Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Aproximaciones y errores de redondeo

Solución Tarea de Aproximaciones y errores de redondeo 1. Calcula el error absoluto y el error relativo si p = e y p * = 2.718 donde p * es el valor calculado. Solución: valor real = e valor calculado = 2.718 Error absoluto : valor calculado E a = valor real − valor calculado valor real 2.718 Ea = = 2.718281828 E a = e − 2.718 = 2.81828459 × 10 − 4 e Error relativo : Ea =

Er =

error absoluto valor verdadero

Er =

2.718281828 = 0.3678423998 e

Er =

valor real − valor calculado

Er =

valor real e − 2.718281828 e

= 1.036 × 10 − 4

2. Determina el mayor intervalo en que debe de estar p * para aproximar p = e con un error relativo a lo sumo de 10 −3 . Solución: Er =

valor real ± valor calculado valor real

10 −3 =

π × 10

e± p

−3

*

e = e ± p*

p * = e ± e × 10 −3 = 2.715563547 = 2.71100011 p * = [2.715563547, 2.72100011]

NGJ/v06

Unidad II

1

Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Aproximaciones y errores de redondeo 1 3 3 (i) en forma exacata, (ii) mediante una + − 3 11 20 aritmética de truncamiento a tres cifras y (iii) con una aritmética de redondeo a tres cifras. Calcula los errores relativos.

3. Realiza la operación:

1 3 Exacata 0.333333333 truncamiento 0.333 redondeo 0.334 Error realtivo 0.001 truncamiento exacto − truncado

3 11 0.27272727 0.273 0.273 0.002

3 20

0

1 3 3 + − 3 11 20 0.45606061 0.456 0.457 0.0023235588

0

0.0020598

0.15 0.150 0.150

exacto

Error relativo redondeo exacto − redondeado

0.002

0.001

exacto

4. Utilizando una aritmética de redondeo a tres cifras, calcula el error absoluto y el error relativo con el valor exacto determinado a por los menos cinco cifras: 22 π− 7 1 17 Solución 22 π− 7 1 17 Valor exacto -0.021496318 Redondeo a tres cifras -0.022 Error relativo 0.023431104 exacto − redondeado Truncado a tres cifras

-0.021

exacto Error relativo exacto − truncado

0.023088492

exacto

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Unidad II

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Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Aproximaciones y errores de redondeo 1 con un valor de x cercano a noventa grados. 1 − senx ¿Cómo se puede evitar la resta de dos números casi iguales en el denominador? Al hacer el cálculo en la calculadora o en la computadora, ¿muestra mensaje de overflow? Solución 1 En la calculadora: = 9.433665734 porque 1 − sen(89.99999999999) sen(89.9999999999 99) no es uno.

5. Evalúa la expresión

6. El error de propagación ∈ f se calcula ∈ f = f (a * ) − f (a) donde a * es el valor calculado. Se desea evaluar la función f ( x) = e −5 x en el punto x = 1.0 , sin embargo, si el valor de x se calculó en un paso previo con un pequeño error del 10% más ( x * = 1.01 ); determina el error de propagación ∈ f y compara los resultados de f (1) vs. f (1.01) para después calcular los errores relativo y absoluto. Solución f ( x) = e −5 x

f (1.0) = 6.737946999 × 10 −3

f (1.01) = 6.409333446 × 10 −3

∈ f = 6.409333446 × 10 −3 − 6.737946999 × 10 −3 = −3.286135528 × 10 −3 6.737946999 × 10 −3 = 1.051271096 6.409333446 × 10 −3 E a = 6.737946999 × 10 −3 − 6.409333446 × 10 −3 = 0.3317 × 10 −3 Ea =

Er = Er

NGJ/v06

6.737946999 × 10 −3 − 6.409333446 × 10 −3

6.737946999 × 10 −3 porcentual = 4.88%

Unidad II

= 0.0488

3

Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Aproximaciones y errores de redondeo 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando dos cifras decimales para guardar los resultados intermedios y finales. 20.56 x + 21.2 y = 2.24 12.5 x + 14.236 y = 1.25 y determina el error cometido. La solución exacta (redondeada a cinco cifras) es x = 0.174027559448 y y = −0.0650003466 7 Solución

20.56 x + 21.2 y = 2.24 12.5 x + 14.236 y = 1.25 x = 0.19 y = −0.08 para x Ea = Er =

0.174027559448 = 0.91 0.19 0.174027559448 − 0.19

0.174027559448 E r porcentual = 9%

NGJ/v06

= 0.09

para y − 0.06500034667 Ea = = 0.81 − 0.08 − 0.06500034667 + 0.08 Er = = 0.23 − 0.06500034667 E r porcentual = 23%

Unidad II

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Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Aproximaciones y errores de redondeo

ln(e a ) − a prob8

e ln a − a

prob9

prob8

doble presición

0.2 0.00025463 0.25 0.00036554 1 -0.00101873 1.25 -0.00098042 1.8 0.00086113 2.5 0.00055846 3.14159 0.00082595 0.008205 0.00129233

0 -3.44719E-07 0 0 0 0 0 -3.08811E-07

doble presición

-0.00049988 0 0 0 0 0 0.0021741 0.00042282

a −a

( a)

−a

prob11

prob10

prob11

doble presición

0.2 0.25 1 1.25 1.8 2.5 3.14159 0.008205

0 0 0 0 0 0 0 0

1.13523E-07 4.80274E-08 0 4.71295E-08 2.05126E-07 1.16643E-07 -2.81357E-07 -4.70779E-08

2

2

prob10

prob9

0 0 0 0 0 0 0 0

doble presición

-0.00095886 0 0 0.00123133 -0.00141668 0.00203405 0.00171817 -0.00020039

-8.88162E-08 0 0 -1.36653E-07 4.71295E-08 3.39434E-07 1.23963E-07 3.94846E-08

12. Lee los capítulos de la parte uno: Modelos, computadoras y análisis del error, del libro de texto y contesta las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la diferencia entre solución analítica y solución numérica? La solución analítica establece un comportamiento, esto es, una función; la solución numérica determina el valor de una condición. b. ¿Cómo se emplean las leyes de la conservación para desarrollar modelos matemáticos de los sistemas físicos? Cambio = incremento - decremento NGJ/v06

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Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Aproximaciones y errores de redondeo c. Explica que es un diseño modular y un diseño top-down Diseño modular: dividir una tarea en partes más accesibles: de particular a general. Diseño top-dow: algoritmo que desarrolla de lo general a lo particular. d. Define las reglas para la programación estructurada La programación estructurada se basa en una metodología de desarrollo de programas llamada refinamientos sucesivos: Se plantea una operación como un todo y se divide en segmentos más sencillos o de menor complejidad. Una vez terminado todos los segmentos del programa, se procede a unificar las aplicaciones realizadas por el pool de programadores. Si se ha utilizado adecuadamente la programación estructurada, esta integración debe ser sencilla y no presentar problemas al integrar la misma, y de presentar algún problema, será rápidamente detectable para su corrección. La representación grafica de la programación estructurada se realiza a través de diagramas de flujo o flow chart, el cual representa el programa con sus entradas, procesos y salidas. e. Explica: cifra significativa, exactitud, presición. Exactitud es capacidad para acercarse a la magnitud real y precisión es la capacidad de realizar medidas similares. Cifra significativa es el valor que marca la precisión o exactitud de un resultado. f. ¿Cuál es la diferencia entre error relativo verdadero, error relativo aceptable y error relativo aproximado? El error relativo verdadero es la diferencia absoluta entre el valor real y el valor calculado, el aceptable es el rango de error que se permite en un cálculo y el aproximado es el error calculado en base a valores supuestos al no tener un valor real. g. ¿Cómo, la representación de los números en la computadora, induce a errores de redondeo en los cálculos? Debido al tamaño de almacenaje de las variables. h. ¿Cuál es la diferencia entre presición simple y presición extendida? El doble de posiciones para cifras significativas i. ¿Cuál es la relación que existe entre diferencias finitas divididas y las derivadas? Finitas es un cálculo numérico, derivadas es un modelo matemático. j. ¿Por qué los errores se propagan al calcular las funciones? Debido a que se redondea o se trunca la sucesión de cálculos que dependen de un cálculo anterior. k. ¿Qué es estabilidad y condición? Estabilidad es un valor aceptable de una condición. Condición es un rango

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