VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA

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CONTENIDO 1. Distancia entre dos puntos. 2. Punto medio. 3. Valor Absoluto. 4. Ecuaciones e Inecuaciones con valor Absoluto

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Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica Antes de dar la definición formal de Valor Absoluto vamos a analizar la siguiente situación. Oscar, Alberto y Betty se reúnen, en la casa de Oscar, para realizar un trabajo de la Universidad. La casa de Betty está ubicada a tres cuadras a la izquierda de la casa de Oscar. Casa de Betty

Casa de Oscar

3 cuadras

Casa de Alberto 5 cuadras

La casa de Alberto, por el contrario está ubicada a 5 cuadras a la derecha de la casa de Oscar.

3

Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica Representemos la anterior situación en la siguiente recta numérica:

B

A

O

3 cuadras

5 cuadras

Donde: Punto B: ubicación casa de Betty Punto A: ubicación casa de Alberto Punto O: ubicación casa de Oscar 4

Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica Ahora el punto de reunión es donde Alberto. Cuántas cuadras deben recorrer Oscar y Betty? Casa de Alberto

Distancia de la casa de Oscar a la Alberto

Distancia de la casa de Betty a la de Alberto

Betty: 8 cuadras.

Oscar: 5 cuadras

5

Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica La distancia entre dos puntos es siempre positiva y se define como la longitud del segmento de recta que tiene como extremos dichos puntos.

La distancia entre los puntos A y B, que denotamos d(A,B) , es la misma que la distancia entre los puntos B y A, esto es:

d(A,B) = d(B, A) A --------------------->B I I A x2 d(x ,x )=lx - x l 1

2

1

2

2

1

1

l

2

1

2

l

x1 3 En términos de distancia Expresado como valor absoluto es: x-0 >3



x  3 con solución:

 -∞,-3  ∪ 3,∞ 

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VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 8:

Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a -3 es de 7 unidades Observe que ya no es al origen

Solución:











Los valores que cumplen esta condición son: x  10 ó x  4 El conjunto solución es:  10, 4 

Escrito lo anterior en términos de valor absoluto x  (3)  x  3  7 19

INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 9

Encontrar el conjunto solución de x 5  7 Solución

Gráficamente corresponde a:

-2

0

7 unidades

5

12

7 unidades

Los puntos se encuentran en el intervalo

 2, 12 20

Ecuaciones Lineales con valor absoluto

Ejemplo 10 x 1  4

Encontrar el conjunto solución de: Solución Puesto que

x  1  x  (1)

Punto de referencia (-1)

El problema consiste en encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a 4 unidades de - 1 -5

-4

-3

4 unidades

-2

-1

0

1

2

3

4 unidades

Los valores que cumplen esta condición son

Por lo tanto el conjunto solución es:

x  5

 - 5, 3 

y x 3 21

Ecuaciones Lineales con valor absoluto Ejemplo 11:

-6