UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA ESCUELA DE FISICA FÍSICA (con orientación en las aplicaciones al Área de la Salud Pública) UNIDAD III: DINAMICA Y SUS APLICACIONES. 3.1 Objeto de estudio de la dinámica 3.2 Fuerza: Concepto, Naturaleza vectorial. 3.2.1 Suma de fuerzas 3.3 Leyes del movimiento 3.3.1 1ª ley de Newton 3.3.2 2ª ley de Newton 3.3.2.1 Masa inercial y masa gravitatoria 3.3.2.2 Fuerza gravitatoria o peso 3.3.2.3 Fuerza de contacto. 3.3.3 3ª ley de Newton 3.4 Equilibrio 3.4.1 Equilibrio de traslación 3.4.2 Equilibrio de rotación: momento de una fuerza 3.5 Aplicaciones 3.5.1 La fuerza muscular 3.5.2 Los huesos como palancas accionadas por los músculos 3.5.3 El balistocardiógrafo 3.5.4 Fuerzas de fricción en las articulaciones 3.5.5 Ruptura de huesos en caídas o saltos 3.6 Elasticidad, Concepto 3.7 Propiedades mecánicas de los sólidos: Ley de Hooke 3.8 Módulos de Elasticidad 3.8.1 Módulo de Young 3.8.2 Módulo de Rigidez o de Torsión 3.8.3 Módulo de Compresión Volumétrica o Elasticidad Cúbica 3.9 Aplicaciones 3.9.1 Los Elastómeros 3.9.2 La ley de Hooke y los materiales biológicos OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Que el estudiante: 1- Explique cuál es el objeto de estudio de la dinámica considerando a los cuerpos como partículas. 2- Defina los siguientes conceptos y los aplique para resolver problemas numéricos;

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Fuerza Elasticidad Fatiga o Esfuerzo Ley de Hooke Límite elástico Deformación Unitaria Módulo de Young Módulo de Rigidez Módulo de Compresión Volumétrica 3- Dada una fuerza y un par de ejes coordenadas, encuentre las componentes de la fuerza y viceversa. 4- Dada la representación vectorial de varias fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo encuentre la resultante de ellas, usando el método gráfico, el método analítico (usando las leyes de triángulos y por medio de sus componentes rectangulares) 5- Enuncie y cite ejemplos en que se aplique la primera ley de Newton 6- Enuncie y explique la segunda ley de Newton y resuelva problemas que involucren fuerza, masa y aceleración para un cuerpo o sistema de cuerpos, auxiliándose de los diagramas de cuerpo libre. 7- Explique qué entiende por fuerza gravitatoria y su relación con el peso de un cuerpo, así como los efectos que causa su aumento o ausencia sobre los seres vivos; así como su relación con la masa de un cuerpo. 8- Exprese las características de la fuerza de fricción y aplique su ecuación para resolver problemas sobre esas fuerzas. 9- Explique la tercera ley de Newton, citando ejemplos y resuelva problemas que involucren dicha ley.

10- Explique en qué consiste el momento de una fuerza y las condiciones de equilibrio de traslación y rotación para un cuerpo rígido y resuelva problemas aplicando esos conceptos. 11 Explique qué entiende por fuerza muscular, cuál es el comportamiento de dicha fuerza y su efecto. 12- Explique el principio físico en que basa su funcionamiento el balistocardiógrafo. 13- Explique cómo se disminuye el rozamiento en las articulaciones de los huesos. 14- Explique cómo se relaciona la altura de caída y la distancia de desaceleración con la fuerza ejercida sobre los huesos de la pierna en un salto o caída. 15- Dada la representación de fuerzas actuando sobre un cuerpo, identifique las fuerza de torsión y /o compresión. 16- Explique el comportamiento de algunos materiales biológicos, de los elastómeros, colágenos, etc.

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LEYES DEL MOVIMIENTO. 3.1

OBJETO DE ESTUDIO DE LA DINAMICA.

En esta unidad se estudiará la razón por la cual se modifica el estado de reposo y el estado de movimiento uniforme; así mismo el factor que se opone a esos cambios. ¿Por qué los cuerpos caen con aceleración constante? ¿Por qué es posible que los huesos que se juntan en las articulaciones de los seres vivientes, varíen su posición?, ¿Por qué vibran los cuerpos elásticos?, etc. Todas las interrogantes planteadas anteriormente, tienen su respuesta en la parte de la física denominada DINAMICA. 3.2

FUERZA: Concepto, Naturaleza vectorial.

Por nuestra experiencia diaria se conoce o se tiene una idea de lo que es una fuerza. Así se dice que es un “empujón”, o tirón que se le da a un cuerpo produciéndole un cambio en su estado de movimiento, ya sea en rapidez o en dirección. El conocimiento obtenido del trabajo de varios investigadores, permite afirmar que el cambio del estado de movimiento de los cuerpos es el resultado de interacciones con otros cuerpos que le rodean, dichas interacciones se podrán describir con el concepto de FUERZA. Se definirá una fuerza como “una magnitud física vectorial que modifica el estado de movimiento de un cuerpo”. G Simbólicamente una fuerza puede ser representada con: F , gráficamente se representa con un segmento de recta dirigido o flecha. El ángulo θ define la dirección y sentido en que actúa la fuerza y la longitud de la flecha es proporcional al módulo o valor de la fuerza (a la constante de proporcionalidad se le llama escala de dibujo, por ejemplo 1 cm = 5 Newton).

θ x

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Siendo las fuerzas magnitudes vectoriales, se les aplica las reglas de la suma y resta vectorial; por ejemplo, cuando existen dos fuerzas actuando simultáneamente y se desea conocer el valor de la fuerza única que produciría el mismo efecto de las anteriores juntas, estas se suman vectorialmente. 3.2.1 SUMA DE FUERZAS. La operación suma de fuerzas se podrá realizar en la forma siguiente: a) Método Gráfico b) Método Analítico, Aplicando las Leyes del Triángulo. c) Método Analítico, Aplicando Componentes Rectangulares. a) METODO GRAFICO. Para sumar fuerzas por el método gráfico, se procede primero a representar dichas fuerzas mediante flechas dibujadas a escala, colocando esas flechas una a continuación de otra, siendo el vector resultante el representado por la flecha que se dirige del origen de la primera al extremo de la última. Su valor se determina midiendo la longitud de la flecha que lo representa y haciendo las conversiones con la escala del dibujo utilizada. Su dirección se obtiene midiendo el ángulo que forma con respecto al semieje positivo de las X (ángulo medido en el sentido antihorario). Ejemplo: Efectúe la suma de las fuerzas dadas a continuación. Escala: 1U = 10 Kgf

FR es la fuerza resultante de módulo 58 Kgf. y forma un ángulo de 189º con el semieje positivo de las X.

F1=40K FR=5.8 U 58K f

230o

160o

x

x F2=30Kgf 189o x

Fig. 2 Método gráfico para sumar vectores

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b) METODO ANALITICO, Aplicando las Leyes del Triángulo. Dadas las fuerzas

G G FA yFB

G FB

G FA

θ

Determinar su suma. Se colocan las fuerzas una a continuación del otro (no a escala.) y se traza la fuerza resultante de acuerdo al método anterior. Para determinar la magnitud de la fuerza resultante se aplica la ley del coseno: G β FR

FR = FA + FB − 2FAFB cos(180−θ)

α

θ

G FA

Para determinar la dirección se utiliza la ley del seno

G FB

Senα Sen(180º−θ) Senβ = = FB FR FA Despejándose α ó β según sea necesario. c) METODO ANALITICO, Aplicando Componentes Rectangulares. Para sumar fuerzas por medio de sus componentes rectangulares, se necesita determinar las componentes de cada fuerza.

G

Se entenderá por componentes rectangulares de una fuerza F a dos fuerzas perpendiculares entre sí, cuya suma vectorial es igual a dicha fuerza

G F

G Fy

θ

G G FX yFy

x

Son las componentes rectangulares de G G G F = Fx + F y ,

G F θ

G Fx G F puesto que cumplen:

Por el teorema de Pitágoras:

F = Fx2 + Fy2 El módulo de cada componente puede calcularse así: cos θ = Fx / F ⇒ Fx = F cos θ sen θ = Fy / F ⇒ Fy = F sen θ

x

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A continuación se suman algebraicamente las componentes en X de las fuerzas dadas; para obtener la componente en x de la resultante y luego se suman algebraicamente las componentes en y de las fuerzas dadas, para obtener la componente en y de la resultante. Si:

G G G G G F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = FR

entonces

F1x+F2x+F3x+...+Fnx = FRx F1y+F2y+F3y+...+Fny = Fry

En las sumas anteriores se omite la notación vectorial, convirtiéndose así en sumas algebraicas, como:

G G G FR = FRX + FRY

FR = FRx2 + FRy2

G

La dirección de FR se determina mediante el ángulo θ, que forma con el semieje positivo de las x, de modo que: θ = arc tan FRy / FRX 3.3

LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

3.3.1 PRIMERA LEY DE NEWTON Una partícula libre es aquella que no está sujeta a interacción alguna, o sus interacciones con otras partículas son despreciables por encontrarse muy alejada de ellas. La primera ley de Newton o la Ley de Inercia establece que : “Una partícula libre (bajo la acción de varias fuerzas que suman cero) se mueve siempre con velocidad constante o permanece en reposo” En ésta condición, se dice que el cuerpo está en equilibrio de traslación:

Si G FR =

n

G

∑F

i

i=1

Reposo

= 0 Movimiento rectilíneo uniforme

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3.3.2 SEGUNDA LEY DE NEWTON: Fuerza y aceleración Se dijo anteriormente que si sobre un cuerpo, la resultante de las fuerzas que actúan es nula, entonces el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación. Veamos ahora qué sucede si la resultante de esta fuerza no es cero. Indudablemente que al existir una fuerza resultante, ésta le provocará un cambio de velocidad, durante algún intervalo de tiempo Δt. Esto significa que la fuerza resultante le comunica al cuerpo una aceleración, que en todo instante, tiene la dirección y sentido de dicha fuerza resultante, y sus módulos son proporcionales, es decir: a ∝ FR

G G G

Si F1 , F2 , F3 son fuerzas netas que actúan por separado sobre una misma masa m se tiene :

F a1

F2 a

m

m

F3

m

a3

F1 F2 F3 = = =k=m a1 a2 a3 Cumpliéndose que : F1 / a1 = F2 / a2 = F3 / a3 = k En donde k es una constante de proporcionalidad. Entonces, para cualquier fuerza neta F : k = F /a o sea F = k a Supóngase ahora que sobre la masa m se coloca 1, 2, 3, etc. masas iguales. Al añadir los diversos cuerpos se dice que la masa que deberá mover la fuerza, se ha hecho 2,3,..., veces mayor. Si se quiere mantener la aceleración en un mismo valor “a”, será necesario aplicar una fuerza 2F, 3F, ... se concluye, pues, que la fuerza necesaria para producir cierta aceleración es directamente proporcional a la masa del cuerpo: F αm Combinando los dos resultados anteriores se tiene que:

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F α (ma) ⇒ F= K(ma) Haciendo la constante igual a la unidad, lo que siempre es posible mediante una selección adecuada de unidades se obtiene: F = ma G G En forma vectorial FR = maR La ecuación anterior es una expresión de la segunda ley de Newton, cuyo enunciado es el siguiente: “Siempre que una fuerza neta actúa sobre un cuerpo, le produce una aceleración en su misma dirección y sentido, siendo el modulo de ésta aceleración directamente proporcional al modulo de dicha fuerza” Para cada cuerpo la razón entre la fuerza neta y la aceleración experimentada es una constante a la cual se le da el nombre de masa (m) del cuerpo. Esta magnitud es una medida de la resistencia que opone todo cuerpo a que le cambie su velocidad. Si una misma fuerza se aplica a distintos cuerpos la aceleración observada es inversamente proporcional con la masa de los cuerpos, ésto, en forma simbólica se expresa así: a ∝ 1/m Para un

a = F (1 / m) sistema de fuerzas

G G F cumple: ∑ = ma

3.3.2.1

G G Fx = max

que

actúan

sobre G G Fy = may

un

cuerpo

se

MASA INERCIAL Y MASA GRAVITATORIA.

La masa es una propiedad de la materia; cuando se mide en condiciones de equilibrio (con una balanza) se denomina masa gravitatoria y si se mide en condiciones de movimiento se denomina masa inercial. La masa de un cuerpo es la cantidad física que mide la propiedad llamada INERCIA, la cual consiste en que todo cuerpo se opone a cualquier cambio de velocidad; por lo tanto la masa es independiente del lugar donde esté el cuerpo. La masa de un cuerpo (mc) se puede medir por un método estático, comparando en un mismo lugar, el peso (pc) del cuerpo con el peso (pp) de una masa patrón (mp) : mc / mp = pc / pp Puesto que pc / mc = pp / mp = g De lo que se obtiene: mc = mp ( pc / p`p )

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A este resultado le llamamos MASA GRAVITATORIA. También se puede medir la masa, por un método dinámico, comparando las aceleraciones que una misma fuerza les produce al cuerpo dado y a la masa patrón, cumpliendo que: mc / mp = ap / ac Puesto que mcac = mpap = F De lo anterior mc = mpap / ac = F / ac A este resultado le llamaremos MASA INERCIAL Los dos resultados son equivalentes: Masa gravitatoria es numéricamente igual a la masa inercial 3.3.2.2

FUERZA GRAVITATORIA O PESO.

Se le da este nombre a la fuerza con que un cuerpo cualquiera atrae a todos los demás: por ejemplo, la tierra atrae a todos los objetos que se encuentran cerca de ella. La dirección de esta fuerza apunta hacia el centro de la tierra. Mediciones de la fuerza gravitatoria, ejercida sobre diferentes masas en un lugar determinado, demuestran que cumple lo siguiente: Donde:

G Fg : Fuerza gravitatoria o peso del cuerpo.

G G Fg = mg

m: masa del cuerpo. G g : aceleración de la gravedad En diferentes puntos sobre la superficie de la tierra o en el espacio generalmente g varía en magnitud y dirección. Cerca de la superficie G terrestre g aproximadamente es 9.8 m/s2 ó 980cm/s2 con ligeras variaciones de un punto a otro. A medida que se aleja de la superficie del planeta, el valor de g disminuye; así el peso de un cuerpo variará a medida que se tenga variaciones del valor de la aceleración de la gravedad. Hay que hacer notar que la masa ”m” de un cuerpo no depende de su localización. Centro de gravedad: La fuerza gravitatoria actúa sobre las partes que constituyen un cuerpo. Así, sobre un brazo extendido, por ejemplo, existen fuerzas gravitacionales que actúan a lo largo de todo el brazo.

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cg

Fg

La suma de todas estas fuerzas gravitatorias es la fuerza total de la gravedad Fg o peso del brazo, que se supone se encuentra concentrada en un punto determinado, conocido como: CENTRO DE GRAVEDAD: Cg Así para el caso del brazo extendido este punto esta localizado aproximadamente a 28 cm de la articulación del hombro. En un objeto flexible, como el cuerpo humano, la posición del centro de gravedad varía cuando el objeto cambia de forma. El centro de gravedad de un hombre que permanece de pie está localizado al nivel de la 2ª vértebra sacra, sobre una línea vertical que toca el suelo a unos 3 cm por delante de la articulación del tobillo. Si cambia de posición (el hombre), cambiará también la posición del centro de gravedad. La capacidad para variar la posición del Cg es de gran importancia para mantener el equilibrio de un cuerpo. 3.3.2.3

FUERZA DE CONTACTO

Un cuerpo colocado sobre una superficie está en equilibrio; sobre él actúa la fuerza gravitatoria y por la 1ª Ley de Newton, debe existir otra fuerza que equilibre a Fg. Esta fuerza la ejerce la superficie sobre el cuerpo mismo y es perpendicular a dicha superficie. Esta fuerza se conoce como: Fuerza de Contacto o Fuerza Normal ( N o Fc ) las fuerzas de contacto las ejercen los cuerpos sólidos sobre otros objetos en contacto con ellos. Fuerza de Rozamiento o Fricción. La fuerza de rozamiento aparece siempre que un objeto se desliza sobre otro. En general, actúa oponiéndose al movimiento y es paralela a la superficie de apoyo. Se ha determinado que la fuerza de fricción es proporcional a la fuerza de contacto y para cuerpos móviles se cumple: Ff = μFc Siendo: μ = coeficiente de fricción o rozamiento cinético Ff = Fuerza de fricción Fc = fuerza de contacto o fuerza normal.

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El valor del coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de las superficies, siendo mayor cuando las superficies son ásperas y menor si son pulidas. La lubricación disminuye el valor de μ. Para el caso de que no hay deslizamiento entre las superficies en contacto, pero hay fuerzas que tienden a producirlo, se origina la llamada Fuerza de rozamiento estático y su valor máximo cumple Ff = μs Fc ; siendo μs el coeficiente de rozamiento estático, que siempre es un poco mayor que el cinético 3.3.3 TERCERA reacción.

LEY

DE

NEWTON:

Principio

de

Acción

y

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, son la expresión de las interacciones de dicho cuerpo con otros. En toda interacción, un cuerpo ejerce una fuerza sobre el otro y éste ejerce sobre el primero una fuerza de igual modulo, dirección pero sentido contrario a la que recibió. Por lo tanto, no se podrán tener fuerzas únicas o aisladas, éstas aparecerán en parejas, pero actuando sobre cuerpos distintos. Así, en la interacción de dos cuerpos aparecerán las llamadas fuerzas de “acción” y “reacción”, cualquiera de dichas fuerzas se puede considerar como acción o reacción ya que no existe diferencia en la FPE FEP naturaleza de dichas fuerzas. Esta propiedad de las fuerzas se encuentra enunciada en la 3ª ley de Newton, la cual dice: “Si un cuerpo E ejerce una fuerza sobre un cuerpo P, éste ejercerá sobre el primero una fuerza igual en E módulo y dirección pero en sentido P opuesto a la que recibió”. En forma de ecuación y para el ejemplo ilustrado en la figura 7 la tercera ley se expresa así:

G G FEP = −FPE

Se debe tener presente que las fuerzas de acción y reacción no se neutralizan porque actúan en cuerpos diferentes. Ejemplo de pareja de fuerzas de acción y reacción se tiene cuando una persona empuja con su mano hacia abajo la superficie de una mesa

G F ; esta persona G sentirá que la mesa empuja su mano hacia arriba con una fuerza − F . con una fuerza

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3.4

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EQUILIBRIO. 3.4.1 EQUILIBRIO DE TRASLACION.

Se ha visto que si la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula (fuerza resultante cero) de acuerdo con la segunda ley de Newton, la aceleración lineal del cuerpo es cero, o sea que puede estar en reposo o trasladarse con velocidad constante, en ese caso se dice que el cuerpo esta en equilibrio en la traslación. Condición de equilibrio de traslación: n G ó bien y ∑ Fi = 0 ∑ Fx = 0 i =1

∑F

y

=0

Esta es denominada 1ª condición de equilibrio. 3.4.2 EQUILIBRIO DE ROTACION: MOMENTO DE UNA FUERZA Cuando se analizan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido para determinar si éste se encuentra en equilibrio, no basta conocer si la suma de fuerzas actuando sobre él es cero. Observe el siguiente caso. Si las dos fuerzas que se muestran actuando sobre el bloque de la figura anterior son paralelas y de igual magnitud, no existirá fuerza resultante, por lo que el bloque no se acelerará linealmente hacia ningún lado, pero comenzará a rotar, lo que significa un cambio de velocidad angular. Este efecto o tendencia de las fuerzas a iniciar una rotación alrededor de un punto determinado o a modificar la que ya existía, físicamente constituye lo que se conoce con el nombre de MOMENTO O TORQUE Este depende del módulo (F) de la fuerza aplicada y de su distancia (d) medida perpendicularmente, desde la línea de acción de la fuerza al eje de rotación. Es una magnitud vectorial; cuyo módulo está dado por: M = Fd M: momento de la fuerza o torque d : distancia perpendicular (brazo de d = L sen θ la fuerza) En la figura mostrada, el momento que producirá la fuerza F al rededor del punto “0” será : Entonces Mo = F L Sen θ M0 = F x d Siendo L senθ la distancia perpendicular G desde la línea de acción de F hasta el punto “0” (articulación del hombro).

O

L

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Ahora se puede mencionar una segunda condición de equilibrio, la que está relacionada con los momentos que producen varias fuerzas aplicadas a un mismo cuerpo: “Si la suma vectorial de los momentos con respecto a un mismo punto 0, de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo, es cero, entonces el cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación”. n

∑M

0i

i =1

= 0 Condición de equilibrio de rotación

(Segunda condición de equilibrio) Se asume la siguiente convención de signos para el sentido del vector momento de una fuerza, sabiendo que su dirección es la del eje de rotación : “Si la rotación que el momento tiende a producirle al cuerpo es en el sentido antihorario, el momento será positivo; en caso contrario será negativo”.

POSITIVO

NEGATIVO

3.5 APLICACIONES 3.5.1 LA FUERZA MUSCULAR La postura y el movimiento de los seres vivientes están controlados por fuerzas producidas por los músculos. Un músculo está constituido por tejidos que es capaz de contraerse cuando recibe impulsos procedentes de las fibras nerviosas. La contracción del músculo produce dos pares de fuerzas que actúan sobre los huesos y el punto donde los músculos están unidos a los tendones. Estas fuerzas son de acción y reacción entre cada hueso y el músculo. Triceps La fuerza máxima que puede ejercer un músculo depende de su Húmero sección transversal y en el hombre es de unos 3 a 4 Kgf/cm2. Es decir, que para producir una fuerza de 60 Kgf Biceps se necesita una sección transversal Radio de 15 a 20 cm2 aproximadamente. El estudio de las fuerzas musculares para producir movimiento y equilibrio en el hombre recibe el nombre de BIOMECÁNICA .

Cúbito

Fig. 10

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3.5.2 LOS MUSCULOS.

HUESOS

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COMO

PALANCAS

ACCIONADAS

POR

Suponga que a usted se le proporcionara un manojo de palos y algunas bandas de hule y se le dijera que construyese un modelo mecánico del hombre. Probablemente si se le diera suficiente tiempo podría hacer un modelo bastante bueno, sin fuerza motriz, por supuesto. Al igual que las bandas de hule los músculos trabajan sólo ejerciendo tensión, éste es el principio básico del diseño de todos los animales con esqueleto. Como los músculos únicamente ejercen tensión, se necesita como mínimo, un músculo actuando en el codo para elevar el antebrazo, y otro para bajarlo, como se muestra en la siguiente figura. El músculo tríceps está conectado entre la escápula (hombro) y el alecranon, apófisis del cúbito; Cuando se contrae, extiende el ante brazo. El músculo bíceps está conectado entre la escápula y el radio, en el antebrazo, frente al húmero; Cuando se contrae, flexiona el antebrazo. La articulación entre el cúbito y el húmero es una articulación simple con solo un grado de libertad. La figura es una versión incompleta de la musculatura del brazo, en realidad hay 8 músculos principales directamente asociados con la función del codo.

B T

F

B F W

Fig. 11

Fig. 12

Una palanca es una barra rígida que puede girar sobre un punto fijo, llamado apoyo o eje. Su utilidad está en que aumenta la efectividad de una fuerza aplicada, permitiendo que esta fuerza sea aplicada en un lugar más conveniente, o incrementar la rapidez y alcance del movimiento de una parte de las máquinas simples, son quizás las más antiguas y las más frecuentemente utilizadas. Un ejemplo familiar sería el martillo de carpintero cuando es utilizado para extraer clavos. Otros ejemplos menos familiares pero también comunes son los músculos y huesos del cuerpo, pues los huesos son palancas accionadas por los músculos. Dos diagramas de palanca se muestran en la figura anterior ; Para el músculo tríceps , un diagrama de palanca para su acción de extensión del antebrazo .

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La tensión T ejercida por el tríceps tiende a alargar el bíceps B; aquí el punto de apoyo es el codo. El otro diagrama muestra la acción del músculo bíceps al sostener el peso W del antebrazo, usando el codo como apoyo. Nótese que en el primer diagrama el apoyo está entre las dos fuerzas, mientras que en el segundo diagrama está fuera de los puntos de aplicación de las fuerzas, estos diagramas ilustran los dos tipos básicos de palanca, aunque también se habla de un tercer tipo de palanca cuando las direcciones de B y de W se invierten, como es el caso de una carretilla cargada de arena. 3.5.3 BALISTOCARDIOGRAFO. El balistocardiógrafo es un instrumento médico utilizado en investigación, éste determina la fuerza ejercida por el corazón al contraerse los ventrículos, los cuales bombean la sangre hacia la cabeza. Según la tercera ley de Newton existirá entonces una fuerza hecha por la sangre sobre los ventrículos, cuyo resultado es una pequeñísima aceleración de todo el cuerpo hacia los pies. Cuando la sangre llega al arco de la aorta, su dirección cambia hacia los pies, y según la tercera ley de Newton se origina también una fuerza sobre el resto del cuerpo que sufre un impulso de retroceso hacia la cabeza. Un dispositivo bastante sensible para medir estos ligeros movimientos corporales debido al movimiento de la sangre fue construido en 1939. El método consiste en inmovilizar rígidamente un paciente sobre una camilla liviana suspendida del techo por medio de cables. La camilla se mueve con el cuerpo siguiendo los impulsos de retroceso por el bombeo de la sangre. Estos leves movimientos se registran por medios ópticos y el registro obtenido se denomina BALISTOGRAMA, siendo su aspecto semejante al de un electrocardiograma. 3.5.4 FUERZAS DE FRICCION EN LAS ARTICULACIONES. Los estudios hechos sobre las articulaciones demuestran que las cargas que tienden a soportar por ejemplo la cadera y la rodilla son mucho mayores de lo que podría esperarse de tener en cuenta simplemente el peso del cuerpo como factor principal. Realmente la mayor parte de las fuerzas de compresión en una articulación se deben no sólo al cuerpo, sino también a la acción de los músculos que a través de la articulación hacen mover las partes de nuestro cuerpo, pudiendo ser las fuerzas musculares 3 ó 4 veces mayores que el peso del cuerpo.

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Por lo anterior, puede concluirse que existen fuerzas de fricción muy grandes en las articulaciones. Sin embargo, no nos percatamos de ese rozamiento, por que las articulaciones son lubricadas por una sustancia denominada liquido sinovial. Este proceso de lubricación es tan eficaz que con una carga de 1800 N, la fuerza de fricción en una articulación puede ser solo 9 N aproximadamente. El coeficiente de fricción existente entre las superficies de los huesos que forman una articulación puede determinarse, entonces, de la siguiente forma: Coeficiente de fricción = 9 N/ 1800 N = 0.005 3.5.5 RUPTURA DE HUESOS EN CAIDAS O SALTOS. Una persona que salta y cae al suelo desde cierta altura, con una o ambos pies y si la superficie es rígida, somete a un gran esfuerzo los huesos largos de sus piernas. El hueso más vulnerable es la Tibia y el esfuerzo sobre este hueso será máximo en el punto donde el área de la sección transversal es mínima, justamente arriba del tobillo (Recordar la relación área resistencia). La tibia se fracturará si la fuerza de compresión (Tal como la ejercida en una caída o salto) es mayor de 5 x 104 N. Si la caída se hace sobre los dos pies, la fuerza máxima que los huesos de las dos piernas pueden tolerar es el doble o sea 105 N. Esta fuerza corresponde aproximadamente a 130 veces el peso de un ser humano de 75 Kgf. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza ejercida sobre los huesos de las piernas es igual al producto de la masa de la persona por la aceleración promedio (a) en el movimiento que va desde el instante que la persona hace contacto con el suelo hasta que finalmente se detiene. Así: . F= m a Si una persona se deja caer con velocidad inicial cero desde una altura H y utiliza una distancia h para detenerse luego de hacer contacto con el suelo, entonces, la fuerza ejercida sobre los huesos de las piernas estará dada por dichaa fuerza. De las ecuaciones de cinemática se sabe que : v2 = vo2 - 2ah Donde: v = velocidad de la persona en el momento en que se detiene.

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vo = velocidad de la persona en el instante en que hace contacto con el suelo. De lo dicho anteriormente se establece que: v=0 vo = 2 gH Luego: a = v2 - vo2 / 2h ⇒ a = -2gH / 2h ⇒

a = - gH /h.

El signo menos de la aceleración indica que la persona luego de hacer contacto con el suelo disminuye ssu velocidad hasta llegar a cero. Finalmente se obtiene que : F = m a ⇒ F = m (-gH / h ) ; si mg = W = peso de la persona ⇒ F = -W H / h La relación H / h es la razón entre la altura de la caída y la distancia a través de la cual ocurre la desaceleración hasta llegar al reposo. Si una persona cae sobre ambos pies, rígidamente, sin doblar las rodillas, la distancia “h” será aproximadamente de un cm. Luego la altura límite será : H=Fxh W H = 130 W x 0.01m W H = 1.3 m Como puede deducirse, la caída desde una altura relativamente pequeña 1.3 m ó 4.3 pies puede resultar en la fractura de la tibia si la caída es hecha en posición rígida aun sobre los dos pies (sobre un solo pie, la fractura es inevitable). Doblando las rodillas, la distancia en que ocurre la desaceleración puede aumentarse. Si la persona cambia desde la posición erecta a la posición curvada durante la caída, “h” será casi 0.6 m es decir 60 veces mayor que el valor usado en el calculo anterior, lo que indica una altura de salto o caída cuyo valor es: H = 60 x 1.3m H = 38 m En este caso sin embargo la fuerza desaceleradora es ejercida casi enteramente por los tendones y ligamentos en vez de los huesos de las piernas y estos ligamentos son capaces de resistir solamente 1/20 aproximadamente de la fuerza de fractura de los huesos. Por esta razón la máxima altura de caída se ve reducida aproximadamente a unos 4 m (13

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pies). Para caer con seguridad desde tal altura se requiere que el cambio de posición sea hecha de manera uniforme de modo que la fuerza instantánea ejercida sobre los músculos no exceda el nivel de ruptura; por lo tanto saltar desde una altura de 4m (o caerse) es arriesgado. Si la superficie no es dura sino que es algo blanda como arena, agua o algún liquido se puede tolerar una velocidad de impacto mucho mayor. 3.6

ELASTICIDAD: CONCEPTO

Hasta el momento se ha analizado el hecho de que las fuerzas aplicadas a un cuerpo pueden producirle traslación y/o rotación, en esta parte se estudiará otro efecto de las fuerzas el cual es producir cambios de forma en los cuerpos, es decir deformación llegándose incluso a que si las fuerzas son muy grandes a la deformación permanente o bien a la ruptura del objeto sobre el cual actúan. Si un material se comporta de forma tal que al dejar de actuar la (o las) fuerza(s) sobre el cuerpo, se recobra su tamaño y forma original, se dice que el material es elástico. Si al dejar de actuar las fuerzas el objeto no recupera por completo sus características originales el material es inelástico y cuando no existe tendencia a retornar a las condiciones originales el material es perfectamente inelástico (plástico). Se denomina elasticidad a la capacidad de retornar a la forma y tamaño inicial cuando han dejado de actuar las fuerzas deformantes. 3.7

PROPIEDADES MECANICAS DE LOS SOLIDOS.

LEY DE HOOKE En un experimento sencillo, los extremos de una muestra cilíndrica de cierto material a investigar se conectan a placas móviles, estas se separan o se empujan una hacia la otra, sometiendo la muestra a deformación, ya sea produciéndole aumento en su longitud (tensión) o reduciendo su longitud (compresión). Ver figura.

ΔL

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TENSION

L COMPRESION

ΔL

G

En los dos casos de la figura, las fuerzas ( F ) actuando en los extremos tienen el mismo módulo y línea de acción por lo que su efecto no es producir movimiento sino deformar el objeto. Una importante observación experimental es que la deformación ΔL es directamente proporcional a la fuerza aplicada (o fuerza deformante), el primero en observar lo anterior fue Robert Hooke, de aquí que la denominada ley de Hooke se exprese así: F = kΔL

(6)

Siendo k la constante de proporcionalidad. La ley es valedera media vez no se sobrepase el llamado límite elástico o de proporcionalidad considerando esa limitante, la ecuación se cumple para casi cualquier material sólido desde el acero hasta los huesos.

En la figura siguiente se muestra un gráfico típico de fuerza aplicada (F) en función de la deformación o elongación (ΔL) Hasta el límite elástico Punto de ruptura (punto A) el objeto regresa a su forma y tamaño originales A F cuando deja de aplicarse la fuerza. La región OA Límite elástico constituye la región elástica. Si al objeto sigue aplicándosele fuerzas más allá del limite elástico este se Región deformara permanentemente. O Para la mayoría de ΔL materiales comunes la ley de

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Hooke se cumple con buena aproximación casi siempre y el gráfico rectilíneo. Más allá del límite elástico el gráfico deja de ser rectilíneo y la relación entre F y ΔL no es sencilla; si el objeto se deforma más allá del límite elástico, se romperá. La máxima fuerza que puede aplicársele sin romperlo se llama resistencia última del material 3.8

MODULOS DE ELASTICIDAD.

La deformación ΔL que experimenta un objeto depende de la manera en que se aplica la fuerza, del material del que está hecho el objeto y de su forma y tamaño original, todo lo anterior se analiza en los llamados módulos de elasticidad. 3.8.1 MODULO DE YOUNG El cambio de longitud (ΔL) en la ecuación anterior depende no sólo de la fuerza (F) sino del tamaño (L0) y la naturaleza del material sometido a tensión o compresión. Así la constante “k” puede escribirse en términos de los factores anteriores. Si se comparan distintas barras hechas del mismo material pero de longitudes distintas y diferente sección transversal, se encuentra que para la misma fuerza aplicada, el estiramiento o acortamiento es directamente proporcional a la longitud original e inversamente proporcional al área de la sección transversal, Combinando lo anterior se tiene:

ΔL ∝ FL0 / A O sea ΔL = (1 / Y) L0 / A F

(7)

Siendo Y una constante llamada modulo de Young, que depende sólo de la naturaleza del material y no de su forma. La ecuación anterior es conveniente escribirla en términos de los parámetros siguientes: La deformación unitaria o normal (ε ) y el esfuerzo normal (σ) . Se define la deformación unitaria o normal de la siguiente forma: Deformación unitaria = variación de longitud o normal longitud inicial

ε = ΔL / L0

(8)

El esfuerzo (σ) se define como la fuerza aplicada por unidad de área de la sección transversal: Esfuerzo =

Fuerza aplicada_ _ Área de la sección transversal

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σ=F/A

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(9)

Al esfuerzo se le denomina también Fatiga usando estos nuevos parámetros, la ecuación (7) puede reescribirse así : F / A = Y ΔL / L0 o sea F/A Y= De modo que Y = σ/ ε0 ΔL / L0 Es decir, el módulo de Young =______esfuerzo _ Deformación Unitaria o normal. Obsérvese que la deformación normal es una cantidad adimensional mientras que el esfuerzo tiene unidades de Fuerza / Area, siendo éstas las unidades del módulo de Young. 3.8.2 MODULO DE RIGIDEZ O DE TORSION La deformación debida a un esfuerzo de tensión o compresión son ejemplos de esfuerzos a los que puede someterse un material, existe también el esfuerzo cortante. Un objeto bajo esfuerzo cortante esta sometido a fuerzas iguales y opuestas que actúan paralelamente a través ΔL

F

A

-F a)

A b)

de superficies opuestas Tal como puede apreciarse en la figura anterior (a) y (b) aun cuando las dimensiones del objeto no cambian en forma apreciable, su forma si experimenta variación de manera análoga a la ecuación 8 y 9 se tiene: Deformación = Deformaciones angular longitud original

γ = ΔL / L0 Observándose de la figura anterior (a) que Tan θ = ΔL / L0 por lo tanto: γ = tan θ Así mismo el esfuerzo cortante o sizalladura (τ) se define como :

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esfuerzo cortante = ________Fuerza_______ área de la superficie paralela a la fuerza aplicada τ=F/A Definiéndose al modulo de rigidez o de torsión como la relación entre el esfuerzo cortante y la deformación angular G = τ /γ 3.8.3 MODULO DE COMPRESION VOLUMETRICA O DE ELASTICIDAD CUBICA. Si un objeto es sometido a la acción de fuerzas en todas sus partes experimentará una reducción en su volumen. Tal es el caso de un objeto sólido inmerso en un liquido, éste ejerce presión en todo el objeto tal como se indica en la siguiente figura Vo De la misma forma que en los dos módulos anteriores se tiene la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria. Siendo el esfuerzo (F / A) equivalente al cambio de presión (ΔP) a que se somete el objeto, podemos escribir: Esfuerzo = ΔP La deformación unitaria es la relación entre le cambio de volumen y el volumen inicial.

ε = ΔV / V0 De manera que el módulo de compresión volumétrica (B) se expresa como: ΔP B= − ΔV / V0 El signo (-) indica que el volumen disminuye con un incremento de la presión. Este módulo se utiliza en el caso de líquidos y gases ya que no tiene forma definida. 3.9

APLICACIONES

Los materiales de interés biológico como ejemplo huesos, cartílagos, son estructuras compuestas de células vivas, nervios y vasos sanguíneos inmersos en una armazón extra celular sólida. Las propiedades mecánicas de los huesos y otros materiales biológicos se ensayan con los mismos métodos usados para los materiales de ingeniería,

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sin embargo la principal dificultad es obtener muestras frescas y preservarlas para su estudio. 3.9.1 ELASTÓMEROS Los elastómeros son sustancias como el caucho que pueden ser estiradas elásticamente hasta el doble o más de su longitud original. Un elastómero esta compuesto de moléculas largas que están dispuestas al azar y débilmente enlazadas unas con otras. Estas moléculas están normalmente enrolladas, pero cuando se aplica a un elastómero una tensión, las moléculas se desenrollan y esto hace aumentar enormemente la longitud de la sustancia. Cuando se suprime la tensión, las moléculas vuelven a su configuración original y la sustancia recobra su forma primitiva. La elasticidad del tejido conjuntivo blando del cuerpo es debida a la presencia de fibras elastoméricas en el tejido. Estas fibras que están compuestas de la proteína Elastina tienen unos 10-2 mm de diámetro y llenan el espacio que queda entre las células, junto con otras fibras (compuestos de colágeno) que dan al tejido su resistencia. La siguiente figura presenta la curva esfuerzo-deformación del tejido elástico de la aorta, la cual es semejante a la curva de un elastómetro puro como el caucho. La curva no presenta una σμ ecuación recta y por consiguiente no se cumple la ecuación (6) ni siquiera para σo esfuerzos pequeños. El límite elástico σ0 1.0 es el 95% de la resistencia a la tensión σμ. Esto quiere decir que el tejido puede estirarse hasta el limite de ruptura sin producir deformación permanente. (Obsérvese que una deformación unitaria 0.5 de 1.0 duplicará la longitud del tejido) Curva esfuerzo-deformación unitaria de tejido elástico de la aorta. Esta es la curva esfuerzo-deformación típica de un elastómero.

0.5 Deformació unitaria (ε)

3.9.2 LA LEY DE HOOKE Y LOS MATERIALES BIOLÓGICOS. Todo lo anteriormente expresado respecto a la elasticidad de los materiales es aplicable no sólo a los huesos sino también a las membranas por

1.0

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ejemplo: paredes arteriales, paredes del corazón, superficie de la córnea, etc. En los sistemas biológicos hay sistemas especiales, uno de ellos es que al dejar de actuar la fuerza deformante el material puede no retornar inmediatamente a su forma original sino que lo hace al transcurrir el tiempo. La fuerza deformante hace trabajo sobre el cuerpo y al dejar de actuar debe gastarse energía Carga aplicada interna para completar la restauración. Otro fenómeno es la F aparición de fuerzas internas por ejemplo: En la vejiga, la que se llena y se extiende pasivamente, luego Carga aparece una fuerza interna que genera tensión y la obliga a ΔL vaciarse (micción) Debido a la variedad de GRAFICO FUERZA DEFORMACIÓN fenómenos que se producen, la ley PARA MATERIALES BIOLOGICOS. de Hooke es obedecida dentro de límites reducidos (ver figura) Del gráfico puede deducirse que la aplicación de una fuerza implica deformaciones proporcionales a la misma. Sin embargo, a medida que la fuerza se remueve el material se contrae, pero la deformación es menor que el estiramiento para una carga dada y existe una deformación residual aún cuando toda la carga se allá removido. En algunos materiales biológicos existirá un retorno a la longitud original dentro de cierto tiempo, pero esto implica cierta energía. Sin embargo, a pesar de las discrepancias, sin la perfecta elasticidad, puede aplicarse la ley de Hooke con resultados satisfactorios. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

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Alvarenga, Máximo: Física General, Editorial Harla, México, 1975 Cromer, Alan H.: Física para las ciencias de la vida, Editorial Reverté, México, 1978 Serway, R.A.: Física Tomo I.