Editorial

El presente número, el XXVII de Elementos de Matemática contiene los siguientes trabajos: a) Las secciones permanentes "La Computación como recurso" y "Propuesta Didáctica", a cargo de los profesores Elena García y Lucrecia Iglesias, respectivamente. b) La sexta parte del importantísimo trabajo del Profesor Jorge E. Bosch sobre Teoría Elemental de Categorías, cuya recopilación ha de constituir un verdadero tratado sobre el tema. c) Las conclusiones que resultaron del Primer Congreso Argentino de Educación Matemática, realizado en la sede de la Universidad CAECE los días 29, 30 y 31 de octubre del año p. pdo. d) El trabajo presentado en dicho Congreso por el Dr. Jorge Vargas. e) Un trabajo publicado por la Comisión Internacional de Educación Matemática bajo el título "El sexo y la Educación Matemática" en el que se trata la posible discriminación que existiría en la distribución de cargos relevantes. En realidad con este informe iniciamos la publicación de trabajos y noticias del mencionado Comité. Finalmente anticipamos que desde el próximo número se incluirá nuevamente la sección "Los problemas matemáticos en el aula" y se incluirán noticias sobre próximas actividades del Comité Argentino de Enseñanza de la Matemática y la Universidad CAECE.

ELEMENTOS DE MATEMATICA PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA

de la UNIVERSIDAD CAECE E L E M E N T O S DE MATEMATICA Publicación didáctico científica de la Universidad CAECE - Trimestral Redacción y Administración Avda. de Mayo 1400 - 5Q Piso Tel.: 383-5757

Director: Prof. Roberto P. J. Hernández Secretaria de Edición Prof. Mariana A. Ortega Colaboradores permanentes: Dr. Luis Santaló Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta Lic. Lucrecia Iglesias Prof. Elena García

SUMARIO Editorial

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Conclusiones del Primer Congreso de Educación Matemática

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Teoría elemental de categorías Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática Adherido al Comité Interamericano de Educación Matemática

Prof. Jorge E. Bosch

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La Matemática en la Escuela Media Prof. Jorge Vargas

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La computación como recurso 25

Prof. Elena Inés García Suscripción anual: Argentina: $ 15 Exterior: 17 dólares o el equivalente en moneda de cada país Ejemplar suelto: $ 4,50 Ejemplar atrasado: $ 4,50 Exterior: 5 dólares

Propuesta didáctica 28

Lic. Lucrecia D. Iglesias

El sexo y la educación matemática

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Registro Nacional de la Propiedad Intelectual N- 42.128

Composición e impresión: CONEXION Florida 165 - 8S piso (1333) Capital ISSN 0326-8888

ELEMENTOS DE MATEMATICA - YOL. VII Nro. 27, Marzo de 1993

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CONCLUSIONES DEL PRIMER CONGRESO DE EDUCACION MATEMATICA |

Organizado por el Comité Argentino de Educación Matemática y la Universidad CAECE, Octubre de 1992.

PANEL la: MATEMATICA PARA EL CICLO BASICO DE ENSEÑANZA MEDIA. Se analizaron los siguientes aspectos: - Importancia del análisis del lenguaje en la enseñanza de la matemática, en el vínculo entre significantes y significados. Los alumnos no comprenden matemática porque no entienden el lenguaje común y sus códigos. Una vez "destrabado" el lenguaje, recién se puede aprender a leer matemática. Se brindaron numerosos ejemplos para llevar al aula. - Construcción de los contenidos matemáticos. Estos no se construyen en una sola oportunidad y para siempre, sino a lo largo del tiempo, en forma gradual. La profundidad de conocimientos no debe considerarse un objetivo inalcanzable; se logra a través del tiempo. No existe Matemática sin demostración pero el nivel de demostración no debe imponerse prematuramente ni generalizarse a toda proposición matemática. - Necesidad de vincular conocimientos. Se utilizó el Teorema de Pitágoras para ejemplificar vinculaciones y la riqueza de ir encontrando nuevas relaciones y propiedades, así como también interrelacionar aspectos geométricos con aspectos algebraicos. - Resolución de problemas. Los alumnos deben disponer de tiempo suficiente para encarar su resolución. No hay que pretender conclusiones totales inmediatas. Tales conclusiones pueden ir enriqueciendo cuando se retoma el mismo problema con otro respaldo de conocimientos. Como ejemplo se citó la experiencia hecha en Córdoba: durante el 1er año de estudio los alumnos recogieron datos estadísticos sobre distintas actividades características de la zona; en el 2Q año los tabularon y en otras etapas siguientes los representaron en gráficos, de forma de poder concluir nociones estadísticas más elaboradas.

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CONCLUSIONES DEL PRIMER CONGRESO DE EDUCACION MATEMATICA

- Formación matemática teórica. Aunque la enseñanza en el ciclo básico sea obligatoria, no debe desdeñarse la formación matemática teórica, a pesar de que ciertos conocimientos prácticos (porcentaje, áreas, volúmenes, etc) sean indispensables.

PANEL Ib MATEMATICA PARA EL CICLO SUPERIOR EN LA ENSEÑANZA MEDIA Fueron tratados los siguientes temas - Contenidos, los contenidos de un curso son una guía de trabajo por realizar, pero lo fundamental es el espíritu con el que esos contenidos se enseñan. Es el espíritu lo que se ha desvirtuado en la enseñanza de la matemática en al escuela. - Programas. Sus temas están mal distribuidos en el tiempo. Están desorganizados en el contexto y hay un desequilibrio jerárquico en ellos. No obstante, se pueden dar cursos excelentes que respondan a los actuales programas "reinterpretado" o sea, habría que "desnudar los programas y vestirlos con ropajes de mejor calidad y gusto". - Aspectos de la enseñanza. l e ) "¿Qué enseñar?" Las respuestas son: • Resolución de problemas previa enseñanza de la teoría esencial, para que sea usada al enfrentarlos. • Razonamiento lógico en casos concretos. • Lectura e interpretación de enunciados. • Diseño de estrategias para resolver problemas. • Presentación de las soluciones una vez resuelto un problema, para que otros puedan entenderlo. S 2 ) "¿Cómo enseñar"? Los criterios son: • Avanzar paulatinamente en complejidad, según las capacidades de los alumnos. • Explicar, escuchar y considerar los avances e interpretaciones de los alumnos, o sea seguir la línea de pensamiento ajeno. Estimular a los alumnos para que usen las herramientas disponibles, en las direcciones que deseen, de modo tal que si existen escollos, los encuentren y traten de superarlos. 2 3 ) La evaluación

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Permite averiguar "qué" se enseñó y "cómo". Se podría casi programar el curso a partir de la pregunta "¿qué voy a evaluar? Se debe evaluar lo que es capaz de resolver el alumno, qué habilidades adquirió, el uso de herramientas, cómo razona lógicamente, cómo interpreta un enunciado, qué estrategias diseño para resolver. - Resolución de problemas. Hay versiones agradables y desagradables de un mismo problema, así como hay formas de transformarlo en un simple "ejercicio de aplicación" No existen diferencias entre problemas "matemáticos" y "útiles para la vida diaria". - La enseñanza de la matemática en escuelas con salida laboral. Esta enseñanza toma objetivos generales del Bachillerato y agrega objetivos específicos de formación profesional. Existen compromisos asumidos por dichas escuelas, tales como preparar al alumno para la vida, formarlo, para desempeñar tareas en un ámbito específico, y también para proseguir estudios. - La matemática como herramienta. Se señalaron estas problemáticas: a) La selección de temas acordes con la especialidad, de secuencias distintas entre las necesidades de las otras asignaturas y el desarrollo propio de la matemática. b) La diversidad de los lenguajes entre diferentes áreas. c) La selección de aplicaciones que no suelen adecuarse a los intereses de la especificidad, lo cual desvirtúa el concepto de "herramienta" de la matemática. - Nuevas tecnologías. Se puntualizó lo siguiente • La actualización tecnológica es imprescindible y no postergable como en el caso de las ciencias formales. • La incorporación de nuevas tecnologías motiva el surgimiento de problemática metodológicas. • Estas tecnologías generan cambios en el tratamiento de la información. El problema ya no es tener datos sino saber buscarlos, interpretarlos, relacionarlos para una correcta toma de decisiones. • Las nuevas tecnologías conducen a la utilización de productos de propósito general. - Objetivos de la escuela secundaria en general. Se formuló el siguiente: Preparar alumnos en una educación para el cambio, capaces de recabar datos, interpretarlos, analizarlos y tener criterios para la toma de decisiones.

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CONCLUSIONES DEL PRIMER CONGRESO DE EDUCACION MATEMATICA

PANEL Ic FORMACION Y ACTUALIZACION DE PROFESORES - Objetivo fundamental de la enseñanza de la matemática en el nivel secundario. Es el de transmitir el espíritu y métodos matemáticos como patrimonio cultural de la humanidad. - Formas de lograr ese objetivo. Se impone una innovación de la enseñanza, la que debe comenzar en los institutos del Profesorado, ya que los profesores son los responsables directos de ponerla en práctica. La especificidad de la matemática está en su facultad de abstraer y luego razonar sobre nociones abstractas. Para que los futuros profesores puedan transmitir el espíritu y métodos matemáticos es necesario que visualicen el edificio matemático como se pretende que lo hagan ver, en el futuro, a sus alumnos. Uno de los errores actuales es considerar dicho edificio como acabado, terminado y completo. El error opuesto es considerarlo como un conjunto desordenado de instrumentos inespecíficos. - Dinamismo y evolución de la Matemática. Importa rescatar ambos aspectos. Entre nosotros, dos maestros, el Dr. Santaló y el Dr. Gentile, aportaron ideas y trabajos que iluminan el panorama de la educación matemática en todos los niveles. Estudiar sus trabajos es sumergirse en el espíritu de la Matemática. - Actualización de profesores. La actualización debe comenzar desde el momento mismo en que el docente completa su carrera y debe atender fundamentalmente la búsqueda de respuestas para el "qué" y el "cómo" a) Respuestas para el "qué". El "qué" debe referirse a contenidos, en los cuales hay que buscar el rigor y la correspondencia con los descubrimientos matemáticos, y con los que resulte de reordenamientos y experiencias -fallidas o favorables-, sin excluir las referencias a la evolución histórica del conocimiento matemático. b) Respuestas para el "cómo" Respecto del "cómo", los conocimientos de didáctica general, pedagógica y psicología deben disponerse para que los docentes ya poseedores de conocimientos matemáticos, elijan la didáctica especial que correspondería a la introducción de los diversos temas. - Temas necesarios que debe incluir la actualización de docentes. Aritmética, álgebra general y de estructuras, álgebra lineal, programación

lineal, elementos de matemática discreta, elementos de teoría de categorías, geometría de fractales, probabilidades y estadística, introducción al análisis moderno y nociones de topología y topología combinatoria. - Relación alumno-docente en la enseñanza. Se puso énfasis en que la enseñanza de la Matemática debe hacer feliz al estudiante y al profesor, para que ambos se motiven permanentemente y logren así los objetivos ya mencionados •

8 TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS

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TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS Profesor J O R G E E. B O S C H

(Sexta Parte) Subcategorías especiales. Grupoides Definición de subcategoría plena. Sea A una subcategoría de la categoría B, o sea A < B. Se dice que A es subcategoría plena de B si para objetos cualesquiera X e Y de A se verifica A(X,Y) = fl(X,Y) Esto significa que la subcategoría A contiene, para cada par de objetos, a todos los morfismos de B que "actúan" entre esos objetos. Ejemplo: la categoría de los conjuntos no vacíos. El lector podrá demostrar, recurriendo al critero práctico para subcategorías, que si se toman como objetos los conjuntos no vacíos, como morfismos las funciones entre tales conjuntos y como composición la composición usual de funciones, se obtiene una subcategoría de TC. Es obvio que esta subcategoría es plena, pues por definición hemos tomado como morfismos de ella entre dos conjuntos no vacíos cualesquiera a todas las funciones entre tales conjuntos, es decir a todos los morfismos de TC entre tales objetos. Contraejemplo: las Inclusiones. Hemos definido más arriba en este mismo parágrafo la llamada categoría de las inclusiones, designada por Inc, que es una subcategoría de TC. Pero no es una subcategoría plena de TC porque, si X es no vacío y está incluido en Y, es evidente que, además de la inclusión iXY: X —> Y, existe en TC al menos otro morfismo de X en Y (pruébelo el lector). Definición de subcategoría saturada. Sea A < B. Se dice que A es subcategoría saturada de B si todo objeto de B que sea isomorfo a un objeto de A es también objeto de A. (Se puede decir que A es cerrada respecto de la isomorfía de objetos en B). O sea que, para todo objeto X de A y todo objeto Y de B, verifica Y ~ X e n 2 í = > Y e ¡A¡ Ejemplo: los conjuntos finitos. El lector podrá demostrar que, si se toman como objetos los conjuntos finitos, como morfismos las funciones entre tales conjuntos y como composición la composición usual de funciones, se obtiene una subcategoría de TC, a la que llamaremos cate-

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goría de los conjuntos finitos. Es una subcategoría saturada pues, si X es finito y además Y ~ X en TC, Y es también finito, luego objeto de la subcategoría. Contraejemplo: el conjunto de las partes de un conjunto. Sea H un conjunto cualquiera no vacío y consideremos la categoría cuyos objetos son los subconuuntos de H, cuyos morfismos con las funciones entre tales objetos y cuya composición es la usual de funciones. Es evidente que se trata de una categoría, que es subcategoría de TC. Pero no es subcategoría saturada porque, para todo X no vacío incluido en H existen conjuntos isomorfos a X en TC (es decir, coordinables con X) que no son subconjuntos de H. Definición de grupoide. Llamaremos grupoide a toda categoría en la que todo morfismo sea isomorfismo. Es decir que la categoría G es un grupoide si y sólo sí, cualesquiera sea el G-morfismo / , existe en G el inverso /"'. Y diremos que un grupoide G está sumergido en la categoría A si G es subcategoría de A. Ejemplos canónicos: (a) El grupoide máximo. Dada una categoría cualquiera A, formamos una subcategoría tomando como objetos todos los objetos de A, como morfismos todos los isomorfismos de A y como composición la composición en A. Se constata de inmediato que se obtiene así una subcategoría de A que es un grupoide: se lo llama el grupoide máximo sumergido en A. (b) Las identidades. Para cualquier categoría A, si se toman como objetos los objetos de A, como morfismos las identidades de A y como composición la usual de funciones, se obtiene una subcategoría de A que es un grupoide sumergido en ella. 11. DUALIDAD Definición de categoría dual. Se llama categoría dual de una categoría cualquiera A, y se designa por A*, a la categoría definida por los siguientes datos: (a) \A*\ = \A\; (b) Para X, Y e U * | : A*(X,Y) = A(Y,X); (c) Para X, Y, Z e | A* | y para / : X —» Y, g : Y —» Z en A*, el compuesto gof en A* es el morfismo compuesto fog en A (teniendo en cuenta que en A* es gof : X —> Z y en A es fog : Z —» X). En términos informales: para pasar de A a A* se mantienen los mismos objetos, "se invierten" los morfismos y se adopta la composición naturalmente inducida por la de A.

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El esforzado lector podrá demostrar que, en efecto, la definición precedente define una categoría A* a partir de una categoría previamente dada A. Ejemplo: categorías elementales. Dado un conjunto cualquiera E llamaremos categoría elemental asociada a E, y designaremos por 1 Elerr ' ' lefinida por los datos siguientes: (b) Para x, y, e E es Elem E (xj) = {(x,y)} (c) Para x,y,x, 6 E : (y,z) o (x,y) = (x,z) Una rápida aplicación del criterio para definir categorías muestra que ElemE es, en efecto, una categoría. Su dual ElemE* tiene por objetos a los elementos de E, y se caracteriza por tener como único morfismo de x en y al par ordenado (y,x) y por componer estos pares ordenados en forma obvia (inspirándose en la composición definida en ElemE). En este ejemplo se visualiza claramente cómo "se invierten" los morfismos al pasar a la categoría dual. NOTA. La presentación de la categoría ElemE adquiere particular importancia en este contexto porque es el primer ejemplo que ofrecemos de una categoría en la que los objetos no son necesariamente conjuntos sino entes cualesquiera, y en consecuencia los morfismos no son funciones ni están definidos mediante funciones. Una observación análoga vale para el ejemplo siguiente. Ejemplo: categorías asociadas a un orden. Recordemos que un conjunto ordenado es una cupla X = (A, y, (y,z) : y —» z entonces (y,z) o (x,y) = (x,z). (Tener en cuenta que en tal caso se verifica x X , p2 : XxY - > Y , dadas por: p ¡ (x ,y)=x , p2 {x, y) = y . En el caso general pondremos también en evidencia dos morfismos a los que llamaremos proyecciones. Definición de producto de objetos. Dados en una categoría cualquiera los objetos X e Y, diremos que el objeto Z es producto de X por Y respecto de las proyecciones (morfismos). p / : Z —» X y p2 : Z -—» Y

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TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS

si, para todo objeto W y todo par de morfismos /,:W->X y / 2 : W —» Y existe y es único el morfismo h : W—>Z tal que el siguiente diagrama sea conmutativo:

o sea que se verifique: f]=p1oh , f2=p2oh Se ha representado con línea de puntos el morfismo h porque es el resultado de la aplicación de la definición; en cambio, los otros morfismos son datos. En este tipo de diagramas convenimos, mientras sea cómodo y la situación esté suficientemente clara, en representar a los datos con flechas continuas y a los resultados con flechas punteadas. No se trata de una cuestión esencial sino simplemente de comodidad visual. A diferencia de lo que sucede con el producto cartesiano, el producto de objetos en una categoría, si existe, no queda unívocamente determinado; se dice que queda determinado salvo isomorfismo. Este lenguaje se justifica en virtud del siguiente teorema. Teorema 11. Si el par ordenado de objetos (X,Y) admite un producto Z respecto del par ordenado de proyecciones (pj, p2), cualquier objeto U isomorfo a Z también es producto de X por Y respecto de las proyecciones (qlf q2), obtenidas del siguiente modo: si k : U —> Z es un isomorfismo, es q1=pl o k y q2 = p2 o k.

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Demostración. Para probar que U es producto de X por Y respecto de las proyecciones {q¡, q2), consideremos el diagrama

y tratemos de demostrar que existe y es único el morfismo t, de W en U, que lo hace conmutativo. Para ello incorporemos al diagrama anterior la información q¿ = p¿ o k, para i = 1,2, así como la información de que, por ser k un isomorfimo, existe el isomorfismo inverso kr1 : Z —> U. Se obtiene así el diagrama conmutativo formado por los datos que se representan mediante flechas de trazo continuo: w

:h 1 z

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TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS

Si en este diagrama prescindimos momentáneamente de U, q¡, q2, y h obtenemos el diagrama de datos representado en primer término (en la definición de porducto) o diagrama (1) sin morfismo h. Pero entonces, como por hipótesis Z es producto de X por Y respecto del par de morfismos (pj, p2), dicha definición de producto establece que existe el morfismo h (resultado) que hace conmutativo al diagrama (3) sin U, q¡ y q2, y que este morfismo h es el único que tiene tal propiedad. Pongamos ahora t = t'oh: W - > U . (4) Probemos que t es el morfismo buscado, o sea que trasladado al diagrama (2), lo hace conmutativo, y además es el único que tiene, esta propiedad. Para ello sigamos refiréndonos al diaframa (3). Hemos puesto por definición: q¿ = pi o k, con i = 1, 2; luego p¿ = q¿ o kr', con i = 1,2, (5) lo que equivale a decir que el diagrama triangular de lados p¡, q¡, kr1, es conmutativo para i = 1,2. Por definición de h ya sabemos que son cunmutativos los triángulos de lados h,pi,fi,parai = 1,2 (6) De (5) y (6) resulta, como demostrará el lector reemplazando en (6) el valor de p¡ obtenido de (5) y teniendo en cuenta (4), que los triángulos de lados q¡, t,f¡, con i = 1,2, conmutan Esto muestra que colocando el morfismo t (de W en U) en el diagrama (2), éste se hace conmutativo, lo cual constituye la primera parte de lo que se quería demostrar. Falta probar que t es el único morfismo de W en U que tiene esta propiedad. Para ello, supongamos que exista t': W -4 U, que haga conmutativo al diagrama (2). Esto significa que, para i - 1,2, fi = Qiot', e intercalando adecuadamente kr' 0 k, que es igual a l u y por tanto no altera el resultado, se obtiene fi - q¡ o kr' o k o t' y por (5): fi= Pi° (kot') conkot:W-^Z, lo cual equivale a decir que kot', colocado en vez de h, hace conmutativo

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el diagrama (1). Pero como h es el único morfismo quie tiene esta propiedad (por definciión de producto) debe ser k o t' = h, de donde kr'okot' = kr' o h, y por (4): t' = t, lo cual prueba que el morfismo t: W —» [/ es el único que hace conmutativo al diagrama (2). Queda así demostrado el teorema. Esencialmente este teorema afirma que si un objeto Z es producto de los objetos X e Y, en ese orden, cualquier objeto isomorfo a Z también lo es. Ahora demostraremos el recíproco de este teorema. Teorema 12. Si los objetos Z y U son productos de los objetos X e Y, entonces Z y U son isomorfos entre sí. Con más precisión: si Z es producto XxY respecto de las proyecciones (p¡,p2) y U lo es respecto de las proyecciones (q¡,q2) existen un isomorfismo de Z en U y otro de U en Z, que son inversos entre sí y que están determinados por los datos expuestos; esto se expresa diciendo que dichos isomorfismos son canónicos. Demostración Consideremos el diagrama (7), en el que aparecen representados por flechas de trazo continuo los morfismos que se mencionan en la hipótesis de este teorema.

Considerando a Z como producto XxY y a U, q¡, q2 como datos para aplicar la definición de producto, esta definición establece que existe y es único el morfismo h que hace conmutativo al diagrama. Y considerando

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luego a U como producto XxY y a Z, p¡, p2 como datos para aplicar la definción de producto, ésta establece que existe y es único el morfismo k que hace conmutativo al diagrama. Debemos demostrar que h y k son morfismo mutuamente inversos, de modo que resultan ser isomorfismos mutuamente inversos, lo que constituye la tesis del teorema. Para ello consideremos la parte inferior del diagrama (7), formado por Z y sus proyecciones en X e Y. La definición de producto menciona a un objeto cualquiera W y morfismos cualesquiera f¡,f2. Nada impide tomar como W al mismo Z, y como f¡,f2, a las mismas proyecciones p¡, p2. El lector puede imaginar al diagrama resultante de (1) haciendo coincidir a W con Z y a f¡,f2 con pj, p2 respectivamente. En estas condiciones la definición establece la existencia y unicidad de un morfismo que hace conmutativo a tal diagrama. Pero el lector podrá demostrar que tanto l z como el morfismo compuesto h o k poseen esta propiedad. (El caso de lz es trivial: el de h o k se demuestra tomando en cuenta la conmutatividad del diagrama (7) con h y con k). Pero si estos dos morfismos hacen conmutativo el diagrama (1) con los reemplazos estipulados, la definición de producto exige que ellos coincidan. Luego h o k = lz

En forma totalmente análoga, consideremos ahora la parte superior del diagrama (7), constitutida por U y los morfismos qh q2, podemos estudiar el diagrama obtenido de (1) reemplazando a Z y W por U, a p¡,f¡ por q¡ y a p2,f2 por q2. Como en el caso anterior, aparecen dos morfismos que hacen conmutativo al diagrama (1) así cambiado: son l u y el morfismo compuesto k o h. Luego, el mismo razonamiento empleado antes muestra que k oh = I j j Las dos últimas igualdades muestran que h y k son morfismos muatuamente inversos, y en consecuencia son isomorfismos mutuamente inversos. Así queda demostrado el teorema •

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ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VII Nro. 27, Marzo de 1993

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Profesor J O R G E V A R G A S

Docente de la Facultad de Medicina, Astronomía y Física de la Universidad Nacional de Córdoba. (Expuesto en el Panel la del Primer Congreso de Educación Matemática organizado por el CAEM y la Universidad CAECE, en octubre de 1992)

Según nuestro criterio, entre los objetivos de la escuela media se destacan: • proveer al joven de una cultura general • preparar a sus egresados para analizar, comprender y desempeñarse en los distintos roles que nuestra sociedad le ofrece. • tener confianza en sus actos o decisiones. Para realizar estos objetivos, historia, geografía, gramática le permiten formarse una cultura general y expresarse correctamente. Instrucción cívica o materias similares le permiten saber cuáles son las reglas de funcionamiento de nuestra sociedad. Física, química, ciencias biológicas lo ayudan a entender la naturaleza que lo rodea y la tecnología que nuestra sociedad le brinda. La matemática le enseña a abstraerse, lo introduce en técnicas de razonamiento, esto es, le permite desarrollar su capacidad de analizar lógicamente razonamientos hechos por él mismo o por otras personas, en otras palabras, desarrollar su capacidad de evaluar o autoevaluarse. En particular, aprende a discernir entre lo correcto y lo incorrecto de acuerdo a reglas preestablecidas; a comprender lo probable como parte de una realidad, es decir, a desarrollar su capacidad de hipotetizar, abstraer y construir teorías. También aprende a interpretar modelos. Estos objetivos de la enseñanza de la matemática analizados desde el punto de vista de la psicología de Piaget se encuadran en la frase: "Un objetivo de la enseñanza de la matemática media es lograr que el alumno acceda plenamente al pensamiento operatorio lógico formal". Entre lo que esta frase comprende, mencionamos que en particular al finalizar la escuela media el alumno debe ser capaz de: • Diferenciar el lenguaje corriente del lenguaje matemático (uso del si, igual, y, o, etc.)

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LA MATEMATICA EN LA ESCUELA MEDIA

• Ensayar soluciones y/o resolver problemas. • Proponer problemas. • Hacer uso de analogías. • Utilizar dibujos para analizar una situación (gráficos en estadística, etc.) • Realizar dibujos ilustrando relaciones matemáticas dadas y/o problemas. Recíprocamente, aprender a traducir y explorar la información matemática de un dibujo o problema. • Desarrollar la competencia y habilidades para representar matemáticamente hechos de la vida real. • Traducir del lenguaje verbal al simbólico y viceversa. • Traducir del lenguaje geométrico al numérico y viceversa. • Interiorizar relaciones de equivalencia y de orden. • Realizar razonamientos, aun basándose en hechos no obviamente justificables (entender teorías axiomáticas). • Interpretar y crear modelos. • Enseñar a utilizar la matemática en la vida práctica. • Ser capaz de construir modelos matemáticos para resolver problemas. • Desarrollar hábitos de encontrar caminos propios al resolver situaciones. • Introducir la recursividad. • Abstraer. • Revertir procesos. • Deducir, inferir, conjeturar, hipotetizar. • Hacer clasificaciones de clasificaciones. • Construir una lógica universal. • Evaluar y autoevaluarse. • Desplazar en el plano y en el espacio (comprender el ajedrez, el sistema planetario, etc.) • Utilizar métodos heurísticos para la resolución de problemas. • Desarrollar la habilidad de calcular aproximadamente. • Adquirir pensamiento cuantitativo. • Adquirir el hábito de verificar un resultado. • Estructurar el contenido matemático y comprender sus términos, enunciados, ideas y métodos de trabajo. A continuación presentamos una lista de ejercicios y/o sugerencias que permiten lograr algunos de estos objetivos. 1) Para ejercitar la capacidad de abstracción, lo más conveniente es hacer realizar razonamientos basados en objetos concretos y luego pro-

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bar teoremas tales que la estructura lógica de su prueba es la misma que la del razonamiento concreto. 2) Después de enseñar un teorema hacer plantear problemas que se puedan inventar a partir de su enunciado. (Por ejemplo: después de enseñar el teorema de Pitágoras, preguntar: ¿Pueden los lados de un triángulo rectangular ser números impares?^ En un triángulo rectángulo, ¿pueden ser pares los catetos y la hipotenusa impar?. Pueden los catetos y los lados de un triángulo rectangular ser cubos de números naturales?) Después de enseñar un teorema, hacer notar posibles consecuencias filosóficas. (Por ejemplo: después de enseñar que un triángulo queda determinado por sus lados, preguntar: ¿existirá una fórmula para el área, longitud de las alturas, medianas, mediatrices, bisectrices, radio de la circunferencia inscripta, circunscripta en términos de los lados? La respuesta es: fórmula de Heron, etc.) 3) Problemas de colorear. El problema consiste en: imagina tener n colores, y un mapa, ¿es posible colorear el mapa de modo que países limítrofes tengan distinto color? Si n = 2 y el mapa es de Argentina no hay soluciones; si n = 3 a veces hay soluciones, a veces no; para Centroamérica sí existe solución, para Argentina no. Si n = 4, siempre hay solución. También se puede sugerir colorear mapas dibujados en esferas, toros u otras superficies. 4) Después de enseñar el teorema que todo triángulo circunscribe una circunferencia, hacer dibujar el centro para el caso de equiláteros, isósceles. Para el caso de triángulos isósceles fijar el ángulo opuesto a la base y desplazar paralelamente la base, allí hacer notar cómo se mueve el mismo problema, pero considerando la circunferencia circunscripta. 5) Un uso para racionalización de denominadores: probar que m-n es positivo si m > n. Para mayores detalles, consultar en el artículo "El rol de la matemática en la escuela secundaria", Revista de Educación Matemática, vol. seis.

OTRAS CONSIDERACIONES En la enseñanza aprendizaje de la matemática se distinguen dos tipos de elementos de trabajo: directos e indirectos. Son elementos de trabajo directos: conceptos matemáticos (definiciones, objetos geométricos, números, etc.); principios y verdades (conjeturas, teoremas); algoritmos

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LA MATEMATICA EN LA ESCUELA MEDIA

(métodos de cálculo). Son elementos de trabajo indirectos: pruebas de teoremas, resolución de problemas, generación de preguntas, formulación de nuevos resultados, aprender a aprender, formación de actitudes. Destacamos que esta diferenciación está lejos de ser tajante, es solo una herramienta de trabajo para organizar los procesos de enseñanza aprendizaje, puesto que es imposible resolver problemas si no se tienen conceptos básicos; por otro lado la resolución de problemas, muchas veces genera nuevos conceptos y verdades matemáticas como lo ha demostrado el desarrollo de la ciencia, (construcción de ángulos rectos y teorema de Pitágoras, Calor, Series de Fourier, sistema métrico decimal y geometría diferencial, interés compuesto y logaritmos). Otro punto a tener en cuenta es que la enseñanza de la matemática no debe ser enfocada desde un punto de vista netamente utilitario, sino además se debe presentar el valor estético y el valor científico de la matemática. Esto facilitará tanto la inserción del alumno en el sistema productivo como su inserción en facultades de ingeniería o de ciencias. Además, permitirá a aquellos alumnos que se deciden por carreras universitarias sociales una mejor apreciación de las materias que cursan. Para formular objetivos y/o curricula de matemática entre otras cosas creemos importante tener en cuenta lo siguiente: es imposible entender todo instantáneamente. No hay ninguna razón que justifique renunciar si no comprendemos todo o somos capaces de entender todo lo que leemos o escuchamos al instante. No es esencial para los valores de una buena educación que toda la idea se entienda en el momento en que se nos presenta. Si una persona ha desarrollado intereses intelectuales genuinos y ha logrado cierto nivel de educación, muchos de los conocimientos que posee, han sido el resultado de un proceso gradual y por lo tanto ha entendido sus contenidos en forma completa sólo al relacionarlos con otras ideas. Aprender es el arte de conectar y combinar trozos de conocimientos individuales, aprender es un proceso progresivo. Más aún, ningún trozo de conocimiento queda aislado en nuestra mente y cada idea se convierte en un comentario de otras más profundas. Estas afirmaciones no solamente son válidas para los elementos directos sino también se aplican para el aprendizaje de los elementos indirectos tales como las actitudes, la capacidad de resolver problemas, de generar estrategias, de comprender lo probable y de distinguir lo probable de lo cierto. La observación y una posterior abstracción son esenciales para resolver problemas. Por ejemplo, muchas de las propiedades de los números que actualmente conocemos han sido usualmente descubiertas por

PROF. JORGE VARGAS

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observación en ejemplos particulares y su validez se verificó meses o años después... Los grandes progresos de la anatomía, ingeniería, etc., se deben a que la humanidad aprendió, en base a la observación, a abstraer lo esencial de cada problema. A esto se puede agregar que actualmente debido a la existencia de las computadoras, nuestras posibilidades de observar y experimentar se han incrementado notablemente. Una labor del docente es proporcionar al educando preguntas o problemas para incentivar sus capacidades de observación, experimentación y abstracción. Otra labor es generar tempranamente interrelaciones horizontales entre materias. Esto tiene por consecuencia mostrar cómo se generan algunos trozos de la matemática; pero cuidado, esto se debe hacer sin dejar de mostrar la identidad y el objeto de cada ciencia, también, no se debe generar el sentimiento en el alumno de que todo el conocimiento matemático se puede generar partiendo de problemas prácticos. Con respecto a contenidos matemáticos que se deberían incluir en la escuela secundaria, sugerimos: en primer año un módulo semanal de cuarenta minutos de estadística descriptiva (recolección de datos, construcción e interpretación de diagramas, idea de población y muestra), geometría del espacio intuitivo (ejercicios de imaginar objetos en el espacio). En segundo año, un módulo semanal de cuarenta minutos de estadística descriptiva (formalización), geometría del espacio (área y volúmenes), diagramas de flujo. En tercer año, probabilidad (introducción intuitiva usando estadística), lenguaje basic (loops, for next, uso de programas que resuelven sistemas de ecuaciones o ecuaciones polinómicas). Un posible enfoque para el programa clásico de tercer año tratando enfatizar la relación existente entre las tres áreas, álgebra, geometría y teoría de números, sería: Probar Pitágoras a partir de áreas, de aquí deducir el cuadrado de un binomio, hacer recíproco, proponer el problema: como podemos construir ejemplos concretos de temas pitagóricas. Es decir, encontrar a, b, c, tal que a2 + b2 = c2. Una manera de resolver esto es, escribir Ir = c2 - a2 = (c - a) (c + a). Sea s = c - a, r = c + a, de esto, c = (s + r)/2, a = (r - s)/2, escribamos s = 2u2, r = 2v2, por tanto, b2= 4u2v2, ie, b = 2uv, a = v 2 - u2, c = v2+ u2, como a > 0, v > u. Recíprocamente, si u, v son números con v > u > 0 entonces b = 2uv, a = v 2 - u2, c = v2 + u2 verifican la ecuación a2+ b2= c2. De paso destacar la igualdad c 2 - a2= (c - a) (c + a). Introducir Thales en forma axiomática y luego abundante ejercitaron que interrelacione Pitágoras, Thales y el álgebra. Otros ejercicios rara proponer son, si a, b, c son naturales tal que a2+ b2= c2 entonces abe r> múltiplo de 60, ab/2 es múltiplo de 6. Otro, si s es un natural entre uno

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LA MATEMATICA EN LA ESCUELA MEDIA

y doce distinto de seis, entonces no existe un triángulo rectángulo de lados naturales y área s. Ahora hacer primer caso de factoreo; como aplicación hacer notar que (da)2 + (db)2 = (de)2 para cualquier d. Una consecuencia de esto es, si a, b, c son naturales, d es igual al máximo común divisor de a, b, c; de esto, a = dx, b - dy, c = dz, con x, y, z naturales, probar que x2+ y2= z2 Introducir semejanza, con sus criterios y aplicaciones a la vida diaria; esto nuevamente interrelaciona Pitagóras, Thales y el álgebra. Introducir los conceptos básicos de trigonometría. Un tema de redondeo del curso puede ser: destacar que si p2+ q2= 1, estos puntos están en la circunferencia de centro (0, 0) y radio uno, y que se los puede describir como (eos (tp), sen (cp)) donde (p es el ángulo...., también de acuerdo al dibujo destacar que si t = tan(a), entonces, P = (1— t2) / (1 + t2), q = 2t/ (1 + t2). Sea ahora a, b, c, tal que a2+ b2= c2, sea u = a/c, v = b/c, en consecuencia u 2 + v2 = 1, sea s = ab/2 área del triángulo rectángulo..., sea x = -st, y = s2 (1 + t2)/c. 1) escribir x, y en términos de a, b, c. 2) verificar que y2= x3 - s2x. 3) probar que la función 0: {conjunto de triángulos rectángulos de área s} - - • • {conjunto de pares (x, y) tal que y2= x3 - s2x} en inyecta. Por último introducir sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas, conjuntamente con el método de Gauss para resolverlos. Por supuesto mucha aplicación práctica •

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ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VII Nro. 27, Marzo de 1993

LA COMPUTACION COMO RECURSO

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Profesora E L E N A I N E S G A R C I A

REDES DE INFORMACION EN LA ENSEÑANZA MEDIA Es común escuchar que la computadora llegó a la escuela para quedarse. Este enunciado podría llevar a la falsa conclusión que pasado el momento de ebullición que se produce al recibir la nueva herramienta e insertarla al trabajo diario, todo vuelve a la calma; y no es así. La tecnología informática se diversifica, se multiplica incansablemente, proponiéndonos a los docentes nuevas e interesantes cuestiones. Nos obliga a replantear permanentemente no solo contenidos, sino también metodologías de trabajo que permitan obtener resultados aceptables al incorporar las novedades del mercado a la labor educativa. En este número hacemos unas muy breves reflexiones acerca del uso de redes de información en la escuela media. INFORMACION No es ninguna novedad mencionar la acelaración que la producción de información ha alcanzado en estos últimos decenios. No podemos dejar de reflexionar sobre el alto impacto social, cultura, político, económico y por ende educacional de este fenómeno. Nuestra escuela no está organizada para incorporar dinámicamente esta riqueza informática, pero no podemos desentendernos de prevenir por lo menos a nuestros alumnos de esta realidad. ACTUALIZACION Imaginemos por un momento un profesional, un técnico, y mucho más dramáticamente, un investigador que no se actualice, que no esté al tanto de las novedades en su área. En pocos años (UNESCO estima en va1 Dres próximos a los 10 años) quedaría tan alejado de la realidad de su acti:dad que estaría potencialmente inhabilitado para ejercer su profesión. Por otro lado, aquel que quiere mantenerse al día, se ve apabullado por la cantidad de información que debe analizar. De ahí la necesidad de elaborar estrategias adecuadas para la captación y clasificación de información.

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LA COMPUTACION COMO RECURSO

ENSEÑANZA MEDIA Si tuviera que remarcar un solo objetivo para la enseñanza media me animaría a elegir el de "preparar a los jóvenes para una correcta y responsable toma de decisiones". Decisiones en los más variados ámbitos: en lo per;sonal, en lo social, en lo laboral, en lo político. TOMA DE DECISIONES En la tarea escolar, nuestros alumnos se ven enfrentados casi siempre a tomar decisiones a las que podríamos caracterizar como simples, lineales, que poco tienen que ver con las decisiones que tienen que tomar en otros ámbitos. A mayor capacidad de observación, poder analizar situaciones, disponer de actitudes o metodologías apropiadas para resolver problemas no alcanza a la hora de tomar decisiones. Es imprescindible contar con la información necesaria en el momento preciso. APRENDER A CONSULTAR Para contar con la información adecuada es necesario saber buscarla: "aprender a consultar". Saber consultar implica: • Tener claro el problema. • Poder enunciarlo sin ambigüedad. • Conocer las fuentes que pueden suministrar los datos buscados. • Interpretar mensajes. • Comparar, cotejar y evaluar la información recibida. Sería muy útil a la formación de nuestros alumnos que le propusiéramos actividades para desarrollar estas capacidades desde los primeros años de escolaridad. REDES DE INFORMACION ¿Pueden todos los alumnos acceder a la misma cantidad y calidad de información? Sería deseable que así fuera, pero la ubicación geográfica de la escuela y la situación socioeconómica del medio donde desarrolla sus actividades son factores determinantes que facilitan o restringen el acceso a la información.

PROF. ELENA INES GARCIA

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Las redes de información pueden llevar la misma información, ranto en calidad como en cantidad, al mismo tiempo, a diversos lugares del mundo y a costos bastantes razonables. La "Telemática" aparece entonces como un recurso apto para esto de "aprender a consultar" y además ofrece la posibilidad de emparejar oportunidades entre personas de distintas regiones y con problemáticas socio-culturales diferentes.

GLOBALIZACION Cada día las fronteras parecen más desdibujadas frente a problemas tales como: cuidado de la salud, preservación del medio ambiente, aumento de la calidad de vida, nuevas formas de producción, etc. En el tratamiento de estos temas puede ser muy útil conocer experiencias y propuestas de lugares y culturas diferentes. El uso de redes para intercambio de información puede ser un recurso valiosísimo para enriquecer proyectos educativos sobre estos temas. Así como necesitamos tener acceso a la información, debemos colaborar en su producción. Compartir los logros y experiencias de nuestra escuela con otras instituciones educativas, por modestas que puedan parecemos, enriquecer al conjunto, posibilita la confrontación y permite el avance real en cualquier tema.

¿COMO Y CUANDO USAR REDES? Por lo dicho, las redes informáticas aparecen como una herramienta más que interesante en el aula. Pero como siempre el uso de la herramienta por la herramienta misma no aporta riqueza formativa alguna, esto lo lograremos a través de proyectos interesantes y serios que no tienen por qué ser faraónicos, sino más bien modestos y alcanzables en corto tiempo, sobre todo los promeros proyectos que emprenda la escuela. Es imprescindible además que estas actividades no sean un agregado más a las ya existentes, sino que resulten de la reelaboración de las actividades normales de un área o varias, para asegurar su inserción en la dinámica escolar, único modo en que serán favorables en la formación de hábitos y actitudes adecuadas para la toma de decisiones •

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PROPUESTA DIDACTICA

PROPUESTA DIDACTICA

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Licenciada L U C R E C I A D. I G L E S I A S

Creemos firmemente que "todo profesor es profesor de lengua" y que, en particular, un profesor de Matemática es responsable de la enseñanza de la variedad lingüística de uso específico en dicha ciencia. Pero no vamos a analizar este problema desde el punto de vista sociolingüístico según el cual es fundamental preguntarse: ¿Depende el pensamiento del lenguaje o todo lo contrario? ¿Cómo se relaciona la lengua con el aprendizaje? ¿Qué relación hay, si es que hay alguna, entre el lenguaje de un niño y su rendimiento escolar? Todos tenemos alguna hipótesis sobre estos problemas que, por otra parte, son más complejos de lo que parecen a simple vista, y que han promovido numerosas investigaciones y serias controversias. Nuestra propuesta tiende a poner el acento en el aprendizaje del lenguaje de los especialistas por parte de los alumnos de la Escuela Media, porque: • antes de un proceso de aprendizaje el alumno no es dueño de un lenguaje académico; • para los matemáticos (científicos, profesores) es difícil superar la comodidad que representa expresar sus ideas en la terminología especializada; • en el contexto del aula, cuando un alumno no puede decir lo que piensa en el estilo convencional de la ciencia, advierte con frecuencia que es juzgado no por lo que dice, sino por cómo lo dice; • para adquirir el dominio del lenguaje matemático no basta escuchar cómo ciertos términos técnicos son explicados usando otros términos técnicos que quizás no evocan experiencias reales ni significados auténticos; • las dificultades se transforman en obstáculos mayores, cuando el lenguaje asume formas simbólicas. Estas consideraciones nos llevan a plantear la necesidad de destinar tiempo y esfuerzo en el aula a los hechos relacionados con la formulación del pensamiento matemático.

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LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS

Un problema En una competencia colegial cinco equipos de fútbol jugaron todos contra todos en dos ruedas; las tablas dan cuenta de los resultados: visitante

visitante A

3-2

A B

13 o o

B

1-1

C

D

1-1

0-2

1-0

3-1

1-2

2-2

0-0

C

4-2

3-1

D

1-3

1-1

E

3-2

1-1 0-2 0-0

D

D E c B 1-1 1-0 0-1 0-2 0-1 0-2 1-1 2-2 2-2 0-0 3-0 3-1 1-1 1-4 4-2 1-0

E

3-1

A

E A

13 o o

1-1 0-2

0-1

B

C

I a rueda

1-0 2-1 2-0 2- rueda

Ejercicio 1: organizar una tabla en la que se vean los partidos ganados, los partidos empatados y los partidos perdidos por cada equipo en la primera rueda. Construir una matriz con los datos de la tabla. Repetir el procedimiento con los resultados de la 2- rueda. Ejercicio 2: usar las matrices del ejercicio anterior para mostrar los resultados finales de la competencia después de las dos ruedas. Describir el procedimiento aplicado. Otro problema ] En las tablas que siguen, figuran los alumnos inscriptos en cursos de lenguas extranjeras en el turno mañana y en el turno tarde del ciclo básico de una escuela media.

/

T. Mañana

/

Inglés

1"año

/

27

{ 2* año

25

¡ 3" año

18

T. Tarde

1

Francés

1

«

12 7

1

Italiano

1

19 15

/

Portugués

1

13 9

10

12

Inglés

Francés

Italiano

Portugués

l"año

31

19

17

12

2"° año

26

14

16

11

3" año

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15

9

12

Construir la matriz que muestra los alumnos de cada curso e idioma sin discriminar el turno. Describir el procedimiento.

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PROPUESTA DIDACTICA

En ambos problemas, la consigna de describir el procedimiento tiende a que los alumnos elaboren una regla de acción que corresponda a la suma de dos matrices. Una vez que los alumnos han respondido individualmente, las producciones deben ser confrontadas en pequeños grupos con la indicación de que cada grupo produzca el texto más adecuado a partir de lo que aporta cada alumno. Este intercambio promueve un diálogo entre pares generado por la necesidad de mirar críticamente el propio trabajo. Esta interacción estimula el progreso en la claridad y corrección de los textos. Si se da a cada grupo la oportunidad de exhibir su producción al resto de la clase se renueva la oportunidad de prestar atención a la formulación de los mensajes. En esta puesta en común el docente puede hablar de suma de matrices y pedir que los alumnos escriban la definición. En tal circunstancia, es fácil obtener enunciados de distintos niveles: • coloquial: "para sumar dos matrices hay que tomar el primer elemento de la primera fila de una de ellas y el primer elemento de la primera fila de la segunda y sumarlos para obtener el primer elemento de la primera fila de la matriz suma,..." • simbólico particular: A n + B n = C H ; A 12 + B 12 — Cj 2 ; etcétera. Cualquiera de estos enunciados es una etapa previa al uso de un lenguaje simbólico generalizado: Ay + By = Cy. La superación de estas etapas no es automática y demanda un tiempo propio a cada alumno. Sólo el intercambio permanente de las producciones de unos y otros, su consideración reflexiva y la tolerancia que demanda todo proceso de aprendizaje pueden hacer de cada joven un "hablante competente" en el lenguaje especializado de la Matemática. Aunque la demanda de tiempo parece desmedida frente a las urgencias de tantos y tantos contenidos que creemos indispensable incluir en cada curso escolar, no olvidemos que ninguno de ellos va a transformarse en saber auténtico si fallan los canales de comunicación. En función de estas mismas ideas vale la pena recordar un ejemplo presentado por Brown S. en "La resolución de problemas y la formación docente: el humanismo entre modelos y confusiones" (Estudios de Educación Matemática, Vol. III, UNESCO, 1986). Allí muestra la producción de diferentes alumnos desafiados a resolver el famoso problema de Gauss: encontrar la suma de los números del 1 al 100 y su generalización. Hablando de las soluciones dice: "Entre ellas figuraban:

LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS

I)

• (n + 1)

II)

~Y n2 + - y - • n

TTJ\

n

III)

'

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n+1 2

IV) n • (n + 1)

VI) - | - . ( n + l ) 2 - - | - - ( n + l) Esperando que ellos reflexionaran sobre la heurística de la resolución de problemas, les pedí que dijeran cuál preferían, de las muchas respuestas dadas. Quedé sorprendido al ver que algunos estudiantes elegían las que para mí resultaban más complicadas (por ejemplo la V o la VI). Discusiones subsiguientes revelaron que algunas personas sentían la necesidad de retener un cierto sentido de "la evolución de una idea", la historia de su derivación, acompañando a la solución". En otras palabras, el lenguaje simbólico es una adquisición que se construye. No darle el tiempo y los modos apropiados para favorecer la construcción es poner obstáculos al aprendizaje de la Matemática •

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EL SEXO Y LA EDUCACION MATEMATICA

EL SEXO Y LA EDUCACION MATEMATICA

Noticias de la Comisión Internacional de Educación Matemática En los últimos años la Comisión Internacional de Educación Matemática ha organizado conferencias de estudio sobre ciertos temas claves en la Educación Matemática, publicando subsecuentemente las actas de las mismas. El último de estos estudios tuvo lugar en Colange, España en 1991, versando sobre evaluación en Educación Matemática y próximamente en el corriente año se llevará a cabo un estudio dedicado al sexo y la Educación Matemática. A tales efectos la Comisión Internacional ha difundido en sus boletines un documento de discusión a fin de convocar a los interesados en participar en el estudio. Hemos creído interesante traducir parcialmente este documento para su distribución en nuestro país. Los interesados en obtener el documento completo pueden solicitarlo a la Dirección de la Revista.

EL SEXO Y LA EDUCACION MATEMATICA. DOCUMENTO DE DISCUSION PARA UN ESTUDIO ORGANIZADO POR LA COMISION INTERNACIONAL DE EDUCACION MATEMATICA 1. Fundamentos para el Estudio El Estudio propuesto en este documento de discusión se basa en una simple premisa: no existen barreras físicas o intelectuales que impidan la participación de las mujeres en la matemática, la ciencia o la tecnología. Habiendo dicho esto, debemos preguntamos: ¿Por qué ellas no participan más? No hay una explicación simple para este hecho. Si bien no hay barreras físicas o intelectuales, las hay sociales y culturales. Estas barreras no han sido levantadas intencionalmente, forman parte de un orden social que conduce a la discriminación. La perspectiva de este estudio es que la discriminación sobre la base del sexo no es ya más aceptable. Las estadísticas sobre la participación de la mujer en el nivel terciario en general y en matemáticas, ciencias y tecnología en particular, confirman una situación a ser estudiada desde el punto de vista social y sistémico. Tomando los datos canadienses por ejemplo, se observa que mientras

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las mujeres asisten a las Universidades en un número sin precedentes (ellas obtienen más del 50% de los grados de Bachiller en Canadá), se encuentran sobrerepresentadas en las humanidades y subrepresentadas en las matemáticas y las ciencias. La proporción de mujeres en estudios de grado en ciencias físicas y matemáticas creció del 19.4% al 28.5% en los años 1971-1987y en las ingenierías y en las ciencias aplicadas el crecimiento fue del 1.2% al 12.2%. Estos constituyen progresos modestos cuando se los compara con los crecimientos producidos en otras profesiones tradicionalmente desempeñadas por hombres. Para el mismo período la proporción de mujeres entre los estudiantes que obtuvieron un Bachillerato en leyes creció del 9.4% al 46. 7% mientras que en medicina el crecimiento fue del 12.8% al 41.7% . En el nivel del Doctorado aunque las mujeres han incrementado su participación continúan aún subrepresentadas en matemáticas y ciencias. Dos décadas de investigaciones sobre el problema del desbalance de los sexos en las matemáticas superiores, y en las carreras relacionadas con las matemáticas han demostrado consistentemente que cuando se observan diferencias en los logros estas son más que pequeñas, lo que no justifica las grandes diferencias que se observan en la elección de cursos superiores de matemática y en la elección de carreras relacionadas con ella. Debemos destacar como un factor de confusión la información que se difunde en ciertos medios de Estados Unidos, Canadá y otros países sobre una supuesta inferioridad en las niñas con referencia a las matemáticas y a las ciencias. Han aparecido artículos en revistas populares sobre su inferioridad en lo que se denomina "capacidades cognitivas", "habilidades espaciales" o "aptitud para las matemáticas". Mientras que estudios que demuestran un bajo nivel de logros para las niñas son ampliamente difundidos no ocurre lo mismo con los estudios que muestran lo contrario. Investigaciones realizadas en veinte países por la Asociación Internacional de Educación llevadas a cabo referentes a los resultados en matemáticas en el octavo grado (trece años) muestran a niños y niñas equiparados en logros, y las diferencias entre los países son mucho mayores que is diferencias dentro de cada país. Otro estudio que desafía la idea popular sobre las niñas y su bajo niel de logros en matemática es el realizado por Alan Feingold (1988). Es:e estudio analiza un período de treinta años en Estados Unidos y muestra - _e las diferencias cognitivas según el sexo han declinado realmente a lo

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EL SEXO Y LA EDUCACION MATEMATICA

largo de las tres décadas que precedieron a su estudio. Claramente el mensaje de esta investigación es que el problema de las diferencias debidas al sexo en los logros en matemática es esencialmente social. 2. Factores que generan desigualdades según el sexo en las matemáticas.

¡

i".

- Actitudes. La femeneidad y la masculinidad son construcciones desarrolladas socialmente que se refuerzan por las interacciones entre los niños y entre éstos y los adultos. Suposiciones implícitas y explícitas, mensajes sobre la inteligencia masculina y femenina, necesidades e inclinaciones parecen afectar los logros en matemáticas. Dentro de ciertos límites las diferencias en la perfomance en matemáticas pueden ser el reflejo de diferencias en actitudes hacia las mismas. Las niñas tienden a evitar los cursos de matemáticas no obligatorios. Pareciera que las actitudes que las mujeres tienen hacia las matemáticas, sus sentimientos como estudiantes del tema y los valores que dan forma a sus actitudes, determinan si ellas persistirán o no en el estudio de esta área. Las niñas que son conscientes de que las matemáticas serán relevantes en sus vidas y útiles en sus futuras carreras, tendrán mayor probabilidad de permanecer en dichos cursos. La pregunta principal en este contexto atañe a la socialización. ¿Cuál es su rol en las diferencias observadas en las actitudes hacia las matemáticas? Más específicamente las siguientes preguntas serán de ayuda: - ¿Existe un mensaje implícito en la sociedad que sugiere que la competencia en matemáticas es más importante para los logros profesionales de los hombres que para los de las mujeres? - ¿Cómo puede incrementarse la confianza de las mujeres en sus habilidades para hacer matemáticas? - ¿Pueden técnicas específicas de enseñanza y modelos de aprendizaje conducir a actividades más positivas hacia las matemáticas? - ¿Cómo la comprensión de las similitudes en los logros y actitudes de hombres y mujeres puede ayudar a establecer condiciones que permitan resolver las desigualdades que hoy se observan? - Cultura La Etnomatemática reconoce la influencia de factores socioculturales en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas. Existe docu-

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mentación sobre el hecho de que el énfasis puesto dentro de las escuelas en la aplicación de las matemáticas difiere marcadamente de país en país y aún dentro de cada país y de que este énfasis afecta la perfomace de los estudiantes. Tenemos mucho que aprender sobre estas investigaciones, especialmente si incluimos consideraciones sobre las siguientes preguntas adicionales: - ¿Cuán informativas son y qué podemos aprender de las comparaciones internacionales de perfomance de ambos sexos? - ¿Existen características culturales tales como costumbres sociales, familiares o costumbres propias del sistema educativo, y costumbres específicas de las matemáticas que desalientan a las niñas y mujeres de persistir en las matemáticas? - ¿Qué dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, deben encarar los hombres y mujeres de grupos minoritarios? - ¿Qué métodos para estimular y retener mujeres y otras minorías son utilizados por los distintos grupos culturales y nacionales? - Matemática como disciplina Recientemente ciertas diferencias en la práctica de las matemáticas según el sexo han sido estudiadas desde distintos puntos de vista inclusive desde el feminismo. Algunas preguntas esenciales al respecto son: - ¿Qué consecuencias ha tenido en la teoría y en el discurso de la matemática el hecho de que ha sido construida en sociedades patriarcales? - ¿Tiene la naturaleza, estructura y lenguaje de las matemáticas un sesgo que promueve desbalances en su comprensión según el sexo? - ¿Qué caracteríticas de la matemática como disciplina pueden ser enfatizadas para hacerla más relevante a ambos sexos? 3. Manifestaciones de discriminación sexual. - Empleos y carreras Históricamente las mujeres han estado severamente subrepresentadas en las matemáticas y campos relacionados y esto no parece deberse a bajos niveles de obtención de logros. Los educadores deben procurar el desarrollo de estrategias que permitan a ambos sexos proseguir con éxito los cursos de matemáticas superiores y acceder en igualdad de condiciones al espectro completo de empleos y carreras. Las siguientes preguntas pueden ser claves para las investigaciones: - ¿Son las percepciones sociales (medios, publicidad, etc.) desesti-

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EL SEXO Y LA EDUCACION MATEMATICA

mulantes para que las mujeres elijan carreras que requieran habilidades matemáticas? - ¿Cómo pueden ser ayudadas las estudiantes para que logren comprender que el conocimiento que adquieran de las matemáticas contribuirá a la solución de los problemas que tengan que afrontar fuera de la escuela y en sus oportunidades laborales? - ¿Cómo puede incrementarse la proporción de mujeres en la matemática y campos relacionados de modo que estas alternativas y ocupaciones formen parte de las opciones para las estudiantes? - Dadas las condiciones actuales, ¿pueden las mujeres acceder a las oportunidades de trabajo en los campos relacionados con las matemáticas en situación de igualdad con respecto a los varones? •

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