
49 32
28.
52 5
30.
2 3 42
132 217
2 29. 3
31. Deportes
En una competencia de pista y campo, 10 mujeres participaron en la carrera de 100 metros. Éstos son sus tiempos en segundos: 12.2
11.3
13.5
11.5
11.7
15.5
11.8
a.
Calcula la media y la mediana del tiempo.
b.
Traza un diagrama de tallo y hojas de los tiempos.
Geometría Calcula cada valor de x. 32. Área 4.5 pies2 x 4.5 pies 33. Área x 6 pulg
34. Área 9.8 cm2 3.5 cm x
584 C A P Í T U L O 9
12.6
Resuelve ecuaciones
13.4
11.5
35. Estadística En un vertedero controlado, las excavadoras extienden los
desechos sólidos (basura y desperdicios) en capas, alternándolas con capas de tierra. La lista siguiente muestra el número de vertedero controlados que se usaban en cada región de Estados Unidos en un año reciente. Noreste Connecticut, 11 Maine, 27 Massachusetts, 106 New Hampshire, 33 New Jersey, 14 New York, 42 Pennsylvania, 47 Rhode Island, 4 Vermont, 61
Atlántico Sur Delaware, 3 Florida, 67 Georgia, 159 Maryland, 25 Carolina del Norte, 114 Carolina del Sur, 37 Virginia, 152 Virginia occidental, 22
Sur Alabama, 28 Arkansas, 67 Kentucky, 12 Louisiana, 29 Mississippi, 14 Oklahoma, 94 Tennessee, 81 Texas, 678
Medio Oeste Illinois, 61 Indiana, 32 Iowa, 77 Kansas, 58 Michigan, 54 Minnesota, 26 Missouri, 30 Nebraska, 21 Dakota del norte, 12 Ohio, 63 Dakota del Sur, 12 Wisconsin, 46
Fuente: Sito Web de United States Environmental Protection Agency, www.epa.gov.
Oeste Alaska, 217 Arizona, 59 California, 278 Colorado, 72 Hawaii, 10 Idaho, 37 Montana, 82 Nevada, 56 Nuevo México, 79 Oregon, 88 Utah, 54 Washington, 25 Wyoming, 59
a.
Calcula la región en la que se localiza tu estado y selecciona una de las otras regiones. Calcula la media, la mediana y la moda de cada una de esas dos regiones.
b.
Traza un diagrama consecutivo de tallo de los dos conjuntos de datos.
c.
Usa las medidas que calculaste y el diagrama de tallo que hiciste, escribe un párrafo que compare los números de los vertedero controlados municipales en uso en las dos regiones.
LECCIÓN 9.2
Usa la técnica de vuelta atrás 585
Conjetura, verifica y mejora La técnica de vuelta atrás es útil para resolver muchos tipos de ecuaciones. Sin embargo, como verás en esta lección, algunas ecuaciones son difíciles o imposibles de resolver con este método. Johanna y Rosita jugaban ¿Cuál es mi regla? Johanna hizo esta tabla para seguir la pista de sus conjeturas: De su tabla, Johanna dedujo que la regla secreta de Rosita era
Entrada 10 20 30 40
Salida 110 420 930 1,640
n m (m 1) donde m es la entrada y n es la salida. Ahora las dos amigas quieren deducir qué entrada da una salida de 552. Eso es, quieren resolver la ecuación m (m 1) 552.
&
Piensa comenta Rosita sugiere que resuelvan la ecuación usando vuelta atrás. Trata de resolver la ecuación de esta manera. ¿Puedes hallar la solución? Explica tu respuesta. ¿Qué consejo les darías a Rosita y a Johanna para ayudarlas a resolver la ecuación?
Investigación 1 V O C A B U L A R I O conjetura, verifica y mejora
Usa el método conjetura, verifica y mejora
Como ya viste, la técnica de vuelta atrás no funciona para toda ecuación. En esta lección, aprenderás otro método de solución. Este método se llama conjetura, verifica y mejora porque eso es exactamente lo que haces. El ejemplo de la página 587 muestra cómo Rosita y Johanna usaron el método conjetura, verifica y mejora para resolver la ecuación m (m 1) 552.
586 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
E J E M P L O
En la tabla que hizo durante el juego, Johanna podría ver que la salida para m 20 era muy baja y la salida para m 30 era muy alta.
Entrada 10 20 30 40
Usando esta información, los amigos decidieron probar el 25, el número que está entre el 20 y el 30. Verificaron su conjetura al sustituir m en la expresión m (m 1):
Salida 110 420 930 1,640
m (m 1) 25 (25 1) 25 26 650 La salida 650 es muy alta. Johanna anotó las conjeturas y los resultados en la tabla. m 20 30 25
m (m 1) 420 930 650
Comentario muy bajo muy alto muy alto, pero más cercano
Entonces, las amigas decidieron que la solución debería estar entre 20 y 25. La tabla siguiente muestra sus siguientes dos conjeturas. m 20 30 25
m (m 1) 420 930 650
Comentario muy bajo muy alto muy alto, pero más cercano
22
506
muy bajo, pero cerca
23
552
¡La solución es 23!
La solución para m (m 1) 552 es 23. Repasa el proceso que Johanna y Rosita usaron: • Ellas hicieron una conjetura de la solución. • Ellas verificaron su solución al sustituirla en la ecuación. • Ellas usaron el resultado para mejorar sus conjeturas. Ahora es tu turno para probar el método conjetura, verifica y mejora.
LECCIÓN 9.3
Conjetura, verifica y mejora 587
Serie de problemas 1.
A
Conor, Marcus y Jing juegan ¿Cuál es mi regla? Ésta es la regla secreta de Jing: d (d 3) J, donde d es la entrada y J es la salida
Datos de
a.
Conor le dio a Jing una entrada y Jing calculó la salida como 8,554. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular la entrada de Conor.
b.
Calcula una solución de tu ecuación usando el método conjetura, verifica y mejora.
c.
Marcus le dio a Jing una entrada y Jing calculó la salida como 32.56. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular la entrada de Marcus.
d.
Calcula una solución de tu ecuación de la Parte c usando el método conjetura, verifica y mejora.
Para cada ecuación, usa el método conjetura, verifica y mejora para hallar una solución.
interés Imagina que un garaje contiene dos triciclos y varias bicicletas y hay 20 ruedas de bicicletas en total. Puedes resolver esta ecuación en el Problema 2, 2n 6 20, para calcular el número de bicicletas en el garaje.
2.
2n 6 20
5.
Miguel trata de resolver esta ecuación usando el método conjetura, verifica y mejora: 25 3 d 17.8. La tabla muestra sus dos primeras conjeturas. Miguel preguntó:
3.
19 4q 3
“¿Por qué la salida de 8 fue más baja que la salida de 7? ¿No debería una entrada mayor dar una salida mayor?”
4.
s2 2s 19.25
25 3 d 4 1
d 7 8
Comentario muy bajo todavía muy bajo
a.
Contesta las preguntas.
b.
¿Qué entrada crees que Miguel debería tratar en seguida? Explica. 6. Hannah
y Luke trataron de resolver 7.25t t2 12.75. Ellos hicieron esta tabla usando el método conjetura, verifica y mejora:
t 5 6 4 2
7.25t t2 11.25 7.5 13 10.5
Comentario muy bajo muy bajo muy alto muy bajo
Hannah cree que la solución debe estar entre 2 y 4. Luke cree que debe estar entre 4 y 5. a. b.
588 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
¿Hay una solución entre 2 y 4? De ser así, encuéntrala. Si no es así, explica por qué. ¿Hay una solución entre 4 y 5? De ser así, encuéntrala. Si no es así, explica por qué.
&
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resume Describe cualquier estrategia que descubriste para calcular una solución efectiva usando el método conjetura, verifica y mejora.
Investigación 2
Resuelve problemas usando el método conjetura, verifica y mejora
En esta investigación, resolverás problemas al escribir ecuaciones y luego usar el método conjetura, verifica y mejora. Mientras trabajas, encontrarás que no siempre puedes dar un valor de decimal exacto para una solución. En tales casos, puedes aproximar la solución.
Serie de problemas 1.
B
El piso del sótano del Sr. Cruz tiene la forma de un rectángulo. La longitud del piso es 2 metros mayor que el ancho.
w w2 a.
Escribe una regla para mostrar la conexión entre el área A del piso y el ancho, w.
b.
El área del piso del sótano es 85 metros cuadrados. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el ancho del piso.
c.
Usa el método conjetura, verifica y mejora para calcular una solución aproximada de tu ecuación. Da la solución en décimas.
d.
¿Cuáles son las dimensiones del piso del sótano?
LECCIÓN 9.3
Conjetura, verifica y mejora 589
2.
Datos de
Un cubo es una figura tridimensional con seis caras cuadradas idénticas. El área de superficie de un cubo es la suma de las áreas de sus seis caras.
L
L
Este cubo tiene aristas de longitud L.
interés El cubismo es un estilo de arte que se desarrolló a principios de 1900. Hoy en día, el cubismo enfatiza superficies planas bidimensionales en vez de perspectivas tridimensionales. Las pinturas cubistas muestran muchos lados de un objeto, a la vez.
L
a.
¿Cuál es el área de una cara de este cubo?
b.
Escribe una regla para calcular el área de superficie S del cubo.
c.
Supón que el cubo tiene un área de superficie de 100 centímetros cuadrados. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular la longitud de la arista del cubo.
d.
Usa el método conjetura, verifica y mejora para calcular la longitud de la arista del cubo al centímetro más próximo 0.1.
En todas las ecuaciones que resolviste hasta ahora, la variable aparece en sólo un lado de la ecuación. También puedes usar el método conjetura, verifica y mejora para resolver ecuaciones en las cuales la variable aparece en ambos lados.
E J E M P L O
Resuelve este rompecabezas numérico: 12 más que un número es igual 3 veces el número. ¿Cuál es el número? Sea m el número. Puedes escribir entonces el rompecabezas como una ecuación: m 12 3m Para resolver la ecuación, sustituye m con valores hasta que los dos lados de la ecuación sean iguales. m 1 2 5 6
m 12 13 14 17 18
3m 3 6 15 18
Comentario no es lo mismo en poco más cerca muy cerca ¡Lo tengo!!
Entonces, 6 es la solución de la ecuación m 12 3m. Verifica que 6 es la solución del rompecabezas original: 12 más que 6 es 18, que es igual 3 veces 6. En la siguiente Serie de problemas, practicarás cómo resolver ecuaciones en que la variable aparece en ambos lados. 590 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Serie de problemas
C
En los Problemas 1 a 3, escribe una ecuación para representar el rompecabezas numérico. Luego calcula la solución usando el método conjetura, verifica y mejora. 1.
Sumar 5 a un número es lo mismo que restarle 1 al doble del número. ¿Cuál es el número?
2.
4 veces un número, más 1, es igual que agregar 4 al doble del número. ¿Cuál es el número?
3.
Sumar 2 al cuadrado de un número es igual a 5 veces el número, menos 4. ¿Cuál es el número? (Hay dos soluciones. Trata de hallarlas.)
4.
Considera la ecuación 2m 5m 18.
5.
a.
Inventa un rompecabezas numérico que sea igual a la ecuación.
b.
Resuelve la ecuación y verifica que la solución también sea la respuesta a tu rompecabezas.
Peta y Ali fueron a la tienda de mascotas para comprar peces para sus tanques. Peta compró tres mollies negros por b dólares cada uno y una anguila pavo real por $12. Ali compró siete mollies negros por b dólares y un pez arco iris australiano por $2. Peta y Ali gastaron la misma cantidad de dinero. a.
¿Cuánto dinero gastó Peta? Tu respuesta debería ser una expresión que contenga la variable b.
b.
¿Cuánto dinero gastó Ali? Tu respuesta debería ser una expresión que contenga la variable b.
c.
Usa tus dos expresiones para escribir una ecuación que indique que Peta y Ali gastaron la misma cantidad de dinero.
d.
Resuelve tu ecuación para despejar b. ¿Cuánto costó cada molly negro?
e.
¿Cuánto gastó cada amiga?
Usa el método conjetura, verifica y mejora para hallar la solución de cada ecuación. 6.
3n 9 2n
7.
p 1 5(p 4)
&
Comparte
resume Inventa un rompecabezas numérico como esos con los que trabajaste en esta investigación. Intercambia rompecabezas con tu compañero(a) y resuelve su rompecabezas.
LECCIÓN 9.3
Conjetura, verifica y mejora 591
Investigación 3
Elige un método
Ahora ya tienes dos métodos para resolver ecuaciones: vuelta atrás y conjetura, verifica y mejora. Los problemas de esta investigación te ayudarán a decidir cuál método de solución es más efectivo para un tipo particular de ecuación. En la caricatura, Marcus y Rosita tratan de resolver algunas ecuaciones. Marcus usa la técnica de vuelta atrás para cada ecuación y Rosita usa el método conjetura, verifica y mejora para cada ecuación. Debo considerar mi primera conjetura. 3 es muy pequeño. 5 es muy grande. comenzaré con 4. Al verificar, 3 x 4 + 7 = 19. ¡Correcto!
Para obtener 19, debimos sumarle 7 a 12. Para obtener 12, hemos debido multiplicar 4 por 3, para que n = 4. Eso fue fácil.
3n + 7 = 19
Rosita
Marcus
usa estima, verifica y mejora
usa vuelta atrás Para obtener 10.36, debimos haberle sumado 4 a 6.36. ¿Qué se multiplicó por 2.4 para obtener 6.36? mmm... Mejor uso mi calculadora... 6.36 2.4 = 2.65 Así, n = 2.65. Eso no tomó 2.4 . n + mucho tiempo.
4=
Podría empezar con un estimado de 3. Esto da 2.4 x 3 - 4 = 112... es muy grande. Haré una tabla: 3 11.2 muy grande 2.5 10 muy pequeño 2.7 10.48 casi, pero muy grande ahora, es 10.24 2.6 10.36 muy pequeño 2.65 10.36 !Por fin! !Lo resolví!
No puedo averiguar qué se multiplicó por n para que diera 96. Si lo supiera, ya habría averiguado el valor de n. Esto no va a funcionar. El método de vuelta atrás no funciona.
n x (10 + n) = 96
592 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Comenzaré con 5. 5 x (10 + 5) = 75 Necesito una tabla. 5 75 Muy, muy pequeño 8 144 Ahora, es demasiado grande 6 96 ¡Lo tengo! Pura suerte.
&
Piensa comenta ¿Para cuál ecuación en la caricatura, vuelta atrás es mejor método que conjetura, verifica y mejora? ¿Por qué? ¿Para cuál ecuación, conjetura, verifica y mejora es mejor método que vuelta atrás? ¿Por qué? ¿Para cuál ecuación parecen funcionar bien los dos métodos?
Serie de problemas
D
En los Problemas 1 a 4, contesta las Partes a y b. a.
Encuentra una solución a la ecuación usando un método mientras tu compañero(a) encuentra una solución usando el otro. Cambia métodos en cada ecuación para que puedas tener oportunidad de practicarlos ambos.
b.
Comenta tu trabajo con tu compañero(a). Indica si ambos métodos funcionan y indica cuál método parece más efectivo.
1.
3p 8 25
2.
1.6r 3.96 11
3.
k 4 6k
4.
( j 2) j 48
Resuelve cada ecuación. Indica cuál método de solución usaste y explica por qué escogiste ese método. 2k 4 5 10 6
5.
4w 1 2w 8
7.
Luke dice: “Cuando la variable aparece sólo una vez en la ecuación, uso la vuelta atrás. Si ocurre más de una vez, uso el método conjetura, verifica y mejora”. Comenta la estrategia de Luke con tu compañero(a). ¿Sería más efectiva ésta para las ecuaciones en los Problemas 1 a 6? Explica.
6.
&
Comparte
resume Indica cuál método de solución usarías para calcular una solución para cada ecuación. Explica tu selección. 1. n
2
n 30
2.
4 (v 3) 8
3. 3g
6g 7
4.
2e 7 4
LECCIÓN 9.3
Conjetura, verifica y mejora 593
Ejercicios por tu cuenta
& aplica
Practica
1.
Hanna, Althea y Jahmal juegan ¿Cuál es mi regla? Ésta es la regla secreta de Althea: 3 p p2 q, donde p es la entrada y q es la salida a.
Hannah le da a Althea una entrada y Althea calcula la salida como 24.79. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular la entrada de Hannah.
b.
Calcula una solución para tu ecuación usando el método conjetura, verifica y mejora.
c.
Jahmal le da a Althea una entrada y Althea calcula la salida como 154. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular la entrada de Jahmal.
d.
Calcula una solución para tu ecuación en la Parte c usando el método conjetura, verifica y mejora.
Para cada ecuación, usa el método conjetura, verifica y mejora para calcular una solución.
Recuerda El área de un círculo se da por la fórmula A r 2, donde r es el radio del círculo.
Datos de
interés
2.
16 5k 2
3.
h (5 h) 26.24
4.
y2 72 17y (Hay dos soluciones. Trata de calcularlas ambas.)
5. Geometría
Reina planifica su huerta de verano.
a.
Reina quiere plantar fresas en un terreno circular que cubre un área de 15 metros cuadrados. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el radio que Reina debería usar para arreglar el terreno.
b.
Usa el método conjetura, verifica y mejora para calcular el radio del terreno de las fresas en décimas de metro.
c.
Reina también quiere plantar tomates en cinco terrenos circulares idénticos con un área total de 25 metros cuadrados. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el radio de uno de los terrenos de tomates.
d.
¿Cuál debería ser el radio de cada terreno de tomates en décimas de un metro?
El tomate es la fruta más popular del mundo, en términos de toneladas producidas cada año, seguido por la banana, la manzana, la naranja y la sandía. 594 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
impactmath.com/self_check_quiz
En los Ejercicios 6 a 8, escribe una ecuación que represente el rompecabezas numérico. Luego calcula la solución usando el método conjetura, verifica y mejora.
Datos de
6.
3 veces un número, más 5, es igual a 5 veces el número. ¿Cuál es el número?
7.
10 más el cuadrado de un número es igual a 6 veces el número, más 2. ¿Cuál es el número? (Este rompecabezas tiene dos soluciones. Calcula ambas.)
8.
3 veces un número, más 1, es igual a 9 más el número. ¿Cuál es el número?
9.
Marjorie dice: “Si duplicas la edad del guacamayo y luego le restas 21.75, tu resultado será la mitad de la edad de mi guacamayo”.
interés El guacamayo es un loro de cola larga. En el bosque tropical, los guacamayos tienen un promedio de vida de 25 a 30 años. En cautiverio, pueden llegar a los 70 años o más.
10.
a.
Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular la edad que tiene el guacamayo de Marjorie.
b.
Usa el método conjetura, verifica y mejora para calcular la edad del guacamayo. Verifica tu resultado con el enunciado original de Marjorie.
Considera la ecuación 3m 11 m 3. a.
Inventa un rompecabezas numérico que sea igual a la ecuación.
b.
Resuelve la ecuación y verifica que la solución es también la respuesta a tu rompecabezas.
Calcula una solución para cada ecuación. 11.
3.3h 7 2.801
12.
2l 4l 20
13.
j (3 2j) 1
14.
2 m2 m
15.
21 12 9 5
16.
143 (q 1) (q 1)
g
En los Ejercicios 17 a 19, indica si usarías vuelta atrás o el método conjetura, verifica y mejora para calcular una solución y explica tu selección. 17.
n2 n 30
18.
47(2v 3.3) 85 LECCIÓN 9.3
19.
s 17.5s 0.5
Conjetura, verifica y mejora 595
& amplía
Conecta
20.
Aisha y Terrell estaban jugando Piensa en un número. Terrell dijo: “Piensa en un número. Multiplica el número por 1 menor que sí mismo. ¿Qué número obtienes?” Aisha dijo que obtuvo 272. Terrell debe calcular el número inicial de Aisha. a.
¿Qué ecuación necesita resolver Terrell para calcular el número de Aisha?
b.
Usa el método conjetura, verifica y mejora para calcular el número de Aisha. Verifica tu respuesta siguiendo los pasos para verificar que obtienes 272.
21. Geometría
El ascensor en el edificio de departamentos de Rafael tiene un piso cuadrado con un área de 6 metros cuadrados.
a.
Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular las dimensiones del piso del ascensor.
b.
Usa el método conjetura, verifica y mejora para calcular las dimensiones del piso del ascensor en décimas de metro.
22. Ciencia física
Cuando se deja caer un cuerpo, la relación entre la distancia que cae el cuerpo y el tiempo que tarda en caer viene dada por la regla: d 4.9 t2
donde d es la distancia en metros y t es el tiempo en segundos.
596 C A P Í T U L O 9
a.
Jing dejo caer una pelota de un malecón. La pelota tardó 1.1 segundos en pegar con el agua. ¿Cuántos metros viajo la pelota?
b.
Un relámpago cae a 300 metros de profundidad en el pozo de una mina. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular cuánto tardo el relámpago en caer.
c.
Calcula cuánto tardó el relámpago en caer, en décimas de segundo.
Resuelve ecuaciones
23. Nutrición
Tres panecillos de arándano y una simple rosquilla tienen el mismo número de calorías que dos panecillos de arándano y una rosquilla con queso crema. Una rosquilla tiene 150 calorías y el queso crema le suma 170 calorías. ¿Cuántas calorías hay en un panecillo de arándano?
24. Sentido numérico
Esta fórmula n (n 1) S 2 se puede usar para calcular la suma S de los números enteros del 1 al 100: Por ejemplo, puedes usar la fórmula para hallar la suma de los números enteros de 1 a n: n (n 1) S 2 100 (100 1) 2 100 101 2 10,100 2 5,050
En t u s
propias
palabras
En este capítulo, aprendiste cómo resolver ecuaciones usando dos métodos: vuelta atrás y conjetura, verifica y mejora. Compara estos dos métodos y explica por qué es importante conocer varios métodos para resolver ecuaciones.
a.
Usa la formula para calcular la suma de los números enteros del 1 al 9. Verifica tu resultado al calcular 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
b.
Si la suma de los números de 1 a n es 6,670, ¿qué debe ser n?
c.
Si la suma de los números de 1 a n es 3,003, ¿qué debe ser n?
Para cada ecuación, usa el método conjetura, verifica y mejora para hallar la solución. 25.
x3 x 130
26.
4n4 48
27.
2a4 4a2 16
28.
1 c4 100
29. Geometría
El volumen de una figura tridimensional es la cantidad del espacio dentro de esta. El volumen se mide en unidades cúbicas, tales como centímetros cúbicos y pulgadas cúbicas. Puedes calcular el volumen V de un cilindro con radio r y altura h usando esta fórmula: V r2 h. a. Calcula el volumen de un cilindro con un radio de 2 centímetros y una altura de 5 centímetros. b. Un refresco tiene un volumen de 350 centímetros cúbicos y una altura de 15 centímetros. Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular su radio. c. Resuelve tu ecuación para calcular el radio de la lata en décimas de centímetro. LECCIÓN 9.3
Conjetura, verifica y mejora 597
Repaso mixto
Escribe cada fracción como un decimal sin usar una calculadora. 99 73 7 30. 31. 32. 150 90 18 78 4 63 33. 34. 35. 110 11 125 36. De los 80 acres en la granja de la Sra. McDonald, 28 acres se dedican al cultivo del maíz. ¿Qué porcentaje del área de la granja se dedica al maíz? 37.
De los animales en la granja de la Sra. McDonald, 12.5% son cabras. Si la Sra. McDonald tiene 7 cabras, ¿cuál es el número total de animales en su granja?
38.
En el mercado del granjero, la Sra. McDonald vendió 60% de las 42 libras de tomates que recogió la semana pasada. ¿Cuántas libras de tomates vendió en el mercado?
39. Ciencia física
Agua
La gráfica muestra el nivel de agua en una tina de baño en un periodo de una hora. Escribe una historia que explique todos los cambios en el nivel del agua.
Tiempo
598 C A P Í T U L O 9
Resuelve ecuaciones
Capítulo 9 V O C A B U L A R I O vuelta atrás ecuación flujograma conjetura, verifica y mejora enunciado abierto solución
Repaso& autoevaluación Resumen del capítulo Comenzaste este capítulo observando ecuaciones numéricas y desigualdades. Luego te ocupaste de ecuaciones que contienen variables. Aprendiste que el valor de una variable que hace una ecuación verdadera se llama solución de la ecuación. Viste que mientras muchas ecuaciones tienen sólo una o dos soluciones, algunas tienen todos los números como una solución y otras no tienen solución. Luego creaste flujogramas para representar reglas y viste como la técnica de vuelta atrás (trabajar al revés desde una salida usando un flujograma) se puede usar para resolver algunas ecuaciones. Luego te enfrentaste con ecuaciones que no podías resolver con la vuelta atrás y aprendiste cómo usar el método conjetura, verifica y mejora para resolverlas. También aprendiste algunas estrategias para determinar cuál método de solución usar para una ecuación determinada.
Estrategias y aplicaciones Las preguntas en esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas y estrategias importantes desarrolladas en este capítulo. Entiende ecuaciones y desigualdades 1.
Explica qué significan los símbolos , , y . Para cada símbolo, escribe un enunciado matemático verdadero que utilice ese símbolo.
2.
Da un ejemplo de un enunciado abierto y da un valor de la variable que haga verdadero tu enunciado.
3.
Explica por qué el enunciado P 5 P nunca es verdadero.
4.
Explica por qué el enunciado 2 (x 3) 2 x 2 3 siempre es verdadero.
Resuelve ecuaciones usando la técnica de vuelta atrás 5.
Resuelve esta ecuación creando un flujograma y usando la vuelta atrás: 4 9x 10 7 25 45 Explica cada paso en tu solución.
impactmath.com/chapter_test
Repaso autoevaluación 599
6.
La admisión al carnaval de la ciudad es de $4.50 por persona. Los paseos cuestan 75 centavos cada uno. Russ tiene $10 para gastar en el carnaval y quiere subirse en tantos paseos como sean posibles. a.
Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el número de los paseos r a los que Russ podría subirse.
b.
Resuelve tu ecuación con la vuelta atrás. ¿En cuántos paseos puede subirse Russ?
Resuelve ecuaciones usando el método conjetura, verifica y mejora 7.
8.
El jardín comunitario de Smallville se forma de 15 lotes cuadrados idénticos con un área total de 264.6 m2. a.
Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular la longitud lateral de cada lote.
b.
Resuelve tu ecuación usando el método conjetura, verifica y mejora. Traza una tabla para anotar tus conjeturas y los resultados. ¿Cuál es la longitud lateral de cada lote?
Un número multiplicado por 2 más que el número es 9 veces el número, más 8. a.
Escribe una ecuación que represente el rompecabezas numérico.
b.
Resuelve tu ecuación usando el método conjetura, verifica y mejora.
Escoge un método para resolver ecuaciones 9. 10.
600 C A P Í T U L O 9
Explica por qué podrías usar el método de vuelta atrás para resolver esta ecuación: (n 3.5) n 92. Indica cuál método de solución usarías para resolver la ecuación 6.34 10.97 y 208.188. Explica tu opción.
Resuelve ecuaciones
Demuestra destrezas Indica si cada enunciado es verdadero o falso. Si es falso, hazlo verdadero al cambiar un número o símbolo. 11.
(4 5) 6 24 30
12.
42 4 2
13.
30 (3 2) 30 3 30 2
14.
74156
Indica si cada ecuación es siempre verdadera, a veces verdadera o nunca verdadera y explica cómo lo sabes. 15.
c3 c c c
16.
n5n1
17.
x90
18.
2m 2m 0
20.
5 (4 y) 20 m (m 5) 336
1 3 19. 6p
1
Calcula una solución de cada ecuación. 21.
4.7x 12.3 42.85
22.
23.
5n 7 14
5(x 1) 24. 3
25.
6z 29 7 3z
26.
7.5
3b 4 7 10 11.2
Repaso autoevaluación 601