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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Unidad 5. Rentas 0. ÍNDICE. 1. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA. 2. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS. 3. RENTAS CONSTANTES. 3.1. 3.2. 3.3.

Rentas constantes, inmediatas y pospagables. Rentas constantes, inmediatas y prepagables. Rentas diferidas y rentas anticipadas.

4. RENTAS VARIABLES. 4.1.

4.2.

4.3.

Rentas variables en progresión aritmética. 4.1.1. Inmediatas y pospagables. 4.1.2. Resto de rentas variables aritmética. Rentas variables en progresión geométrica. 4.2.1. Inmediatas y pospagables. 4.2.2. Resto de rentas variables geométrica. Rentas variables sin seguir una ley conocida.

en

progresión

en

progresión

5. RENTAS VARIBLES DE TANTO. 6. RENTAS FRACCIONADAS. 6.1. 6.2.

Término anual y tanto de frecuencia m. Término de frecuencia m y tanto anual.

ACTIVIDADES FINALES.

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

1. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA. En la vida real es frecuente encontrarse con conjuntos de capitales que tienen establecidos unos vencimientos sucesivos a lo largo del tiempo. Así, por ejemplo, los pagos que tienen que efectuarse para devolver un préstamo bancario, los salarios que percibe como retribución un trabajador, los alquileres de una vivienda, etc. Casos como los citados son ejemplos de rentas financieras. Una renta financiera puede describirse como una serie de capitales que tienen vencimientos sucesivos. Los capitales que constituyen la renta (C1 , C2 , C3 ,.....) se denominan términos de la renta, y los subintervalos de tiempo a que se asocian períodos de maduración o de vencimiento, porque en ellos son engendrados o producidos. Al punto to (extremo inferior del primer subintervalo) se le denomina momento de constitución u origen de la renta, y recibe el nombre de fin de la renta al punto tn (extremo superior del último subintervalo). El tiempo que media entre origen y fin, diferencia tn - to, se llama duración de la renta.

to

C1

C2

C3 ................................................

Cn

t1

t2

t3 ....................................................

tn

ORIGEN

FIN

Especificados los capitales que componen una renta, es decir, conocidas las cuantías de sus términos y los momentos en que vencen, y elegida una ley financiera de valoración (normalmente, la ley de capitalización compuesta), se denomina valor financiero de una renta en un determinado instante del tiempo (época de evaluación) a la suma financiera de los valores que en aquel momento tienen los términos que la constituyen. www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

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El valor de una renta puede determinarse en cualquier momento, pero lo normal es hacerlo en dos puntos concretos: a) en el momento to , lo que da lugar al valor actual o valor inicial de la renta; b) en el momento tn , con lo que se obtiene el valor capital o

valor final de la renta.

2. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS. Las rentas se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios:

A) Con arreglo a la cuantía de los términos: a) rentas constantes (cuando todos los términos son iguales entre sí); b) rentas variables (cuando los términos de la renta varían).

B) Con arreglo a la duración de la renta o número de términos: a) rentas temporales (aquéllas que constan de un número finito de términos); b) rentas perpetuas (el número de términos de la renta es infinito).

C) Según el momento de su valoración: a) rentas inmediatas (valoramos los capitales en un punto que pertenece al intervalo de duración de la renta); b) rentas diferidas (cuando valoramos la renta antes de que comience); c) rentas anticipadas (cuando valoramos la renta después de que haya finalizado).

D) Según el punto del subintervalo donde vencen los términos de la renta: a) rentas pospagables (cuando los términos de la renta vencen al final del subintervalo correspondiente); b) rentas prepagables (cuando los términos de la renta vencen al principio del subintervalo). E) Atendiendo a la coincidencia o no del período de vencimiento del término con el período de capitalización del tanto: a) rentas enteras (cuando el período de vencimiento del término de la renta coincide con el período de capitalización del tanto); b) rentas fraccionadas (cuando no se da esta coincidencia de periodicidad).

3. RENTAS CONSTANTES. En esta pregunta se va a trabajar con rentas unitarias. Para calcular el valor de una renta constante de término C , se partirá del valor de la correspondiente renta unitaria multiplicándolo por C. www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

3.1. Rentas constantes,inmediatas y pospagables. -TEMPORALES-.

0

1€

1€

1

2

1€

................................................

1€

n

3 ...................................................

a

* Valor actual: llamemos n i al valor actual de una renta constante, inmediata, pospagable, temporal y unitaria, donde n indica la duración en períodos de la renta, y donde i representa el tanto de interés compuesto periódico a que se evalúa. El valor actual de esta renta será la suma financiera de los valores que en el origen tienen sus términos, es decir: 1

an i =

1

1

1

+ 1 1

(1+i)

+ (1+i)

2

1

1

+………………..+ 1 3

(1+i)

(1+i)

n

Por lo tanto, podemos decir que este valor actual es igual a la suma de términos de una progresión geométrica decreciente de razón Aplicando la expresión de la suma de términos de una progresión geométrica, donde r representa la razón de dicha progresión:

Cn . r - C1 r-1 obtenemos el valor actual de la renta unitaria: 1 – ( 1 + i )-n

an i =

i www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 1. ¿Qué cantidad habrá que depositar en una entidad bancaria, si se desean recibir 5.000€ al final de cada uno de los próximos 20 años, si dicha entidad trabaja a un interés efectivo anual del 3%?. Tenemos que calcular el valor actual de una renta constante de término 5.000€, inmediata, pospagable y temporal (20 años). Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

1 – ( 1 + 0,03 ) - 20

a20 0,03

= 14,87747486

= 0,03

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (5.000€):

Va20 0,03 = a20 0,03 ×

5.000€ = 14,87747486 × 5.000€ = 74.387,37€

* Valor final: sea Sn i el valor final de una renta constante, inmediata, pospagable, temporal y unitaria. El valor final de esta renta será la suma financiera de los valores que tienen sus términos al final de la misma. Operando de forma análoga al caso del valor actual, obtendríamos el siguiente valor final: (1+i)

n

-1

Sn i = i El valor final también se puede obtener, capitalizando el valor actual desde el momento 0 al momento n:

Sn i = an i

× (1+i)

n

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 2. Una persona ingresa en una entidad bancaria 200€ al final de cada año. Dicha entidad bancaria trabaja a un interés efectivo anual del 2,7%. ¿Qué cantidad se habrá generado al cabo de 15 años?. Tenemos que calcular el valor final de una renta constante de término 200€, inmediata, pospagable y temporal (15 años). Para ello, calculamos el valor final de la correspondiente renta unitaria. ( 1 + 0,027 )

S15 0,027

15

-1

= 18,19523259

= 0,027

A continuación, multiplicamos el valor final de la renta unitaria por el término (200€):

VS15 0,027 = S15 0,027 ×

200€ = 18,19523259 × 200€ = 3.639,05€

-PERPETUAS-.

0

1€

1€

1

2

1€

................................................

3 ...................................................

En este tipo de rentas no se puede hallar el valor final. Para determinar el valor actual de una renta constante, inmediata, pospagable, perpetua y unitaria, bastará considerar el de una renta de iguales características pero de duración n, y calcular el límite cuando n tiende a infinito.

a∞ i =

lim n

∞

an i

1 =

i

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 3. Una finca produce al final de cada año unos rendimientos valorados en 12.000€. Calcula el valor actual de esos rendimientos, aplicando un tanto efectivo anual del 5%. Tenemos que calcular el valor actual de una renta constante de término 12.000€, inmediata, pospagable y perpetua. Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

a∞ 0,05 =

1 / 0,05 = 20

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (12.000€):

Va∞ 0,05 = a∞ 0,05 ×

12.000€ = 20 × 12.000€ = 240.000€

3.2. Rentas constantes, inmediatas y prepagables. -TEMPORALES-.

1€

1€

1€

.............................................

1€

0

1

2

.............................................

n –1

n

â

* Valor actual: llamemos n i al valor actual de una renta constante, inmediata, prepagable, temporal y unitaria. Dicho valor actual será la suma financiera de los valores que en el origen tienen sus términos. De esta forma se obtiene la siguiente expresión:

ân i =

(1+i)×

1 – ( 1 + i )-n

=(1+i)×

an i

i www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

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Ejemplo 4. Una persona ha alquilado un piso por el que paga a comienzos de cada mes 240€. Calcula el valor actual de los pagos que efectuará esta persona en los próximos cinco años, aplicando un interés efectivo anual del 5%.

En primer lugar, debemos calcular el interés mensual i12 a partir del tanto efectivo anual i .

i12 = ( 1 + 0,05 ) 1/12 - 1 = 0,004074123 En segundo lugar, calculamos el valor actual de una renta constante de término 240€, inmediata, prepagable y temporal (60 meses). Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

â60 0,004074123 = ( 1 + 0,00407 ) ×

1 – ( 1 + 0,00407)-60 -n

= 53,35031311 0,00407

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (240€):

Vâ 60 0,004074123 = â 60 0,004074123 ×

240€ = 53,35031311 × 240€ = 12.804,08€

* Valor final: sea Ŝn i el valor final de una renta constante, inmediata, prepagable, temporal y unitaria. El valor final de esta renta será la suma financiera de los valores que tienen sus términos al final de la misma. Este valor final es igual a:

Ŝn i = ân i ×

(1+i)

n

=(1+i)

n

×(1+i)×

an i = ( 1 + i ) × Sn i

Ejemplo 5. Calcula el valor final de la renta del ejemplo 4. Conociendo el valor de

â60 0,004074123, automáticamente calculamos Ŝ60 0,004074123:

Ŝ60 0,004074123 = â 60 0,004074123 × ( 1 + 0,00407)60 = 68,09001779 A continuación, multiplicamos el valor final de la renta unitaria por el término (240€):

VŜ60 0,004074123 = Ŝ60 0,004074123 ×

240€ = 68,09001779 × 240€ = 16.341,60€

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

- PERPETUAS-.

1€

1€

1€

.............................................

0

1

2

.............................................

En este tipo de rentas no se puede hallar el valor final. Para determinar el valor actual de una renta constante, inmediata, prepagable, perpetua y unitaria, bastará considerar el de una renta de iguales características pero de duración n, y calcular el límite cuando n tiende a infinito. 1+i

â ∞ i =

lim n

∞

â n i

=

i

Ejemplo 6. Calcula el valor actual de los rendimientos de la finca del ejemplo 3, suponiendo que dichos rendimientos se generan a comienzos de cada año. Calculamos el valor actual de una renta constante de término 12.000€, inmediata, prepagable y perpetua. Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

â ∞ 0,05 =

(1 + 0,05) / 0,05 = 21

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (12.000€):

Vâ ∞ 0,05 = â ∞ 0,05 ×

12.000€ = 21 × 12.000€ = 252.000€

3.3. Rentas diferidas y rentas anticipadas. - RENTAS DIFERIDAS-. Son aquéllas que se valoran d períodos antes de que comience el período en el que vence el primer término. En las rentas diferidas no tiene sentido calcular el valor final. www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

VALOR ACTUAL RENTA INMEDIATA

0

2........................................d

1

Para calcular el valor actual de una renta diferida d períodos, actualizamos d períodos el valor actual de la correspondiente renta inmediata, es decir:

d / valor actual renta inmediata = ( 1 + i )

-d

× valor actual renta inmediata

Ejemplo 7. Calcula el valor actual de una renta constante de término anual 3.000€, pospagable, de duración 6 años, si se sabe que el primer término de la renta vence dentro de tres años. El tanto de interés efectivo anual es el 3%.

Va6 0,03 3.000€

0

1

2

3

3.000€

4

3.000€

3.000€

5

6

3.000€ 3.000€

7

8

En primer lugar, calculamos el valor actual de la renta inmediata de término anual constante 3.000€, pospagable y de duración 6 años. Para ello, determinamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria, y a continuación, lo multiplicamos por el término (3.000€).

a6 0,03 = 5,4171913

Va6 0,03 = 5,4171913 × 3.000€ = 16.251,57€

En segundo lugar, al tener que valorar la renta dos años antes de que comience (se encuentra diferida dos años), actualizamos el valor anterior dos años. 2/

Va6 0,03 = ( 1 + 0,03)

-2

×

Va6 0,03 = 15.318,66€

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

- RENTAS ANTICIPADAS-. Son aquéllas que se valoran h períodos después de que finalice el período en el que vence el último término. En las rentas anticipadas no tienen sentido, ni las rentas perpetuas, ni calcular el valor actual. VALOR FINAL RENTA INMEDIATA

1

2.............................................h

Para calcular el valor final de una renta anticipada h períodos, capitalizamos h períodos el valor final de la correspondiente renta inmediata, es decir:

h / valor final renta inmediata = ( 1 + i )

h

× valor final renta inmediata

Ejemplo 8. Calcular el valor final de una renta constante de término anual 2.000€, prepagable, de duración cuatro años, si se sabe que el último término venció hace 3 años. El tanto de interés efectivo anual es el 3%.

VŜ 4 0,03 2.000€

2.000€

0

1

2.000€

2

2.000€

3

4

5

6

En primer lugar, calculamos el valor final de la renta inmediata de término anual constante 2.000€, prepagable y de duración 4 años. Para ello, determinamos el valor final de la correspondiente renta unitaria, y a continuación, lo multiplicamos por el término (2.000€).

VŜ 4 0,03 =

Ŝ 4 0,03 = 4,3091355

4,3091355 × 2.000€ = 8.618,27€

En segundo lugar, al tener que valorar la renta dos años después de que haya finalizado (se encuentra anticipada dos años), capitalizamos el valor anterior dos años. 2/

VŜ4 0,03 = ( 1 + 0,03)

2

×

VŜ4 0,03 = 9.143,12€

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Esquema: relaciones entre los distintos tipos de rentas contantes

• Valor (actual o final) de una renta prepagable = (1 + i ) × Valor (actual o final) de la renta pospagable.

•

o

ân i = ( 1 + i ) × an i

Vân i = ( 1 + i ) × Van i

o

Ŝn i = ( 1 + i ) × Sn i

VŜn i = ( 1 + i ) × VSn i

o

â ∞ i = ( 1 + i ) × a∞ i

Vâ ∞ i = ( 1 + i ) × Va∞ i

Valor final de una renta (pospagable o prepagable) = (1 + i )n × Valor actual de la renta (pospagable o prepagable).

o

Sn i =

o

Ŝn i

an i

VSn i =

ân i

VŜn i

( 1 + i ) n×

=(1+i)

n

×

Van i

( 1 + i ) n×

=(1+i)

n

×

Vân i

• Valor actual de una renta (pospagable o prepagable) diferida d períodos = ( 1 + i )

-d

×

Valor actual de la renta inmediata (pospagable o prepagable). o

d / an i = ( 1 + i )

o

d/

o

d / a∞ i = ( 1 + i )

o

d / â ∞ i = ( 1 + i )

-d

×

an i

ân i = ( 1 + i ) -d × ân i -d

-d

d / Van i = ( 1 + i ) d/

-d

×

Van i

Vân i = ( 1 + i ) -d × Vân i

×

a∞ i

d / Va∞ i = ( 1 + i )

×

â ∞ i

d / Vâ ∞ i = ( 1 + i )

-d

-d

×

Va∞ i

×

Vâ ∞ i

• Valor final de una renta (pospagable o prepagable) anticipada h períodos = ( 1 + i )

h

×

Valor final de la renta inmediata (pospagable o prepagable).

o

h / Sn i = ( 1 + i ) h × Sn i

h / VSn i = ( 1 + i ) h × VSn i

o

h / Ŝn i = ( 1 + i ) h × Ŝn i

h / VŜn i = ( 1 + i ) h × VŜn i

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

4. RENTAS VARIABLES. 4.1. Rentas variables en progresión aritmética. En estas rentas, cada término es igual al anterior ± la razón de la progresión aritmética.

Cs = Cs-1 ± d 4.1.1. Inmediatas y pospagables. -TEMPORALES-.

C

0

1

C+d

2

C + 2d

................................................ C + (n-1)d

3 ...................................................

n

* Valor actual: para hallar el valor actual de la renta procederemos de la siguiente forma: •

Dividimos la renta como una suma de n rentas.

C

0

0

1

1

C

C ................................................

C

2

3 ...................................................

n

d

d

................................................

d

2

3 ...................................................

n

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

d

0

1

2

................................................

d

3 ...................................................

n

…

0

•

1

2

................................................

d

3 ...................................................

n

A continuación, obtendremos el valor en el momento 0 de cada una de esas rentas. La suma de estos valores nos dará el valor actual de la renta inicial, al que denominaremos:

A(C,d) n i Donde C representa el importe del primer término, y d la razón de la progresión aritmética.

Operando, obtendremos las siguientes expresiones: 1

A(C,d) n i = C an i + d

2

n-1

+

an-1 i

+ …...+

an-2 i

a1 i

……………………………………………………. A(C,d) n i = (C + d / i) an i - d n (1+ i)-n i

S(C,d)

* Valor final: el valor final de la renta actual desde el momento 0 al momento n:

S(C,d) n i

=(1+i)

n

×

n i, se obtiene capitalizando el valor

A(C,d) n i

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 9. Calcular el valor actual y final de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, pospagable y temporal de 18 trimestres, sabiendo que el valor del primer término es de 4.000€ y que los siguientes aumentan en 40€. El tipo de interés trimestral es del 1%.

VALOR ACTUAL:

A(4.000,40) 18 0,01 = (4.000 + 40 / 0,01) x

1-(1+0,01)-18 0,01

40 x 18 x (1+0,01)-18 0,01

A(4.000,40) 18 0,01 = 8.000 x 16,398268 – 60.193,247 = 70.992,90€ VALOR FINAL:

S(4.000,40) 18 0,01 = ( 1 + 0,01)

18

×

A(4.000,40) 18 0,01 =

S(4.000,40) 18 0,01 = ( 1 + 0,01)

18

× 70.992,90 = 84.917,98€

- PERPETUAS-.

Sólo tiene sentido hallar el valor actual, que será igual a:

A(C,d) ∞ i =

lim n

∞

A(C,d) n i =

(C + d / i) x 1

i

Ejemplo 10. Calcular el valor actual de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, pospagable y perpetua, sabiendo que el valor del primer término es de 500€ y que los siguientes aumentan en 5€ anuales. El tipo de interés anual es del 3%.

A(500,5) ∞ 0,03 = (500 + 5/0,03)

= 22.222,22€

0,03

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

4.1.2. Resto de rentas variables en progresión aritmética. Las rentas variables en progresión aritmética, inmediatas y prepagables, diferidas y pospagables, diferidas y prepagables, anticipadas y pospagables, y anticipadas y prepagables, se podrán calcular aplicando los criterios que se han seguido para el caso de las rentas constantes. Así, el valor actual de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, prepagable y temporal sería:

Â(C,d)

n i = ( 1 + i ) ×

A(C,d) n i

Por su parte, el valor final de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, prepagable y temporal sería:

Ŝ(C,d)

n i = ( 1 + i )n ×

(1+i) ×

Â(C,d)

n i = ( 1 + i )n × ( 1 + i ) ×

A(C,d) n i =

S(C,d) n i

Ejemplo 11. Calcular el valor final de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, prepagable y temporal de 20 años, sabiendo que el valor del primer término es 16.000€, y los siguientes aumentan 1.000€ anuales. El tipo de interés anual es del 5%. El valor actual de esa misma renta (pero pospagable) sería:

A(16.000,1.000) 20 0,05 = (16.000 + 1.000 / 0,05) x

1-(1+0,05)-20 - 1.000 x 20 x (1+0,05)-20 0,05

0,05

A(16.000,1.000) 20 0,05 = 36.000 x 12,46221 – 150.755,79 = 297.883,77€ Por lo tanto, el valor final de la renta prepagable sería:

A(16.000,1.000) 20 0,05

Ŝ(16.000,1.000) 20 0,05 = ( 1 + 0,05)20

× ( 1 + 0,05) ×

Ŝ(16.000,1.000) 20 0,05 = ( 1 + 0,05)20

× ( 1 + 0,05) × 297.883,77 = 829.893,04€

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

El valor actual de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, prepagable y perpetua sería:

 (C,d)

∞ i = ( 1 + i ) ×

A(C,d) ∞ i =

(C + d / i) x (1 + i)

i Ejemplo 12. Calcular el valor actual de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, prepagable y perpetua, sabiendo que el valor del primer término es de 6.000€ y que los siguientes aumentan en 500€ anuales. El tipo de interés anual es del 4%.

 (6.000,500) ∞ 0,04 = (6.000 + 500/0,04) x

(1 + 0,04) 0,04

= 481.000€

El valor actual de una renta variable en progresión aritmética (pospagable o prepagable) diferida d períodos = ( 1 + i )-d × Valor actual de la renta variable inmediata (pospagable o prepagable).

Ejemplo 13. Calcular el valor actual de la renta del ejemplo 12, diferida 2 años

2

/ Â (6.000,500) ∞ 0,04 = (1 + 0,04)-2 x 481.000 = 444.711,54€

Por su parte, el valor final de una renta variable en progresión aritmética (pospagable o prepagable) anticipada h períodos = ( 1 + i )h × Valor final de la renta variable inmediata (pospagable o prepagable).

Ejemplo 14. Calcular el valor final de la renta del ejemplo 11, anticipada 3 años

3/

Ŝ(16.000,1.000) 20 0,05 = ( 1 + 0,05)3 x 829.893,04 = 960.704,93€

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

4.2. Rentas variables en progresión geométrica. En estas rentas, cada término es igual al anterior por la razón de la progresión geométrica (q) .

Cs = Cs-1 x q 4.2.1. Inmediatas y pospagables. -TEMPORALES-.

C

0

Cxq

1

2

C x q2 ................................................ C x qn-1

3 ...................................................

* Valor actual: para hallar el valor actual de la renta, al que llamaremos calcularemos la suma de los valores de sus términos en el momento 0:

A(C,q) n i

n

A(C,q) n i

,

= C x (1 + i)-1 + C x q x (1 + i)-2 + C x q2 x (1 + i)-3 + ….+ C x qn-1 x (1 + i)-n

Sacando factor común C x (1 + i)-1

C x (1 + i)-1 x

1 +

q x (1 + i)-1 +

q2 x (1 + i)-2

+……..+

qn-1 x (1 + i)-(n-1)

Obtendremos la suma de términos de una progresión geométrica de razón q x (1 + i)-1 , por lo que, aplicando la expresión de la suma de términos de una progresión geométrica, donde r representa la razón de dicha progresión:

Cn . r - C1 r-1 obtendremos la expresión: 1 – qn x (1 + i)-n

A(C,q) n i

=Cx 1+i-q www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

S(C,q)

* Valor final: el valor final de la renta actual desde el momento 0 al momento n:

n i, se obtiene capitalizando el valor

(1+i)

S(C,q) n i

=(1+i)

n

×

A(C,q) n i

n

– qn

=Cx 1+i-q

Ejemplo 15. Calcular el valor actual y final de una renta variable en progresión geométrica, inmediata, pospagable y temporal de 8 términos, sabiendo que el valor del primer término es de 6.000€ y que los siguientes aumentan un 5% cada uno con respecto al anterior (q= 1,05). El tipo de interés anual es del 6%. VALOR ACTUAL:

1 – 1,058 x (1 + 0,06)-8

A(6.000, 1,05) 8 0,06 = 6.000 x

= 43.815,72€ 1 + 0,06 -1,05

VALOR FINAL:

S(6.000, 1,05) 8 0,06 = ( 1 + 0,06)

8

×

A(6.000, 1,05) 8 0,06 = ( 1 + 0,06)

8

× 43.815,72

S(6.000, 1,05) 8 0,06 = 69.835,61€

CASO ESPECIAL : q = 1 + i Si q = 1 + i, las fórmulas anteriores quedan indeterminadas. En este caso, el valor actual y el valor final se calcular de la siguiente forma:

A(C,1+i) n i

= C × (1 + i)-1 + C × (1 + i)-1 + …..+ C × (1 + i)-1 = n × C × (1 + i)-1

S(C, 1+i) n i

=(1+i) n×

A(C,1+i) n i

= n × C × (1 + i)n-1

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UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 16. Calcular el valor actual y final de la renta del ejemplo 15, suponiendo que la razón de la progresión geométrica es 1,06 (es decir, los términos aumentan un 6% cada uno con respecto al anterior). Nos encontramos con el caso especial de q = 1 + i , que simplifica los cálculos.

VALOR ACTUAL:

A(6.000, 1,06) 8 0,06 = 8 × 6.000 × (1 + 0,06)

-1

= 45.283,02€

VALOR FINAL:

S(6.000, 1,06) 8 0,06 = 8 × 6.000 × (1 + 0,06)

8-1

= 72.174,25€

- PERPETUAS-.

Sólo tiene sentido hallar el valor actual. Además, sólo se pueden plantear cuando la razón q presenta valores inferiores que 1 + i.

A(C,q) ∞ i =

lim n

∞

A(C,q) n i =

C 1+i-q

Ejemplo 17. Calcular el valor actual de una renta variable en progresión geométrica, inmediata, pospagable y perpetua, sabiendo que el valor del primer término es de 1.000€ y que los siguientes aumentan un 1% cada uno con respecto al anterior. El tipo de interés anual es del 2,5%.

A(1.000, 1,01) ∞ 0,025 =

1.000

= 66.666,67€

1 + 0,025 – 1,01

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UNIDAD 5. RENTAS

4.2.2. Resto de rentas variables en progresión geométrica. Las rentas variables en progresión geométrica, inmediatas y prepagables, diferidas y pospagables, diferidas y prepagables, anticipadas y pospagables, y anticipadas y prepagables, se podrán calcular al igual que en el caso de las rentas variables en progresión aritmética, aplicando los criterios que se utilizaron para las rentas constantes, operando de la forma que se ha visto anteriormente, cuando la razón de la progresión geométrica q sea igual a 1 + i. Así, el valor actual de una renta variable en progresión geométrica, inmediata, prepagable y temporal sería:

Â(C,q)

n i = ( 1 + i ) ×

A(C,q) n i

Por su parte, el valor final de una renta variable en progresión aritmética, inmediata, prepagable y temporal sería:

Ŝ(C,q)

n i = ( 1 + i )n ×

(1+i) ×

Â(C,q)

n i = ( 1 + i )n × ( 1 + i ) ×

A(C,q) n i =

S(C,q) n i

Ejemplo 18. Calcular el valor actual de una renta variable en progresión geométrica, inmediata, prepagable y temporal de 10 términos, sabiendo que el valor del primer término es de 10.000€ y que los siguientes aumentan un 4% cada uno con respecto al anterior. El tipo de interés anual es del 5%. El valor actual de esa misma renta (pero pospagable) sería:

1 – 1,0410 x (1 + 0,05)-10

A(10.000, 1,04) 10 0,05 = 10.000 x

= 91.258,41€ 1 + 0,05 -1,04

Por lo tanto, el valor actual de la renta prepagable será:

Â(10.000,

1,04) 10 0,05 = (1 + 0,05) ×

A(10.000, 1,04) 10 0,05

= 1,05 x

91.258,41 =

95.821,33€

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UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 19. Calcular el valor actual de la renta del ejemplo anterior, pero suponiendo que el tipo de interés anual es del 4%. Nos encontramos con el caso especial de q = 1 + i , que simplifica los cálculos. El valor actual de esa misma renta (pero pospagable) sería:

A(10.000, 1,04) 10 0,04 = 10 × 10.000 × (1 + 0.04)

-1

= 96.153,85€

Por lo tanto, el valor actual de la renta prepagable será:

Â(10.000,

1,04) 10 0,04 = (1 + 0,04) ×

A(10.000, 1,04) 10 0,04 = 1,04 x

96.153,85 =

100.000€

El valor actual de una renta variable en progresión geométrica, inmediata, prepagable y perpetua (que sólo se puede plantear cuando la razón q presenta valores inferiores que 1 + i) sería:

 (C,q)

∞ i = ( 1 + i ) ×

A(C,q) ∞ i =

(1 + i) x

C 1+i-q

El valor actual de una renta variable en progresión geométrica (pospagable o prepagable) diferida d períodos = ( 1 + i )-d × Valor actual de la renta variable inmediata (pospagable o prepagable).

Por su parte, el valor final de una renta variable en progresión aritmética (pospagable o prepagable) anticipada h períodos = ( 1 + i )h × Valor final de la renta variable inmediata (pospagable o prepagable).

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UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 20. Calcular el valor final de una renta variable en progresión geométrica, anticipada dos períodos, pospagable y temporal de 10 términos, sabiendo que el valor del primer término es de 4.000€ y que los siguientes aumentan un 4% cada uno con respecto al anterior. El tipo de interés anual es del 5%.

S(4.000, 1,04) 10 0,05 = (1 + 0,05) × S(4.000, 1,04) 10 0,05 = (1 + 0,05) A(4.000, 1,04) 10 0,05 = 65.554,80€ 2

2/

×

2

× (1 + 0,05)10

Ejemplo 21. Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior, pero suponiendo que el tipo de interés anual es del 4%. Nos encontramos con el caso especial de q = 1 + i , que simplifica los cálculos. 2/

S(4.000, 1,04) 10 0,04 = (1 + 0,04)

2

10-1

(1 + 0,04)

×

S(4.000, 1,04) 10 0,04 = (1 + 0,04)

2

x 10 x 4.000 x

= 61.578,16€

Ejemplo 22. Calcular el valor actual de una renta variable en progresión geométrica, diferida tres períodos, prepagable y perpetua, sabiendo que el valor del primer término es de 16.000€ y que los siguientes aumentan un 3% cada uno con respecto al anterior. El tipo de interés anual es del 4%. Las rentas variables en progresión geométrica perpetuas sólo se pueden plantear cuando la razón q presenta valores inferiores que 1 + i (como en el ejemplo). 3/

 (16.000, 1,03) ∞ 0,04 = (1 + 0,04)-3 × Â (16.000, 1,03) ∞ 0,04 =

(1 + 0,04)-3 × (1 + 0,04) × 16.000 1 + 0,04 – 1,03

= 1.479.289,94€

Ejemplo 23. Se podría calcular el valor actual de la renta del ejemplo anterior, si el tipo de interés anual fuese del 2%. No, ya que las rentas variables en progresión geométrica perpetuas sólo se pueden plantear cuando la razón q presenta valores inferiores que 1 + i. En este ejemplo, esta condición no se da (q > 1 + i)

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

4.3. Rentas variables sin seguir una ley conocida. Son aquellas rentas en las que sus términos varían de forma aleatoria, sin seguir ningún tipo de ley.

0

C1

C2

1

2

................................................ Cn-1

.................................................... n-1

Cn

n

El valor actual de la misma, lo calculamos por suma de los valores actuales de cada uno de sus términos: Valor actual: C1 x (1 + i)-1 + C2 x (1 + i)-2 +………………….+ Cn-1 x (1 + i)-(n-1) + Cn x (1 + i)-n El valor final se determina trasladando todos sus términos al final del período en el que vence el último término. Valor final: C1 x (1 + i)n-1 + C2 x (1 + i)n-2 +………………….+ Cn

Ejemplo 24. Calcular el valor actual y el valor final de una renta variable de 5 términos anuales que ascienden a 20.000€, 25.000€, 22.000€, 36.000€ y 41.000€ y que vencen, respectivamente, dentro de 1, 2, 3, 4 y 5 años. El TAE de la operación es del 4%

0

20.000

25.000

22.000

36.000

41.000

1

2

3

4

5

Valor actual: 20.000 x (1 + 0,04)-1 + 25.000 x (1 + 0,04)-2 + 22.000 x (1 + 0,04)-3 + 36.000 x (1 + 0,04)-4 + 41.000 x (1 + 0,04)-5 = 126.374,56€ Valor final: 20.000 x (1 + 0,04)4 + 25.000 x (1 + 0,04)3 + 22.000 x (1 + 0,04)2 + n 36.000 x (1 + 0,04)1 + 41.000 = 153.753,97€ Valor final = valor actual x (1 + i)

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

5. RENTAS VARIABLES DE TANTO. Son aquellas rentas en que, con independencia de que sus términos sean variables o constantes, pospagables o prepagables, el tipo evaluatorio i de las mismas, varía de unos períodos a otros.

i1

0

i2

C

C ......................... C

C

C ……………………………….…. C

1

2

n1 +1

n1 +2

n1

n1 + n2

n = n1 + n2

Para calcular el valor actual de este tipo de rentas, habrá que descomponerlas en tantos tramos como tipos de interés se apliquen. Posteriormente, se sumarán los valores de cada uno de esos tramos en el momento 0.

Valor actual = C x

an  1

i1 + (1+i1)

-n1

x

an  2

i2

De la misma forma, encontramos el valor final, capitalizando los distintos tramos de la renta al final del año n.

Valor final = C x

Sn1 i 1 x

( 1 + i 2) n2 +

Sn2 i 2

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 25. Calcular el valor actual y el valor final de una renta prepagable de 6 términos constantes de 10.000€ cada uno, si el TAE para los 4 primeros períodos es del 6% y para los 2 últimos del 5%

i 1 = 0,06

i 2 = 0,05

10.000

10.000

10.000

10.000

0

1

2

3

Valor actual: 10.000 x

Valor final: 10.000 x

â4 0,06 + (1,06)

-4

x 10.000 x

10.000 10.000

4

5

6

â2 0,05 = 52.194,81€

Ŝ4 0,06 x (1,05)2 + 10.000 x Ŝ2 0,05 = 72.648,95€

Otra forma de calcular el valor final: 1

2

Valor final: valor inicial x (1 + i )n1 x (1 + i )n2 = 52.194,81 x (1,06)4 x (1,05)2 = 72.648,95€

Ejemplo 26. Calcular el valor actual y el valor final de una renta variable en progresión aritmética pospagable de razón 2.000€, primer término de 20.000€ y duración 8 períodos. El TAE para los 4 primeros años es del 4% y para los 4 últimos del 5%.

i 1= 0,04

i 2 = 0,05

20.000 22.000 24.000 26.000 28.000 30.000 32.000 34.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 26 (continuación)

Valor actual: Valor final:

A(20.000, 2.000) 4 0,04 + (1,04)

-4

x

A(28.000, 2.000) 4 0,05 = 176.726,25€

S(20.000, 2.000) 4 0,04 x (1,05) + S(28.000, 2.000) 4 0,05 = 251.299,50€ 4

Otra forma de calcular el valor final: 1

2

Valor final: valor inicial x (1 + i )n1 x (1 + i )n2 = 176.726,25 x (1,04)4 x (1,05)4 = 251.299,50€

6. RENTAS FRACCIONADAS. Son aquéllas en las que el período de capitalización del tanto no coincide con el período de vencimiento del término de la renta. Se pueden dar dos situaciones diferentes: 6.1. Término anual y tanto de frecuencia m. El término de la renta se percibe anualmente, mientras que el tanto de capitalización es de frecuencia inferior al año: para encontrar el valor de este tipo de rentas habrá que referir los dos parámetros a la misma unidad de tiempo, y esto se puede hacer mediante dos procedimientos: a) Calcular el tanto efectivo anual i, a partir del tanto de frecuencia m (im), según la siguiente fórmula:

i = (1 + im)m - 1 b) Calcular un término C´ equivalente, para la renta dada, que coincida con el período de capitalización de frecuencia m, teniendo en cuenta que ahora, la duración de la renta no debe expresarse en años, sino en m × n períodos. Para encontrar el término equivalente, habrá que distinguir entre rentas pospagables y prepagables. En las rentas pospagables, este término será igual a:

C´=

C

Sm im

= C m

x jm i

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En las rentas prepagables, este término será igual a:

C´=

C

â m im

= C

x jm x

(1 + i)

i

(1 + i)1/m

m

6.2. Término de frecuencia m y tanto anual. En este caso, el período de capitalización es superior al período en que se percibe la renta, es decir, nos dan el interés efectivo anual i, mientras que el término de la renta se percibe m veces dentro del año: para encontrar el valor de este tipo de rentas fraccionadas, habrá que referir los dos parámetros a la misma unidad de tiempo. Existen dos procedimientos: a) Calcular el interés de frecuencia m (im), a partir del tanto efectivo anual i, según la fórmula:

im = (1 + i )1/m - 1 La duración de la renta vendrá expresada en m × n períodos. b) Calcular un término C equivalente, para la renta dada, que coincida con el período de capitalización anual. Para el cálculo de este término equivalente se debe distinguir entre rentas pospagables y prepagables. En las rentas pospagables, este término C será igual a:

C = C´x Sm im = C´x m x i jm En las rentas prepagables, C será igual a:

C = C´x â m im = C´x m x i x (1 + i)1/m jm (1 + i) www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 27. Hallar el valor actual y final de una renta temporal, inmediata, pospagable y constante de 1.000€ mensuales durante cuatro años, sabiendo que el tipo de interés anual efectivo es del 10,0338693% OPCIÓN A) Calcular i12 equivalente a i = 0,100338693

i12 = (1 + 0,100338693 )1/12 – 1 = 0,008 El valor actual de la renta mensual constante unitaria, de 48 términos, inmediata y pospagable será igual a: 1 – ( 1 + 0,008 ) - 48

a48 0,008

= 39,728389

= 0,008

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (1.000€):

Va48 0,008 = a48 0,008

× 1.000€ = 39,728389 × 1.000€ = 39.728,39€

El valor final de la renta, se calculará de la siguiente forma:

VS48 0,008 = Va48 0,008

× ( 1 + 0,008) 48 = 58.238,07€

OPCIÓN B) Calcular un término anual C equivalente a C´ mensual. Al tratarse una renta pospagable:

C = C´ x m x i

= 1.000 x 12 x 0,100338693 = 12.542,34€

jm

0,096

El valor actual de la renta anual constante unitaria, de 4 términos, inmediata y pospagable será igual a:

a4 0,100338693

=

1 – ( 1 + 0,100338693) - 4

= 3,167542797

0,100338693

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 27 (continuación) A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término C calculado anteriormente (12.542,34€):

Va4

0,100338693 = 39.728,39€

a4

0,100338693 × 12.542,34€ = 3,167542797 × 12.542,34€ =

El valor final de la renta, se calculará de la siguiente forma:

VS4 0,100338693 = Va4 0,100338693 × ( 1 + 0,100338693)

4

= 58.238,07€

Ejemplo 28. Calcular el valor actual de una renta pospagable, constante de 600€ trimestrales, si su duración es perpetua y el tipo de interés del mercado se estima en un 4% efectivo anual. OPCIÓN A) Calcular i4 equivalente a i = 0,04

i4 = (1 + 0,04)1/4 – 1 = 0,0098534 El valor actual de la renta trimestral constante unitaria, perpetua, inmediata y pospagable será igual a:

a∞ 0,0098534 =

1 / 0,0098534 = 101,487881

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (600€):

Va∞ 0,0098534 = a∞ 0,0098534

× 600€ = 101,487881 × 600€ = 60.892,73€

OPCIÓN B) Calcular un término anual C equivalente a C´ trimestral. Al tratarse una renta pospagable:

C = C´ x m x i

= 600 x 4 x

jm

0,04

= 2.435,71€

0,0394136

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 28 (continuación) El valor actual de la renta anual constante unitaria, perpetua, inmediata y pospagable será igual a:

a∞ 0,04 =

1 / 0,04 = 25

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (2.435,71€):

Va∞ 0,04 = a∞ 0,04

× 2.435,71€ = 25 × 2.435,71€ = 60.892,73€

Ejemplo 29. Calcular el valor actual y final de una renta temporal, inmediata, prepagable y constante de 2.000€ trimestrales durante 5 años sabiendo que el TAE es del 8%. OPCIÓN A) Calcular i4 equivalente a i = 0,08

i4 = (1 + 0,08 )1/4 – 1 = 0,0194265

El valor actual de la renta trimestral constante unitaria, de 20 términos, inmediata y prepagable será igual a:

â20 0,0194265 = ( 1 + 0,0194265) ×

1 – ( 1 + 0,0194265)-20

= 16,761707 0,0194265

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (2.000€):

Vâ20 0,0194265 = â20 0,0194265 ×

2.000€ = 16,761707 × 2.000€ = 33.523,42€

El valor final de la renta, se calculará de la siguiente forma:

VŜ20 0,0194265

=

Vâ20 0,0194265

× ( 1 + 0,0194265) 20 = 49.256,85€

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Ejemplo 29 (continuación) OPCIÓN B) Calcular un término anual C equivalente a C´ trimestral. Al tratarse una renta prepagable:

C = C´ x m x i x (1 + i)1/m

jm

= 2.000 x 4 x

(1 + i)

0,08

x (1 + 0,08)1/4

0,077706

= 7.774,23€

(1 + 0,08)

El valor actual de la renta anual constante unitaria, de 5 términos, inmediata y prepagable será igual a:

â5 0,08 = ( 1 + 0,08) ×

1 – ( 1 + 0.08)-5

= 4,3121268 0,08

A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (7.774,23€):

Vâ5 0,08 = â5 0,08 ×

7.774,23€ = 4,3121268 × 7.774,23€ = 33.523,42€

El valor final de la renta, se calculará de la siguiente forma:

VŜ5 0,08

=

Vâ5 0,08

× ( 1 + 0,08) 5 = 49.256,85€

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

ACTIVIDADES FINALES 1.

¿Cuántas anualidades pospagables de 200.000€ podremos recibir depositando hoy en una institución financiera 3.124.416€., si el tanto de la operación se fija en el 4% compuesto anual?.

2.

Calcular la renta que podrá cobrarse al final de cada año y durante 15 años, depositando hoy en una institución financiera 1.000.000€, al 9% de interés compuesto anual.

3.

Determinar el tanto compuesto anual al que se valoró una renta anual, inmediata, pospagable, de 20 términos de 52.000€ cada uno, si su valor actual es de 461.781,15€.

Hay que utilizar tablas financieras o EXCEL.

4.

Un padre, al nacer su hijo, decide depositar 100€ en una institución financiera al 9% de interés compuesto anual en cada uno de sus cumpleaños. Calcular el capital acumulado cuando el hijo tenga 12 años.

5.

Un inversor realiza en una institución financiera imposiciones de 15.000€ al final de cada año. ¿Qué tanto de valoración se aplicó a dichas imposiciones si el valor que logró reconstruir en 15 años ha sido de…?: a) 376.935€. b) 315.000€.

Hay que utilizar tablas financieras o EXCEL.

6.

Una persona desea comprar un piso y le ofrecen dos opciones distintas de pago: a) Pagar hoy 72.121,45€ y transcurridos 2 años, 48.080,97€. b) Pagar al final de cada año y durante 10 años, 16.828,34€.

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

Si la valoración se hace al 8% de interés compuesto anual, determinar cuál de las dos opciones le es más ventajosa.

7.

Calcular el valor de una finca hoy sabiendo que la renta perpetua que se va a percibir por ella es de 200.000€ al final de cada año, si el tanto de valoración es del 8% de interés compuesto anual.

8.

Las condiciones de pago en la compra de un piso son las siguientes: • • •

39.065,79€ en el momento de formalización del contrato. 60.101,21€ a la entrega de las llaves, que tendrá lugar dos años después de la formalización de la compra. 9.015,18€ anuales durante 10 años, venciendo el primer pago un año después de la entrega de llaves.

Si el tipo de interés para la valoración es el 9% anual, calcular el valor del piso: a) En el momento de formalización del contrato. b) En el momento de la entrega de llaves. c) Una vez pagada la última anualidad (en ese momento).

9.

¿A qué tanto de interés compuesto anual se hicieron 5 imposiciones anuales pospagables de 50.000 € cada una, si se logró reconstruir un capital de 272.000€?.

Hay que utilizar tablas financieras o EXCEL.

10. El señor X ha venido depositando la cantidad de 1.500.000€ a finales de los últimos 4 años en un banco, que valora la operación a un 3% de interés compuesto anual. En la actualidad, el señor X, interesado en adquirir una casa de 9.000.000€, paga una cantidad al contado (equivalente al fondo acumulado durante los cuatro años anteriores) y por el resto pide un préstamo a una caja de ahorros, que le exigirá un interés anual del 5%. a) Determinar la cuantía del fondo acumulado durante los cuatro años y la cantidad que tendrá que pedir como préstamo. www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

b) Calcular la cuantía constante que tendrá que pagar a la caja de ahorros a finales de los siguientes 6 años.

11. Calcular el valor final de una renta constante, prepagable e inmediata, sabiendo que su valor actual es de 20.000€, el tiempo cinco años y el interés anual el 4%.

12. Determinar el valor actual de dos rentas, la primera pospagable y la segunda prepagable, constantes, de 5.000€, si su duración es de 8 años y el interés anual del 3,5%, con un diferimiento de dos y tres años, respectivamente.

13. Doña Juana Álvarez, propietaria de un apartamento en Murcia, desea saber qué cantidad debe cobrar a un inquilino en concepto de alquiler, a principio de cada mes, durante los próximos 20 años, para amortizar la compra del apartamento (60.000€). El tanto de valoración de la operación es del 1% mensual.

14. Tres hermanos heredan los siguientes bienes: • • •

Una finca que genera un rendimiento de 10.000€ al final de cada año. Una nave industrial, por la que se percibe un alquiler de 12.000€ a comienzos de cada año. 20.000€ depositados hace 6 años en una entidad financiera.

Si el interés compuesto anual al que se valoran las distintas operaciones es del 4%: determinar el valor de la parte de herencia que corresponde a cada hermano.

15. Una persona ha percibido el primer día de los años 2003, 2004, 2005 y 2006, una cantidad de 10.000€. Valorar esa renta en el momento actual (1 de enero de 2011) si el tanto de valoración anual es del 5%.

16. Calcular el valor de un patrimonio (en base a un tanto efectivo anual del 5%), que está compuesto por: • •

Una finca que genera un rendimiento a comienzo de cada semestre de 4.300€. Otra finca que genera un rendimiento al final de cada cuatrimestre de 1.600€. www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

• •

El derecho a una pensión mensual pospagable de 500€ durante 15 años, sabiendo que la primera paga se recibirá dentro de 7 meses. Dieciséis aportaciones trimestrales prepagables de 1.000€ a una entidad bancaria, sabiendo que la primera aportación se realizó hace cuatro años.

17. Hoy, día 1 de enero de 2005, recibimos como herencia los siguientes bienes y derechos: •

• • •

Un negocio que genera un rendimiento mensual pospagable de 1.500€. No obstante, según lo establecido en el testamento, el primer rendimiento se obtendrá el 31 de enero de 2008. Dos fincas que generan un rendimiento de 6.000€ cada una, la primera a comienzos de cada trimestre y la segunda, a finales de cada cuatrimestre. El derecho a una pensión semestral prepagable de 400€ durante 10 años, sabiendo que la primera paga se recibirá dentro de 6 meses (1 de julio de 2005) . Cinco aportaciones anuales pospagables de 8.000€ a una entidad bancaria, sabiendo que la última aportación se realizó hace dos años (31 de diciembre de 2002).

Representar gráficamente las distintas rentas y calcular el valor de la herencia con fecha 1 de enero de 2005. El tanto efectivo anual al que se debe valorar la herencia es el 4%.

18. Calcular el valor actual y final de una renta de 15 términos, variable en progresión aritmética de razón 500€, inmediata, pospagable, siendo el primer término 5.000€ y el tipo de interés el 6% anual compuesto. l primero de 15.000 € y el tipo de interécom34 €; c) 137.700 €; d) 143.208 € 19. Calcular el valor actual de una renta perpetua, variable en progresión aritmética de razón 6.000€, inmediata, pospagable, siendo el primer término 40.000€, y el tanto de valoración el 7% anual compuesto.

20. Dª Sonia Cobos decide hacer imposiciones en una entidad bancaria, al final de cada año, de 200€, 300€, 400€ y así sucesivamente durante 10 años, al 9% de interés compuesto anual. a) ¿Cuál será el capital constituido después de realizada la décima imposición?. www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

b) ¿Qué renta anual constante podrá percibir durante 6 años con el capital constituido si el tipo de valoración es el 9% compuesto anual?.

21. Calcular la cuantía del primer término de una renta anual, variable en progresión aritmética de razón 700€, inmediata, pospagable, que deberá imponerse al 8% compuesto anual, para reconstruir en 10 años un capital de 763.586€

22. En una finca se van a realizar mejoras durante 2 años, en los cuales va a permanecer improductiva. A partir de entonces los beneficios esperados al final de cada año serán, 350.000€, 400.000€, 450.000€, y así sucesivamente. Calcular el valor actual de los beneficios esperados, si el tanto de valoración es el 7% anual compuesto.

23. Calcular los ingresos actualizados que se obtienen de la explotación de una autopista durante 12 años, suponiendo que: • • • •

El número de vehículos que cada año la utilizan es: el 1º) 100.000, el 2º) 125.000, el 3º) 150.000 y así sucesivamente. El precio medio del peaje es de 20 € por vehículo. El tipo de valoración es el 8% anual compuesto. Los ingresos se obtienen al final de cada año.

24. Una sociedad adquiere una nave industrial, teniendo dos opciones para pagarla: • •

6.750.000€ al contado. 1.000.000€ en el momento de la compra; una renta anual constante de 4 términos, cada uno de 600.000€, venciendo el primero a los dos años de la compra; y además, una renta variable en progresión aritmética de razón 10.000€, durante 6 años, venciendo el primer término transcurrido un año del vencimiento de la última anualidad constante.

Si el tanto de interés para la valoración es el 7% compuesto anual, calcular la cuantía del primer término de la renta variable en progresión aritmética, para que las dos opciones de compra sean equivalentes.

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25. Un club de recreo cuenta hoy, momento de su apertura, con 300 socios. Cada año el número de socios se incrementará en 50 respecto del año anterior, hasta llegar como máximo a tener 500 socios. Si la cuota por socio es constante de 180 € anuales pagaderas al principio de cada año, calcular los ingresos actualizados que obtiene el club durante los 10 primeros años, siendo el tanto de valoración el 6% compuesto anual. 26. Hace 5 años una persona invirtió un capital de 5.000€ al 6% compuesto anual. Hoy, con el montante obtenido, desea percibir una renta de 8 términos anuales, variable en progresión aritmética de razón 50€, cobrando la primera anualidad transcurrido un año. Si el tipo de valoración de esta renta es el 4% anual compuesto, calcúlese la cuantía del primer término. 27. Se contrata el alquiler de un local por 12 años, y se estipula una renta anual prepagable de 1.000€ para el primer año, de 1.100€ para el segundo, de 1.200€ para el tercero, y así sucesivamente. Si, cuando el dueño recibe el importe del alquiler, lo deposita en un fondo que capitaliza al 7,5% de interés compuesto anual, averiguar el capital constituido al cabo de los 12 años de la duración del contrato. 28. Hallar la rentabilidad esperada de una finca que cuesta hoy 3.086.420 €, sabiendo que los ingresos esperados comenzarán siendo de 500.000€ el primer año, creciendo después en progresión aritmética a razón de 10.000€/año de forma indefinida. 29. Calcular el valor actual y final de una renta inmediata, pospagable, variable en progresión geométrica de razón 1,03, si el número de términos es 9, el primer término 10.000€, y el tanto de valoración el 7% compuesto anual. 30. Igual que el ejercicio anterior, pero con un tanto de valoración del 3% compuesto anual. 31. Calcular el valor actual de una renta perpetua, inmediata, pospagable, variable en progresión geométrica a razón del 2% anual acumulativo, si la cuantía del primer término es de 6.000€ y el tanto de valoración el 5% compuesto anual. 32. Calcular el valor actual de una renta de 10 términos, variable en progresión geométrica de razón 1,04, si el primer término es de 12.000€, el tanto de valoración el 4% compuesto anual, y la renta es diferida 3 años y prepagable.

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

33. Calcular el valor actual de una renta perpetua, variable en progresión geométrica, que crece a razón de un 9% anual acumulativo, si el primer término es de 8.000€, el tanto de valoración el 10% compuesto anual, y la renta es diferida 5 años y prepagable. 34. Igual que el ejercicio anterior, pero con un interés compuesto anual del 9%. 35. Calcular la cuantía de los 8 términos de una renta variable en progresión geométrica, que crece a razón de un 3% acumulativo, que se deben imponer en una entidad bancaria al final de cada año al 8% compuesto anual, si se desea constituir un capital de 7.594.080€ 36. Un Ayuntamiento desea solucionar la peligrosidad de un cruce, y a tal efecto se le presentan dos opciones: a) Construir un paso elevado que supone los siguientes desembolsos: • • •

Al comienzo de la obra, 200.000€ Al final de cada uno de los 3 años que duran las obras, 250.000€ Gastos de mantenimiento de 3.000€ al final del 4º año, incrementándose anualmente en 500 €

b) Poner unos guardias de circulación que percibirán unos ingresos anuales de 60.000 € que se irán incrementando en un 8% anual acumulativo (suponer que los ingresos de los guardias se perciben al final de cada año). Si el tanto de valoración es el 7% compuesto anual, calcular cuál de las opciones es más ventajosa para el Ayuntamiento considerando que la solución fuera válida para 25 años. 37. Una institución social ofrece una beca para hacer una carrera universitaria de 5 cursos por la que se compromete a entregar a la persona becada 2.000€ al comienzo de cada curso. Si el tanto de valoración es el 8% compuesto anual calcular: a) El valor actual de la beca. b) La cuantía de cada término de la renta variable en progresión geométrica creciente a razón del 4% anual acumulativo equivalente a la renta anual constante propuesta, que podría percibir al comienzo de cada curso.

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UNIDAD 5

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38. Una persona ha depositado un capital en una institución financiera que le da derecho a cobrar una renta anual de 12 términos, inmediata, pospagable, variable en progresión aritmética de razón 500€, siendo la cuantía del primer cobro de 2.500€ Si el tipo de interés fijado para la valoración es el 10% compuesto anual, calcular: a) El capital depositado. b) La renta anual de 10 términos inmediata, pospagable, variable en progresión geométrica creciente a razón del 3% anual acumulativo, equivalente a la renta propuesta. c) La renta anual, inmediata, pospagable, constante, de 7 términos, equivalente a cualquiera de las dos anteriores. 39. Se desea constituir en 18 años un capital de 15.000€, haciendo imposiciones constantes, anuales, al final de cada año, en un fondo que ofrece capitalizar: - Desde hoy hasta el final del año 4, al 8%. - Desde el comienzo del 5 hasta el final del 12, al 9%. - Desde el comienzo del 13 hasta el final del 18, al 10%. Calcular la anualidad.

40. Calcular el importe de un préstamo que se amortiza mediante una renta de 4.000€ trimestrales, de 15 términos, diferida dos años y prepagable, si se contrató al: a) 1% mensual compuesto. b) 3% trimestral compuesto. c) 12% anual compuesto.

41. Averiguar (de las dos formas estudiadas en clase) el valor hoy de una finca en función de la renta que produce, si genera unos ingresos trimestrales pospagables a perpetuidad de 14.000€ y se valora al 6% compuesto anual.

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UNIDAD 5

UNIDAD 5. RENTAS

42. Una casa de aparatos de alta fidelidad nos propone la venta de un equipo de música al contado por 3.000€ o, a plazos, en 24 mensualidades de 150€ cada una, pagando la primera en el momento de la compra. Si el tanto de valoración es el 10% de interés compuesto anual, determinar cuál de las dos opciones nos resulta más ventajosa. 43. Hace 5 años una persona depositó 40.000€ al 7% de interés compuesto anual. Hoy, con el montante obtenido, realiza las siguientes operaciones: • • •

Paga una deuda que asciende al 10% del montante. Paga al contado un coche cuyo coste es de 24 mensualidades vencidas de 625€, valoradas al 9% anual. El resto lo deposita en una entidad financiera al 4% de interés compuesto anual para percibir con ello una renta trimestral inmediata pospagable durante 6 años.

Calcular: a) El importe del montante. b) El importe de la deuda. c) Cantidad que deposita en la entidad financiera. d) Cantidad trimestral que tiene derecho a percibir de la entidad financiera si se realiza el primer cobro al final del primer trimestre.

44. Para la compra de un coche que vale al contado 18.000€, la casa vendedora nos ofrece la posibilidad de pagarlo en 2 años haciendo pagos mensuales. a) Averiguar la mensualidad vencida que nos permite pagar el coche, si el tanto que exige el vendedor por el aplazamiento es el 8,5% anual compuesto. b) Si el vendedor nos exige el pago de 24 mensualidades vencidas de 877,50€ cada una, ¿qué tanto se está aplicando por el aplazamiento?.

45. Depositamos 35.000€ a comienzos de cada trimestre en una entidad bancaria que capitalizará nuestro dinero de la siguiente forma: a) El primer año, a un tipo de interés trimestral del 4%. b) El segundo año, a un tipo de interés efectivo anual del 13%. c) El tercer año, a un interés nominal capitalizable por trimestres del 12%. www.davidespinosa.es

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UNIDAD 5

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Calcular el montante constituido a los tres años.

46. Una tienda de regalos ofrece una colección de bandejas por 350€ en el momento de la compra, y 12 mensualidades pospagables de 175€ Averiguar el tanto mensual equivalente y el tanto anual equivalente (TAE) a los que resulta la operación, si al contado valen las bandejas 2.300€

47. Una cafetería se cede en arrendamiento por 5 años al precio de 1.000€ al mes, pagaderos por anticipado. Determinar cuáles serán los ingresos que al final de cada año debe obtener el arrendatario, si desea alcanzar al menos una rentabilidad del 17% anual y sabe que: - Los gastos de personal son de 700€/mes. - Los gastos de agua y luz son de 600 € cada dos meses. - Bebidas: 3.000 € al mes. Todos estos gastos se pagan por vencido.

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