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Objetivos Pendiente de una L´ ınea Formas de la Ecuaci´ on de una L´ ınea Recta Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares Aplicaciones

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Carlos A. Rivera-Morales

Prec´ alculo I

Rivera-Morales, Carlos A.

L´ ıneas en el Plano Cartesiano

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Tabla de Contenido Objetivos Pendiente de una L´ınea Formas de la Ecuaci´ on de una L´ınea Recta Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares Aplicaciones

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos: Discutiremos: pendiente de una l´ınea.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos: Discutiremos: pendiente de una l´ınea. f´ormula de la pendiente

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos: Discutiremos: pendiente de una l´ınea. f´ormula de la pendiente formas de la ecuaci´ on de una l´ınea en el plano cartesiano.

Rivera-Morales, Carlos A.

L´ ıneas en el Plano Cartesiano

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Objetivos: Discutiremos: pendiente de una l´ınea. f´ormula de la pendiente formas de la ecuaci´ on de una l´ınea en el plano cartesiano. aplicaciones.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Pendiente de una L´ınea no Vertical en el Plano Cartesiano Sea L una l´ınea no vertical en el plano cartesiano y sean P1 = (x1 , y1 ) & P2 = (x2 , y2 ) dos puntos diferentes de L. Entonces, la pendiente de L , denotada por m est´a dada por la f´ormula y2 − y1 m= x2 − x1

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una l´ınea no vertical son las siguientes: m =

cambio en y cambio en x

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una l´ınea no vertical son las siguientes: cambio en y cambio en x 4y = 4x

m =

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una l´ınea no vertical son las siguientes: cambio en y cambio en x 4y = 4x cambio vertical = cambio horizontal

m =

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una l´ınea no vertical son las siguientes: cambio en y cambio en x 4y = 4x cambio vertical = cambio horizontal elevaci´ on = avance o recorrido

m =

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Gr´ aficamente:

Figura: pendiente = m= Rivera-Morales, Carlos A.

4y y2 − y1 = 4x x2 − x1

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejemplo:

Figura: pendiente = m=

Rivera-Morales, Carlos A.

4y 3 = 4x 2

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejemplo:

Figura: pendiente = m=

Rivera-Morales, Carlos A.

4y 2 =− 4x 3

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicio: Calcule la pendiente de la l´ınea de la recta dada.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Nota: La pendiente de una recta no vertical es u ´nica. Esto es, no depende de los dos puntos particulares que se escojan para calcularla.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Nota: La pendiente de una recta no vertical es u ´nica. Esto es, no depende de los dos puntos particulares que se escojan para calcularla. Ejemplo 1:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Nota: La pendiente de una recta no vertical es u ´nica. Esto es, no depende de los dos puntos particulares que se escojan para calcularla. Ejemplo 2:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Posibles casos con relaci´ on a la pendiente:

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicios: Calcule la pendiente de cada l´ınea, de estar definida.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicios (Continuaci´ on): Calcule la pendiente de cada l´ınea, de estar definida.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Consideremos la siguiente figura:

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Forma Punto-Pendiente de la Ecuaci´ on de una L´ınea o Recta Sea L una l´ınea no vertical en el plano cartesiano y sean P1 = (x1 , y1 ) & P2 = (x2 , y2 ) dos puntos diferentes de L. Entonces, una ecuaci´ on de la l´ınea es y − y1 = m(x − x1 ). Nota: La forma punto-pendiente de la ecuaci´ on de una l´ınea no es u ´nica.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Forma Punto-Pendiente de la Ecuaci´ on de una L´ınea o Recta Sea L una l´ınea no vertical en el plano cartesiano y sean P1 = (x1 , y1 ) & P2 = (x2 , y2 ) dos puntos diferentes de L. Entonces, una ecuaci´ on de la l´ınea es y − y1 = m(x − x1 ). Nota: La forma punto-pendiente de la ecuaci´ on de una l´ınea no es u ´nica. Razon: Depende de los puntos particulares que se seleccionen para escribirla.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales

Figura: pendiente = m =

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y−b y−b = x−0 x

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Por lo tanto,

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Por lo tanto, m=

y−b x

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Por lo tanto, m=

y−b x

mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuaci´on anterior por x

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Por lo tanto, m=

y−b x

mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuaci´on anterior por x mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuaci´on anterior.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Por lo tanto, m=

y−b x

mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuaci´on anterior por x mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuaci´on anterior. y = mx + b : por la propiedad sim´etrica de la igualdad (a = b ⇐⇒ b = a)

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuaci´ on de una L´ınea o Recta Si la l´ınea L intercepta al eje-Y en el punto (0,b) y tiene pendiente m, entonces una ecuaci´ on de la l´ınea es y = mx + b. Nota: La forma pendiente-intercepto de la ecuaci´on de una l´ınea es u ´nica.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuaci´ on de una L´ınea o Recta Si la l´ınea L intercepta al eje-Y en el punto (0,b) y tiene pendiente m, entonces una ecuaci´ on de la l´ınea es y = mx + b. Nota: La forma pendiente-intercepto de la ecuaci´on de una l´ınea es u ´nica. Raz´ on: Una l´ınea no vertical solamente tiene una pendiente y un solo intercepto-y.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Forma General o Est´ andar de la Ecuaci´ on de una L´ınea o Recta La gr´afica en el plano cartesiano de la ecuaci´ on Ax + By = C es una l´ınea, siempre que A y B no sean iguales a cero de forma simult´anea. La forma Ax + By = C es la forma general o est´ andar de la ecuaci´ on de una l´ınea. Nota: La forma general o est´ andar de la ecuaci´on de una l´ınea no es u ´nica. Depende de los valores de A, B y C que se utilicen para escribirla.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicios: Escriba una ecuaci´ on, en forma est´ andar, de la recta que pasa por los puntos:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Existe una conexi´on entre las pendientes de las rectas no verticales que son paralelas y las que son perpendiculares. Consideremos las siguientes figuras:

Nota: Las dos rectas de la izquierda son paralelas (est´an el mismo plano y no se intersecan o cortan) y sus pendientes son iguales. Las dos de la derecha son perpendiculares (se encuentran en el mismo plano y forman cuatro a´ngulos rectos)y la pendiente de una de ellas es el opuesto del rec´ıproco de la otra. Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Pendiente, Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes respectivas m1 y m2 . Entonces 1

L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es, si m1 = m2 .

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Pendiente, Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes respectivas m1 y m2 . Entonces 1

L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es, si m1 = m2 .

2

L1 y L2 son coincidentes (es decir, se sobreponen) cuando, aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismo punto.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Pendiente, Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes respectivas m1 y m2 . Entonces 1

L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es, si m1 = m2 .

2

L1 y L2 son coincidentes (es decir, se sobreponen) cuando, aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismo punto.

3

L1 y L2 son perpendiculares se cumple siempre que el producto de sus pendientes sea -1: esto es, m1 × m2 = −1. 1 De otra forma, m2 = − . m1 Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejemplo: Escriba una ecuaci´ on, en forma est´ andar, de la l´ınea que pasa por el punto (6, -9) y es perpendicular a la l´ınea con 3 ecuaci´on y = − x + 4. 5

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejemplo: Escriba una ecuaci´ on, en forma est´ andar, de la l´ınea que pasa por el punto (6, -9) y es perpendicular a la l´ınea con 3 ecuaci´on y = − x + 4. 5

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicios: 1. Escriba una ecuaci´ on, en forma est´ andar, para las rectas descritas:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales 2. Represente gr´aficamente cada una de las siguientes ecuaciones lineales en dos variables. Use los interceptos en los ejes de coordenada.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Ejercicios: 1. Se tienen dos recipientes iguales, A y B, vac´ıos completamente. Se comienzan a llenar, a las 8:45 A.M., por dos llaves que vierten diferente cantidad de litros de agua por minuto. La gr´afica muestra el proceso de llenado de ambos recipientes.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales 2. Pedro se dispone a limpiar los dos tanques de agua que tiene en la casa en su lucha contra el mosquito Aedes Aegypti. Para extraer el agua que le queda a los tanques, abre sus llaves. La gr´afica muestra el volumen de agua, en litros, que va quedando en los tanques durante el proceso de vaciado.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Marca con una X la respuesta correcta.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales

Rivera-Morales, Carlos A.

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