TIPOS DE FUNCIONES Repasar los conceptos de dominio, rango, gráfica , elementos esenciales y transformaciones de las funciones: lineal, cuadrática, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica. Ing. Caribay Godoy Rangel

FUNCIONES ALGEBRÁICAS 

Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios.

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En general se denota como:

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Entre las funciones algebraicas tenemos la función polinomial, constante, lineal, cuadrática.

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También tenemos las racionales, radicales y especiales (seccionadas).

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FUNCIONES TRASCENDENTES 

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.

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En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

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Estas son las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

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FUNCIÓN LINEAL 

Cualquier función que se pueda escribir en la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Se llama función lineal. Teniéndose una versión de la misma, para cuando el coeficiente “a” es 0, quedando: 𝑓 𝑥 =𝑏 Al cual le llamamos función constante. 𝑓 𝑥 =2

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𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 5

FUNCIONES CUADRÁTICAS 

Cualquier función que se pueda escribir en la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Donde a, b y c son números reales con 𝑎 ≠ 0 , se llama función cuadrática.

Si a f(x) = 0 tendremos la ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Para obtener las raíces se puede factorizar o emplear la formula general.

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FUNCIONES CUADRÁTICAS 

Su gráfica es una parábola con vértice (ℎ, 𝑘), que es el valor máximo o mínimo de la función.

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El vértice se puede obtener de dos maneras:

1.- Si la ecuación está escrita de la siguiente manera: 𝑦−𝑘 =𝑎 𝑥−ℎ

2

o𝑦 =𝑎 𝑥−ℎ

2

+𝑘

En la que se podría obtener las coordenadas del vértice directamente, para esto también debemos repasar como se “mueve” la gráfica de la función original 𝑦 = 𝑥 2 http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/vertex-of-aparabola.html

2.- Cuando la función está escrita de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Se puede utilizar las fórmulas: Ing. Caribay Godoy Rangel

ℎ=

𝑏 − 2𝑎

y𝑘=

4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎

FUNCIÓN RADICAL 

Una ecuación radical, tiene la siguiente forma: 𝑦2 = 𝑥

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Esta es una parábola que abre hacia la derecha (o izquierda dependiendo del signo)

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Si hacemos la prueba de la recta vertical no es función por lo que tendríamos que restringir el rango.

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FUNCIÓN RACIONAL 

La notación de las funciones racionales, son funciones que tienen como denominador a una función.

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Una función racional es un cociente de dos polinomios. Función numerador

𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = , ℎ(𝑥) ≠ 0 ℎ(𝑥) Función denominador

Lo característico de estas funciones es que el dominio está compuesto por todos los reales exceptuando los ceros del polinomio del denominador en la función racional. Ing. Caribay Godoy Rangel

FUNCIÓN RACIONAL Y SUS CARACTERÍSTICAS 

ASINTOTAS: estas son líneas que nunca tocan la función pero que se encuentran muy cercanas a ella.

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ASINTOTAS VERTICALES:

1.

Las asíntotas verticales se obtienen para los valores de x que anulan la función del denominador.

2.

Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales.

3.

La gráfica de una función racional NO corta a sus asíntotas verticales

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FUNCIÓN RACIONAL Y SUS CARACTERÍSTICAS 

ASINTOTAS HORIZONTALES:

Si f es una función racional definida por el cociente de dos polinomios:

Entonces podremos tener tres casos para las asíntotas horizontales: 1.

Para 𝑛 < 𝑚, la recta y=0 (eje x) es la asíntota horizontal.

2.

Para m=n, la recta 𝑦 =

3.

Para 𝑛 > 𝑚, no hay asíntotas horizontales.

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𝑎𝑛 𝑏𝑚

es la asíntota horizontal.

HUECOS DE LA FUNCIÓN RACIONAL 

Antes de proceder a conseguir las asíntotas es importante que observar que el numerador y el denominador no tengan factores 𝑝(𝑥) comunes. 𝑓 𝑥 = 𝑞(𝑥)

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Si tienen factores comunes, entonces tocará simplificarla dando así 𝑝 (𝑥) una nueva función racional. 𝑔 𝑥 = 1 𝑝2 (𝑥)

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En donde las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) tienen las mismas asíntotas y sus gráficas difieren en el punto 𝑥 = ℎ correspondiente al factor común de los polinomios.

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El punto correspondiente se le llama hueco de la función 𝑓(𝑥), y tiene coordenada 𝐻(ℎ, 𝑔(ℎ)).

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El punto H no pertenece a 𝑓(𝑥) pero si pertenece a la función 𝑔(𝑥), se dice entonces que en este punto 𝑓(𝑥) tiene una discontinuidad removible. Ing. Caribay Godoy Rangel

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EJEMPLO: Determina las asíntotas verticales y horizontales, y traza la gráfica de la función. 2𝑥 2 + 5𝑥 + 2 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 −𝑥−2

SOLUCIÓN: Antes de tratar de igualar el denominador a cero, factoricemos tanto el numerador como el denominador para determinar si la función tiene términos comunes. 2𝑥 2 + 5𝑥 + 2 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 𝑓 𝑥 = 2 = 𝑥 −𝑥−2 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 2𝑥 + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥−1 ´La gráfica de la función 𝑔(𝑥) respecto a la de 𝑓(𝑥) solo diferirán en el Hueco: Obtener el hueco de la función: Del factor que tenían en común obtengo el valor de 𝑥 = −2 Evalúo este valor obtenido en la función 𝑔(𝑥) = −2 Ing. Caribay Godoy Rangel

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EJEMPLO: Determina las asíntotas verticales y horizontales, y traza la gráfica de la función. 2𝑥 2 + 5𝑥 + 2 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 −𝑥−2

SOLUCIÓN: Observemos entonces que en la función g(x), la asíntota vertical es x=1, y la horizontal es y=2. 2𝑥 + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥−1

Ing. Caribay Godoy Rangel

EN RESUMEN: ¿QUÉ DEBO TOMAR EN CUENTA CUANDO TENGO UNA FUNCIÓN RACIONAL? 

Debemos intentar factorizar numerador y denominador y ve si tienen factores en común, si es así tendremos la función g(x), y un hueco en H(h, g(h)).

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La asíntota vertical la obtengo al igualar el denominador a cero.

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La asíntota vertical depende del grado del polinomio del numerador y denominador:

1.

Si 𝑛 < 𝑚, la recta y=0 es la asíntota horizontal.

2.

Si 𝑛 = 𝑚, divido los coeficientes de los términos lineales, y el número que obtengo es la asíntota horizontal.

3.

Si 𝑛 > 𝑚, no tiene asíntotas horizontales.

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Si el grado del numerador es mayor en 1 unidad al del denominador, tendremos una asíntota oblícua.

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El dominio está formado por todos los números reales excepto los que anulen el denominador (asíntota vertical).

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El rango está formado por todos los números reales excepto por el valor de la asíntota horizontal. Ing. Caribay Godoy Rangel