VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.

3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleraci´ on del movimiento descrito por las curvas siguientes: → − → − → − → (a) − r (t) = i − 4t2 j + 3t2 k . → − → − → (b) − r (t) = 3 cos t i + 4 sen t j .

Soluci´ on (a) Las componentes del vector de posici´on son x(t) = 1, y(t) = −4t2 , z(t) = 3t2 . Como 4z + 3y = 0, la trayectoria describe la recta 4z + 3y = 0 en el plano x = 1. Los vectores velocidad y aceleraci´ on son: − → v (t) → − a (t)

= =

(0, −8t, 6t); (0, −8, 6).

− Resulta que |→ a (t)| = 10, de modo que el movimiento es rectil´ıneo y uniformemente acelerado. (b) En este caso, x(t) = 3 cos t, y(t) = 4 sen t, de modo que se verifica la ecuaci´on (x/3)2 + (y/4)2 = 1, la cual representa una elipse en el plano XY . Los vectores velocidad y aceleraci´ on son: − → v (t) = (−3 sen t, 4 cos t); → − a (t) = (−3 cos t, −4 sen t). − → Como → a (t) = −− r (t), se trata de una trayectoria el´ıptica con aceleraci´on centr´ıpeta. → − → − → 4. Se considera la curva dada por su vector de posici´ on − r (t) = (t−sen t) i +(1−cos t) j + → − 4 sen(t/2) k , y el punto P = ovr(π). (a) Determinar los vectores velocidad y aceleraci´ on en el punto P . → − → − − → → − → − − → − (b) Expresar T y N en funci´ on de i , j , k y → a (π) como combinaci´ on lineal de T → − y N. (c) Determinar la curvatura en P . Soluci´ on (a) Los vectores velocidad y aceleraci´ on vienen dados por → − − → v (t) = r0 (t) = (1 − cos t, sen t, 2 cos(t/2)) − → → − a (t) = r00 (t) = (sen t, cos t, − sen(t/2)). − − Al sustituir en el punto P , obtenemos → v (π) = (2, 0, 0) y → a (π) = (0, −1, −1). 1

p − (b) Como |→ v (t)| = (1 − cos t)2 + sen2 t + 4 cos2 (t/2) = 2, entonces  1 − cos t sen t  − → T = , , cos(t/2) . 2 2 Para calcular el vector unitario normal utilizamos la f´ormula N = T 0 /|T 0 |. Como − − 0  sen t cos t − sen(t/2)  → → 1p , | T 0| = 1 + sen2 (t/2), T = , , 2 2 2 2 entonces

 − → sen t cos t − sen(t/2)  N = p ,p ,p . 1 + sen2 (t/2) 1 + sen2 (t/2) 1 + sen2 (t/2) √ √ → − → − Al sustituir en el punto P , obtenemos los vectores T (π) = (1, 0, 0) y N (π) = (0, −1/ 2, −1/ 2). → → − − Para expresar el vector aceleraci´on en funci´on de T y N , derivamos en la expresi´on → − → − → v = |− v | · T . Resulta que → → − − → → → − − → − → − → → → a = |− v 0 | · T + |− v | · T 0 = |− v 0 | · T + |− v | · | T 0| · N . √ − → − → − Sustituyendo los valores obtenidos, tenemos que → a (π) = 2( T + N ). − → − → (c) Si utilizamos la f´ ormula de la curvatura κ(t) = |T 0 |/| r0 |, se obtiene f´acilmente que √ κ(π) = 2/4.

5. Determinar los vectores velocidad y aceleraci´ on del movimiento descrito por la curva → dada por el vector de posici´ on − r (t) = (et , e−t , − ln t) en el punto correspondiente a t = 1. Calcular la curvatura de dicha curva en el punto dado.

Soluci´ on Las derivadas sucesivas del vector de posici´on nos dan los vectores velocidad y aceleraci´on: → − − → − v (t) = r0 (t) = (et , −e−t , −1/t) =⇒ → v (1) = (e, −e−1 , −1), → − → − → a (t) = r00 (t) = (et , e−t , 1/t2 ) =⇒ − a (1) = (e, e−1 , 1). Para calcular la curvatura utilizaremos la f´ormula κ(t) = i r0 (1) × r00 (1) = e e1

j −e−1 e−1

resulta:

√

κ(1) =

(e2

2

k −1 1

|r0 (t) × r00 (t)| . As´ı pues, como |r0 (t)|3

= (0, −2e, 2).

4e2 + 4 . + e−2 + 1)3/2

6. Encontrar la recta tangente a la h´ elice cil´ındrica descrita por las ecuaciones param´ etricas x = cos t, y = sen t, z = t/2, con t ∈ R, en el punto (0, 1, π/4).

Soluci´ on Observamos en primer lugar que el punto dado corresponde al valor t = π/2. Como la curva est´a descrita por la parametrizaci´ on f (t) = (cos t, sen t, t/2), su derivada es f 0 (t) = (− sen t, cos t, 1/2), de modo que el vector director de la recta tangente es f 0 (π/2) = (−1, 0, 1/2). Por tanto, la recta tangente a la curva en (0, 1, π/4) tiene por ecuaci´on − → r (λ) = (0, 1, π/4) + λ(−1, 0, 1/2), λ ∈ R.

→ 7. Dada la h´ elice − r (t) = (a cos wt, a sen wt, bwt), con w > 0, probar que la recta tangente forma un ´ angulo constante con el eje Z cuyo coseno es √a2b+b2 . Adem´ as los vectores → → a |− v ×− a| = 2 . velocidad y aceleraci´ on tienen longitud constante y → a + b2 |− v |3

Soluci´ on → → El vector director de la recta tangente a la curva − r (t) en un punto P (x0 , y0 , z0 ) = − r (t0 ) es p →0 − → − r (t0 ) = (−aw sen wt0 , aw cos wt0 , bw) y | r0 (t0 )| = w a2 + b2 . → − Como el vector unitario en la direcci´ on del eje Z es k = (0, 0, 1), el ´angulo entre estos vectores se calcula mediante el producto escalar →0 − → − r (t0 ) · k b cos α = → −0 → = √a2 + b2 . − | r (t0 )| · | k | → − − Por otra parte, como → v (t) = r0 (t) = (−aw sen wt, aw cos wt, bw), entonces → − − → a (t) = r00 (t) = (−aw2 cos wt, −aw2 sen wt, 0). Adem´as, − → → v (t) × − a (t)

i j aw cos wt = −aw sen wt −aw2 cos wt −aw2 sen wt =

k bw 0

(abw3 sen wt, −abw3 cos wt, a2 w3 ).

As´ı pues, la curvatura de la h´elice viene dada por √ → → a2 b2 w6 + a4 w6 a |− v ×− a| p = = 2 . → − 3 3 2 2 3 a + b2 |v| w (a + b )

3



→ → 8. Sea − c un vector unitario fijo. El vector posici´ on − r (t) de una part´ıcula verifica → − → − → − 2t c · r (t) = e , para todo t, y su vector velocidad v (t) forma un ´ angulo constante ϑ → con − c (0 < ϑ < π/2). 2e2t − (a) Demostrar que la velocidad en t es |→ v|= . cos ϑ → → (b) Calcular − a (t) · − v (t) en funci´ on de t y ϑ.

Soluci´ on −c · − → → → → (a) Por una parte, → v (t) = |− c | · |− v | · cos ϑ = |− v | · cos ϑ. −c · − → Por otra parte, si derivamos los dos miembros de la igualdad → r (t) = e2t , obtenemos → − → − 0 2t que c · r (t) = 2e . 2e2t → − En definitiva, 2e2t = |− v | · cos ϑ, de donde |→ v|= . cos ϑ 4e4t − → → : (b) Derivamos ahora los dos miembros de la igualdad → v (t) · − v (t) = |− v |2 = cos2 ϑ 8e4t 16e4t → − → − − → → → → =⇒ a (t) · v (t) = . a (t) · − v (t) + − v (t) · − a (t) = cos2 ϑ cos2 ϑ

→ 9. Una part´ıcula de masa unidad se mueve en un plano mediante la ecuaci´ on − r (t) = (x(t), y(t)); es atra´ıda hacia el origen por una fuerza de magnitud igual a 4 veces su → distancia al origen. En el instante t = 0, la posici´ on inicial es − r (0) = (4, 0) y el → − vector velocidad inicial es v (0) = (0, 6). Determinar las componentes x(t), y(t) en funci´ on de t, hallar la ecuaci´ on cartesiana de la trayectoria e indicar la direcci´ on del movimiento sobre la curva.

Soluci´ on → − → − De los datos del problema, sabemos que F (t) = k · (−x(t), −y(t)), (k > 0) y | F (t)| = → − → 4 · |− r (t)|, de modo que F (t) = (−4x(t), −4y(t)). Por otra parte, como la part´ıcula se supone de masa unidad, → − → − → F (t) = − a (t) = r00 (t) = (x00 (t), y 00 (t)), lo que nos lleva al sistema de ecuaciones x00 (t) = −4x(t), y 00 (t) = −4y(t), cuya soluci´on general es x(t) = a1 cos 2t + a2 sen 2t, y(t) = b1 cos 2t + b2 sen 2t. A partir de las condiciones iniciales x(0) = 4, x0 (0) = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 6, obtenemos en → definitiva que la posici´ on del m´ovil viene dada por el vector − r (t) = (4 cos 2t, 3 sen 2t), lo 2 2 x y que corresponde a la elipse + = 1 recorrida en sentido antihorario. 16 9

4

10. Una part´ıcula se mueve a lo largo de la elipse 3x2 + y 2 = 1 con vector de posici´ on → − r (t) = (f (t), g(t)). El movimiento es tal que la componente horizontal del vector velocidad en t es −g(t). ¿Cu´ al es el sentido del movimiento de la part´ıcula, a favor o en contra de las agujas del reloj? Probar que la componente vertical del vector velocidad en t es proporcional a f (t).

Soluci´ on → − − Si r (t) = (f (t), g(t)), entonces → r 0 (t) = (f 0 (t), g 0 (t)). Por hip´otesis, f 0 (t) = −g(t). Por otra parte, como la part´ıcula recorre la elipse 3x2 + y 2 = 1, entonces 3f 2 (t) + g 2 (t) = 1. Al derivar respecto a t, obtenemos que 6f (t) · f 0 (t) + 2g(t) · g 0 (t) = 0 =⇒ (−3f (t) + g 0 (t)) · g(t) = 0 =⇒ g 0 (t) = 3f (t). − De este modo, el vector velocidad es → v (t) = (−g(t), 3f (t)) y el movimiento es contrario al de las agujas del reloj.

→ 11. Una part´ıcula sigue la trayectoria − r (t) = (et , e−t , cos t) hasta que se sale por su tangente en t = 1. ¿D´ onde est´ a en t = 2, si ninguna fuerza act´ ua sobre ella despu´ es de dejar la curva?

Soluci´ on Para determinar la recta tangente en t = 1 calculamos los vectores de posici´on y de velocidad para dicho valor de t. As´ı, − → − → r (1) = (e, e−1 , cos 1), r0 (1) = (e, −e−1 , − sen 1). La ecuaci´on de la recta tangente es (x(t), y(t), z(t)) = (e, e−1 , cos 1)+(t−1)·(e, −e−1 , − sen 1). En t = 2, la posici´ on de la part´ıcula es (x(2), y(2), z(2)) = (2e, 0, cos 1 − sen 1).

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