ECUACIONES DE 2º GRADO

Ecuaciones de 2º grado ECUACIONES DE 2º GRADO 1. ECUACIONES DE 2O GRADO CON UNA INCÓGNITA ............................ 2 1.1. Incompletas .........

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Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado 11 de noviembre 2009 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita método de solución, formula general e incompletas A

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Ecuaciones de 2º grado

ECUACIONES DE 2º GRADO 1.

ECUACIONES DE 2O GRADO CON UNA INCÓGNITA ............................ 2

1.1. Incompletas ......................................................................................................... 2 1.1.1. ax2 + c = 0 ..................................................................................................... 2 1.1.2. ax2 + bx = 0................................................................................................... 2 1.2.

Completas ax2 + bx + c = .................................................................................... 3

2. DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. ............................................................................................................. 3 3. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE 2O GRADO. SUMA Y PRODUCTO DE SOLUCIONES. ......................................... 4 4.

FORMA CANÓNICA DE UNA ECUACIÓN DE 2O GRADO. ...................... 4

5.

ECUACIONES FRACCIONARIAS. ............................................................ 5

6.

ECUACIONES XM = A................................................................................. 7

7.

ECUACIONES BICUADRADAS. TRINÓMICAS AX2M+BXM+C=0. ............ 7

8.

ECUACIONES IRRACIONALES ................................................................ 9

9.

PROBLEMAS DE 2O GRADO. ................................................................. 11

1

Ecuaciones de 2º grado

1. Ecuaciones de 2o grado con una incógnita 1.1.

Incompletas

1.1.1. ax2 + c = 0 Las ecuaciones de este tipo se resuelven despejando directamente x2 para luego obtener el valor de x extrayendo la raíz cuadrada. ax2 + c = 0 ax2 = - c x2 = -c/a c x=± − a La ecuación tendrá solución real siempre y cuando −

c ≥ 0 , es decir, que el radicando a

sea positivo. Ejemplos: 8 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ±2 Dos soluciones reales 2 4 4 b) 3 x 2 + 4 = 0 ⇒ 3 x 2 = −4 ⇒ x 2 = − ⇒ x = ± − Sin solución real. 3 3 a) 2 x 2 − 8 = 0 ⇒ 2 x 2 = 8 ⇒ x 2 =

1.1.2. ax2 + bx = 0 En estas ecuaciones es nulo el término independiente. Se resuelven extrayendo x en factor común: ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 Como estamos ante un producto de dos factores que da cero las soluciones de la ecuación serán los valores que anulen estos factores. x=0  ax + b = 0 ⇒ x = − b  a Ejemplo: x=0  5 a) 3 x − 5 x = 0 ⇒ x(3x − 5) = 0 ⇒  3x − 5 = 0 ⇒ x =  3 2

2

Ecuaciones de 2º grado

1.2.

Completas ax2 + bx + c =

Vamos a desarrollar ahora la solución para la forma más general. ax 2 + bx + c = 0 Multiplicamos por 4a a ambos lados de la ecuación 4a (ax 2 + bx + c) = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 Sumamos b 2 a ambos lados de la ecuación 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 = b 2 Pasamos 4ac al otro lado: 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 − 4ac Ahora el miembro izquierdo de la ecuación es un producto notable: (2ax + b) 2 = b 2 − 4ac Ahora se trata de despejar x 2ax + b = ± b 2 − 4ac 2ax = −b ± b 2 − 4ac x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

2. Discusión de las soluciones de la ecuación de segundo grado. El número y el tipo de soluciones que tenga la ecuación de segundo grado depende del valor, y más concretamente del signo de la expresión b 2 − 4ac . Por esta razón se le llama discriminante y su símbolo es ∆ = b 2 − 4ac .

• •



 −b+ ∆  x1 = 2a Si ∆ >0 la ecuación tiene dos soluciones reales:  x = − b − ∆  2 2a Si ∆ =0 la ecuación tiene una única solución que se denomina solución doble o de b multiplicidad dos x1 = x 2 = − 2a Si ∆

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