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(SISTEMAS DE NUMERACION)

SISTEMAS DE NUMERACION

 

INTRODUCCION El número de dígitos de un sistema de numeración es igual a la base del sistema. Sistema

Base

Dígitos del sistema

Binario Octal Decimal Hexadecimal

2 8 10 16

0 ,1 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.

Cada dígito dentro de un número tiene un valor absoluto y un valor relativo. El valor absoluto es el valor asignado a cada dígito, y el mismo es constante. Ejemplo: Dígitos 1 5 9

Valor absoluto 1 5 9

El valor relativo, es un valor variable que depende de la posición del dígito dentro del número, y de la base del sistema de numeración. Existiendo la siguiente relación entre valor absoluto y valor relativo. Valor Relativo = (Valor Absoluto) x (Base del sistema) (Posición del dígito)

Ejemplo: 97810 Base del sistema de numeración = 10 Dígitos 8 7 9

Valor absoluto

Posición

8 7 9

0 1 2

Valor relativo 8 70 900

1

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Ejemplo: 10112 Base del sistema de numeración = 2 Dígitos 1 1 0 1

Valor absoluto

Posición

Valor relativo

1 1 0 1

0 1 2 3

1 2 0 8

2

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1.1. SISTEMA BINARIO El sistema binario es aquel en el cual los números se representan con dos cifras o dígitos. Estos son el 0 y el 1. A las cifras de un número binario se las denomina bit. Un bit es una celda individual de memoria donde solo puede haber en cada momento uno de los dos estados posibles, representados normalmente con símbolos 0 y 1. Por tanto es usual decir que el número binario 101110 tiene 6 bits. Los valores posicionales de un número en el sistema binario son potencias de dos. Recordemos que un número decimal representa en realidad una suma, por ejemplo: 4

3

8

0

4x103

+

3x102

+

8x101

+

4000

+

300

+

80

+

0x100 0

147210 = 1000 + 400 + 70 + 2 = 1x1000 + 4x100 + 7x10 + 2 = 1x103 + 4x102 + 7x101 + 2x100

Como podemos ver, en este número, el dígito menos significativo (dígito más a la derecha) está multiplicado por la base del sistema elevado a la potencia cero, a continuación, el dígito que le sigue multiplicado por la base del sistema elevado a la primera potencia, a continuación el dígito que le sigue multiplicado por la base del sistema elevado a la segunda potencia y así sucesivamente. Aplicando la expresión anterior a cualquier número de cualquier base se obtendrá como resultado el equivalente del número en el sistema decimal. Para convertir un número binario a decimal, sumamos el producto de cada una de las cifras del mismo por el factor 2n, donde n es la posición de la cifra considerada empezando por la derecha y comenzando la cuenta por 0, es decir, n puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, ............

3

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Ejemplo: Convertir el número binario 101110101 a decimal 1011101012 = 1x28 + 0x27 + 1x26 + 1x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 Por lo tanto el número 1011101012 = 37310 Ejemplo: Covertir el número 1011012 a decimal Podemos utilizar el método general visto anteriormente, o bien lo podemos realizar por Rufini. 1 2 1

0

1

1

0

1

2

4

10

22

44

2

5

11

22

45

Por lo tanto el número 1011012 = 4510

4

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1.2. SISTEMA OCTAL Como su nombre lo indica, la base fija de este sistema es el 8, por tal motivo posee 8 dígitos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ejemplo: Sea el número 5768. Aplicando la expresión general, tenemos que: 5768 = 5 x 82 + 7x81 + 6x80 = 5 x 64 + 7 x 8 + 6 x 1= 320 + 56 + 6 = 38210

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1.3. SISTEMA HEXADECIMAL El sistema hexadecimal, tiene como base del mismo 16, y como es un sistema de base fija, también tiene 16 dígitos que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

DÍGITOS HEXADECIMALES

0 1 2 3 4 5 6 7

VALORES ABSOLUTOS

DÍGITOS HEXADECIMALES

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 A B C D E F

VALORES ABSOLUTOS

8 9 10 11 12 13 14 15

La siguiente tabla expresa una serie de números decimales y su equivalente hexadecimal DEC-HEX 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F 16 10

DEC-HEX 17 11 18 12 19 13 20 14 21 15 22 16 23 17 24 18 25 19 26 1A 27 1B 28 1C 29 1D 30 1E 31 1F 32 20

6

DEC-HEX 33 21 34 22 35 23 36 24 37 25 38 26 39 27 40 28 41 29 42 2A 43 2B 44 2C 45 2D 46 2E 47 2F 48 30

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Analicemos el siguiente ejemplo en el sistema hexadecimal 7E316 . 7E316 = 7x162 + Ex161 + 3x160 = 7x256 + 14x16 + 3x1 = 1792 + 224 + 3 = 201910 Como en los casos anteriores, al aplicar la expresión general de un número de base fija, el resultado obtenido es el número en el sistema decimal. Ejemplo: Convertir al sistema decimal los siguientes números. a ) 111012

b ) 57628

c ) 37A16

a ) 111012 = 1 x 24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1x16 + 1x8 + 1x4 + 0 + 1x1 = 2910 b ) 57628 = 5 x 83+ 7x82+ 6 x81+ 2x80= 5x512 + 7x64 + 6x8 + 2x1 = 305810 c) 37A16 = 3x162 + 7x161 + Ax160 = 3x256 + 7x16 + 10x1 = 768 + 112 + 10 = 89010

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1.4.

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CONVERSION DEL HEXADECIMAL

SISTEMA

DECIMAL

A

BINARIO,

OCTAL

Y

Para la conversión de un número del sistema decimal a los sistemas binarios, octal y hexadecimal, es necesario la división del número decimal de forma sucesiva entre la base a la que se quiere convertir el número. Los restos obtenidos, junto con el cociente de la última división, son los dígitos del número en la nueva base.

Ejemplo: Convertir al sistema binario el siguiente número 22510 225 2 1 112 2 12 56 2 0 16 28 0 0

2 14 0

2 7 1

2 3 1

2 1

Por lo tanto, el número 22510 = 111000012 Darse cuenta, que el último cociente es el dígito más significativo, y que el número se ordena como indica la flecha; de tal forma que, el primer resto es el dígito menos significativo del número en la nueva base. Ejemplo: Convertir al sistema octal el siguiente número 42710 427 8 27 53 3 5

8 6

Por lo tanto, el número 42710 = 6538 Ejemplo: Convertir al sistema hexadecimal el siguiente número 67510 675 16 35 42 3 10

16 2

Por lo tanto, el número 67516 = 2A316 8

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1.5. CONVERSION OCTAL A BINARIO La conversión de un número del sistema octal al binario, es muy sencilla puesto que 8 es una potencia de 2, así tenemos que 8 = 23, esto permite escribir los dígitos octal en su equivalente binario como sigue : Octal 0 1 2 3

Binario 000 001 010 011

Octal 4 5 6 7

Binario 100 101 110 111

De forma práctica, podemos plantear que, para convertir un número octal a su equivalente binario, basta con escribir por cada dígito octal su equivalente de tres dígitos binarios como en la tabla anterior y después de hacer esto agruparlos.

Ejemplo: Convertir el número 3758 a binario. De acuerdo con la tabla de equivalencias Octal-Binario vista anteriormente, tenemos que: 38 = 0112

78 = 1112

58 = 1012

Por lo tanto, 3758 = 0111111012

9

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1.6. CONVERSION HEXADECIMAL A BINARIO La conversión de un número del sistema hexadecimal al sistema binario, es también muy sencilla y similar a la conversión octal-binario, con la particularidad en este caso, de que la base 16 también es una potencia de dos (16 = 24), lo que permite escribir los dígitos del sistema hexadecimal en su equivalente binario como sigue.

HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7

BINARIO HEXADECIMAL BINARIO 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

8 9 A B C D E F

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Ejemplo: Convertir el siguiente número hexadecimal a su equivalente binario. 7A316 316 = 00112 A16 = 10102 716 = 01112 Por tanto: 7A316 = 0111101000112

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1.7. CONVERSION BINARIO A OCTAL Para convertir un número binario al sistema octal, se toma el número binario y se divide en grupos de tres dígitos, comenzando la división por la derecha y hacia la izquierda, si al último grupo le faltan dígitos binarios para completar tres, se le añaden ceros y por último, se sustituye cada grupo por su equivalente octal.

Ejemplo : Convertir al sistema octal el número binario 110101112 110101112 Æ 011 010 111 se le añade el 0 para completar los tres dígitos. 0112 = 38

0102 = 28

1112 = 78

110101112 = 3278

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1.8. CONVERSION BINARIO A HEXADECIMAL Para convertir un número del sistema binario al sistema hexadecimal, se procede de forma similar que para la conversión del sistema binario al octal, pero en este caso el número binario en vez de agruparlo en grupos de tres dígitos se agrupan cada cuatro dígitos binarios, comenzando siempre por la derecha, y completando con ceros si le falta algún dígito al último grupo.

Ejemplo: Convertir el siguiente número binario 100001101112 a su equivalente en el sistema hexadecimal. 100001101112 Æ 0100 0011 0111 se le añade el 0 para completar los 4 dígitos. 01002 = 416

00112 = 316

01112 = 716

100001101112 = 43716

Ejemplo: Convertir el siguiente número binario 101011010110102 a su equivalente en el sistema hexadecimal 101011010110102 = 0010 1011 0101 1010 00102 = 216 10112 = B16 01012 = 516 10102 = A16 101011010110102 = 2B5A16

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1.9. SUMA EN EL SISTEMA BINARIO En el sistema binario, solo tenemos dos dígitos. A los dígitos del sistema binario le llamamos bit. Veamos la siguiente tabla, en la que planteamos la suma de todas las combinaciones posibles de dos dígitos binarios A y B. Tabla de la suma binaria Dec. 0 1 2 3

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Suma A +B Acarreo 0 0 1 0 1 0 0 1

A y B sumandos . Como podemos observar en la tabla anterior, la suma de las tres primeras combinaciones no ofrecen dificultades, pero la cuarta es el resultado de la suma de 1+1, que es igual a la base del sistema, (210 =102 ), por tal razón el resultado de la suma es igual a 0 y se produce un acarreo a la siguiente posición, o sea: 1 1 +1 0 Ejemplo: Sumar en el sistema binario. 1

1 1 a) 1100 b) 1010 +1011 +1011 10111 10101 En el caso de sumar dos números binarios, se puede presentar la situación de tener que sumar el acarreo, en una posición donde haya dos dígitos iguales a 1; veamos como resolver este caso.

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Ejemplo: 11 11 +11 110 En este ejemplo, sumamos los dos primeros 1 y el resultado como ya sabemos es igual a 0, y se produce un acarreo a la siguiente posición, en la siguiente posición tenemos que sumar ahora tres 1¿Cómo resolvemos este caso?. Primero sumamos dos 1 y obtenemos como resultado parcial 0 en esa posición, y un acarreo a la posición siguiente, y por último sumo el 0 obtenido, con el 1 que me quedaba en esa posición, obteniéndose como resultado final un 1 en esa posición, y un acarreo a la posición siguiente.

Ejemplo: Sumar 14 y 57 en base 10 y pasarlo a binario 1410 5710

000011102 001110012

7110

010001112

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1.10. RESTA EN EL SISTEMA BINARIO Al igual que la suma, la resta binaria, es más simple que la decimal, por el hecho de tener solamente dos dígitos el sistema binario. Veamos a continuación, la siguiente tabla que refleja todas las combinaciones posibles de la resta de dos dígitos binarios. A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A-B Préstamo 0 0 1 1 1 0 0 0

A : minuendo

B : sustraendo

Como podemos ver, de la tabla anterior, las combinaciones 1, 3 y 4 son muy sencillas, por ser el sustraendo igual o menor que el minuendo, esto hace posible el proceso de la resta binaria sin ninguna dificultad. Pero como vemos, en la segunda combinación, el minuendo es menor que el sustraendo y esto dificulta el proceso de la resta binaria, pues es necesario, en tal caso, pedir un uno prestado a la posición siguiente para poder efectuar la resta binaria. Ejemplo: 1101 - 111 110

Ejemplo: Realizar la siguiente resta en binario 111001101 - 101110111 001010110

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1.11. CODIGOS BINARIOS El sistema binario recibe el nombre de código binario natural. No obstante, existen sistemas digitales en los que se utilizan otros códigos binarios diferentes del binario natural debido a sus características peculiares.

1.11.1. CODIGO BCD El código BCD (Decimal Codificado en Binario), consiste en una forma de representar los números decimales con cuatro dígitos binarios o bits por cifra. El código más utilizado es el BCD 8421 o BCD simplemente. En este código cada cifra decimal se representa por cuatro dígitos binarios. Como con estos cuatro dígitos se pueden representar números del 0 al 15, lo que se hace es no tener en cuenta las representaciones del 10 al 15. Por ejemplo, si queremos representar en BCD el número 37, convertimos cada cifra decimal en su número binario equivalente.

DEC. 3 7

BINARIO 0011 0111

y después agrupamos los números, obteniendo el 001101112 = 3710 Números binarios como por ejemplo el 10011100 no corresponde al código BCD, pues aunque la primera cifra (1001) es un 9, la segunda cifra (1100) corresponde al 12, el cual no es una cifra del 0 al 9.

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1.11.2. CODIGO GRAY Es un código continuo porque las combinaciones correspondientes a números decimales consecutivos son adyacentes (se denominan combinaciones binarias adyacentes a aquellas combinaciones que difieren solamente en un bit). Además, es un código cíclico porque la última combinación es adyacente a la primera. En la tabla siguiente se presenta este código para cuatro bits.

DEC. 0 1 2 3 4 5 6 7

COD. GRAY 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100

DEC. 8 9 10 11 12 13 14 15

1.11.3. CODIGO BCD EXCESO DE TRES

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COD. GRAY 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000