11 de diciembre del 2009

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TORRE DE CONTROL DEL AEROPUERTO DE ABU DHABI

Proyecto primer cuatrimestre | Pablo Navarro Aguirre

TORRE DE CONTROL DEL AEROPUERTO DE ABU DHABI

ÍNDICE • ENTREGA 1 ………………………………………3 -> Previsualización del proyecto y planificación de las figuras que lo forman

• ENTREGA 2……………………………………....5 -> Parametrización de la figura

• ENTREGA 3……………………………………….8 -> Representación gráfica de la figura

• ENTREGA 4……………………………………….9 -> Cálculo de circulaciones y flujos

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ENTREGA 1 – PRESENTACIÓN DEL PROYECTO Para realizar mi proyecto me voy a basar en la torre de control del aeropuerto de Abu Dhabi. Esta torre es un rascacielos de 106 metros de altura que incorpora 5 plantas de oficinas en su base y el convencional centro de operaciones en lo alto. La forma de la torre se asemeja a una luna creciente, símbolo del oriente medio.

La base de la torre será un triángulo equilátero. De cada lado saldrán superficies hiperbólicas hasta una cierta altura, en la que darán apoyo un toro. Sobre este toro se situará un cilindro y, cerrando todo el volumen, una semiesfera.

Figura 1 – Foto de la torre

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Para terminar de cerrar completamente toda la estructura se situará entre el toro y los cilindros un disco de radio igual al radio mayor del toro.

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Esta será principalmente la representación de la torre. No es exactamente igual que la torre real, pero creo que el diseño es correcto y me gustaba la posibilidad de que la torre tuviese esa simetría que le da el hecho de que los tres lados sean iguales. Además, esta simetría me da la posibilidad de trabajar los cambios de ejes en las parametrizaciones y creo que puede ser un ejercicio muy bueno para practicar. Según aparece en la foto, la torre dispone de un ascensor cilíndrico en su interior, que en caso de ser necesario puede incluirse en la parametrización. Si este proyecto no pudiera realizarse por cualquier causa tengo pensados la estatua de Colón de Barcelona y la catedral de Brasilia como posibles sustitutos.

Figura 2 – Catedral de Brasilia

Figura 3 – Estatua de Colón de Barcelona

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ENTREGA 2 – PARAMETRIZACIÓN DE LA FIGURA (Nota: Los nombres de las funciones están referidos a la siguiente página, donde aparecen todos ellos.) La torre tiene una base con forma de triángulo equilátero de lado 42√3 y, por tanto, altura 63, cuyo baricentro se encuentra en la posición (0,0,0) como se ve en la ecuación M. De cada uno de sus lados, emergen hacia arriba sendos cilindros parabólicos hasta una altura de 60, como se puede observar en las ecuaciones F, G y H. Para definir el dominio de cada variable, he fijado inicialmente la altura, t. Después, para poder fijar v en función de t, observé que la coordenada x de la intersección de los dos cilindros no paralelos al mismo eje, por simetría debía ser igual a 0, para cualquier valor de t. Una vez encontrado el primer v(t), al ver que todos los cilindros son simétricos, solo quedaba cambiar el signo para obtener el otro límite. Y como los cilindros son iguales, pero Figura 4 - Cilindros con orientaciones diferentes, no hacía falta calcular ningún límite más, ya que todos eran iguales. Una vez superada la parte complicada de la parametrización todo resultó más fácil y rápido. Solo quedaba medir el radio del toro que va encima de los cilindros. Mirando el primer cilindro (el paralelo al eje x) e imponiendo que t es igual 60 (Altura máxima de los cilindros) se puede obtener la distancia al baricentro (distancia al eje x) y, multiplicándola por 2 se puede obtener el radio del toro (ecuación J). Para finalizar sólo queda colocar un disco debajo del toro (ecuación N) y el cilindro y la semiesfera que completan la torre (figuras K y L respectivamente) Figura 5 – Toro, cilindro y semiesfera de la parametrización

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Las figuras y parametrizaciones son las siguientes:  Triángulo equilátero de lado 42√3 centrado en su baricentro y en el plano 𝑧𝑧 = 0. 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 0) 𝑦𝑦 ∈ [−21,42]

𝑦𝑦 − 42 𝑦𝑦 + 42 𝑥𝑥 ∈ � , � √3 √3

 Tres cilindros parabólicos que se inician en cada lado del triángulo y emergen hacia arriba, hasta una altura de 60, teniendo sus correspondientes vértices a una altura de 40. 1 · (𝑡𝑡 − 40)2 , 𝑡𝑡� 100 𝑣𝑣 · √3 1 𝑣𝑣 √3 · (𝑡𝑡 − 40)2 , + 2.5 + · (𝑡𝑡 − 40)2 , 𝑡𝑡� 𝐺𝐺(𝑡𝑡, 𝑣𝑣) = �− + 2.5 · √3 + 200 2 200 2 𝐹𝐹(𝑡𝑡, 𝑣𝑣) = �𝑣𝑣, −5 −

𝑣𝑣 𝑣𝑣 · √3 1 √3 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑣𝑣) = �− − 2.5 · √3 − · (𝑡𝑡 − 40)2 , − + 2.5 + · (𝑡𝑡 − 40)2 , 𝑡𝑡� 200 2 2 200 𝑡𝑡 ∈ [0,60]

𝑣𝑣 ∈ �−5 · √3 −

√3 √3 · (𝑡𝑡 − 40)2 , +5 · √3 + · (𝑡𝑡 − 40)2 � 100 100

Figura 6 – Vista inferior de los cilindros y el triángulo

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 Disco de radio 18 centrado en el punto (0,0,60) 𝑁𝑁(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) = (𝑟𝑟 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃), 𝑟𝑟 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃), 60)

𝑟𝑟 ∈ [0,18]

𝜃𝜃 ∈ [0,2 · 𝜋𝜋]

 Toro de radio mayor 18 y radio pequeño 5 centrado en el punto (0,0,65) 𝐽𝐽(𝜃𝜃, 𝜑𝜑) = ��18 + 5 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃)� · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑), �18 + 5 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃)� · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑), 60 + 5 · (1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃)� 𝜃𝜃 ∈ [0,2 · 𝜋𝜋]

𝜑𝜑 ∈ [0,2 · 𝜋𝜋]

 Cilindro simétrico respecto de los planos Z-X y Z-Y, de radio 18 y limitado por los planos 𝑧𝑧 = 70 y 𝑧𝑧 = 90. 𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝜃𝜃) = (18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃), 18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃), 𝑡𝑡)

𝑡𝑡 ∈ [70,90]

𝜃𝜃 ∈ [0,2 · 𝜋𝜋]

 Semiesfera centrada en el punto (0,0,90) de radio 18

𝐿𝐿(𝜃𝜃, 𝜑𝜑) = �18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑), 18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑), 90 + 18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑)�, 𝜃𝜃 ∈ [0, 𝜋𝜋]

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𝜑𝜑 ∈ [0, 𝜋𝜋]

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ENTREGA 3 – REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FIGURA En este apartado mostraré una representación gráfica de diferentes puntos de vista obtenidos con el manipulador algebraico MAPLE.

Figura 7 – Vista inferior de la figura

Figura 8 – Vista frontal de la figura

Figura 9 – Vista en planta de la figura

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ENTREGA 4 - CÁLCULO PERSONALIZADO DE FLUJOS Y CIRCULACIONES 1.- Calcular el flujo de 𝑭𝑭 = (−𝒚𝒚, 𝒙𝒙, 𝒛𝒛) a través de 𝝏𝝏𝛀𝛀, 𝚽𝚽(𝑭𝑭, 𝝏𝝏𝛀𝛀).

En la primera cuestión se nos pide calcular el flujo a través de la frontera de todas las superficies. Como vemos, 𝜕𝜕Ω encierra un volumen, por tanto podemos utilizar el teorema de la divergencia, que dice que el flujo de un campo F a través de una superficie que encierra un volumen es igual a dicho volumen multiplicado por la divergencia del campo F. El resultado, por tanto será igual al volumen encerrado, ya que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝐹𝐹) = 1.

Figura 10 – Todas las superficies

Notas: Llamaré 𝑉𝑉𝑋𝑋 al volumen que encierra la superficie X, más concretamente al volumen que ocupa, ya que no en todos los casos se encierra del todo; mientras que 𝑉𝑉𝑇𝑇 hará referencia al volumen total. Expresaré los resultados sin desarrollar 𝜋𝜋 𝑦𝑦 √3 para poder trabajar con números enteros.

𝑉𝑉𝐿𝐿 =

2 2 · 𝜋𝜋 · 𝑟𝑟 3 = · 𝜋𝜋 · 183 ⇒ 𝑉𝑉𝐿𝐿 = 3888 · 𝜋𝜋 3 3

𝑉𝑉𝐾𝐾 = 𝜋𝜋 · 𝑟𝑟 2 · ℎ = 𝜋𝜋 · 182 · 20 ⇒ 𝑉𝑉𝐾𝐾 = 6480 · 𝜋𝜋 𝑉𝑉𝐽𝐽 = 𝜋𝜋 · 𝑅𝑅 2 · ℎ + 60

𝑉𝑉𝐹𝐹,𝐺𝐺,𝐻𝐻 = � 0

√3 4

2 · 𝜋𝜋 · 𝑅𝑅 · 𝜋𝜋 · 𝑟𝑟 2 ⇒ 𝑉𝑉𝐽𝐽 = 3240 · 𝜋𝜋 + 450 · 𝜋𝜋 2 2

· �10 · √3 +

√3 50

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· (𝑡𝑡 − 40)2 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

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= = = =

6 3 √3 60 � 300 + · (𝑡𝑡 − 40)2 + · (𝑡𝑡 − 40)4 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4 0 5 2500

2 3 √3 [(𝑡𝑡 − 40)5 ]60 �300 · 60 + · [(𝑡𝑡 − 40)3 ]60 0 + 0 �= 4 5 12500 2 3 √3 · (205 + 405 )� = �18000 + · (203 + 403 ) + 4 5 12500

√3 · (18000 + 28800 + 25344) ⇒ 𝑉𝑉𝐹𝐹,𝐺𝐺,𝐻𝐻 = 18036 · √3 4

Observaciones: -> Para calcular el volumen que encierra el toro, podemos ver que es igual al volumen que encierra un cilindro de radio igual al radio grande el toro y altura igual a la del toro más la mitad del volumen del toro. -> Para calcular el volumen que encierran los cilindros he hecho una integral extendida a toda la altura de los cilindros de un diferencial de volumen. En este caso: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 · 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

Finalmente, si sumamos todos los volúmenes:

√3 4

· 𝑙𝑙 2 · 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑉𝑉𝑇𝑇 = 3888 · 𝜋𝜋 + 6480 · 𝜋𝜋 + 3240 · 𝜋𝜋 + 450 · 𝜋𝜋 2 + 18036 · √3 𝑉𝑉𝑇𝑇 = 13608 · 𝜋𝜋 + 450 · 𝜋𝜋 2 + 18036 · √3

Con el objetivo de hacer una auto-comprobación obtendremos un valor estimado de 𝑉𝑉𝑇𝑇 . Realizando las operaciones, obtenemos que 𝑉𝑉𝑇𝑇 ≃ 78500 𝑚𝑚3 . Este valor es el equivalente a un paralelepípedo de la misma altura (108) y de base cuadrada de lado 27, por lo que entiendo que es un valor coherente, ya que la altura del triángulo equilátero de la base mide 63 y el radio de las tres figuras que se encuentran en la posición más alta es de 18. Por tanto: 𝛷𝛷(𝐹𝐹, 𝜕𝜕𝜕𝜕) = 13608 · 𝜋𝜋 + 450 · 𝜋𝜋 2 + 18036 · √3

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2.- Calcular el flujo de 𝑭𝑭 = (−𝒚𝒚, 𝒙𝒙, 𝒛𝒛) a través de 𝑳𝑳, 𝚽𝚽(𝑭𝑭, 𝑳𝑳).

Figura 11 – Superficie L: Semiesfera

Ahora debemos calcular el flujo del campo F a través de la superficie L, que corresponde al hemisferio superior de una esfera de radio 18 centrada en el punto (0,0,90). Como esta superficie no encierra un volumen, no podemos aplicar el teorema de la divergencia, por tanto trabajaremos de forma normal. 𝐿𝐿(𝜃𝜃, 𝜑𝜑) = �18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑), 18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑), 90 + 18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑)�,

𝐿𝐿𝜃𝜃 = (−18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃), 18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃), 0)

𝜑𝜑 ∈ (0, 𝜋𝜋) 𝜃𝜃 ∈ (0,2𝜋𝜋)

𝐿𝐿𝜑𝜑 = �−18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃) · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑), −18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑), 18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑)�

𝐿𝐿𝜃𝜃 ⋏ 𝐿𝐿𝜑𝜑 = �182 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃), 182 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜑𝜑) · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃), 182 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑)� 𝐹𝐹�𝐿𝐿(𝜃𝜃, 𝜑𝜑)� = �−18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑), 18 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑), 90 + 18 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑)�

El producto escalar restringido a la semiesfera es:

< 𝐹𝐹�𝐿𝐿(𝜃𝜃, 𝜑𝜑)�| 𝐿𝐿𝜃𝜃 ⋏ 𝐿𝐿𝜑𝜑 > = −183 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 (𝜑𝜑) · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜃𝜃) + 183 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 (𝜑𝜑) · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜃𝜃) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜃𝜃) + + 182 · 90 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) + 183 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) = 182 · 90 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) + 183 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑)

Por tanto el flujo es:

π� 2

Φ(𝐹𝐹, 𝐿𝐿) = �

0

2π

�

0

182 · 90 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) + 183 · 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜑𝜑) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜑𝜑) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜋𝜋� 2

= 2 · 𝜋𝜋 · �182 · 45 · [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜑𝜑)]0

𝜋𝜋�

+ 182 · 6 · [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 (𝜑𝜑)]0 2 � =

= 2 · 𝜋𝜋 · (182 · 45 + 182 · 6) = 33048 · 𝜋𝜋

Φ(𝐹𝐹, 𝐿𝐿) = 33048 · π

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3.- Calcular la circulación de 𝑭𝑭 = (−𝒙𝒙, 𝒚𝒚, 𝒛𝒛) a lo largo de 𝜸𝜸 = 𝝏𝝏(𝛀𝛀 ∩ {𝒛𝒛 = 𝟎𝟎}), 𝓒𝓒(𝐅𝐅, 𝛄𝛄).

En el último apartado se nos pide calcular la circulación a lo largo de la intersección d las superficies con el plano 𝑧𝑧 = 0. Este plano corta los cilindros en su punto más bajo, formando así un triángulo equilátero de lado 42 · √3 cuyo baricentro se encuentra en la posición (0,0,0). Este triángulo encierra una superficie, por tanto podemos utilizar el teorema de Stokes-Ampere, que dice que la circulación de un campo F a través de una curva que encierra una superficie es igual a la integral del producto escalar del rotacional del campo F y el vector dS. Podemos ver que: 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹) = (0,0,2)

Por tanto, como el vector normal a la superficie 𝑛𝑛� = (0,0,1) es paralelo a 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹) y ambos tienen dirección z, el resultado final será la superficie encerrada multiplicada por 2. Calculamos la superficie 𝑙𝑙 √3 𝑙𝑙 · ℎ √3 2 √3 √3 = · · 𝑙𝑙 = · 𝑙𝑙 = · �10 · √3 + · (40)2 � 𝑆𝑆 = 4 4 50 2 2 2

Por tanto la circulación será:

=

2

2 √3 �42 · √3� = 1323 · √3 4

𝒞𝒞(𝐹𝐹, 𝛾𝛾) = �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹) · 𝑛𝑛� · 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 · �𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 · 𝑆𝑆 ⇒ 𝑆𝑆

𝑆𝑆

𝒞𝒞(𝐹𝐹, 𝛾𝛾) = 2646 · √3

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