Completas ax2 + bx + c = .................................................................................... 3
2. DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. ............................................................................................................. 3 3. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE 2O GRADO. SUMA Y PRODUCTO DE SOLUCIONES. ......................................... 4 4.
FORMA CANÓNICA DE UNA ECUACIÓN DE 2O GRADO. ...................... 4
PROBLEMAS DE 2O GRADO. ................................................................. 11
1
Ecuaciones de 2º grado
1. Ecuaciones de 2o grado con una incógnita 1.1.
Incompletas
1.1.1. ax2 + c = 0 Las ecuaciones de este tipo se resuelven despejando directamente x2 para luego obtener el valor de x extrayendo la raíz cuadrada. ax2 + c = 0 ax2 = - c x2 = -c/a c x=± − a La ecuación tendrá solución real siempre y cuando −
c ≥ 0 , es decir, que el radicando a
sea positivo. Ejemplos: 8 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ±2 Dos soluciones reales 2 4 4 b) 3 x 2 + 4 = 0 ⇒ 3 x 2 = −4 ⇒ x 2 = − ⇒ x = ± − Sin solución real. 3 3 a) 2 x 2 − 8 = 0 ⇒ 2 x 2 = 8 ⇒ x 2 =
1.1.2. ax2 + bx = 0 En estas ecuaciones es nulo el término independiente. Se resuelven extrayendo x en factor común: ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 Como estamos ante un producto de dos factores que da cero las soluciones de la ecuación serán los valores que anulen estos factores. x=0 ax + b = 0 ⇒ x = − b a Ejemplo: x=0 5 a) 3 x − 5 x = 0 ⇒ x(3x − 5) = 0 ⇒ 3x − 5 = 0 ⇒ x = 3 2
2
Ecuaciones de 2º grado
1.2.
Completas ax2 + bx + c =
Vamos a desarrollar ahora la solución para la forma más general. ax 2 + bx + c = 0 Multiplicamos por 4a a ambos lados de la ecuación 4a (ax 2 + bx + c) = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 Sumamos b 2 a ambos lados de la ecuación 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 = b 2 Pasamos 4ac al otro lado: 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 − 4ac Ahora el miembro izquierdo de la ecuación es un producto notable: (2ax + b) 2 = b 2 − 4ac Ahora se trata de despejar x 2ax + b = ± b 2 − 4ac 2ax = −b ± b 2 − 4ac x=
− b ± b 2 − 4ac 2a
2. Discusión de las soluciones de la ecuación de segundo grado. El número y el tipo de soluciones que tenga la ecuación de segundo grado depende del valor, y más concretamente del signo de la expresión b 2 − 4ac . Por esta razón se le llama discriminante y su símbolo es ∆ = b 2 − 4ac .
• •
•
−b+ ∆ x1 = 2a Si ∆ >0 la ecuación tiene dos soluciones reales: x = − b − ∆ 2 2a Si ∆ =0 la ecuación tiene una única solución que se denomina solución doble o de b multiplicidad dos x1 = x 2 = − 2a Si ∆