Tema 4: Variable aleatoria.

Métodos Estadísticos

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Definición de v.a.

Definición: Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una función real en el espacio muestral, X:Ω→ℜ Los valores de la variable aleatoria se notarán con letras minúsculas x en este caso.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Ejemplos de v.a.

Ejemplos:

Supongamos un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo siguiente serían v.a: 1.

Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x=2,3,4,…,12.

2.

Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y=0,1,2.

3.

Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta

Definición: Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto numerable.

Ejemplos: – –

Número de caras al lanzar dos dados. Número de cifras acertadas en un sorteo de la lotería.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta

Definición: Dada una v.a. discreta, X, se define la función masa de probabilidad como:

f(x)=P[X=x], para cada x∈ℜ.

Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad. Entonces: 1. 2. 3.

f(x)≥ ≥0 para todo x∈ℜ Σ x∈ℜ ∈ℜ f(x)=1 En general, para cualquier conjunto B, P[X∈ ∈B]=Σ Σ x∈∈B f(x), donde x son los posibles valores de B

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta Definición: Se define la función de distribución probabilidad una v.a. discreta, X, como: para cada x∈ℜ.

de

F(x)=P[X≤ ≤x]= Σ xi ≤x f(x),

Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces: 1. 2. 3. 4.

limx→ →-∞ ∞ F(x)=0 limx→∞ →∞ F(x)=1 F es creciente F es continua a la derecha

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA. Variable aleatoria discreta

Además: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

P[X≤ ≤a]=F(a)=Σ Σ x ≤a f(x) P[Xa f(x) P[a < X