LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 – LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(x,y) a las coordenadas del punto genérico y aplicando analíticamente la propiedad que debe cumplir, se obtiene la ecuación de la figura geométrica.

9.2 – ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN Circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano X, cuya distancia al centro C es el radio r. d (X,C) = r

Si X(x,y) y C(a,b)  (x  a ) 2  ( y  b) 2  r  ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2 Desarrollando : x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 A  2a  x2 + y2 + Ax + By + C = 0 tal que B  2b C  a 2  b 2  r 2  Notas:  Hay que tener en cuenta que r2 debe ser mayor cero  Para poder aplicar lo anterior los coeficientes de x2 y de y2 deben ser 1. Si son distintos no es una circunferencia y si iguales pero distintos de 1 debemos dividir toda la ecuación entre dicho coeficiente antes de calcular el centro y el radio con las ecuaciones anteriores. POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA Dibujo

Resolviendo el sistema

Calculando distancias

Exterior

No existe solución

d(recta,centro)>radio

Tangente

Una solución

d(recta,centro)=radio

Secante

Dos soluciones

d(recta,centro) r)  Pot > 0 Si el punto es de la circunferencia (d = r)  Pot = 0 Si el punto es interior a la circunferencia (d < r)  Pot < 0 EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS: Se llama eje radical de dos circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas. El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea de los centros.

9.5 – ESTUDIO DE LA ELIPSE DEFINICIÓN Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante k  d(X,F) + d(X,F’) = k

CÓMO SE DIBUJA Se clavan dos estacas y con una cuerda tensa con extremos en dichas estacas se va dibujando la elipse. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

Focos : F y F’ Centro : O Semieje mayor : a = OA = OA’  Eje mayor : 2a = AA’ Semieje menor : b = OB = OB’  Eje menor : 2b = BB’ Semidistancia focal : c = OF = OF’  Distancia focal : 2c = FF’ La constante k = AF + AF’ = AF + FA’ = AA’ = 2a Además como B es un punto de la elipse: BF + BF’ = 2a y como BF = BF’  BF = a Por tanto aplicando Pitágoras se cumple que a2 = b2 + c2 y a > b, c EXCENTRICIDAD Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor e = c/a 01 A mayor excentricidad más plana es la hipérbola.

ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación de la hipérbola centrada en el origen y de eje mayor OX Aplicando la definición de hipérbola d(X,F) - d(X,F’) = 2a y la relación entre sus elementos c2 = a2 + b2: d((x,y),(c,0)) - d((x,y),(-c,0)) = 2a  (x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a  Despejando una raíz y elevando al cuadrado 

 (x  c)

2

 y2

  2a  2

( x  c) 2  y 2

  x – 2cx + c + y = 4a + x + 2xc + c + 2

2

2

2

2

2

y2 + 4a ( x  c) 2  y 2  Simplicando  -4cx – 4a2 = +4a ( x  c) 2  y 2  cx + a2 = -a ( x  c) 2  y 2  Elevando al cuadrado  c2x2 + 2cxa2 + a4 = a2(x2 + 2cx + c2 + y2)  Agrupando  c2x2 – a2x2 –a2y2 = a2c2 – a4  (c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 - a2)  x2 y2 b2x2 – a2y2 = a2b2  Dividiendo por a2b2  2  2  1 a b Ecuación de la hipérbola de centro el origen y de eje mayor OY x 2 y2  2  2 1 b a Ecuación de la hipérbola de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OX x   2  y  2  1 a2 b2 Ecuación de la hipérbola de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OY 

x   2  y  2 b2

a2

1

2

9.7 – ESTUDIO DE LA PARÁBOLA DEFINICIÓN Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fijo llamada directriz  d(X,F) = d(X,d) ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

F : Foco d : Directriz V : Vértice de la parábola p : Distancia del foco a la directriz EXCENTRICIDAD La excentricidad de una parábola es siempre 1 ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación reducida de la parábola de vértice el origen y directriz paralela al eje OX F (0,p/2) y d: y = - p/2  Aplicando la definición : d (X,F) = d(X,d)

x 2  ( y  p / 2) 2  y  p / 2  Elevando al cuadrado  x2 + y2 – py + p2/ 4 = y2 + py + p2/4  x2 = 2py Nota: Si la parábola se abre hacia abajo : x2 = -2py Ecuación reducida de la parábola de vértice el origen y directriz paralela al eje OY Si la parábola se abre hacia la derecha: Si la parábola se abre hacia la izquierda :

y2 = 2px y2 = -2px

Si está centrada en (,) Si la parábola se abre hacia la arriba: Si la parábola se abre hacia la abajo: Si la parábola se abre hacia la derecha: Si la parábola se abre hacia la izquierda:

(x - )2 = 2p(y-) (x - )2 = -2p(y - ) (y - )2 = 2p(x - ) (y - )2 = -2p(x - )

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 1 : Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P (1, 3), y que es tangente a la recta r : 4x  3y  1  0. Solución:  El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, P (1, 3), a la recta tangente, | 4 · 1  3 · 3  1 | | 4  9  1 | 12 r : 4x  3y  1  0: R  dist P, r    5 16  9 25 2

 12   La ecuación de la circunferencia será: x  12  y  32    ; es decir :  5 x  12  y  32  144  x 2  y 2  2x  6y  106  0  25x2  25 y2  50x 150y 106  0 25 25

EJERCICIO 2 : a) Calcula el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:2x2  2y2  8x  12y  24  0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 3, que es concéntrica con la anterior. Solución: a) Dividimos entre 2 la ecuación: x2  y2  4x  6y  12  0 4 6 Centro   ,   2, 3  2 2 Radio  2 2  3 2  12  4  9  12  1  1

b) Si tiene centro (2, 3) y radio 3, su ecuación será: (x  2)2  (y  3)2  9, es decir: x2  y2  4x  6y  4  0 EJERCICIO 3 : Estudia la posición relativa de la recta r : 2x  3y  5  0 y la circunferencia: x2  y2  6x  2y  6  0 Solución:  Hallamos en centro y el radio de la circunferencia: 6 2 Centro  C   ,   3, 1 2 2 Radio  R  9  1  6  4  2

 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, r  

| 2 · 3 3 · 1 5 |



49

| 6 3 5| 13



8

 2,22  2

13

Por tanto, la recta es exterior a la circunferencia. EJERCICIO 4 : a) Halla el centro y el radio de la circunferencia: x2  y2  2x  3  0 b) Estudia la posición relativa de la recta 2x  y  0 respecto a la circunferencia anterior. Solución: 2 0 a) Centro   ,   1, 0 2 2

Radio  12  0 2   3  1  3  4  2

b) Hallamos la distancia del centro a la recta dada: distancia 

2 · 1 0 4 1



2 5

 radio  Son secantes.

EJERCICIO 5 : Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 3x  4y  5  0 y cuyo centro es el punto C (2, 1). Solución:  El radio de la circunferencia es la distancia del centro a la recta dada: 3 · 2  4 · 1 5 645 7 Radio    5 9  16 25 49  La ecuación de la circunferencia es: x  22  y  12  , es decir : 25x2  25y2  100x  50y  76  0 25 EJERCICIO 6 : Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (2, 1), Q (3, 0) y R (0, 2). Solución: La ecuación de la circunferencia es x2  y2  Ax  By  C  0. Hallamos A, B y C teniendo en cuenta que P, Q y R satisfacen la ecuación, por ser puntos de la circunferencia: 4  1  2 A  B  C  0  2 A  B  C  5  A  3   9  0  3A  0  C  0  3A  C  9  B  7 Por tanto, la ecuación es: x2  y2  3x  7y  18  0   0  4  0  2B  C  0   2B  C  4 C  18 EJERCICIO 7 : Halla el valor de k para que la recta 3x  4y  k  0 sea tangente a la circunferencia x2  y2  4y  5  0. Solución:  Hallamos el centro y el radio de la circunferencia: 0 4 Centro   ,   0,  2 2 2  Radio  0  4   5  9  3

 Calculamos la distancia del centro a la recta dada: d 

3 · 0  4 ·  2  k



k 8

9  16  La recta es tangente a la circunferencia cuando: k  8  15  k  23 k 8  3  k  8  15   5 k  8  15  k  7

5

EJERCICIO 8 : Obtén el centro y el radio de la circunferencia cuyo centro está en la recta y  3x y que pasa por los puntos (3, 2) y (1, 4). Solución: Si tiene su centro en la recta y  3x, las coordenadas de este son C (x, 3x). La distancia de cada uno de los puntos dados al centro ha de ser igual (esta distancia es el radio de la circunferencia):

x  32  3x  22



x  12  3x  42

x2  6x  9  9x2  12x  4  x2  2x  1  9x2  24x  16  8x  4



x

4 1  8 2



y

3 2

1 3 El centro de la circunferencia es C  , . 2 2

El radio es : r  dist C, 3, 2

25 1   4 4

26 26  4 2

EJERCICIO 9 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,2) y B(1,4) y tiene su centro en la recta y  2x. Solución: Si tiene su centro en la recta y  2x, las coordenadas de este son C(x, 2x).

La distancia de A al centro ha de ser igual que la distancia de B al centro (esta distancia es el radio de la circunferencia): dist (A, C)  dist (B, C)  x  12  2x  22  x2  2x  1  4x2  8x  4  x2  2x  1  4x2  16x  16

x  12  2x  42

12x  12  x  1  y  2 El centro de la circunferencia es C(1, 2). El radio es: r  dist A, C  4  2 La ecuación será: (x  1) 2  (y  2) 2  4



x2  y2  2x  4y  1  0

EJERCICIO 10 : Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 3x  4y  5  0. Solución: El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada: 6  12  5 23 R  dist C, r   5 25 529 204 La ecuación será: x  22  y  32   x 2  y 2  4x  6 y  0 25 25 25x2  25 y2  100x 150y  204  0 EJERCICIO 11 : Obtén la ecuación de la circunferencia de radio 2 que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 2). Solución: El centro de la circunferencia pertenece a la mediatriz del segmento de extremos A(1, 0) y B(3, 2): 1 3 0  2   Punto medio de A y B  M   ,   2, 1 2   2 20 2  Pendiente de la recta que pasa por A y B  m   1 3 1 2 1 1  Pendiente de la mediatriz (perpendicular)    1 m 1  Ecuación de la mediatriz: y  1  1(x  2)  y  1  x  2  y  3  x Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(x, 3  x). La distancia del centro a los puntos A y B debe ser igual a 2: dist A, C  x  12  3  x 2  2 x2  2x  1  9  6x  x2  4  2x2  8x  6  0  x2  4x  3  0 4  16  12 4  4 4  2  x  3  y  0 x    2 2 2  x  1  y  2 Hay dos soluciones:  Centro (3, 0) y radio 2: (x  3)2  y2  4  x2  y2  6x  5  0  Centro (1, 2) y radio 2: (x  1)2  (y  2)2  4



x2  y2  2x  4y  1  0

EJERCICIO 12 : a) Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:2x2  2y2  8x  12y  8  0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 5, que es concéntrica a la del apartado anterior. Solución: a) 2x2  2y2  8x  12y  8  0



x2  y2  4x  6y  4  0

4 6 Centro   ,   2, 3 2 2

Radio  4  9  4  9  3 b) La circunferencia tiene radio 5 y centro (2, 3). Su ecuación será: (x  2) 2  (y  3) 2  25  x2  y2  4x  6y  12  0

EJERCICIO 13 : Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 4x  3y  25  0 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x  y  7  0 y 2x  3y  1  0. Solución: 3x  y  7  0  y  3x  7  2x  3y  1  0 2x  33x  7  1  0 2x  9x  21  1  0  11x  22  x  2 

Hallamos su centro:

y  1  El centro es C(2, 1).

El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente: 8  3  25 20 R  dist C, r    4 5 25 La ecuación será: (x  2)2  (y  1) 2  16  x2  y2  4x  2y  11  0 EJERCICIO 14 : Estudia la posición relativa de la recta r: 2x  y  1 y la circunferencia x2  y2  4x  2y  4  0. Solución:  Hallamos el centro y el radio de la circunferencia: 4 2 Centro  C   ,   2 , 1 2 2 Radio  R  4  1   4   9  3

 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, r 

2  2  1 1



4 1 Por tanto, la circunferencia y la recta son secantes. Se cortan en dos puntos.

4

 1,79  3  radio

5

EJERCICIO 15 : Halla la posción relativa de la recta 3x  4y  25  0 con respecto a la circunferencia x2  y2  25  0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas. Solución: Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema: 25  3x y  4 x  y  25  0  2 3x  4y  25  0  2  25  3x  x    25  0  4  2

x2 

2

625  150x  9x 2  25  0  16x 2  625  150x  9x 2  400  0  16

 25x 2  150x  225  0  x 2  6x  9  0  Se cortan en el punto (3, 4). Por tanto, son tangentes.

x  32  0

 x3  y4

EJERCICIO 16 : Obtén el valor de k para que la recta s: x  y  k  0 sea tangente a la circunferencia x2  y2  6x  2y  6  0. Solución:  Hallamos el centro y el radio de la circunferencia: x2  y2  6x  2y  6  0 6 2 Centro  C   ,    3,  1 2   2 Radio  r  9  1  6  4  2

 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, s  

 3 1  k



k4

2 2  Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio:

k4

2



2

 k 4  2 2  k  4 2 2  k4 2 2   k  4  2 2  k  4  2 2

Hay dos soluciones : k1  4  2 2 ;

k2  42 2

EJERCICIO 17 : Estudia la posición relativa de la recta y =

8  4x y la circunferencia x2  y2  12x  6y  200. 3

Solución:  Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:  12 6  Centro  C   ,   6, 3  2 2 Radio  r  36  9  20  25  5  Hallamos la distancia del centro a la recta dada: 24  9  8 8  4x 25  3y  8  4x  4x  3y  8  0  dist C, s     5  radio 3 5 25  Como la distancia del centro a la recta es igual al radio, la recta es tangente a la circunferencia. s:y 

EJERCICIO 18 : Halla la posición relativa de la recta r: x  y  2 con respecto a la circunferencia x2y22x4y 10 Solución:  Hallamos el centro y el radio de la circunferencia: 2  4 Centro  C   ,    1,  2 2   2 Radio  R  1  4  1  4  2

 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, r 

1  2  2 11



5

 3,53  2  radio

2

Por tanto, la recta es exterior a la circunferencia.

ELIPSE EJERCICIO 19 : Escribe la ecuación de la siguiente elipse y halla sus semiejes, sus focos y su excentricidad:

Solución:

x  32  y  2 2

1 9 4 Semieje mayor: 3; semieje menor: 2 Ecuación:







Focos : F 3  5 , 2 y F ' 3  5 , 2 Excentricidad:

5  0,75 3



EJERCICIO 20 : Halla los semiejes, los focos y la excentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación:

Solución: Semieje mayor: 4; semieje menor: 2



 

Focos : F 0, 12 y F' 0,  12

12  0,87 4

Excentricidad: Ecuación:



x2 y2  1 4 16

HIPÉRBOLA EJERCICIO 21 : Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:

Solución: Ecuación:

y2 x2  1 4 9

Semieje: 2







Focos : F 0, 13 y F ' 0,  13

Excentricidad:

Asíntotas: y 



13  1,8 2

2 x; 3

y

2 x 3

EJERCICIO 22 : Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola y halla sus semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:

Solución: Ecuación:

x2 y2  1 9 4

Semieje: 3







Focos : F 13 , 0 y F '  13 , 0 13  1,2 3

Excentricidad:

Asíntotas: y 



2 x; 3

y

2 x 3

PARÁBOLA EJERCICIO 23 : Halla el foco, la directriz y la ecuación de la siguiente parábola:

Solución: Directriz: x  1. Foco (1, 0). Ecuación: y2   4x

LUGARES GEOMÉTRICOS EJERCICIO 24 : Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r1: x  3y 1  0 y r2: 3x  y  4  0. Solución: Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que: x  3y  1 3x  y  4 dist (P, r1)  dist (P, r2), es decir:  10 10

Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r1 y r2. EJERCICIO 25 : Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y B(4, 1). Solución: Los puntos P(x,y) de la mediatriz cumplen que: dist (P, A)  dist (P, B), es decir: x  22  y  32  x  42  y  12 Elevamos al cuadrado en los dos miembros y operamos: x 2  4 x  4  y 2  6 y  9  x 2  8 x  16  y 2  2y  1 4 x  4y  4  0  x  y 1 0 Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.

RECOPILACIÓN EJERCICIO 26 : ¿Cuál es el lugar geométrico cuya suma de distancias a los puntos A(0, 1) y B(0, 1) es 8?. Halla su ecuación. Solución: Es una elipse de focos A y B y constante k  8. Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, A)  dist (P, B)  4, es decir: x 2  y  12  x 2  y  12  4 Elevamos al cuadrado y operamos para simplificar: x 2  y  12  4  x 2  y  12 x 2  y  12  16  x 2  y  12  8 x 2  y  12 x 2  y 2  2 y  1  16  x 2  y 2  2 y  1  8 x 2  y  12

8 x 2  y  12  4y  16 2 x 2  y  12  y  4





4 x 2  y 2  2y  1  y  42 4x 2  4 y 2  8y  4  y 2  8y  16 4x 2  3y 2  12. Dividimos entre 12 :

4x 2 3y 2 12   12 12 12



x2 y2   1. Es una elipse. 3 4

EJERCICIO 27 : Halla el lugar goemétrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. ¿De qué figura se trata? Solución: Es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 3. Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, Q)  3, es decir:

x  22  y  4 2  9

x  22  y  42 

 3. Elevamos al cuadrado y operamos :

x 2  y 2  4 x  8y  11  0

EJERCICIO 28 : Identifica y halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a la recta r1: x  y  1  0 sea igual que su distancia a la recta r2: 2x  2y  4  0. Solución: Las dos rectas dadas, r1: x  y  1  0 y r2: x  y  2  0, son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas:

Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: x  y 1 xy2 dist (P, r1)  dist (P, r2), es decir:  2 2

Observamos que la recta obtenida es paralela a r1 y r2.

EJERCICIO 29 : Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(2, 1) y B(6, 1). Interpreta la figura que obtienes. Solución: Para que el triángulo sea rectángulo en P, se ha de cumplir que:

2  x, 1  y   6  x, 1  y 0

PA  PB  PA  PB  0 

2  x  6  x  1  y 2  0  12  2x  6 x  x 2  1  y 2  2y  0 x 2  y 2  4x  2 y  11  0 ; es decir :

x  22  y  12  16 Obtenemos una circunferencia de centro (2, 1) (que es el punto medio del segmento AB) y de radio 4. EJERCICIO 30 : Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(4, 0) y B(4, 0) es 40. Identifica la figura resultante. Solucion: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que:

dist P, A 2  dist P, B2  40 ; es decir : x  42  y 2  x  42  y 2  40 x 2  8x  16  y 2  x 2  8x  16  y 2  40 2x 2  2 y 2  8 x 2  y2  4 Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.

EJERCICIO 31 : Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta x  2. Identifica la figura que obtienes. Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist  P, A  3 dist  P, x  2 , es decir :



x  12  y 2

 3 x  2 . Elevamos al cuadrado y operamos :



x 2  2x  1  y 2  9 x 2  4x  4 ¡

x 2  2x  1  y 2  9 x 2  36x  36 8x 2  y 2  34x  35  0 . Es una hipérbola.

EJERCICIO 32 : Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que: dist P , A  2, siendo A 1, 0  y r : y  4 dist P , r  ¿Qué figura obtienes? Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist  P, A   2, es decir : dist  P, A  2  dist  P, r  dist  P, r 

x  12  y 2

 2  y  4 . Elevamos al cuadrado y operamos :



x 2  2x  1  y 2  4 y 2  8y  16



x 2  2x  1  y 2  4y 2  32 y  64 x 2  3y 2  2x  32 y  63  0 . Es una hipérbola.

EJERCICIO 33 : Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a A(2, 0) sea el doble de la distancia a B(1, 0). Identifica la figura resultante. Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:

x  2 2  y 2

dist  P, A  2  dist  P, B , es decir :



x 2  4x  4  y 2  4 x 2  2x  1  y 2 2

2

2

x  4 x  4  y  4 x  8x  4  4 y

 2 x  12  y 2 . Elevamos al cuadrado y operamos :



2

3x 2  3y 2  12x  0 x 2  y 2  4x  0

x  22  y 2  4 . Es una circunferencia de centro  2, 0 y

radio 2.

EJERCICIO 34 a) Describe la siguiente cónica y represéntala gráficamente: 16x2  y2  16 b) ¿Cuáles son sus focos? Solución: x2 y 2  1 1 16 Es una elipse de semiejes 1 y 4. Su gráfica es:

a) 16 x 2  y 2  16 

b) Puesto que a 2  b 2  c 2 , a 2  16 y b 2  1  c   15









Los focos son F 0, 15 y F ' 0,  15 .

EJERCICIO 35 a) Identifica la siguiente cónica y represéntala: 4y2  x2  4 b) ¿Cuáles son sus focos? Solución: y 2 x2  1 1 4 Es una hipérbola, cuya gráfica es:

a) 4y 2  x 2  4 

b) Como c 2  a 2  b 2 , y a  1 y b  2  c 2  5  c   5

 





Los focos son F 0, 5 y F ' 0,  5 .

EJERCICIO 36 : Identifica la siguiente cónica y represéntala: 9x2  25y2  225 Solución: x2 y 2  1 25 9 Es una elipse de semiejes 5 y 3. Su gráfica es: 9 x 2  25 y 2  225 

EJERCICIO 37 : Obtén la ecuación de la cónica cuya gráfica es:

Solución: Observamos que la ecuación es de la forma: Como las asíntotas son y  

Así, la ecuación será:

x2 a2



y2 b2

 1; y que a  3.

2 x y a 3  b2 3

x2 y2  1 9 4

EJERCICIO 38 : Describe la siguiente cónica y represéntala: 36x2  4y2  144 Solución: x2 y2  1 4 36 Es una elipse se semiejes 2 y 6. Su gráfica es: 36x 2  4y 2  144



EJERCICIO 39 : Escribe la ecuación de la siguiente cónica:

Solución: Es una elipse de centro (3, 4) y semiejes 3 y 1. Su ecuación será:

x  32  y  42 9

1

1

EJERCICIO 40 : Identifica la siguiente cónica y represéntala gráficamente: 4y2  9x2  36 Solución: 4y 2  9x 2  36



y2 x2   1. Es una hipérbola, cuya gráfica es: 9 4

EJERCICIO 41 : Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos y represéntalas: a) 4x2  25 y2  100 b) 4y2  x2  4 Solución: a) 4x 2  25y 2  100 

x2 y2  1 25 4

Semieje mayor: 5  Semieje menor: 2   Es una elipse : Focos : F 21, 0 y F'  21, 0    21  0,92 Excentricidad  5 



 



x2 1 4 Semieje: 1  Focos : F 0, 5 y F' 0,  5    Es una hipérbola :  5  2,24 Excentricidad  1    1 1 x Asíntotas: y  x ; y  2 2  b) 4y2  x 2  4



y2 



 



EJERCICIO 42 : Identifica las siguientes cónicas, dibújalas y halla sus focos y su excentricidad: x  22  y 2  1 x2 y2 a) b)  1 16 4 25 49 Solución: a) Es una hipérbola de centro P(2, 0).







Los focos son: F 2  2 5 , 0 y F ' 2  2 5 , 0



2 5 5   1,12 4 2 1 1 Las asíntotas son : y  x  2 ; y  x  2 2 2 La excentricidad es: e 

b) Es una elipse de centro C(0,0) Semieje mayor: 7  Semieje menor: 5   Es una elipse : Focos : F 0, 24 y F' 0,  24    24  0,7 Excentricidad  7 



 



EJERCICIO 43 : Identifica las siguientes cónicas, dibújalas y halla sus focos y su excentricidad: x  22  y 2  1 x2 y2 a) b)  1 16 4 25 49 Solución: a) Es una hipérbola de centro P(2, 0).







Los focos son: F 2  2 5 , 0 y F ' 2  2 5 , 0

La excentricidad es: e 

Las asíntotas son : y 



2 5 5   1,12 4 2

1 x  2 ; 2

y

1 x  2 2

b) Es una elipse de centro C(0,0) Semieje mayor: 7  Semieje menor: 5   Es una elipse : Focos : F 0, 24 y F' 0,  24    24  0,7 Excentricidad  7 



 



EJERCICIO 44 : Identifica estas cónicas, halla sus elementos y dibújalas: 2 x 2 y  1 a)  1 b) y 2  4 x  0 36 25 Solución: a) Es una elipse de centro P(0, 1). Semieje mayor: 6; semieje menor: 5



 



Focos : F 11, 11 y F'  11, 1 11  0,55 6

Excentricidad:

b) y2  4x  0

y2  4x



Vértice: 0, 0  Es una parábola : Foco: 1, 0  Directriz: x  1

EJERCICIO 45 : Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas y represéntalas gráficamente: y 2 x2 a)  1 b) 25 x 2  100 y 2  2 500 4 9 Solución: a) Es una hipérbola. Semieje: 2



 

Focos: F 0, 13 y F' 0,  13

Excentricidad:

Asíntotas: y 



13  1,8 2

2 x; 3

y

b) 25x 2  100 y 2  2 500

2 x 3



x 2 y2  1 100 25

 Semieje mayor: 10 ; semieje menor: 5    Es una elipse : Focos: F 5 3 , 0 y F'  5 3 , 0    5 3 Excentricidad : 10  0,87 



 



EJERCICIO 46 : Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos y represéntalas gráficamente: x  12  y  22  1 a) b) y 2  9 x 2  9 16 9 Solución: a) Es una elipse de centro P(1, 2). Semieje mayor: 4; semieje menor: 3



 

Focos : F 1  7 , 2 y F' 1  7 , 2

Excentricidad:



7  0,66 4

y2 x 2  1 9 1 Semieje: 3  Focos : F 0, 10 y F' 0,  10   Es una hipérbola:   10  1,05 Excentricidad  3  Asíntotas: y  3x ; y  3x  b) y2  9x 2  9





 



CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS EJERCICIO 1 : Clasificar las siguientes cónicas: (Circunferencia, elipse, hipérbola, parábola, no es una cónica) 1) 2x2 + 3y2 = 1 2) (x-2)2 + (y-3 )2 = -1 3) Uno de sus focos es F(4,5) y su excentricidad es e = 2/3 4) Uno de sus focos es F(4,5) y su excentricidad es e = -2/3 5) y2 - 4y - x + 3= 0 EJERCICIO 2 : a)

Ecuación de la cónica concéntrica con la hipérbola de ecuación

x  22  y  32 9

4

 1 cuyo eje mayor mide 10 unidades de

longitud y cuya excentricidad es 4/10. b) Calcular sus vértices y sus focos. c) Dibujarla. CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 3 : Hallar la ecuación de la circunferencia: a) Cuyo centro es C(0,0) y pasa por el punto P(-3,4) b) Cuyo centro es C(2,-3) y pasa por el punto P(1,4) e) Que tiene por diámetro el segmento MN siendo M(-3,-3) y N(3,3) d) Tiene por diámetro el segmento PQ siendo P(-6,6) y Q(2,0) e) Cuyo centro es (-1,4) y es tangente al eje de abscisas f) Cuyo centro es (2,0) y es tangente a la recta x - y + 4 = 0 g) Que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x + y + 1 =0, x+3y+3 =

0 y su radio es 5.

EJERCICIO 4 : Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta x+2y=0 y pasa por los puntos P(4,3) y Q(O, 1) EJERCICIO 5 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,5) y B(4,6) y cuyo centro está situado en la recta 2x + 3y - 8 = 0 EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la circunferencia de radio 4 y concéntrica con x2 + y2 + 2x + 10 y + 17 = 0 EJERCICIO 7 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(-3,-2), N(4,5), P(-2,5) EJERCICIO 8 : Halla las posiciones relativas de las recta y circunferencias siguientes: a) x2 + y2 - 4x - 1 = 0 2x - y – 4 = 0 b) x2 + y2 - 2x + 3y + 2 = 0 2x + y - 3 = 0 EJERCICIO 9 : a) Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,0) y B(0,3) y cuyo centro se encuentra en la recta 5x - 3y 2=0 b) Posición de la recta 2x + y = 1 respecto a dicha circunferencia. EJERCICIO 10 : Calcular la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm. y es concéntrica con: x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = 0 EJERCICIO 11 : a) Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en la bisectriz del primer cuadrante y su radio mide 2. 2 b) Calcular la posición de la recta y = -x -8 respecto de dichas circunferencias. EJERCICIO 12 : Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 y que es tangente a la recta 3x + 4y - 17 = 0 EJERCICIO 13 : Dada la ecuación de la circunferencia C : x2 + y2 - 4x - 4y - 1 = 0 y de la recta s: x + y = 1. Se pide: a) Posición relativa de la recta s respecto de la circunferencia C. b) Calcular las ecuaciones de la recta tangentes a la circunferencia C que sean paralelas a la recta s. c) Hallar la ecuación de la circunferencia que sea concéntrica con la circunferencia C y sea tangente a la recta s.

ELIPSE EJERCICIO 14 : Hallar la ecuación de las elipses centradas en el origen: a) Cuyo eje mayor es 10 y un vértice del eje menor es B(0,4) b) Cuya excentricidad es e = 12/13 y el eje menor es 10 c) Cuya distancia focal es 4 v la suma de distancias de un punto cualquiera a los focos es 8 d) Sabiendo que A(0,5) y F(0,4) e) Sabiendo que pasa por el punto (0,4) y el semieje mayor es 5 f)

Sabiendo que pasa por los puntos (2+ 3 ,4) y (3,3+ 2 )

EJERCICIO 15 : Determinar las coordenadas de los focos y de los vértices, la excentricidad y representarlas y su centro. a)

x2 y2  1 100 36

d) 2x2 + y2 = 4

x2 y2  1 25 16 2 x 2 y  1 e)  1 9 25

b)

c) x2 + 4y2 = 1 f)

x  12  y  32 4

9

1

EJERCICIO 16 : Hallar la ecuación de una cónica, centrada en el origen, de eje mayor OX, que pasa por el punto P(1,2) y su excentricidad vale 1/2. EJERCICIO 17 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(-5,0) y F(5,0) y su eje menor mide 2 cm. Calcular su ecuación. EJERCICIO 18 : Sea una elipse centrada en el origen de eje mayor el eje de abscisas, cuya excentricidad 1/2 y la suma de distancias a dos puntos fijos 8. Calcular: a) Su ecuación b) Dibújala y calcula las coordenadas de sus vértices y focos. EJERCICIO 19 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(5,-I) y F(5,5) y su eje menor mide 2 cm. a) Calcular su ecuación. b) Hallar las coordenadas de sus vértices, la ecuación de sus ejes, su excentricidad y dibujarla. HIPÉRBOLA EJERCICIO 20 : Calcular la ecuación de una cónica centrada en el origen, si la diferencia de distancias a un punto fijo es 10 y su foco es F(6,0). EJERCICIO 21 : Hallar la ecuación de la hipérbola, centrada en el origen, cuya distancia focal es 10 cm y uno de sus vértices es B(0,4). Calcular su excentricidad y las coordenadas de los focos y de los restantes vértices. Dibujarla. EJERCICIO 22 : Escribir las ecuaciones de las hipérbolas siguientes: a) Su centro Q-3,0), F(2,0) e = 5/4 b) Sus vértices son A(6,2), A’(-2,2) y su distancia focal es 10 c) a = 8, C(2,-3), B'(-4,-3) EJERCICIO 23 : Determinar las coordenadas M centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las hipérbolas: a)

( x  1) 2 ( y  3) 2  1 9 4

b) 9(y-1)2 – 25x2 = 144

EJERCICIO 24 : a) Calcular la ecuación de la hipérbola cuyo centro está en el punto (3, 1) y dos de sus vértices son A(3,4) B(5, 1) b) Calcular la excentricidad c) Calcular el resto de los vértices y los focos. PARÁBOLA EJERCICIO 25 : Escribir las ecuaciones de las siguientes parábolas y representarlas.. a) Vértice (2,-2) y directriz y = -5 b) Foco (6, 1) y vértice V(2, 1) c) Directriz x = 0, vértice V(3,2) d) Vértice V(-1,3) y foco (-1,8) EJERCICIO 26 : Dada la parábola cuyo foco es F(2,-I) y cuyo vértice es (2,-3) a) Calcular su ecuación b) La ecuación de la directriz

c) La ecuación del eje.