Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 2: Tangencias en las circunferencias. 3º ESO
EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL UNIDAD 2: TANGENCIAS EN LAS CIRCUNFERENCIAS
Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 2: Tangencias en las circunferencias. 3º ESO
1. TANGENCIAS EN LAS CIRCUNFERENCIAS Decimos que dos elementos geométricos son tangentes cuando tienen un punto en común. Las tangencias son trazados que unen líneas, curvas o rectas, de manera que parezcan una línea continua. Para estudiar las tangencias hay que tener en cuenta: -
Posiciones relativas. Posiciones relativas entre rectas y circunferencias: Recta exterior a circunferencia
Recta secante a circunferencia
Recta tangente a circunferencia
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Posiciones relativas entre circunferencias:
Circunferencias exteriores
Circunferencias secantes
Circunferencias tangentes exteriores
Circunferencias tangentes interiores.
Circunferencias interiores
Circunferencias concéntricas
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-
El punto de tangencia: T de dos circunferencias está situado en la recta que une sus centros.
-
La recta tangente a una circunferencia: es perpendicular al radio que toca al punto de tangencia.
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1.1.
Recta tangente a una circunferencia y que pase por un punto exterior de ella. Dada la circunferencia c1 de centro O y radio r conocido y punto P exterior. Paso 1: Trazar la mediatriz del segmento OP ⇒ se obtiene el punto M. Paso 2: Trazar la circunferencia de centro el punto M y radio OM ⇒ se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2. Paso 3: Unir los puntos P y T1, y, P y T2 ⇒ se obtienen las tangentes buscadas t1 y t2. 1
2
3: Solución
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1.2.
Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas.
Dadas las circunferencias de centros O y O’ y radios r y r’. Paso 1:
Unir los centros O y O’. Trazar la mediatriz del segmento O y O’ ⇒ se obtiene el punto M. Trazar una circunferencia de centro M y radio MO = MO’. Paso 2: Con centro en O’ trazar una circunferencia concéntrica a c’ de radio r’ – r, que corte a la circunferencia de centro M en los puntos 1 y 2. Unir O’ con los puntos 1 y 2 obtenidos. Prolongar estas rectas hasta que corten a la circunferencia de centro O’ y radio r’⇒ se obtienen los puntos de tangencia T’1 y T’2. Paso 3: En la circunferencia de centro O trazar radios paralelos a O’T’1 y O’T’2 por O. Se obtienen los puntos de tangencia de la circunferencia con centro O ⇒ T1 y T2. Paso 4: Unir los puntos T1 – T´1 y T2 – T´2. Se obtienen de esta forma las rectas tangentes exteriores a las dos circunferencias dadas, t1 y t2.
Paso 1
Paso 2
Paso 3 Paso 4
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Paso 4: Solución
1.3.
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas. Dadas las circunferencias con centros O y O’ y radios r y r’. Paso 1: Unir los centros O y O’. Trazar la mediatriz del segmento O y O’ ⇒ se obtiene el punto M. Paso 2: Trazar una circunferencia de centro M y radio MO = MO’. Paso 3: Con centro en O’ trazar una circunferencia concéntrica de radio (r+ r’) que corte a la circunferencia de centro M en los puntos 1 y 2. Unir O’ con los puntos 1 y 2. Se obtienen de esta forma los puntos de tangencia T’1 y T’2. Paso 4: Trazar radios OT1 y OT2 paralelos a las rectas O’T’1 y O’T’2, obteniendo los puntos de tangencia T1 y T2 de la circunferencia de centro O. Paso 5: Unir los puntos T1 – T´1 y T2 – T´2. Se obtienen de esta forma las rectas tangentes interiores t1 y t2 a las dos circunferencias dadas.
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Paso 1
Paso 2
Paso 3 Paso 4
Paso 4: Solución
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1.4.
Circunferencias de radios circunferencia y una recta.
conocidos
tangentes
a
otra
Dado: Circunferencia de centro O y radio r conocido. Recta s. Se pide: Trazar las circunferencias de radio r2 tangentes a la circunferencia de centro O y a la recta s dadas. Paso 1:
Paso 3:
Trazar una paralela a la recta s a una distancia igual a r2. Dibujar el arco de circunferencia de centro O y radio igual a la suma de los dos radios (r + r2). Se obtienen dos puntos de intersección del arco de circunferencia y la recta paralela a s ⇒ O1 y O2. Trazar una circunferencia c1 con centro O1 y radio r2. Y trazar otra circunferencia c2 con centro O2 y radio r2 ⇒ c1 y c2 son las circunferencias pedidas.
Paso 1 Paso 2
Paso 2
Paso 4
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1.5.
Circunferencia de radios conocidos tangentes a dos rectas que se cortan.
Dadas: Rectas r y s que se cortan. Se pide: Trazar las circunferencias de radio r tangentes a las rectas r y s dadas. Paso 1: Dibujar la bisectriz del ángulo que forman las rectas dadas. Paso 2: Trazar la paralela u a una de las rectas a la distancia del radio dado r. La intersección de esta paralela con la bisectriz determina el punto O, centro de la circunferencia pedida. Paso 3: Con centro en el punto O y el radio dado, se traza la circunferencia pedida. Trazando las perpendiculares a t y s desde O se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2. Paso 1
Paso 2
Paso 3 Paso 4
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1.1.
Circunferencia de radio conocido tangente a otras dos circunferencias de radios dados.
Dados:
Circunferencia c1 de centro O1 y radio r1. Circunferencia c2 de centro O2 y radio r2. Radio r de la circunferencia solución. Se pide: Trazar las posibles circunferencias de radio r tangentes a c1 y c2. Paso 1: Dibujar las circunferencias de centro O1 y radio r1 y circunferencia de centro O2 y radio r2 dadas en el enunciado. Paso 2: Con centro en O1 dibujar una circunferencia de radio la suma de su radio r1 mas el radio r de la circunferencia pedida ( r1+r). Con centro en O2 dibujar una circunferencia de radio la suma de su radio r2 mas el radio r de la circunferencia pedida.( r2+r). Ambas circunferencias se cortan en dos puntos O3 y O4, centros de las circunferencias pedidas. Paso 3: Trazar las circunferencias c3 de centro O3 y radio r y c4 de centro en O4 y radio r. Paso 1 Paso 2