UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ´ FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA

Departamento Matem´atica Aplicada II Ciclo-2015

Carta al Estudiante 1

Informaci´ on General

Nombre del curso: Matem´ atica para econom´ıa y estad´ıstica I Sigla: MA-0213 Naturaleza del curso: Te´ orico Nro de horas presenciales: 5 Modalidad: Semestral Cr´ editos: 4 Requisito: MA-0125 Correquisito: Ninguno

Estimado(a) estudiante: Reciba una cordial bienvenida y esperamos que este curso contribuya significativamente a su formaci´on profesional. En este documento encontrar´a la informaci´on referente a la descripci´on, objetivos, contenidos, evaluaci´ on, cronograma y bibliograf´ıa del curso. Para el mejor aprovechamiento de este curso, el estudiante debe contar con un manejo ´agil de los temas y contenidos de Prec´ alculo que se detallan en http://diagnostico.emate.ucr.ac.cr/, la p´agina del examen de diagn´ostico en matem´atica de esta universidad. El curso tiene 4 cr´editos. De acuerdo con el Reglamento de R´egimen Acad´emico Estudiantil a 4 cr´editos corresponde una dedicaci´ on de 12 horas por semana para el estudiante. De estas 12 horas, aproximadamente 4 horas corresponden a los per´ıodos de lecciones (250 minutos); en consecuencia, 8 horas corresponden a trabajo del estudiante fuera de clases. La informaci´on puede consultarse en http://www.cu.ucr.ac.cr/normativ/definicion credito.pdf.

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Objetivos generales del curso • Conocer y aplicar la teor´ıa b´ asica del c´alculo diferencial e integral en una variable, para la posterior resoluci´ on de problemas en econom´ıa, estad´ıstica y matem´atica. • Conocer y utilizar adecuadamente el lenguaje y los razonamientos matem´aticos.

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Objetivos espec´ıficos del curso 1. Enunciar y aplicar conceptos y propiedades de l´ımites, continuidad, derivadas, antiderivadas integrales definidas, integrales impropias de funciones de una variable real. 2. Aplicar y demostrar teoremas que involucran conceptos de l´ımites, continuidad, derivaci´ on e integraci´ on. 3. Calcular l´ımites, derivadas e integrales definidas e indefinidas de funciones. 4. Justificar los procedimientos realizados para el c´alculo de l´ımites, derivadas e integrales definidas e indefinidas de funciones elementales. 5. Determinar la continuidad o discontinuidad de una funci´on. 6. Clasificar, en evitables o inevitables, las discontinuidades de una funci´on. 7. Determinar los intervalos de monoton´ıa de una funci´on, sus valores extremos relativos, los intervalos en los que la gr´ afica de la funci´on es c´oncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos de inflexi´ on. 8. Justificar los procedimientos empleados para determinar los intervalos de monoton´ıa de una funci´on, sus valores extremos relativos, los intervalos en los que la gr´afica de la funci´ on es c´oncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos de inflexi´on. 9. Determinar la ecuaci´ on de las as´ıntotas correspondientes a una funci´on.

10. Trazar la gr´ afica de una funci´ on. 11. Resolver problemas que requieran el c´alculo de derivadas de funciones reales. 12. Calcular el ´ area de la regi´ on del plano limitada por dos o m´as curvas. 13. Aplicar t´ecnicas b´ asicas para el estudio de la convergencia de integrales impropias.

3.1

Objetivos a evaluar en cada examen

A continuaci´ on se detallan los objetivos a evaluar en cada prueba parcial, para que el estudiante tenga claro de antemano que debe conocer para cada prueba.

I parcial 1. Reconocer gr´ aficamente l´ımites (laterales, infinitos y al infinito). ∞ 2. Calcular l´ımites (laterales, infinitos y al infinito) de las formas indeterminadas 00 , ∞ ,∞−∞ y 0 · ∞ mediante f´ ormulas notables, factorizaci´on, racionalizaci´on, definici´on de valor absoluto, l´ımites especiales, identidades trigonom´etricas y propiedades de los l´ımites.

3. Analizar la continuidad de una funci´on a partir de su gr´afica. 4. Clasificar los puntos de discontinuidad de una funci´on a partir de su gr´afica. 5. Analizar la continuidad de una funci´on a partir de su criterio, incluyendo casos de criterio dividido. 2

6. Comprender la definici´ on de derivada en un punto. 7. Calcular la derivada de una funci´ on en un punto usando la definici´on. 8. Determinar gr´ afica y anal´ıticamente si una funci´on es o no derivable en un punto dado. 9. Determinar la ecuaci´ on de la recta tangente y la recta normal de una funci´on en un punto dado. 10. Comprender que una funci´ on derivable en un punto dado es continua en dicho punto. 11. Determinar la funci´ on derivada usando la definici´on. 12. Calcular la derivada de una funci´ on aplicando las propiedades: suma, resta, producto y divisi´ on de funciones derivables. II parcial 1. Calcular la derivada de funciones compuestas (regla de la cadena). 2. Calcular la derivada de funciones dadas de forma impl´ıcita. 3. Calcular la derivada de funciones usando derivaci´on logar´ıtmica. 4. Calcular derivadas de orden superior a partir del criterio de la funci´on, incluyendo derivaci´ on impl´ıcita y logar´ıtmica. 5. Calcular l´ımites usando la regla de l’Hopital. 6. Calcular la ecuaci´ on de la recta tangente y de la recta normal en curvas dadas impl´ıcitamente. 7. Calcular los puntos de una curva donde esta tiene una pendiente espec´ıfica. 8. Resolver problemas de razones de cambio. 9. Identificar los extremos absolutos y relativos de una funci´on a partir de su criterio utilizando las derivadas de la funci´ on. 10. Calcular los puntos cr´ıticos y de inflexi´on de una funci´on a partir de su criterio. 11. Verificar si una funci´ on satisface las hip´otesis del teorema de Rolle y del valor medio en un intervalo dado. 12. Determinar la monoton´ıa y concavidad de una funci´on a partir de los cuadros de variaci´ on de las derivadas. 13. Calcular las as´ıntotas verticales, horizontales y oblicuas de una curva. 14. Desarrollar el estudio completo de una funci´on para hacer el trazo de su gr´afica. Esto incluye: dominio, intersecciones con los ejes, as´ıntotas, monoton´ıa, concavidad, puntos cr´ıticos y de inflexi´on y gr´ afica. 15. Resolver problemas de optimizaci´on donde se involucra conceptos geom´etricos, enfocados a problemas estad´ısticos.

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16. Calcular integrales indefinidas que requieran el uso de sus propiedades, f´ormulas de integraci´ on b´asicas, identidades algebraicas y trigonom´etricas. 17. Calcular integrales de funciones algebraicas, trigom´etricas, trigonom´etricas inversas, logar´ıtmicas y exponenciales. 18. Calcular integrales usando las t´ecnicas:sustituci´on, por partes y sustituci´on trigom´etrica. III Parcial 1. Calcular integrales mediante la t´ecnica de fracciones parciales. 2. Calcular integrales definidas usando sumas de Riemann y el teorema fundamental del c´alculo. 3. Calcular el ´ area bajo una curva o encerrada entre dos o m´as curvas. 4. Aplicar las propiedades de la integral definida en la resoluci´on de problemas. 5. Aplicar el teorema fundamental del c´alculo (parte I) en el c´alculo de derivadas. 6. Calcular integrales definidas que requieran los m´etodos de integraci´on estudiados. 7. Estudiar la convergencia de integrales impropias de primera y segunda especie, usando la definici´ on, as´ı como los criterios:condici´on necesaria (primera especie), comparaci´on directa y comparaci´ on al l´ımite.

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Programa del curso

4.1

Tema 1. L´ımites y continuidad.

1. Reconocimiento gr´ afico y definici´ on formal de situaciones de l´ımite. Breve repaso de las gr´ aficas de las funciones elementales: reconocimiento de situaciones de existencia e inexistencia de continuidad y de l´ımite en gr´ aficas completas; justificaci´on. 2. L´ımites laterales hacia un punto. 3. Definici´ on formal de l´ımite y de continuidad de una funci´on en un punto; tipos de discontinuidad. 4. L´ımites infinitos (noci´ on intuitiva, definici´on formal), concepto de as´ıntotas verticales en un punto. L´ımites al infinito: concepto, reconocimiento gr´afico y as´ıntotas horizontales hacia infinito. 5. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas; an´alisis y justificaci´on de continuidad de una funci´ on en un punto, en un conjunto; c´alculo de l´ımites; problemas con par´ametros. 6. Teorema para el cambio de variable y l´ımites 0/0.

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4.2

Tema 2. Razones de cambio y derivadas.

1. Situaciones de l´ımite que conducen a un mismo concepto matem´atico: valor de la derivada de f para un valor x = a dado; problemas de rectas secantes, rectas tangentes y de razones de cambio. 2. Ecuaci´ on de la recta tangente y de la recta normal en un punto dado de una curva. 3. Definici´ on de la funci´ on derivada en un intervalo abierto. Derivabilidad implica continuidad. Reconocimiento gr´ afico de la derivabilidad mediante definici´on de derivada en un punto, an´alisis de existencia e inexistencia del valor f 0 (x) para un valor x = a dado. 4. Derivadas de las funciones b´ asicas (sin demostraci´on de las derivadas de seno, exponencial y logaritmo natural). 5. Existencia y f´ ormulas de la derivada de la suma (resta), producto y divisi´on de funciones derivables en un valor dado x = a. 6. A partir de la derivada de sinx, deducci´on de las derivadas de las dem´as funciones trigonom´etricas. 7. Visualizaci´ on de l´ımites como derivadas. Derivada de una funci´on compuesta (Regla de la cadena). 8. Derivadas de orden superior. Visualizaci´on de l´ımites como cocientes de derivadas. Regla elemental de L’Hopital. Aplicaciones a l´ımites trigonom´etricos y exponenciales. 9. Derivaci´ on impl´ıcita, derivaci´ on de funciones inversas. 10. Derivaci´ on logar´ıtmica. 11. Problemas de rectas tangentes y normales en curvas dadas de forma impl´ıcita. 12. Problemas b´ asicos de razones de cambio relacionadas.

4.3

Tema 3. Teoremas de funciones continuas en un intervalo cerrado.

1. Teorema de los Valores intermedios para funciones continuas; ejemplos de aplicaciones. 2. Teorema de Valores Extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado. 3. Teorema d Fermat; optimizaci´ on de funciones continuas en intervalos cerrados. 4. Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio: justificaci´on intuitiva y justificaci´on formal. 5. Corolarios del TVM para determinar monoton´ıa y concavidad. Relaci´on entre las gr´aficas de una funci´ on y las de sus derivadas sucesivas. Trazo de gr´aficas de funciones; condiciones de primero y segundo orden para optimizaci´on sobre intervalos abiertos. 6. Resoluci´ on de problemas de optimizaci´on.

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4.4

Tema 4. Integraci´ on.

1. Antiderivadas e integral indefinida. Propiedades. 2. Concepto de ecuaciones diferenciales y resoluci´on. 3. C´alculo de antiderivadas. Integrales indefinidas por sustituci´on. C´alculo de integrales trigonom´etricas. 4. Integraci´ on por partes y por sustituci´on trigonom´etrica. ´ 5. Integraci´ on por fracciones parciales.Areas bajo curvas positivas. Sumas de Riemann y concepto de integral definida. 6. C´alculo de integrales definidas usando sumas de Riemann. Propiedades b´asicas. Teorema Fundamental del C´ alculo: C´ alculo de integrales definidas. 7. Teorema Fundamental del C´ alculo: funciones definidas mediante integrales; derivaci´ on y propiedades. C´ alculo del ´ area bajo una curva y ´area entre curvas. 8. Integrales impropias de primera especie: Definici´on, an´alisis de la convergencia usando la definici´ on, an´ alisis de las p-integrales, criterios de convergencia (condici´on necesaria, comparaci´on directa y comparaci´ on mediante l´ımites). 9. Integrales impropias de segunda especie: Definici´on, an´alisis de la convergencia usando la definici´ on, an´ alisis de las p-integrales, criterios de convergencia (comparaci´on directa y comparaci´on mediante l´ımites). 10. An´alisis de la convergencia de integrales de tercera especie.

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Cronograma

Este cronograma es una gu´ıa de la distribuci´on por semana de los contenidos del curso, cada profesor est´a en libertad de exponer los conceptos y realizar la pr´actica que considere necesaria seg´ un su estilo y en el orden que desee, siempre que no altere los contenidos que debe cubrir cada examen parcial. # Semana 1

Fechas Del 10/08 al 14/08

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Del 17/08 al 21/08

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Del 24/08 al 28/08

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Del 31/08 al 04/09

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Del 07/09 al 11/09

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Del 14/09 al 18/09

Temas Reconocimiento gr´afico y definici´on formal de situaciones de l´ımite. Breve repaso de las gr´aficas de las funciones elementales: reconocimiento de situaciones de existencia e inexistencia de continuidad y de l´ımite en gr´aficas completas; justificaci´on. L´ımites laterales hacia un punto. Definici´on formal de l´ımite y de continuidad de una funci´on en un punto; tipos de discontinuidad. L´ımites infinitos (noci´on intuitiva, definici´on formal), concepto de as´ıntotas verticales en un punto. L´ımites al infinito: concepto, reconocimiento gr´afico y as´ıntotas horizontales hacia infinito. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas; an´alisis y justificaci´on de continuidad de una funci´on en un punto, en un conjunto; c´alculo de l´ımites; problemas con par´ametros. Teorema para el cambio de variable y l´ımites 0/0. Situaciones de l´ımite que conducen a un mismo concepto matem´atico: valor de la derivada de f para un valor x = a dado; problemas de rectas secantes, rectas tangentes y de razones de cambio. Ecuaci´on de la recta tangente y de la recta normal en un punto dado de una curva. Definici´on de la funci´on derivada en un intervalo abierto. Derivabilidad implica continuidad. Reconocimiento gr´afico de la derivabilidad mediante definici´on de derivada en un punto, an´alisis de existencia e inexistencia del valor f 0 (x) para un valor x = a dado. Derivadas de las funciones b´asicas (sin demostraci´on de las derivadas de seno, exponencial y logaritmo natural). Existencia y f´ormulas de la derivada de la suma (resta), producto y divisi´on de funciones derivables en un valor dado x = a. A partir de la derivada de sinx, deducci´on de las derivadas de las dem´as funciones trigonom´etricas. Visualizaci´on de l´ımites como derivadas. Derivada de una funci´on compuesta (Regla de la cadena). Derivadas de orden superior. Visualizaci´on de l´ımites como cocientes de derivadas. Regla elemental de L’Hopital. Aplicaciones a l´ımites trigonom´etricos y exponenciales. Derivaci´on impl´ıcita, derivaci´on de funciones inversas. Derivaci´on logar´ıtmica.Problemas de rectas tangentes y normales en curvas dadas de forma impl´ıcita.Problemas b´asicos de razones de cambio relacionadas.

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# Semana 7

Fechas Del 21/09 al 25/09

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Del 28/09 al 02/10

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Del 05/10 al 09/10

10 11

Del 12/10 al 16/10 Del 19/10 al 23/10

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Del 26/10 al 30/10

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Del 02/11 al 06/11

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Del 09/11 al 13/11

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Del 16/11 al 20/11

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Del 23/11 al 27/11

Temas Teorema de los Valores intermedios para funciones continuas; ejemplos de aplicaciones. Teorema de Valores Extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado. Teorema d Fermat; optimizaci´on de funciones continuas en intervalos cerrados. Teorema del valor medio y teorema de Rolle. Corolarios del TVM para determinar monoton´ıa y concavidad. Relaci´on entre las gr´aficas de una funci´on y las de sus derivadas sucesivas. Trazo de gr´aficas de funciones; condiciones de primero y segundo orden para optimizaci´on sobre intervalos abiertos. Resoluci´on de problemas de optimizaci´on. Antiderivadas e integral indefinida. Propiedades.Concepto de ecuaciones diferenciales y resoluci´on. C´alculo de antiderivadas. Integrales indefinidas por sustituci´on. C´alculo de integrales trigonom´etricas. Integraci´on por partes y por sustituci´on trigonom´etrica. ´ Integraci´on por fracciones parciales. Areas bajo curvas positivas. Sumas de Riemann y concepto de integral definida. C´ alculo de integrales definidas usando Sumas de Riemann. Propiedades b´asicas. Teorema fundamental del c´alculo: c´ alculo de integrales definidas. Teorema fundamental del c´alculo: Funciones definidas mediante integrales; derivaci´on y propiedades. C´alculo del ´area bajo una curva, y ´area entre curvas. Integrales impropias de primera especie: Definici´on, an´alisis de la convergencia usando la definici´on, an´alisis de las pintegrales, criterios de convergencia (condici´on necesaria, comparaci´on directa y comparaci´on mediante l´ımites). Integrales impropias de segunda especie: Definici´on, an´alisis de la convergencia usando la definici´on, an´alisis de las pintegrales, criterios de convergencia (comparaci´on directa y comparaci´on mediante l´ımites). An´alisis de la convergencia de integrales de tercera especie.

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Evaluaci´ on

Se realizar´a tres pruebas cortas y tres ex´amenes parciales. Cada prueba corta tendr´a un valor de 5%. Las pruebas cortas se llevaran a cabo una semana antes de cada prueba parcial, las fechas se comunicaran en la p´ agina del curso. As´ı, los estudiantes ser´an evaluados sumativamente a partir de su desempe˜ no en: Rubro I Parcial II Parcial III Parcial Pruebas cortas NA

6.1

Calendario de ex´ amenes Examen I Parcial Repo I Parcial II Parcial Repo II Parcial III Parcial Repo III Parcial Ampliaci´ on y suficiencia

6.2

% 20 30 35 15 100

Fecha s´abado 12 de setiembre mi´ercoles 23 de setiembre s´abado 24 de octubre mi´ercoles 04 de noviembre mi´ercoles 02 de diciembre viernes 04 de diciembre viernes 11 de diciembre

Hora 1:00 pm 5:00 pm 1:00 pm 5:00 pm 1:00 pm 8:00 am 8:00 am

Reporte de la nota final

Para efectos de promoci´ on rigen los siguientes criterios, los cuales se refieren a la nota de aprovechamiento NA indicada arriba, expresada en una escala de 0 a 10, redondeada, en enteros y fracciones de media unidad, seg´ un el reglamento vigente: • Si NA ≥ 6.75 el estudiante gana el curso con calificaci´on NA redondeada a la media m´as pr´oxima, los casos intermedios como 7.25 se redondean hacia arriba, es decir, 7.5 • Si 5.75 ≤ NA < 6.75, el estudiante tiene derecho a realizar el examen de ampliaci´on, en el cual se debe obtener una nota superior o igual a 7 para aprobar el curso con nota 7, en caso contrario su nota ser´ a 6.0 o 6.5, la m´as cercana a NA. • Si NA < 5.75 pierde el curso. • La calificaci´ on final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Informaci´on, en la escala de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad.

6.3

Disposiciones para la realizaci´ on de las evaluaciones

El estudiante debe presentarse puntualmente el d´ıa del examen en el aula que fue asignada a su grupo. El estudiante debe traer un cuadernillo de examen y bol´ıgrafo de tinta azul o negra, no se permitir´a hojas sueltas. Tambi´en es indispensable portar alg´ un tipo de identificaci´on con foto (c´edula, licencia de conducir o carn´e universitario) de lo contrario no podr´ a realizar la prueba. En los ex´amenes de este curso se permite u ´nicamente el uso de calculadoras cient´ıficas que no sean programables y que no sean graficadoras. 9

6.4

Ex´ amenes y pruebas cortas de reposici´ on

Aquellos casos de estudiantes con ausencia justificada a un examen o prueba corta, tales como enfermedades (con justificaci´ on m´edica), o choques de ex´amenes (con constancia del Sr. coordinador respectivo), o casos de giras (reportados por escrito) y con el visto bueno del ´organo responsable, podr´an realizar el examen o prueba corta de reposici´on. Para solicitar el examen o prueba corta de reposici´on debe llenar la boleta de justificaci´on (se solicita en la secretar´ıa de la Escuela de Matem´atica), con esta adjuntar la respectiva constancia y entregarla al profesor del grupo correspondiente en los cinco d´ıas h´ abiles siguientes despu´es de realizada la prueba ordinaria. S´ olo los estudiantes autorizados mediante este proceso pueden realizar el examen o prueba corta de reposici´on. La entrega de los documentos no implica la autorizaci´on para hacer el examen o prueba corta de reposici´ on, el profesor debe aprobar la autorizaci´on una vez revisada la documentaci´on. La fecha de reposici´ on de la prueba corta ser´a establecida una vez autorizada la misma.

6.5

Calificaci´ on de ex´ amenes

El profesor debe entregar a los alumnos los ex´amenes calificados y sus resultados, a m´as tardar 10 d´ıas h´abiles despu´es de que este se realiz´o, de lo contrario, el estudiante podr´a presentar reclamo ante la coordinaci´ on de la c´ atedra. La p´erdida comprobada de un examen por parte del profesor da derecho al estudiante a una nota equivalente al promedio de sus calificaciones en los otros dos ex´amenes, o a criterio del estudiante, a repetir el examen.

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Horas de consulta

Cada profesor de la c´ atedra dispone de un horario de consulta, para atender a los estudiantes en sus dudas respecto a la materia del curso, as´ı como los ejercicios propuestos para cada secci´on. Cabe aclarar que los estudiantes pueden ir a consulta con cualquier profesor de la c´atedra, en el horario que le sea m´ as favorable. Los horarios de consulta se detallan a continuaci´on: • Cristian Alfaro Carvajal, Lunes, de 3:00 pm a 5:00 pm, Oficina 411-III FM. • Jos´e Acosta Baltodano, Lunes, de 4:00 pm a 7:00 pm, Oficina 441 FM.

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Avisos y contacto

Cualquier informaci´ on importante relativa al curso ser´a comunicada por la p´agina del curso en Facebook, el nombre de la p´ agina es Ma0213ucr, en la misma se pondr´a a disposici´on de los estudiantes este documento, as´ı como las listas adicionales de ejercicios. tambi´en los avisos relativos a pruebas cortas y parciales, y cualquier otro de importancia. Los avisos relativos a las aulas de ex´amenes tambi´en ser´ an publicados en la pizarra de la c´atedra, en el segundo piso del edificio de F´ısica y Matem´ aticas.

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Estudiaderos

El CASE pone a disposici´ on los estudiaderos, estos se llevan a cabo los mi´ercoles a partir de las 8:00 am, y son atendidos por asistentes, en su mayor´ıa estudiantes avanzados de varias carreras, quienes est´an a disposici´ on para atender dudas de diversas ´areas, en temas de teor´ıa y de ejercicios. Se desarrolla en el aula 102 de F´ısica y Matem´atica durante todo el semestre. 10

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Profesores de la c´ atedra Grupo 01 02

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Profesor Cristian Alfaro Carvajal Jos´e Acosta Baltodano

correo electr´ onico [email protected] [email protected]

Referencias

Las referencias incluidas en esta carta constituye una gu´ıa para el profesor y el estudiante en cuanto al nivel de presentaci´ on de los temas incluidos en el programa. El profesor puede ampliarla con otros libros de referencia de su preferencia. [1] Edwards, C; Penney, D. C´ alculo con trascendentes tempranas, S´etima edici´on, Pearson education. M´exico, 2008. [2] Haeussler, F; Paul, R; Wood, R. Matem´ aticas para administraci´ on y econom´ıa, Doceava edici´on, Pearson education. M´exico, 2008. [3] Larson, R; Hostetler, R; Edwards, B. C´ alculo con geometr´ıa anal´ıtica. Segunda edici´ on, McGraw-Hill. M´exico, 2006. [4] Stewart, J. C´ alculo. Trascendentes tempranas, Thomson. 2008. [5] Sydsaeter, K; Hammond, P. Matem´ aticas para el an´ alisis econ´ omico, Prentice Hall. Madrid, 1996.

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