TEMA 1: NÚMEROS NATURALES, DIVISIBILIDAD 1º ESO. MATEMÁTICAS

Los números naturales •  De forma intuitiva podemos definir los números naturales

de la siguiente forma: DEFINICIÓN

“Los números naturales son aquellos números que usamos para contar” 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….

Propiedades de los números naturales Propiedad Conmutativa (suma y producto) El orden de los sumandos o los factores no varía el resultado.

EJEMPLO

2+3= 5

3+ 2 = 5

2x3 = 6

3x2 = 6

A partir de ahora usaremos el signo (.) en lugar de la x que usábamos para indicar una multiplicación.

2⋅3= 6

3⋅ 2 = 6

Propiedades de los números naturales Propiedad asociativa de la suma respecto del producto El orden en que se realicen las sumas o las multiplicaciones no varía el resultado.

EJEMPLO

6 + 5+ 4

(6 + 5) + 4 = 11+ 4 = 15

6 + (5 + 4) = 6 + 9 = 15

3⋅ 2 ⋅ 4 (3⋅ 2)⋅ 4 = 6 ⋅ 4 = 24

3⋅ (2 ⋅ 4) = 3⋅ 8 = 24

Propiedades de los números naturales Propiedad distributiva del producto respecto de la suma El producto de un número por la suma de dos o más números es igual a la suma de los productos de cada número por cada sumando

EJEMPLO

Resolver el paréntesis

3⋅ (5 + 2) = 3⋅ 7 = 21 3⋅ (5 + 2) = Aplicar la propiedad distributiva

3⋅ (5 + 2) = 3⋅ 5 + 3⋅ 2 = 15 + 6 = 21

Propiedades de los números naturales EJERCICIO

*Página 10. Ejercicio 11

Copia en tu cuaderno indicando la propiedad que aplicas en cada caso.

Propiedades de los números naturales EJERCICIO

*Página 10. Ejercicio 12

Halla el resultado de las siguientes operaciones.

Propiedades de los números naturales EJERCICIO Calcula en cada ejercicio de dos formas: aplicando la propiedad distributiva o resolviendo el paréntesis. Aplicando distributiva

Resolviendo paréntesis

2 ⋅ (4 − 3) =

2 ⋅ (4 − 3) =

5⋅ (7 − 2) =

5⋅ (7 − 2) =

4 ⋅ (5 − 3) =

4 ⋅ (5 − 3) =

Múltiplos y divisores de un número •  ¿Qué significa que un número esté contenido en otro un

número exacto de veces?

16

8 4

5

Múltiplos y divisores de un número •  ¿Qué significa que un número esté contenido en otro un

número exacto de veces?

16 8 8 8 está contenido 2 veces dentro de 16.

5

5

16 5

5 no está contenido un número exacto de veces en 16 porque nos ha sobrado una unidad que no hemos podido “cubrir”

Múltiplos de un número DEFINICIÓN •  Múltiplo de un número: “Un número es múltiplo de otro si

el segundo está contenido en el primero un número exacto de veces” EJEMPLO

16 es múltiplo de 8 El primer número

El segundo número

El primer número (16) es múltilplo del segundo (8), si el segundo (8) está contenido en el primero (16) un número exacto de veces.

8 está contenido en 16 dos veces. 16 es múltiplo de 8

Múltiplos de un número •  Para calcular los múltiplos de un número se multiplica ese

número por los números naturales.

Cálculo de los múltiplos de 7

7 ⋅ 2 = 14 7 ⋅ 3 = 21 7 ⋅ 4 = 28 7 ⋅ 5 = 35 (…)

Múltiplos de un número EJERCICIO

*Página 11. Ejercicio 15

Halla tres múltiplos de 11 comprendidos entre 27 y 90 Calculamos los múltiplos de 11

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77,88, 99,110... 27

Seleccionamos todos los que están entre 27 y 90

90

33, 44, 55, 66, 77,88 Escogiendo 3 de estos números tenemos la respuesta al ejercicio

Múltiplos de un número EJERCICIO

*Página 11. Ejercicio 16

EJERCICIO

*Página 11. Ejercicio 17

Encuentra el primer múltiplo de 17 mayor que 500

Múltiplos de un número EJERCICIO

*Página 11. Ejercicio 17

Escribe tres múltiplos de 9 mayores que 100

Divisor de un número DEFINICIÓN •  Divisor de un número: “Un número es divisor o factor de

otro cuando el primero está contenido en el segundo un número exacto de veces” EJEMPLO

8 es divisor de 16

El primer número

El segundo número

El primer número (8) es múltilplo del segundo (16), si el primero (8) está contenido en el segundo (16) un número exacto de veces.

8 está contenido en 16 dos veces. 8 es divisor de 16

Divisores de un número EJERCICIO

*Página 11. Ejercicio 20

¿Cuál de estos números es divisor de 91?

3

7

11

13

Criterios de divisibilidad •  Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para

saber si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 2

“Un número es divisible entre 2 si termina en cifra par” EJEMPLO

329842368

¿Cuáles de estos números son divisibles entre 2?

123959

5692347

98324516

Criterios de divisibilidad REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 3

“Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3” EJEMPLO

1314

¿Cuáles de estos números son divisibles entre 3?

293

258

3592

Criterios de divisibilidad REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 5 Y EL 10

“Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5 “ EJEMPLO

1315

¿Cuáles de estos números son divisibles entre 5?

193

758

1290

Criterios de divisibilidad REGLA DE DIVISIBILIDAD DE 4 Y 25

“Un número es divisible entre 4 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00“ EJEMPLO

1344

¿1344 es divisible entre 4?

Es divisible entre 4 porque sus dos últimas cifras forman el 44 que es divisible entre 4

“Un número es divisible entre 25 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00“ EJEMPLO

8375

¿8375 es divisible entre 25? Es divisible entre 25 porque sus dos últimas cifras forman el 75 que es divisible entre 25

Criterios de divisibilidad REGLA DE DIVISIBILIDAD DE 10 Y DE 100

“Un número es divisible entre 10 si termina en 0“ “Un número es divisible entre 100 si termina en 00“ EJEMPLO

1300

¿Cuáles de estos números son divisibles entre 10 o 100?

190

7200

1291

Criterios de divisibilidad REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 9

“Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9” EJEMPLO

1314

¿Cuáles de estos números son divisibles entre 9?

293

258

2592

Criterios de divisibilidad REGLA DE DIVISIBILIDAD DEL 11

“Un número es divisible entre 11 si la suma de las cifras que ocupan posiciones pares menos la suma de cifras que ocupan posiciones impares es igual a 0 o múltiplo de 11” EJEMPLO

2805 Cifras en posiciones impares: 2+0=2 Cifras en posiciones pares: 8+5=13

Diferencia entre ambos: 13-2=11 Por tanto 2805 es divisible entre 11

Criterios de divisibilidad EJERCICIO

*Página 13. Ejercicio 26

Aplica los criterios de divisibilidad para rellenar la siguiente tabla.

Criterios de divisibilidad EJERCICIO Aplica los criterios de divisibilidad para rellenar la siguiente tabla. Divisible por

2 625 6 930 12 936 86 100 99 680

2

3

4

5

9

10

11

25

100

Números primos y compuestos DEFINICIÓN •  Número primo: “Un número es primo cuando sólo tiene

dos divisores el propio número y el uno”. •  Número compuesto: “Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores”

Números primos Criba de Eratóstenes: La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número determinado. En este ejemplo calcularemos los menores de 100. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Descomposición en factores primos Descomponer un número en factores primos es expresarlo como un producto de factores primos:

EJEMPLO

15 = 3⋅ 5 2 18 = 3⋅ 3⋅ 2 = 3 ⋅ 2

18 = 9 ⋅ 2

Esto no es una descomposición en factores primos porque 9 no es un número primo.

Descomposición en factores primos EJEMPLO

48 24 12 6 3 1

4

2 2 4 2 2 2 3 3

48 = 2 ⋅ 3

Descomposición en factores primos EJEMPLO

2100 1050 525 105 21 7 1

3

2 3 2 2 5 2 5 5 3 3 7 7

2

2100 = 2 ⋅ 5 ⋅ 3⋅ 7

Descomposición en factores primos EJERCICIO

*Página 15. Ejercicio 40

Copia en tu cuaderno e indica la descomposición en factores primos de los números dados.

Descomposición en factores primos EJERCICIO

*Página 15. Ejercicio 42

Haz la descomposición en factores primos de los siguientes números.

Obtención del número de divisores de un número dado •  ¿Cómo podemos saber cuántos divisores tiene un

número a partir de la descomposición factorial? Tras hacer la descomposición factorial, el número de divisores coincide con el producto de los exponentes de las potencias de cada factor primo aumentadas en una unidad cada una de ellas. Veámoslo en los ejemplos anteriores.

EJEMPLO

48 24

2

48 = 2 4 ⋅ 31

2

4

12

2

6 3 1

2 3

2

¿Cuántos divisores tiene?

4

1

48 = 2 ⋅ 3 (4 +1)

(1+1)

3 5 ⋅ 2 = 10

Calcular todos los divisores un número dado •  Para el cálculo de todos los divisores un número vamos a hacer de forma

ordenada productos de parejas de números enteros que den como resultado el número dado.

EJEMPLO

Cálculo de todos los divisores de 60

Sabemos que la descomposición de 60 es

60 = 2 2 ⋅ 31 ⋅ 51

Usando el procedimiento que hemos visto antes: (2 +1) (1+1) (1+1)

3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3⋅ 2 ⋅ 2 = 12 Sabemos que tiene 12 divisores, vamos a determinar cuáles son.

1

2

3

4

5

6

10

60

30

20

15

12

10

6

Estos son sus 12 divisores:

1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60

Paramos porque se ha repetido un número.

Cálculo de los divisores EJERCICIO

Cálculo de todos los divisores de 18

Máximo común divisor de varios números DEFINICIÓN •  Máximo común divisor: “El máximo común divisor de

varios números es el mayor de sus divisores comunes”. •  De forma abreviada se escribe m.c.d EJEMPLO

¿Cuál es el máximo común divisor de 60 y 18?

Divisores de 60

1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60

Divisores de 18

1, 2, 3, 6, 9,18

¿Cuál es el divisor más grande común a los dos? Es fácil ver que 6 es el máximo de los divisores comunes. 6 es el mcd de 60 y 18

Mínimo común múltiplo DEFINICIÓN •  Mínimo común múltiplo: “El mínimo común múltiplo de

varios números es el menor de sus múltiplos comunes”. •  De forma abreviada se escribe m.c.m EJEMPLO

¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 30 y 18?

Múltiplos de 18

18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216

Múltiplos de 30

30 60 90 120 150 180 210240

¿Cuál es el múltiplo común más pequeño? Es fácil ver que 90 es el mínimo común múltiplo de 30 y 18. 90 es el mcm de 30 y 18

Cálculo del máximo común divisor por descomposición factorial •  Hemos calculado el mcm y mcd de una forma que resulta

muy cómoda cuando los números son pequeños pero no cuando los números son grandes. •  Por ejemplo el mcd de 2405 y 2400 no es muy cómodo de calcular con el sistema que hemos visto. •  Por eso vamos a aprender a usar un “algoritmo”, una técnica que nos permita hacer este cálculo de forma más eficiente.

Cálculo del máximo común divisor por descomposición factorial EJEMPLO DE CÁLCULO DEL MCD POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Máximo común divisor de 60 y 210

210 105 21 7 1

Descomposición de 60

60 30 15 5 1

2 2 3 5

22

31 5

60 = 2 2 ⋅ 3⋅ 5 210 = 2 ⋅ 3⋅ 5⋅ 7

Descomposición de 210

Factores comunes al menor exponente.

2 5 3 7

22 51 31 71

mcd(60, 210) = 2 ⋅ 3⋅ 5 = 30

Cálculo del mínimo común múltiplo por descomposición factorial EJEMPLO DE CÁLCULO DEL MCM POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Mínimo común múltiplo de 60 y 210

210 105 21 7 1

Descomposición de 60

60 30 15 5 1

2 2 3 5

22

31 5

60 = 2 2 ⋅ 3⋅ 5 210 = 2 ⋅ 3⋅ 5⋅ 7

Descomposición de 210

Factores comunes y no comunes al mayor exponente

2 5 3 7

22 51 31 71

mcd(60, 210) = 2 2 ⋅ 3⋅ 5⋅ 7 = 420

EJERCICIO

Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números.

EJERCICIO

Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números.

EJERCICIO

Está previsto que asistan 120 personas a una fiesta. ¿De cuántos comensales pueden ser las mesas si todas han de ser iguales y estar completas?

EJERCICIO

Para obtener un número de cuatro cifras divisible por 2, ¿qué números puedes añadir a la derecha de 357?

EJERCICIO

Para obtener un número de cuatro cifras divisible por 2, ¿qué números puedes añadir a la derecha de 357?

EJERCICIO

Estudia qué cifras tendrías que añadir a la izquierda de 451 para obtener un número de cuatro cifras múltiplo de 3.

EJERCICIO Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días y Pedro lo hace cada 3. El día 20 de mayo se encontraron allí. ¿Cuándo volverán a coincidir?

EJERCICIO En un terreno rectangular de 240 por 360 metros se proyecta colocar placas cuadradas del mayor tamaño posible para recoger energía solar. ¿Qué longitud deben tener los lados de las placas?

EJERCICIO

Pedro, al colocar sus fotos en un álbum, se ha dado cuenta de que si coloca 4 en cada página, solo quedan 2 para la última página. Lo mismo ocurre si coloca 5 ó 6 fotos en cada página. a) ¿Cuántas fotos tiene Pedro? b) ¿Cuántas debe colocar en cada página para que todas tengan el mismo número y no sobre ninguna?

Engranajes

Se denomina engranaje al mecanismo utilizado para transmitir potencia de un componente a otro dentro de una máquina. Los engranajes están formados por dos ruedas dentadas, de las cuales la mayor se denomina corona y la menor piñón. Un engranaje sirve para transmitir movimiento circular mediante el contacto de ruedas dentadas.

Observa el sistema de ruedas dentadas. Cada rueda tiene escrito al lado el número de dientes: 1.  ¿Cuántas vueltas tiene que dar la rueda pequeña para que el diente marcado en rojo coincida de nuevo con el diente marcado en amarillo? 2.  ¿Cuántas vueltas tiene que dar la rueda grande para que el punto azul y el verde vuelvan a coincidir?

35

7 21

Más problemas PROBLEMA A Mc Donalds lanza una oferta cada 24 días, Burguer King cada 30 y Krangue Burguer cada 32 días. Precisamente hoy están los tres de oferta. ¿Cuándo volveremos a ver las tres ofertas coincidiendo? (¿Cuántos días pasarán?)

PROBLEMA C Calcula el mcm y MCD de 16, 24 y 36

PROBLEMA B Las ruedas dentadas de la figura son de un motor de barco que estamos intentando reparar. Después de varias pruebas hemos comprobado que cuando los engranajes coinciden tres veces seguidas en esta posición el motor se atasca. Hoy estamos haciendo una prueba. Las ruedas han coincidido a las 20:00 en la posición que se muestra. La rueda grande tarda 30 minutos en dar una vuelta. ¿A qué hora volverán a coincidir en esta posición las ruedas por tercera vez?

35

7 14

Más problemas PROBLEMA A El mínimo común múltiplo de 24 y 60 es:

¿Qué exponentes faltan en los cuadrados?

PROBLEMA B

Juan tiene un terreno de forma rectangular de 40m de ancho y 96m de largo. si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en el interior de cada parcela 3 árboles, ¿cuál es el mínimo número de árboles que podría sembrar en todo su terreno?

https://www.youtube.com/watch?v=N68DQUqmtxw

SIMULACRO DE EXAMEN 1

(1p) El mínimo común múltiplo de 24 y 60 es: ¿Qué exponentes faltan en los cuadrados?

2

(1p) Calcula cuántos divisores tiene 742 usando su descomposición factorial.

3

(1p) Construye una tabla con los 50 primeros números naturales y rodea los primos con un círculo.

4

(1p) Construye una tabla con los 50 primeros números naturales y rodea los primos con un círculo.

TEORÍA

P1

(1,5 p) Juan tiene un terreno de forma rectangular de 40m de ancho y 96m de largo. si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en el interior de cada parcela 3 árboles. ¿Cuál es el mínimo número de árboles que podría sembrar en todo su terreno?

P2

(1,5 p) En almacén hay un montón de cajas apiladas en filas de 15 cajas cada una. Para reorganizar el espacio deciden apilarlas en filas de 9 en 9, pero la última fila de 9 no les cabe porque choca con el techo. Entonces deciden ponerlas de 12 en 12 y queda perfecto. ¿Cuántas cajas había como mínimo?

5 Nº 1890

(2p) Define y pon un ejemplo de cada uno: A)  Número primo. B)  Múltiplo de un número.

1485 10500

(1 p) Completa la tabla: 2

3

5

7

4

25

11

•  Se tiene tres reglas calibradas, de 48 cm cada una. La

primera está calibrada con divisiones de 4/21 cm; la segunda, con divisiones de 24/35 cm; y la tercera, con divisiones de 8/7 cm. Si se hace coincidir las tres reglas en sus extremos de calibración, ¿cuántas coincidencias de calibración hay en las tres reglas? A) 13 B) 14 C) 4 D) 15 E) 12

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