U NI DAD 1 GEOMETRÍA ANALÍTICA BIDIMENSIONAL Objetivos

Geometría analítica

Introducción

L

geometría analítica

La geometrie

geometr ía cartesiana

1.1. El segmento

método sintético geométrico puro

Se considera segmento a un tramo de recta, que puede o no ser dirigido u orientado.

15

Segmento orientado Cuando se refiera a la longitud de un segmento se considerará como una cantidad relativa. Sin embargo, si se refiere tanto a la longitud como al sentido de un segmento se denominará segmento orientado. Es decir, un segmento orientado es aquel cuyo sentido puede ser elegido. El sentido positivo, usualmente, se indica colocando una flecha en algún lugar del segmento, como se aprecia en la siguiente figura.

Así, el segmento de recta está orientado como lo indica la flecha, lo cual significa que cualquier longitud medida de izquierda a derecha sobre la recta se considera en sentido positivo; al contrario, cualquier longitud medida de derecha a izquierda se considerará en sentido negativo. Por lo tanto, el segmento AC es positivo, mientras que el segmento DA es negativo, por lo que el sentido de un segmento se indica de acuerdo con el orden en que sean escritos los extremos de dicho segmento: AD = – DA Esto es: AD + DA = 0 Considerando la posición de los otros puntos marcados en el segmento se tiene: AD = AB + BD AD = AC + CD Asimismo: AB = AD + DB; también, AB = AC + CB Además: AC = AD + DC

16

Geometría analítica

Ejemplo 1 O PQ

R

OQ + QP OQ + QR RO + RQ Solución O

P

Q

OQ + QP = OP OQ OQ + QR = OR OQ RO + RQ = OR + RQ = OQ

R

QP QR RO

RQ

OQ + QP = OP, OQ + QR = OR, –RO + RQ = OQ

Ejemplo 2 NA + AC = –CN NC – NX = CX NX – NA = AX

NA – XA = NA

Solución NA + AC = –CN NC – NX = CX NX – NA = AX NA – XA = NA

N

C N C A A

A

C

CN = NC X X N

X

N A C X

17

recta numérica

La recta numérica Si sobre un segmento de recta se señala un punto O como origen y un segmento OA como unidad positiva, entonces se puede seguir haciendo este procedimiento hacia la derecha del origen y después hacia la izquierda de éste, con lo que queda determinada una escala numérica. Al segmento con estas características se le denomina recta numérica, como se muestra a continuación: A

O

A

Aquí vemos que en el segmento de recta han quedado señalados dos sentidos, uno positivo y otro negativo. Además, la distancia en magnitud y signo, del origen a un punto cualquiera de la recta dada es un número real, por lo que se puede decir que éste es un segmento de la recta real. A cada punto de la recta real se le asocia un número real, consecuentemente se admite como postulado que a todo número real le corresponde un punto, es decir, existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de un segmento de recta y los números reales. Establecida esta correspondencia entre puntos y números reales, las palabras punto y número real, referidas a un segmento de recta, se utilizan como sinónimos. Ahora bien, la localización depuntosen un segmento se lleva a cabo de la siguiente manera. Si se proporciona un número real cualquiera, para obtener el punto que le corresponde es suficiente con construir, mediante una unidad determinada, el segmento equivalente en magnitud y signo, tomando como origen al O, el extremo opuesto del segmento es entonces el punto buscado. Asimismo, si se proporciona un punto, para hallar el número real que se le asocia, se procede a medir el segmento que representa el punto, utilizando para esto una unidad previamente definida. Con esto puede que el segmento sea conmensurable (múltiplo o submúltiplo) con la unidad o no. En el primer caso no hay dificultad alguna. En el segundo caso, la medida se puede obtener por una sucesión de números racionales que definirán un número irracional. Conviene hacer hincapié en casos, como por ejemplo, la diagonal de un cuadrado cuyo lado es la unidad, que tienen por medida 2 , que es un número irracional.

18

Geometría analítica

Ejemplo 3

Solución

2

O

2

2

1.1.1. Punto medio de un segmento

Punto medio Con la finalidad de simplificar la representación de una cantidad mayor de puntos en un segmento de recta, se plantea la utilización de otra notación alternativa, en donde de una manera general se considera un segmento de recta horizontal como el eje de las abscisas o eje X. Para indicar cualquier punto P sobre este segmento se puede utilizar la notación xP = P. De igual manera se puede decir que xA = A, xB = B. Sea M el punto medio del segmento AB. De acuerdo con lo anterior, entonces xA = A, xB = B, asimismo, xM = M, como se observa en la siguiente figura:

xA

xM

x

De acuerdo con la figura OM = OA + AM, entonces AM = OM

19

– OA, pero AM = AB/2, ya que M es el punto medio. Por un lado se tiene que AM = xM – xA , y por el otro:

2

2

2

Igualando ambas ecuaciones se tiene:

2 Esto es: 2 2

2

2

Por lo que, el punto medio se puede obtener de la siguiente manera: 2 Lo que significa que, conociendo los extremos asociados a un segmento de recta, es suficiente con sumar ambos y dividir entre 2 para obtener el punto medio. Ahora bien, conociendo cualquiera de los dos extremos del segmento y el punto medio, se observa: xA = 2xM – xB, asimismo xB = 2xM – xA Lo que indica que ambas ecuaciones son equivalentes y es indiferente la elección de los extremos, como se mostrará en el ejemplo 5.

Ejemplo 4

Solución

20

x1 =

x2

Geometría analítica

x=

Ejemplo 5

xA = 2xM – xB xB = 2xM – xA Solución

xB =

xB =

xM =

xA = xA =

xA =

xM =

xB =

1.1.2. División de un segmento en una razón dada P AB

AP 21

AB

Un punto P divide a un segmento AB en una razón dada m/n si se verifica que:

Si la razón es positiva, el punto P es interior al segmento, porque AP y PB están en el mismo sentido, en este caso se dice que el punto P divide al segmento interiormente, como se observa en la siguiente figura: O

A

Es fácil ver que

O (es una razón positiva)

Ahora bien, si la razón es negativa, los segmentos AP y PB son de signo contrario y el punto P es exterior al segmento. En este caso se dice que el punto divide al segmento exteriormente, como podemos observar: O

A

Es fácil ver que

O (es una razón negativa)

Si se conocen las dos abscisas o puntos del eje X se puede seguir un procedimiento para calcular la abscisa del punto P que divide a un segmento AB en una razón dada, esto es: x la abscisa del punto P. P divide al segmento en la razón dada.

Ejemplo 6 P

Solución 22

x

AB(A (–

P

B

Geometría analítica

4 x x x=

Ejemplo 7 P

A

B

Solución

x

P

9 x x x= A A

B

B A AP PB

l

B AB

23

O

1

10

5

l

Ejercicio 1

A

A

B

B A B

B

1.2. Sistemas de referencia

24

AC C

P B

A

P

A

Geometría analítica

si stema polar

si stema cartesiano ecuaciones de transformación,

1.2.1. Sistema cartesiano

plano cartesiano sistema de coordenadas cartesianas

rectangulares

x y x y

El sistema de coordenadas cartesianas consiste en dos segmentos de recta dirigidos que se intersectan formando un ángulo recto entre sí, con un origen común O. Estos segmentos se denominan ejes de coordenadas rectangulares, y por comodidad se les llama x y y, como se ilustra en la siguiente figura: Y

O

En donde el segmento OX se denomina eje X, y el OY eje Y. Por convencionalismo la parte positiva del eje X es hacia la derecha del origen; asimismo, la parte positiva del eje Y es hacia arriba del origen.

25

Sea P un punto cualquiera del plano que forman los ejes X y Y; la distancia perpendicular al eje Y se denomina coordenada x o abscisa, lo que es equivalente a cualquiera de los segmentos BP u OA. De manera análoga, la distancia perpendicular al eje X se denomina coordenada y, u ordenada, lo que es igual a cualquiera de los dos segmentos AP u OB. Ambas cantidades, abscisa y ordenada, se denominan coordenadas del punto P. Entonces el punto P se puede representar como la abscisa de P, la ordenada de P; o de forma más simple (x, y), que es la notación que se utiliza para representar un punto cualquiera en el plano cartesiano. Esto muestra que a cada punto del plano se le asocia un par definido de coordenadas (x, y) y viceversa. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro zonas denominadas cuadrantes, que se numeran en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj. Los cuadrantes se pueden definir como planos o semiplanos. Al considerarlossemiplanosse obtiene consecuentemente que losejesde coordenadas no se encuentren en ninguno de los cuadrantes. En la siguiente figura se muestran los cuadrantes, así como el signo de las coordenadas de cualquier punto en cada uno de ellos: Y

I (+,+)

II (--,+)

X

O III (--,--)

IV (+,--)

Si un punto está a la derecha del eje Y, su abscisa es positiva; si está a la izquierda del eje Y, su abscisa es negativa; si el punto está arriba del eje X, su ordenada es positiva; si está hacia abajo del eje X, su ordenada es negativa. La distancia medida desde el origen a un punto se llama radio vector de ese punto, y esa distancia siempre es un número positivo. El cuadrado del radio vector es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de la abscisa y la ordenada. Si ninguna de las tres cantidades involucradas tiene valor cero, entonces pueden 26

Geometría analítica

ser consideradas los lados de un triángulo rectángulo. Esto es: ; o de otra forma Donde r es el radio vector.

Ejemplo 8

P Solución

Q r

P

Q

R

r Q

R

r R

1.2.2. Sistema polar

sistema de coordenadas distancia dirección

polares polo

27

Coordenadas polares Sea un punto fijo O de un plano, y sea OA un segmento de recta dirigida perteneciente a la recta que pasa por O, el punto fijo se denomina polo, y la recta OA eje polar. Ahora se considerará un punto cualquiera S del plano. Se puede especificar su posición al definir su distancia dirigida OS a partir de O y la medida del ángulo formado por OS y OA. De acuerdo con la sección 1.2.1, OS es el radio vector de S (se representa con r). El ángulo AOS es el ángulo vectorial de S (representada por ). Los dos números r y son las coordenadas polares de S y se representan por (r, ), como se muestra a continuación: r, )

O

Por lo tanto, se ha definido el sistema coordenado que asocia un par de números reales (r, ), a cada punto definido S en el plano, siendo el radio vector r de O a S. En el sistema de coordenadas cartesianas existe una relación biunívoca entre puntos del plano y pares ordenados, no así en las coordenadas polares, ya que a cada par de números reales, donde el primero es positivo, corresponde un punto definido del plano, pero a cada punto corresponde una cantidad indefinida de coordenadas. En general, si un punto S tiene por coordenadas (r, ), tiene también por coordenadas (r, + 2n ), en donde r es positivo y n es un entero cualquiera. Cuando el caso r es negativo se tratará en el ejemplo 9.

Ejemplo 9 r

Solución

r

r

r r

28

r

Geometría analítica

r

o

--r

S(--r

(r

r r

(r

+ +(2n

r

r >0

n

Ejemplo 10

Solución

S

29

S

1.2.3. Ecuaciones de transformación

Relaciones entre coordenadas rectangulares y polares Las ecuaciones siguientes pueden ser utilizadas para transformar una ecuación dada en términos de coordenadas rectangulares o polares. Estas ecuaciones se obtienen basándose en lo siguiente: Y

x y (r

r y

X

O

x

Como se muestra en la figura, el polo de un sistema de coordenadas está en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y el eje polar coincide con la parte positiva del eje X. Además se observa que los lados x y y del triángulo rectángulo se pueden calcular basándose en la definición del seno y coseno; como ya se vio en cursos anteriores. x = r cos

y

y = r sen

Estas ecuaciones se utilizan para cambiar una ecuación a coordenadas cartesianas si está dada en coordenadas polares. 30

Geometría analítica

Ahora, si consideramos a r como el radio vector de S, de la definición de tangente tenemos:

Despejando r y

se obtienen las ecuaciones: 2

2

y

donde x 0

Estas ecuaciones pueden utilizarse para poner una ecuación en términos de coordenadas polares si está dada en forma cartesiana.

Ejemplo 11

Solución x= r x= r y= r

y= r

x y

Ejemplo 12 r = 2a Solución x= r 2

= x/r 2

2

2

2

r

31

2

2

2 2

2

x2 + y 2 = 2ax

Ejercicio 12 1. 2. 3.

r

4.

x

y

x2 + y 2

5.

1.3. Distancia entre dos puntos en una recta y en el plano distancia

dos puntos recta

plano cartesiano Distancia entre dos puntos en una recta Dados dos puntos A y B, en el eje de las abscisas, se dice que la distancia dirigida entre dos puntos dados es igual a la abscisa del punto extremo menos la abscisa del punto origen. OB = ( xB – xO )

y

OA = ( xA – xO )

Entonces: AB = OB – OA = ( xB – xO ) – ( xA – xO ) = xB – xA Esto se puede representar de acuerdo con la siguiente figura:

32

Geometría analítica

O

Asimismo: DB = xB – xD; AC = xC – xA; DA = xA – xD; BC = xC – xB En cada caso se observa que la distancia de los segmentos está dada en magnitud y signo. Cabe mencionar que también existen distancias no dirigidas entre dos puntos y se pueden indicar por medio de los símbolos AB o BA ; esto es, el valor absoluto de AB o BA, la distancia d = xB – xA = xA – xB . Donde el valor absoluto de un número real a se define como sigue:

Debe observarse que, específicamente para todos los valores reales de a, a representa un número no negativo. De acuerdo con este razonamiento AB = BA , ya que la distancia es un número real, se puede expresar como: ; donde x2 es la coordenada final y x1 es la coordenada inicial.

Ejemplo 13 A B

C

AB + BC + CA = 0 A Solución

B

C AB = xB

AB + BC + CA = xB

xA BC = xC

xA + xC xB + xA

xB

CA = xA

xC

xC = 0

33

AB + BC + CA = 0

AB

BC

CA

AB + BC + CA AB + BC + CA = 0

Ejemplo 14

Solución

d

Ejemplo 15

Solución

d

34

Geometría analítica

Distancia entre dos puntos en un plano Sean P (x1 , y1) y Q (x2, y2) puntos distintos y que no se encuentran sobre una misma recta horizontal o vertical. Si se traza una recta que pase por P paralela al eje x y se traza otra recta que pasa por Q paralela al eje y, estas rectas se intersectarán en un punto R (x2 , y1), formando así un triángulo PRQ en donde el segmento PQ es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son los segmentos PR y RQ, que miden, respectivamente, x2 – x1 y y2 – y1 , como se observa en la figura siguiente: Y

(x2 y2

(x y

(x2 y

X

La distancia entre los puntos P y Q se puede escribir como: d= Lo anterior haciendo uso del teorema de Pitágoras. Ésta es la fórmula de la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano.

Ejemplo 16 A

B(

Solución d=

d= d

35

Ejemplo 17 A

B

C

Solución

Y

X

0

BA + AC = BC. BA

AC

BC

36

Geometría analítica

BA + AC =

BA + AC = BC

Ejercicio 3 A(

B A(

B

A(

B A

B( A(

B

C

Ejercicios resueltos 1.

A AB C

C

CB

Solución

4

24

37

x

x2 CB x2 x2

B

A

A

4

24

B

B

A

x

38

Geometría analítica

A

x A 2. a a

a>0

Solución

d= a

a,

d=a 3.

A

B

AB + BC + CA

Solución

AB + BC + CA

AB + BC + (CA CA 39

4. A B

C AC

AB

A

C

AB + BC = AC

Solución

AB + BC = AC

AC

AC 5. A

B

C

Solución

BC = CA 6.

r cos = 2

Solución

2

2 2

x=2

40

2

2

Geometría analítica

r 2 = 2a

7.

2

Solución

2

r2

x2 + y2 2 = 2ax2 8. Solución:

9.

Solución:

( 10. Solución

x y r

r

r 41

Geometría analítica

Autoevaluación 1.

A

B

P

2.

A

B 3.

B

4.

A

P

A

5.

B

AB B?

6.

A

B

P

AP = 7. C

A(

B

D( 8.

B

A C

9.

A

10.

M

Ejercicios opcionales 1. A B

C

AC = BC = B

C A

A B? 2.

A AB

B

P A

B

43

3.

A

4.

5.

44

B(

C(

A

x2 + 2x + y2

D(

A2

A

Geometría analítica

Respuestas a los ejercicios 1 xM xM A= x= x=

2 S S y r r

3 d= d= d

Respuestas a la autoevaluación P= d d x= 4 xM = x

45

xM =

xM =

M

Respuestas a los ejercicios opcionales xA

xB AC = BD AB = BC = CD = AD

r +2

46

=0