CATÁLOGO MATEMÁTICO POR JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ BASE 8: ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES CON UNA SOLA INCÓGNITA: Teoría tomada de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html

Ecuaciones de primer grado o lineales Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ejemplo: Resolución de la ecuación

2x - 3 = 2

1º paso: Se suma a los dos miembros 3. 2x -3 + 3 = 2 + 3 2x = 5 2º paso. Se divide los dos miembros por 2. 2x /2 = 5/2 SOLUCIÓN: x = 5 / 2

Resolvamos otros ejemplos:

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario). Resolvemos las anteriormente.

operaciones

indicadas

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x) (redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x) (dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)

(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)

(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1) (reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1) (dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.

(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo, el 1, con un negativo, el – 3. Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

Primero quitamos los paréntesis. Reducimos términos semejantes. Ahora quitamos los corchetes. Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas. Nuevamente semejantes

reducimos

términos

Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.

Advertencia Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que: a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5 b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5 Resolución de ecuaciones con productos incluidos Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Observemos un ejemplo:

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis. Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones

inversas.) Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad. Despejamos x pasando 3 a dividir.

AHORA VAMOS A RESOLVER ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL

ECUACIONES

UTILIZANDO

EL

a) Resolver la ecuación 3X +4 = 2X +6

1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada

=

2°) Aplicando el principio de la balanza en equilibrio:” En una balanza en equilibrio, se pueden agregar o quitar la misma cantidad a ambos lados y el equilibrio se conserva” (Ley uniforme). Vamos a quitar cuatro unos (1) a ambos lados… =

3°) Ahora eliminamos dos X a ambos lados…

=

4°) Haciendo la lectura directa, tenemos que X=2

4 X -2= X – 8

b) Resolver la ecuación:

1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada

=

2°) Aplicando el principio de la balanza en equilibrio:” En una balanza en equilibrio, se pueden agregar o quitar la misma cantidad a ambos lados y el equilibrio se conserva” (Ley uniforme). Vamos a quitar dos unos (-1) a ambos lados…

=

3°) Ahora eliminamos una X a ambos lados…

=

4°) Como quedaron tres (3) X; debemos formar tres grupos iguales con los unos, quedando entonces que cada X equivale a -2. X = -2

Planteamiento y Resolución de problemas mediante ecuaciones Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer). Veamos un problema característico: Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno? Digamos que las edades de los tres son: x y z

edad edad

de de

Pedro Álvaro

edad de María

Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro): y=x+3 También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María): z=x–7 Ahora tenemos que: edad de Pedro:

x

edad de Álvaro:

x +3

edad de María:

x–7

La suma de las tres edades es 38: x + x +3 + x – 7 = 38 Resolviendo está última ecuación tendremos: x = 14 (esta es la edad de Pedro) Finalmente: edad de Pedro:

x

= 14 años

edad de Álvaro:

x + 3 = 17 años

edad de María:

x–7

= 7 años

Fuente Internet: Publicación oficial del Demre en www.demre.cl

Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540

1. Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte? A) 250 cm y 50 cm B) 150 cm y 150 cm C) 175 cm y 125 cm D) 200 cm y 100 cm E) Ninguna de las medidas anteriores. Comentario En esta pregunta el alumno debe comprender el enunciado y a partir de los datos entregados en él debe plantear y resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. Del enunciado se tiene que la tabla que mide 3 metros, que equivalen a 300 cm, se divide en dos partes, si la parte más corta es x, la otra es 300 – x. Además, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que la otra, entonces se puede concluir que x + 50 = 300 – x, se suma el inverso aditivo de -x y el inverso aditivo de 50, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose 2x = 250, multiplicando por el recíproco de 2 a ambos lados de la igualdad, se llega a

Así, las medidas de cada parte de la tabla son 125 cm y 175 cm, valores que se encuentran en la opción C) .

ACTIVIDAD Analiza y resuelve mínimo tres ejercicios de cada numeral, indicando todo el proceso a seguir en su resolución: