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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Fracciones, Decimales, Redondeo Carlos A. Rivera-Morales

´ Algebra

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Tabla de Contenido Objetivos Fracci´on Aritm´etica Clasificaci´on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´on de Fracciones M´aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´on con N´ umeros Decimales Redondeo

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica clasificaci´on de fracciones

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica clasificaci´on de fracciones fracciones equivalentes

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica clasificaci´on de fracciones fracciones equivalentes simplificaci´on de fracciones

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica clasificaci´on de fracciones fracciones equivalentes simplificaci´on de fracciones m´aximo com´ un divisor

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica clasificaci´on de fracciones fracciones equivalentes simplificaci´on de fracciones m´aximo com´ un divisor forma decimal de una fracci´ on

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica clasificaci´on de fracciones fracciones equivalentes simplificaci´on de fracciones m´aximo com´ un divisor forma decimal de una fracci´ on operaciones con n´ umeros decimales

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos: Discutiremos: fracci´on aritm´etica clasificaci´on de fracciones fracciones equivalentes simplificaci´on de fracciones m´aximo com´ un divisor forma decimal de una fracci´ on operaciones con n´ umeros decimales redondeo Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracci´ on Aritm´ etica: Definici´ on: Una fracci´ on aritm´ etica o fracci´ on com´ un es a una expresi´on de la forma , donde a y b son n´ umeros enteros, b con b 6= 0. El n´ umero a es el numerador de la fracci´on y b es el denominador.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracci´ on Aritm´ etica: Definici´ on: Una fracci´ on aritm´ etica o fracci´ on com´ un es a una expresi´on de la forma , donde a y b son n´ umeros enteros, b con b 6= 0. El n´ umero a es el numerador de la fracci´on y b es el denominador. Nota: Una fracci´on se puede interpretar como una:

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracci´ on Aritm´ etica: Definici´ on: Una fracci´ on aritm´ etica o fracci´ on com´ un es a una expresi´on de la forma , donde a y b son n´ umeros enteros, b con b 6= 0. El n´ umero a es el numerador de la fracci´on y b es el denominador. Nota: Una fracci´on se puede interpretar como una: 1

parte de un todo

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracci´ on Aritm´ etica: Definici´ on: Una fracci´ on aritm´ etica o fracci´ on com´ un es a una expresi´on de la forma , donde a y b son n´ umeros enteros, b con b 6= 0. El n´ umero a es el numerador de la fracci´on y b es el denominador. Nota: Una fracci´on se puede interpretar como una: 1

parte de un todo

2

medida

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracci´ on Aritm´ etica: Definici´ on: Una fracci´ on aritm´ etica o fracci´ on com´ un es a una expresi´on de la forma , donde a y b son n´ umeros enteros, b con b 6= 0. El n´ umero a es el numerador de la fracci´on y b es el denominador. Nota: Una fracci´on se puede interpretar como una: 1

parte de un todo

2

medida

3

divisi´on entre dos n´ umeros enteros( Rivera-Morales, Carlos A.

a = a ÷ b, b 6= 0). b

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Definiciones: 1 Una fracci´ on positiva es propia si su numerador es menor que su denominador.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Definiciones: 1 Una fracci´ on positiva es propia si su numerador es menor que su denominador. 2 Una fracci´ on positiva es impropia si su numerador es mayor o igual que su denominador.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Definiciones: 1 Una fracci´ on positiva es propia si su numerador es menor que su denominador. 2 Una fracci´ on positiva es impropia si su numerador es mayor o igual que su denominador. Toda fracci´ on impropia se puede expresar como un n´ umero entero o un n´ umero mixto. Un n´ umero mixto es una combinaci´ on de un n´ umero natural m´ as una fracci´on propia.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: Clasifique cada una de las siguientes expresiones como un n´ umero entero, una fracci´ on propia, una fracci´on impropia, un n´ umero mixto o una expresi´ on no definida.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: Escriba cada fracci´ on como un n´ umero mixto.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracciones Equivalentes: a c Las fracciones y con equivalentes si representan el mismo b d n´ umero racional.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracciones Equivalentes: a c Las fracciones y con equivalentes si representan el mismo b d n´ umero racional. a c Notas: Dos fracciones y son equivalentes, denotado por b d a c = , si: b d

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracciones Equivalentes: a c Las fracciones y con equivalentes si representan el mismo b d n´ umero racional. a c Notas: Dos fracciones y son equivalentes, denotado por b d a c = , si: b d el producto cruzado a × d = b × c

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracciones Equivalentes: a c Las fracciones y con equivalentes si representan el mismo b d n´ umero racional. a c Notas: Dos fracciones y son equivalentes, denotado por b d a c = , si: b d el producto cruzado a × d = b × c a÷b=c÷d

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Fracciones Equivalentes: a c Las fracciones y con equivalentes si representan el mismo b d n´ umero racional. a c Notas: Dos fracciones y son equivalentes, denotado por b d a c = , si: b d el producto cruzado a × d = b × c a÷b=c÷d

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: Determine si las fracciones dadas son equivalentes. Use el m´etodo del producto cruzado.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: Determine si las fracciones dadas son equivalentes. Use el m´etodo de la divisi´ on.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Nota: Se pueden construir fracciones equivalentes a una fracci´on dada multiplicando o dividiendo numerador y denominador por un mismo n´ umero racional 6= 0. M´ etodos para construir fracciones equivalentes: a a×c 1 M´ etodo 1: = , c 6= 0 b b×c a a÷c 2 M´ etodo 2: = , c 6= 0 b b÷c

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: Escriba, por lo menos, tres fracciones equivalentes a la fracci´on dada usando el m´etodo 1.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: Escriba fracciones equivalentes a la fracci´on dada usando el m´etodo 2.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicio: Escriba los n´ umeros que faltan para que las fracciones sean equivalentes. Use el m´etodo n´ umero 1.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicio: 1. Escriba los n´ umeros que faltan para que las fracciones sean equivalentes. Use el m´etodo n´ umero 2.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Forma m´ as Simple o Reducida de una Fracci´ on Definici´ on: Una fracci´ on est´ a es su forma m´ as simple o reducida si el n´ umero entero positivo mayor que divide tanto el numerador como el denominador es 1. Esto es, el numerador y el denominador son relativamente primos. Ejemplos: Las siguientes fracciones est´ an en su forma m´as simple o reducida:

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Forma m´ as Simple o Reducida de una Fracci´ on Definici´ on: Una fracci´ on est´ a es su forma m´ as simple o reducida si el n´ umero entero positivo mayor que divide tanto el numerador como el denominador es 1. Esto es, el numerador y el denominador son relativamente primos. Ejemplos: Las siguientes fracciones est´ an en su forma m´as simple o reducida: 7 1 25

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Forma m´ as Simple o Reducida de una Fracci´ on Definici´ on: Una fracci´ on est´ a es su forma m´ as simple o reducida si el n´ umero entero positivo mayor que divide tanto el numerador como el denominador es 1. Esto es, el numerador y el denominador son relativamente primos. Ejemplos: Las siguientes fracciones est´ an en su forma m´as simple o reducida: 7 1 25 14 2 15 Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas M´ etodos para simplificar una fracci´ on: 1 Mediante divisi´ on repetida de factores o divisores comunes del numerador y el denominador.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas M´ etodos para simplificar una fracci´ on: 1 Mediante divisi´ on repetida de factores o divisores comunes del numerador y el denominador. Ejemplo:

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas M´ etodos para simplificar una fracci´ on: 1 Mediante divisi´ on repetida de factores o divisores comunes del numerador y el denominador. Ejemplo:

2

Dividiendo el numerador y el denominador de la fracci´on entre su m´aximo com´ un divisor (MCD).

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas M´ etodos para simplificar una fracci´ on: 1 Mediante divisi´ on repetida de factores o divisores comunes del numerador y el denominador. Ejemplo:

2

Dividiendo el numerador y el denominador de la fracci´on entre su m´aximo com´ un divisor (MCD). a a ÷ M CD = =fracci´ on en su forma m´ as simple b b ÷ M CD Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas M´ aximo Com´ un Divisor Definici´ on: El m´ aximo com´ un divisor (MCD) o m´ aximo com´ un factor (MCF) de dos o m´ as n´ umeros enteros es el n´ umero entero positivo mayor que los divide enteramente a todos.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas M´ aximo Com´ un Divisor Definici´ on: El m´ aximo com´ un divisor (MCD) o m´ aximo com´ un factor (MCF) de dos o m´ as n´ umeros enteros es el n´ umero entero positivo mayor que los divide enteramente a todos.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Nota: Los siguientes pasos constituyen un m´etodo para determinar el m´aximo com´ un divisor de dos o m´as numeros enteros:

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Nota: Los siguientes pasos constituyen un m´etodo para determinar el m´aximo com´ un divisor de dos o m´as numeros enteros: 1

Se factoriza cada uno de los n´ umeros como un producto de potencias de bases primas

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Nota: Los siguientes pasos constituyen un m´etodo para determinar el m´aximo com´ un divisor de dos o m´as numeros enteros: 1

Se factoriza cada uno de los n´ umeros como un producto de potencias de bases primas

2

El producto de las bases primas comunes en las diferentes factorizaciones elevadas al exponente menor que aparece de cada una de ellas.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejemplo: Calcular el MCD. de 6; 24 y 10. 6=2×3 24 = 23 × 3 10 = 2 × 5 El MCD es 2 (base prima com´ un con el exponente menor que aparece del 2 en las diferentes factorizaciones.)

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: Calcule el MCD de: 1

14 y 15

2

40 y 60

3

35 y 48

4

70 y 62

5

225 y 300

6

34, 26 y 40

7

72, 108 y 60

8

90, 126 y 72

9

315, 945 y 1575 Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicios: 1. Escriba la fracci´on en su forma m´ as simple. Use el m´etodo n´ umero 1.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicio: 1. Escriba la fracci´on en su forma m´ as simple. Use el m´etodo n´ umero 2.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Forma Decimal de una Fracci´ on Com´ un Para expresar una fracci´ on en forma decimal se divide el numerador de la fracci´ on entre el denominador. Si el decimal no termina y el d´ıgito a la derecha se repite indefinidamente, entonces el decimal es uno repetitivo y el d´ıgito se repite de forma indefinida. Esto se puede indicar escribiendo una barra encima del d´ıgito que se repite. De forma similar, si un grupo de d´ıgitos decimales se repiten indefinidamente, entonces esto se indica escribiendo una barra encima de los d´ıgitos que se repiten indefinidamente.

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicio 1: Exprese cada fracci´ on en forma decimal decimal:

Ejercicio 2: Exprese cada decimal como una fracci´on com´ un:

Rivera-Morales, Carlos A.

N´ umeros Reales: Fracciones

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Objetivos Fracci´ on Aritm´ etica Clasificaci´ on de Fracciones Fracciones Equivalentes Simplificaci´ on de Fracciones M´ aximo Com´ un Divisor Forma decimal de una fracci´ on Operaci´ on con N´ umeros Decimales Redondeo

Fracciones Aritm´ eticas Nota: En la mayor´ıa de los casos las calculadoras han reemplazado los m´etodos con l´ apiz y papel en el c´alculo de operaciones con decimales. Por tal raz´ on, mencionaremos las operaciones con decimales de manera breve. Se recomienda se use una calculadora para realizar las operaciones con n´ umeros decimales.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Operaciones con N´ umeros Decimales Suma: Para sumar n´ umeros decimales se deben colocar unos debajo de otros. Los puntos decimales deben estar alineados verticalmente y tambi´en las unidades de igual orden (centenas con centenas, decenas con decenas, unidades con unidades, d´ecimas con d´ecimas, y as´ı por el estilo). Despu´es se suman como si se tratara de n´ umeros enteros y se coloca el punto decimal en el resultado bajo la columna de los puntos decimales.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Operaciones con N´ umeros Decimales Resta: Para restar dos n´ umero decimales se coloca uno debajo de otro de manera que se correspondan las unidades del mismo orden y se a˜ naden los ceros necesarios para que los dos n´ umeros tengan la misma cantidad de lugares decimales.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Operaciones con N´ umeros Decimales Multiplicaci´ on: Para multiplicar dos n´ umeros decimales se efect´ ua la multiplicaci´ on como en los n´ umeros enteros. La cantidad de lugares decimales en el resultado es la suma de la cantidad de lugares decimales a la derecha de los puntos decimales en los factores.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Operaciones con N´ umeros Decimales Divisi´ on: Para dividir dos n´ umeros decimales, mueva el punto decimal a la derecha la misma cantidad de lugares tanto el dividendo como el divisor, de manera que obtenga un n´ umero entero como divisor. Se realiza la divisi´on del mismo modo que en los enteros. El n´ umero de lugares decimales a la derecha del punto decimal, el cociente (o resultado), es el mismo que la cantidad de lugares decimales a la derecha el dividendo.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejemplo 1: Un agricultor ha recolectado 1,500 libras de trigo y 895 libras de cebada. Ha vendido el trigo a 22.35 centavos la libra y la cebada a 19.75 centavos la libra. Calcula: El total recibido por ambas ventas del trigo y la cebada. La diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido por la venta de la cebada.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejemplo 2: Un auto A consume 7.5 litros de gasolina por cada 100 kil´ometros y otro auto B consume 8.2 litros de gasolina por cada 100 kil´ometros. Calcula: La gasolina que consume cada coche en un kil´ometro. El importe de la gasolina que consume cada coche en un trayecto de 540 kil´ ometros, si el litro de gasolina cuesta 89 centavos.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejemplo 3: Un cami´on transporta 3 bloques de m´ armol de 1.3 toneladas cada uno y 2 vigas de hierro de 0.5 toneladas cada una. Calcula: El total de toneladas que transporta el cami´on. El total de kilogramos que transporta el cami´on, si 1 tonelada es, aproximadamente, igual a 1,000 kilogramos.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejemplo 4: La yarda es una unidad de longitud inglesa que equivale a 0.914 metros. Calcula: La longitud en metros de un trayecto A que mide 100 yardas y la longitud en metros de un trayecto B que mide 180 yardas. La longitud en yardas de un trayecto C que mide 18.28 metros y la longitud en yardas de un trayecto D que mide 45.7 metros. La diferencia en mil´ımetros que hay entre un metro y una yarda. Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejemplo 5: En la siguiente tabla aparece el n´ umero de calor´ıas que tiene aproximadamente 1 gramo de algunos alimentos. Alimentos Pan Queso Blanco Manzana Filete Esp´arragos Cal/gramo 3.3 1.2 0.52 3.75 0.32 El n´ umero de calor´ıas que tienen una hogaza de pan de 125 gramos, una manzana de 175 gramos y un filete de 150 gramos. El n´ umero de calor´ıas que tienen 125 gramos de queso blanco, un filete de 180 gramos y 250 gramos de esp´arragos. Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejemplo 5: Alimentos Pan Cal/gramo 3.3

Queso Blanco 1.2

Manzana 0.52

Filete 3.75

Esp´arragos 0.32

El peso en gramos de una manzana que tiene 41.6 calor´ıas, de un filete que tiene 525 calor´ıas y de una hogaza de pan que tiene 1,402.5 calor´ıas.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Reglas para redondear decimales Paso 1: Localice el lugar al que se redondear´a el n´ umero. Paso 2: Vea el siguiente d´ıgito a la derecha del lugar al que se redondear´ a el n´ umero. Paso 3A: Si este d´ıgito es menor que 5, elimine todos los d´ıgitos a la derecha del lugar al que se redondear´a el n´ umero. No altere el d´ıgito al que se redondear´a el n´ umero. Paso 3B: Si este d´ıgito es 5 o mayor, elimine todos los d´ıgitos a la derecha del lugar al que ser´ a redondeado el n´ umero. Sume uno al d´ıgito del lugar al que habr´a de redondearse el n´ umero. Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicio 1: Redondee al lugar decimal subrayado:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicio 2: Redondee al entero m´ as cercano:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Fracciones Aritm´ eticas Ejercicio 3: Redondee a la d´ecima m´ as cercana:

Rivera-Morales, Carlos A.

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