Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 1

Matemática Financiera

TEMA 5 VALORACIÓN FINANCIERA DE RENTAS (II) 1. Rentas constantes temporales y perpetuas. 2. Rentas diferidas y anticipadas 3. Rentas variables en progresión geométrica y aritmética

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 2

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

1. Rentas constantes temporales y perpetuas Renta unitaria, temporal y pospagable • Valor actual

a

ni

• Valor final

1 − (1 + i ) − n = ∑ (1 + i ) = i s =0 n

−s

n + −1 ( 1 i ) = ∑ (1 + i ) s = = (1 + i ) n i s =0 n −1

s

ni

a

ni

Renta unitaria, temporal y prepagable • Valor actual

a&&

ni

• Valor final

&s&

ni

n −1

−n 1 − ( 1 + i ) = ∑ (1 + i ) − s = (1 + i ) = (1 + i ) an i i s =0

−n 1 − ( 1 + i ) &&n i = ∑ (1 + i ) s = (1 + i ) = (1 + i ) a i s =1 n

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 3

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

1. Rentas constantes temporales y perpetuas Siempre que sea constante el rédito periodal de valoración se verifica que el valor financiero de una renta prepagable es igual al valor financiero de otra pospagable con las mismas características cuyos términos se multiplican por el factor de capitalización correspondiente al periodo de la renta.

V&&α = (1 + i ) Vα

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 4

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

1. Rentas constantes temporales y perpetuas Renta perpetua Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos ∞ tiende a ∞. −s

V0 = ∑Cs (1+ i) s =1

• Unitaria pospagable

a

∞i

∞

= ∑ (1 + i ) − s = 1 i s =0

También puede calcularse haciendo el paso al límite de la renta temporal cuando el número de términos tiende a infinito

a

∞i

1 − (1 + i ) − n 1 = lim = n →∞ i i

= lim an i n →∞

• Prepagable

a&&

∞i

= (1 + i ) a∞ i = (1 + i ) 1 i

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 5

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

2. Rentas diferidas y anticipadas Las rentas diferidas son aquellas en las que el punto α de valoración es anterior al origen de la renta. Siendo d el número de periodos de tiempo unitarios que hay entre 0, origen de la renta, y α punto de valoración. El valor de una renta diferida, unitaria, pospagable y temporal, a rédito constante será

Vα = u * (0; d ; p) an i = (1 + i ) − d

a

ni

Si durante el periodo de diferimiento el rédito de valoración es el mismo que el de la renta se utiliza una notación específica.

d

a

ni

= (1 + i ) − d

a

ni

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 6

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

2. Rentas diferidas y anticipadas Rentas anticipadas son aquellas en las que el punto α de valoración es posterior al final de la renta α = n+h . Siendo h el número de periodos unitarios de tiempo que hay entre α, punto de valoración, y n final de la renta.

Vα = u (n; h; p ) sn i = (1 + i ) h

s

ni

Si durante el periodo de anticipación el rédito de valoración es el mismo que el de la renta se utiliza una notación específica.

h

s

ni

= (1 + i ) h

a

ni

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 7

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

3. Rentas variables en progresión geométrica y aritmética Rentas variables en progresión geométrica La razón de la progresión ha de ser términos s −1

q >0 y las cuantías de los

C s = Cs −1 q = C q

donde C es el primer término El valor actual de la renta pospagable y temporal es

A( c , q ) n i

n −n 1 − q ( 1 + i ) = ∑ Cq s −1 (1 + i ) − s = C 1+ i − q s =1 n

Este valor se toma como referencia para calcular los valores finales, prepagables, perpetuos, diferidos o anticipados, siempre y cuando el rédito de valoración permanezca constante en todos los periodos.

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 8

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

3. Rentas variables en progresión geométrica y aritmética En el caso particular de que la razón de la progresión coincida con el factor de capitalización para un periodo unitario, q=(1+i), al sustituir en la expresión anterior resulta indeterminado; resolviendo la indeterminación queda n

A( c , q =1+i ) n i = ∑ C (1 + i) s −1 (1 + i ) − s = C n (1 + i) −1 s =1

• Renta perpetua

=C A(c , q ) ∞ i = l nim A →∞ ( c , q ) n i

1 − lim q n (1 + i ) − n n →∞

1+ i − q

=

C 1+ i − q

sólo tiene sentido para valores de la razón 0 < q < (1+i)

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 9

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

3. Rentas variables en progresión geométrica y aritmética Rentas variables en progresión aritmética Son rentas cuyos términos varían en progresión aritmética de razón d, así los términos de la renta se obtienen

Cs = Cs −1 + d = C + ( s − 1) d Si los términos son decrecientes (d 0 ⇒ Cn = C + (n − 1) d > 0 ⇒ d > − C n −1 El valor actual de la renta pospagable y temporal n

A( c , d ) n i = ∑ [C + ( s − 1)d ](1 + i) − s s =1

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 10

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

3. Rentas variables en progresión geométrica y aritmética el desarrollo de esta expresión matemática tiene cierta dificultad por lo que puede obtenerse de forma más sencilla descomponiendo la renta variable en suma de n rentas constantes, el valor actual es

A( c , d ) n i

−n dn i ( 1 + ) = (C + d ) an i − i i

El valor final se obtiene a partir del valor actual

S( c , d ) n i = (1 + i ) n A( c , d ) n i = (C + d ) sn i − dn i

i

Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I

Diapositiva 11

Matemática Financiera. Tema 5 – Valoración financiera de rentas (II)

3. Rentas variables en progresión geométrica y aritmética • Renta prepagable y temporal El valor actual y final de la renta prepagable se obtienen a partir de la pospagable multiplicándola por el factor (1+i) • Renta perpetua Las rentas variables en progresión aritmética y perpetuas sólo tienen sentido cuando los términos de la misma son crecientes, es decir cuando d>0. El valor actual de la renta pospagable es

A( c , d ) ∞ i = lim A( c , d ) n i n →∞

d d 1 = (C + )a∞ i = (C + ) i i i