ESCALA CONCEPTO DE ESCALA El dibujo técnico, empleado tanto en la ingeniería como en la arquitectura, tiene como finalidad representar objetos en una hoja o lámina de dibujo, para su diseño, especificación, construcción y mantenimiento. Dichos objetos tienen, por lo regular, dimensiones mayores que las de la hoja de papel en el que se les desea representar, por lo cual se presenta la necesidad de reducir proporcionalmente todas las dimensiones lineales del citado objeto, de manera que pueda hacerse con claridad. A la proporción que guardan las dimensiones del objeto representado en la lámina de dibujo con respecto a sus dimensiones reales es lo que se conoce con el nombre de Escala. La definición que se establece en la norma NOM – Z – 6 Dibujo técnico – Escalas (NOM, de las siglas en español de Norma Oficial Mexicana), en concordancia con la norma internacional ISO 5455 (ISO, de las siglas en inglés de International Organization for Standarization), Technical drawings – Scales (Dibujos técnicos - Escalas), es: “Escala: razón de la dimensión lineal de un elemento de un objeto como está representado en el dibujo original a la dimensión lineal real del mismo elemento de dicho objeto”. Nótese que el primer término de la razón, o numerador, se relaciona con la longitud dibujada del objeto, mientras que el segundo término de la razón, o denominador, lo hace con su longitud real. Según el mismo documento citado, se establecen tres tipos de escalas: 

escala natural, que se emplea cuando las dimensiones del dibujo son iguales a las del objeto representado y, por lo tanto, con razón 1:1;



escala de ampliación, que se usa cuando se requiere amplificar las dimensiones del objeto real al ser representado en el dibujo, y su razón es mayor que 1:1. Se dice que es mayor conforme dicha razón se incrementa;



escala de reducción, que se aplica cuando se necesita disminuir proporcionalmente las medidas lineales del objeto real al representarlo en la lámina de dibujo, y en la que su razón es menor que 1:1. Se dice que es menor en la medida en que la citada razón se decrementa.

La designación completa de una escala deberá consistir de la palabra “ESCALA” seguida de la indicación de su razón: ESCALA 1:1 para la escala natural, ESCALA X:1, para la escala de ampliación, y ESCALA 1:X para la escala de reducción, donde X deberá ser preferentemente un número entero. Debido a la amplia aceptación que ha tenido en el mundo el uso del Sistema Internacional de Unidades, conocido simplemente como Sistema Internacional o SI, en todo este libro se

adoptará como unidad de longitud al metro (símbolo m), así como el milímetro (símbolo mm) y el kilómetro (símbolo km) como su submúltiplo y su múltiplo, respectivamente, de conformidad con las normas NOM – Z – 1 Sistemas de Unidades e ISO 1000, SI units and recommendations for the use of their multiples and of certain other units (Unidades SI y recomendaciones para el uso de sus múltiplos y de otras unidades adecuadas). Aquí cabe destacar que el SI ha sido aceptado incluso por los Estados Unidos de América, en donde su aplicación práctica ha costado mucho tiempo y grandes esfuerzos, al grado de que a la fecha aún no se ha podido consolidar. Conviene hacer notar que la escala empleada en el dibujo técnico se designa con una razón adimensional, lo que implica que para su interpretación, las dimensiones del dibujo y del objeto real deberán establecerse con la misma unidad de medida. De aquí que también se le conozca como escala numérica. Por ejemplo, si un dibujo está trazado a escala 1:5, se puede interpretar que cada unidad dibujada representa 5 unidades reales, es decir, que cada 1 mm dibujado representa 5 mm reales, o bien, que cada 1 m dibujado representa 5 m reales. Ejemplo En la Figura 1 se muestra el segmento AB que representa el largo total de una máquina que está dibujada a escala 1:20. Determine la longitud real correspondiente.

Figura 1 Segmento AB que representa el largo total de una máquina cuya longitud dibujada es 76 mm. Una forma sencilla de resolver el problema es estableciendo una regla de tres: la razón 1:20 es como la longitud dibujada (símbolo Ld) mostrada es a la longitud real (símbolo Lr) que representa, es decir, 1 : 20 :: 76 mm : Lr. La respuesta es 1520 mm, equivalente a 1.520 m. Nota: Por lo regular, las reglas métricas con las que se cuenta están graduadas en centímetros. EJERCICIOS Problema: Determine la longitud dibujada que represente a escala 1:500 el largo de un puente que tiene 56.500 m de longitud. Respuesta Procediendo con base en una regla de tres, se puede escribir 1 : 500 :: Ld : 56.500 m. Por lo tanto, la respuesta es que la longitud dibujada del puente será de 113 mm. Problema: En el plano de una casa-habitación dibujada a escala 1:75, la fachada está representada por el segmento CD, como se muestra en la Figura 2. Determine su longitud real.

Figura 2 Segmento CD que representa el largo de la fachada de una casa-habitación cuya longitud dibujada es de 116 mm. Respuesta Dado que la longitud dibujada de la fachada es de 116 mm, por medio de la siguiente regla de tres, 1 : 75 :: 116 mm : Lr, se obtiene la respuesta de 8.700 m que es la longitud real de dicha fachada. Problema: En la Figura 3 se muestra la proyección horizontal de una sección de uno de los pisos de un edificio de oficinas, en la que se puede verificar que la distancia entre columnas es de 7.50 metros. Como se puede observar, la medida dibujada de dicha distancia es de 37.5 mm. Determine a qué escala está dibujado el plano.

Figura 3 Proyección horizontal de una sección de uno de los pisos de un edificio de oficinas. Respuesta

Con base en la definición de escala (numérica), se puede afirmar que la escala deberá ser la proporción entre 37.5 mm y 7.50 m, es decir, escala 37.5 mm : 7.50 m. Al dividir dicha proporción entre 37.5 mm (ambas medidas para que la proporción no se altere), la escala queda 37.5 mm/37.5 mm : 7.50 m/37.5 mm, y por tanto, escala 1 : 200.

USO DEL ESCALÍMETRO El escalímetro es un instrumento que tiene por objeto simplificar el proceso de empleo de la escala en la elaboración e interpretación de planos usados en la ingeniería y en la arquitectura. Por lo regular tienen forma de barra con sección triangular, de 300 mm de longitud útil, y que por lo tanto cuentan con seis escalas diferentes. Todas las escalas de los escalímetros del sistema métrico están graduadas en metros, a menos que claramente esté indicada la unidad de medida. El escalímetro está construido de tal manera que se pueda leer directamente en él, la longitud real que representa un segmento dibujado a la escala indicada. Así, para el caso del segmento EF mostrado en la Figura 4, que tiene una longitud dibujada de 48 mm, representa 4.800 m de longitud real a escala 1:100, valor que se puede comprobar al plantear la regla de tres 1 : 100 :: 48 mm : Lr, del cual se obtiene como resultado una longitud real de 4800 mm, es decir, 4.800 m.

Figura 4 Segmento EF que representa 4.800 m a escala 1:100. Si este mismo segmento EF se mide con la escala 1:20 del escalímetro, ahora la lectura será de 960 mm, la cual se puede verificar al resolver la siguiente regla de tres 1 : 20 :: 48 mm : Lr (ver Figura 5).

Figura 5 Segmento EF que representa 960 mm a escala 1:20. De manera similar, el mismo segmento EF representará 2.400 m a escala 1:50, resultado que puede obtenerse al plantear la regla de tres 1 : 50 :: 48 mm : Lr (ver Figura 6).

Figura 6 Segmento EF que representa 2.400 m a escala 1:50. Asimismo, si se mide el multicitado segmento EF con la escala 1:25 del escalímetro, aquél representará 1.200 m de longitud real, como puede observarse en la Figura 7. También para este caso se puede verificar el resultado a partir de la regla de tres 1 : 25 :: 48 mm : Lr.

Figura 7 Segmento EF que representa 1.200 m a escala 1:25. De la misma manera como se procedió en los párrafos anteriores, se puede comprobar que el mismo segmento EF representará 6 m a escala 1:125, y 3.600 m a escala 1:75. No siempre será posible encontrar la escala requerida en el escalímetro, por ejemplo la escala 1:5000, pero en la mayoría de los casos esta escala será submúltipla o múltipla decimal de alguna existente, en este caso la escala 1:50, y con ella se podrá obtener el resultado con solo multiplicar la lectura realizada en el escalímetro por un factor decimal. Para deducir el valor de dicho factor, se determinará la longitud real que representa el segmento EF con 48 mm de longitud dibujada a escala 1:5000: estableciendo la regla de tres correspondiente, 1 : 5000 :: 48 mm : Lr, se obtiene que la longitud real será de 240 000 mm, es decir, 240 m. El segmento EF medido con la escala 1:50 del escalímetro proporciona la lectura de 2.400 m, como se muestra en la Figura 8, por lo que, en este caso, el factor decimal buscado será de 100, puesto que 240 m es 100 veces 2.400 m.

Figura 8 Segmento EF que medido con la escala 1:50 proporciona una lectura de 2.400 m, representa 240 m a escala 1:5000. Se puede observar que el citado factor de 100 se puede determinar a partir de la proporción existente entre el denominador de la escala requerida, en este caso 5000, con el denominador de la escala existente, en este ejemplo 50.

Por lo tanto, para efectuar la lectura con una escala que sea submúltipla o múltipla decimal de otra con la que se cuente en el escalímetro, será suficiente con agregar, o quitar, el número de ceros que tenga de más, o de menos, el denominador de la escala deseada con respecto a la escala que se tenga en el escalímetro. Aquí conviene hacer notar que quitar ceros equivale a mover el punto decimal a la izquierda, tantos lugares como ceros se requiera quitar. Por ejemplo, a escala natural 1:1, el segmento EF se podrá medir empleando la escala 1:100, y a la lectura obtenida se le moverá el punto decimal dos lugares a la izquierda; como se muestra en la Figura 9, la lectura es de 4.800 m, por lo que el resultado a escala 1:1 será de 0.048 m, es decir, 48 mm, que es justo lo que mide dicho segmento.

Figura 9 Segmento EF medido con la escala 1:100 proporciona una lectura de 4.800 m; a escala natural, 1:1, representa 48 mm. Con base en este último resultado, se puede establecer que es posible usar la escala 1:100 como una regla común, con solo cambiar la unidad de medida a centímetros, en lugar de metros. Los pasos para leer correctamente el escalímetro están listados a continuación. Se empleará una línea GH, con una longitud dibujada de 32 mm, con fines demostrativos. Se mostrarán varias ilustraciones para cada conjunto de casos. Conjunto 1 La escala 1:100 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:100, 1:1000, 1:10 000, 1:100 000, 1:10, 1:1, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por ejemplo, 1:10’000 000. Para la escala 1:100, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3.200 m (ver Figura 10).

Figura 10 El segmento GH representará 3.200 m a escala 1:100. Para la escala 1:1000, el 1 representa 10 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 1 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 32 m (ver Figura 11).

Figura 11 El segmento GH representará 32 m a escala 1:1000. Para la escala 1:10 000, el 1 representa 100 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 10 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 320 m (ver Figura 12).

Figura 12 El segmento GH representará 320 m a escala 1:10 000. Para la escala 1:100 000, el 1 representa 1000 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3200 m (ver Figura 13).

Figura 13 El segmento GH representará 3200 m a escala 1:100 000. Para la escala 1:10, el 1 representa 0.100 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.010 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.320 m, es decir, 320 mm (ver Figura 14).

Figura 14 El segmento GH representará 320 mm a escala 1:10. Para la escala 1:1, el 1 representa 0.010 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.001 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.032 m, es decir, 32 mm (ver Figura 15).

Figura 15 El segmento GH representará 32 mm a escala 1:1. Resumen Escala

Respuesta

1:100 1:1000 1:10 000 1:100 000 1:10 1:1

3.200 m 32 m 320 m 3200 m 0.320 m = 320 mm 0.032 m = 32 mm

Conjunto 2 La escala 1:20 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:20, 1:200, 1:2000, 1:20 000, 1:200 000, 1:2, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por ejemplo, 1:20’000 000. Para la escala 1:20, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.100 m y las subdivisiones de éstas últimas 0.020 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.640 m, es decir, 640 mm (ver Figura 16).

Figura 16 El segmento GH representará 640 mm a escala 1:20. Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente. Escala

Respuesta

1:20 1:200 1:2000 1:20 000 1:200 000 1:2

0.640 m = 640 mm 6.400 m 64 m 640 m 6400 m 0.064 m = 64 mm

Conjunto 3 La escala 1:125 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:125, 1:1250, 1:12 500, 1:125 000, 1:12.5, 1:1.25, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por ejemplo, 1:12’500 000. Para la escala 1:125, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 4 m (ver Figura 17).

Figura 17 El segmento GH representará 4 m a escala 1:125. Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente.

Escala

Respuesta

1:125 1:1250 1:12 500 1:125 000 1:12.5 1:1.25

4m 40 m 400 m 4000 m 0.400 m = 400 mm 0.040 m = 40 mm

Ejemplo Determinar la longitud real que representa el segmento IJ mostrado en la Figura 18, a escala 1:75000.

Figura 18 Problema de ejemplo de uso del escalímetro. A escala 1:75 000, el segmento IJ representa una longitud real de 3300 m. EJERCICIOS Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 (Figura 19).

Figura 19 Problema de uso del escalímetro. Respuesta La longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 es de 0.210 m, es decir, 210 mm. Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento MN a escala 1:25 000 (Figura 20).

Figura 20 Problema de uso del escalímetro.

Respuesta A escala 1:25 000, la longitud real que representa el segmento MN es de 600 m.

1

TEMA 1

FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS GRÁFICO

Geometría formal Definición de geometría Geometría es la parte de la matemática que estudia los problemas de forma, medida y posición de elementos geométricos, así como las relaciones entre ellos, por medio de procedimientos específicos. Para entender mejor este concepto se requiere tener idea de lo que son los elementos geométricos, así como de lo referente a su forma, medida y posición. Son elementos geométricos, por ejemplo: el punto, el ángulo, las figuras planas, y los poliedros; dentro de ellos, se consideran como los básicos: a)

b)

el punto que, como ente geométrico, no tiene forma ni medida; sólo tiene posición con respecto a algún marco de referencia como los ejes cartesianos; la línea, cuya forma puede ser recta, curva, quebrada o mixta y su medida es la longitud;

c) la superficie, que puede ser plana, cilíndrica o esférica, y a cuya medida se denomina área (conviene hacer énfasis que superficie es el nombre del elemento geométrico, y área es su medida; es incorrecto usarlos como sinónimos);

d)

el cuerpo, que puede ser una pirámide triangular, un cono circular recto o un dodecaedro regular siendo el volumen su medida geométrica.

Y para concluir la explicación de términos involucrados en el concepto de geometría, se puede comentar que las relaciones que pueden existir entre elementos geométricos son, por ejemplo, la distancia entre dos puntos, el ángulo que existe entre dos rectas, o bien, la semejanza de dos figuras planas. Se puede clasificar a la geometría, según su campo de estudio, en: 1.

plana;

2.

espacial;

y según el procedimiento que se use para la resolución de los problemas, en: a)

analítica, que se apoya en el álgebra y el cálculo;

b)

descriptiva, que emplea procedimientos de tipo gráfico basados en la teoría de proyecciones;

c)

formal, que aplica conceptos creados en la mente (entes formales).

Conviene aclarar que esta clasificación no pretende ser la ideal, sino que se propone con fines explicativos y didácticos. En las siguientes líneas se intentará desarrollar lo que aquí se denomina geometría formal, de manera que, con base en el análisis, se vayan descubriendo los conceptos, las definiciones y las proposiciones que se requieren estudiar para lograr cumplir con un objetivo importante de la enseñanza del dibujo técnico, que a la letra dice: "que el alumno emplee los conceptos fundamentales de la geometría plana básica para la resolución de problemas de

2 ingeniería utilizando los instrumentos y métodos adecuados; ..."

Demostración de algunos fundamentales del triángulo

teoremas

El estudio de la geometría formal tiene sus orígenes en la obra clásica de Euclides (Los Elementos, s. III a. C.), que fue el primer tratado de matemáticas demostrativas que registró la historia, y que aún en nuestros días sigue vigente, sobre todo por el método que emplea para el desarrollo de su trabajo. Dicho método es, poco más o menos, lo que actualmente se conoce como método axiomático, que consiste en establecer, previamente a todo razonamiento, aquellas proposiciones, llamadas axiomas, que necesariamente se admiten sin demostración, para deducir de ellas, sin otro recurso que la lógica, todo el conjunto de proposiciones del sistema (en este caso, el geométrico). Aquí cabe mencionar que el método axiomático no es exclusivo de la geometría formal, sino que, en general, se aplica para el estudio de cualquier otra rama de la matemática. Las proposiciones del sistema que no son axiomas se denominan teoremas, los cuales deben deducirse por medio de la lógica a partir de los axiomas y/o proposiciones previamente demostradas. También será necesario establecer definiciones, tan clara y exactamente como sea posible, aunque, de la misma manera que para las proposiciones, se emplearán los términos más sencillos y fundamentales de la geometría sin intentar definirlos, y a los cuales se les denominará términos no definidos, como lo son el punto, la recta y el plano, así como relaciones geométricas no definidas, tales como las relaciones de congruencia, semejanza y equivalencia, entre otras. Una definición es simplemente una convención, un cambio de palabras, que se establece con el propósito de abreviar la exposición, sin introducir ningún concepto nuevo. Por ejemplo, para evitar referirse al conjunto formado por tres puntos no colineales y los segmentos de recta determinados por cada pareja de dichos puntos, a este concepto se le define como triángulo (conviene hacer notar que

previamente se requiere definir lo que es un segmento de recta). Al sistema de términos, conceptos, relaciones y proposiciones establecidos y/o deducidos por medio de la aplicación del método axiomático se le llama sistema axiomático. Todo sistema axiomático debe cumplir con las siguientes características: a)

debe estar completo, es decir, que los axiomas establecidos deben ser suficientes para obtener a todas las demás proposiciones del sistema;

b)

debe ser consistente, lo que indica que no se deben incluir dos proposiciones que se contradigan entre sí; y

c)

debe cumplir con la condición de independencia, que se refiere a que ningún axioma sea deducible de otros axiomas.

Para ejemplificar las características anteriores se desarrollará una analogía con un sistema de ecuaciones del álgebra que, aunque no tiene relación con el método axiomático, sí logra ilustrar adecuadamente las características mencionadas, como se presenta a continuación.

3 Sea la ecuación x + 2y = 5; como sistema de ecuaciones estaría incompleto para ser compatible determinado; si se le agregara la ecuación 2x + 4y = 9, el sistema así formado sería incompatible, puesto que no tiene solución (sería inconsistente); y, por último, si la segunda ecuación fuese 3x + 6y = 15, esta ecuación sería linealmente dependiente de la primera, por lo cual tampoco tendría solución única. Entonces, un sistema de ecuaciones compatible determinado deberá conformarse por el número de ecuaciones que garantice la obtención de una solución única (el sistema debe estar completo), que ninguna de las ecuaciones del sistema contradiga a cualquier otra (el sistema debe ser consistente), y que todas las ecuaciones del sistema sean linealmente independientes. Con respecto a la razón por la cual son necesarias las demostraciones para el estudio fundamentado de la geometría, se puede mencionar la vigencia en todas las ramas de la ciencia de lo que se denomina Ley de la razón suficiente, la cual establece que toda aseveración que se haga debe estar bien fundada, es decir, presentarse con argumentos lo suficientemente fuertes que apoyen su veracidad (que concuerde con los hechos y con la realidad). A continuación se presenta una construcción lógica del sistema axiomático de una parte de la geometría plana relacionada con el triángulo, partiendo de los términos no definidos, las relaciones no definidas y los axiomas, y con base en las ideas de Hilbert sobre las demostraciones de los teoremas, según las cuales no se considera válido para éstas el movimiento de los entes geométricos, tal como lo hizo Euclides en su obra. Se considerarán que son conocidos los conceptos de punto, línea, recta, superficie, plano y cuerpo, y se tratarán de explicar algunas relaciones no definidas por medio de lo que se denominarán definiciones descriptivas.

1. 2. 3. 4. 5.

incidencia de dos elementos geométricos coincidencia congruencia (símbolo:  ) semejanza (símbolo: ~ ) equivalencia (símbolo: = )

Definición descriptiva. Se dice que un punto incide en una línea si dicho punto está contenido en ella. Definición descriptiva. Se dice que una línea incide en una superficie si la línea está completamente contenida en la superficie mencionada, es decir, todos los puntos de la línea están contenidos en dicha superficie. Definición descriptiva. Se dice que dos elementos geométricos son coincidentes si cada punto de uno de ellos ocupa el mismo lugar que el del punto correspondiente al otro. Definición descriptiva. Se dice que dos elementos geométricos son congruentes si ambos tienen la misma forma y la misma medida. Definición descriptiva. Dos elementos geométricos son semejantes si tienen la misma forma. Definición descriptiva. Dos elementos geométricos son equivalentes si tienen la misma medida. Axioma 1. Dos puntos diferentes determinan una recta y sólo una (A: recta). Definición 1. Si A y B son dos puntos sobre una recta r, entonces el segmento AB (denotado por AB o BA ), es el conjunto compuesto por los puntos A, B, y todos los puntos de r que estén entre A y B. A estos puntos se les denomina extremos del segmento (símbolo: ). Definición 2. Si tres o más puntos diferentes tienen la propiedad de estar sobre la misma recta, entonces se dice que dichos puntos son colineales.

Términos no definidos 1. punto (símbolo: · ) 2. línea 3. recta (símbolo:  ) 4. superficie 5. plano 6. cuerpo Relaciones no definidas

Definición 3. Sean O y A dos puntos sobre una recta r. El conjunto formado por O y todos los puntos de r que están del mismo lado de A con respecto a O se llama semirrecta. El punto O se denomina vértice de la semirrecta (símbolo:  ). Definición 4. El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo vértice se llama ángulo

4 (símbolo: