Ejemplos resueltos de econom´ıa matem´atica 1 Daniel Ricardo Casas Hern´andez*

Resumen Este documento pretende acompa˜ nar el proceso de formaci´on de los estudiantes de econom´ıa matem´ atica 1; a trav´es de ejemplos resueltos y ejercicios propuestos, ellos y ellas pueden tener referencias adicionales en la manipulaci´on de herramientas matem´ aticas, necesarias en el aprendizaje de econom´ıa.

Palabras clave: m´etodos matem´aticos en econom´ıa JEL: E22

Conjuntos Ejercicios 1. Sea A = {1, 2, 3, 4}. Dar dos funciones biyectiva f y g en A. Mostrar que (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .

2. Sea B = {a, b, c, d, e}. Hallar una biyecci´on f en B y subconjuntos N y M de B tales que se cumpla f −1 (N ) = f (M ).

*

Profesor del programa de econom´ıa en la Universidad de La Salle y Escuela Colombiana

de Ingenier´ıa Julio Garavito.

1

3. Dar una colecci´on Ω de funciones tal que de dos elementos cualquiera de Ω, siempre una de ellas es una extensi´on de la otra, o sea que (∀f, g ∈ Ω) S (f ⊆ g ∨ g ⊆ f ). Mostrar que f ∈Ω f.

4. Sea f : A → B una funci´on; sea N1 y N2 subconjuntos de B. Mostrar con un ejemplo que si N1 ⊆ N2 → f −1 (N1 ) ⊆ f −1 (N2 ).

Matrices y vectores Ejemplo 

La matriz inversa de B = 

1 −3 2 −5





 es B −1 = 

−5 3 −2 1



.

Determinar bajo qu´e condiciones los vectores propios de A son iguales a los de −A. 

Si A = 

a1 − λ a2 = (a1 −λ)(a4 −λ)−a3 a2 = 0.  ,|A−λI| = a3 a4 a− λ

a1 a2 a3



As´ı, para la matriz A, el polinomio caracter´ıstico es: a1 a4 − a1 λ − aa λ − a3 a2 + λ 2 = 0

λ2 − (a1 + a4 )λ + a1 a4 − a3 a2 = 0.

λ2 − (trA)λ + |A| = 0.

Para la matriz −A los valores propios se obtienen de −a1 − λ −a2 = (−a1 − λ)(−a4 − λ) − a2 a3 = 0 | − A − λI| = −a3 −a4 − λ El polinomio caracter´ıstico es: λ2 + a1 a4 − a2 a3 + (a1 + a4 ) = 0

2

λ2 + (trA)λ + |a| = 0

λ2 + tr(−A)λ + |A| = 0 Para A la soluci´ polinomio caracter´ıstico es: √ on del 2 (a1 +a4 )± (a1 +a4 ) −a|A| λ= 2 λ1 =

a1 +a4 +B , 2

λ2 =

a1 +a4 −B 2

Para −A las soluciones del polinomio caracter´ısticas son: √ 2 −(a1 +a4 )± (a1 +a4 ) −a|A| λ= 2 4 )+B λ1 −(a1 +a , 2

λ2 =

(−a1 +a4 )−B 2

Si a1 + a4 = −(a1 + a4 ), es decir 2a1 + 2a4 = 2(a1 + a4 ) = 0. Por tanto a1 = −a4 , los valores propios de A y −A son iguales.

Ejercicios 1. Escribir la matriz A = (aij )3×2 tal que aij = i + j. 2. Probar que tr(A ∗ B) = tr(A) + tr(B). 3. Si A3×2 , B1×3 y C3×1 , entonces hallar el tama˜ no de la matriz ((BA)T C T )T . 4. Hallar todas las matrices que conmutan al multiplicarlas por   4 2 . A= 2 8   x       5. Hallar los valores de x, tales que [x 1 4] 2 0 1  1  .    0 1 4 4 

1 2 0

6. Es el producto de matrices sim´etricas una matriz sim´etrica. ¿Por qu´e? 3



7. Para las matrices A = 



2 1     , B = −1 −2  . Hallar AT B T .   0 −3 0

2 3 −1 4 5





8. Probar que al intercambiar dos filas en una matriz 3×3, el determinante cambia de signo. 

−2 3

  9. Hallar la matriz inversa de A =  6  4

2



  0 3 .  2 −1

10. Hallar x, y en el siguiente sistema de ecuaciones

  3x + 8w = 2ay

 2z = 4yb + 5xa.

11. Hallar las soluciones, si existen para el sistema de ecuaciones 2x − 4z − 9 = 0 3y − x + 5 = 0 z + x − y = 9. 



1 2 3     12. Hallar los menores y menores principales de la matriz B = −1 −5 0 .   3 2 1 13. Demostrar que m es valor propio de la matriz A si y s´olo si, m es valor propio de la transpuesta (At ) de A. 



1 3 2     14. Para que valores de m la matriz A = 2 5 m  tiene inversa.   4 7 − m −6 4



15. Bajo qu´e condiciones la matriz C =  ros reales.

a b c d



 tiene valores propios n´ ume-

16. Muestre que para matrices A2×2 , si k es un n´ umero real, entonces |kA| = k 2 |A|.

h

i

h

i

17. Si A = 1 2 1 , B == 0 3 −1 , hallar |B T A|(AB T ). 

4 0 −1



    18. Hallar los menores y menores principales de A = 2 1 −7 .   3 3 9

19. Una firma fabrica parlantes en dos empresas. El costo de producci´on de x unidades en la empresa A es CA = 0,02x2 + 4x + 500. El costo de producir y unidades en la empresa B es CB = 0,05y 2 + 4y + 275. Los parlantes se venden a 15 unidades monetarias. Hallar la cantidad que debe producir en cada empresa para tener m´aximo beneficio.

5

Funciones de varias variables Ejemplos Hallar las curvas de nivel z = 3, x = 1, para la funci´on z = m´ın{2x − y, y + x − 2}. z=

  2x − y,

si 2x − y ≤ y + x − 2

 y + x − 2, si y + x − 2 ≤ 2x − y.

Si 2x − y ≤ y + x − 2, entonces 2x − x + 2 ≤ y + y. Es decir,   2x − y, si x2 + 1 ≤ y Para z = 3 =  y + x − 2, si x + 1 ≥ y 2

As´ı, 3 = 2x − y, es decir y = 2x − 3, si y ≥

x 2

+ 1.

Si 3 = y + x − 2, entonces y = 5 − x, cuando y ≤

x 2

+ 1.

y

7 3

8 3

6

x

x 2

+ 1 ≤ y.

Para hallar la curva de nivel de x=1,

z=

  2 − y, si 2 − y ≤ y − 1

 y − 1, si 2 − y ≥ y − 1.   2 − y, si 32 ≤ y Es decir, z =  z − y + 2, si 3 ≥ y. 2

z

1 2 3 2

x

−1

Hallar y graficar el dominio de la funci´on z = f (x, y) =

p p x − y 2 + x2 + y 2 − 1.

Los elementos del dominio deben cumplir las siguientes dos condiciones: x − y 2 ≥ 0 y x2 + y 2 − 1 ≥ 0. Es decir, el dominio es el conjunto D(f ) = {(x, y) ∈ ℜ2 ; x ≥ y 2 7

∧

x2 + y 2 ≥ 1}.

Para la funci´on z = f (x, y) =

xy , x2 +y 2

(a) Hallar el tipo de rendimientos a escala: f (λx, λy) = =

xy x2 +y 2

λxλy (λx)2 +(λy)2

=

λ2 xy λ2 x2 +λ2 y 2

=

λ2 xy λ2 (x2 +y 2 )

= λ0 f (x, y), por tanto tiene rendimientos decrecientes a escala.

(b) La elasticidad de z con respecto a y es Ely z = Ely z =

∂z y . ∂y z

x(x2 + y 2 ) − 2y(xy) y(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 )2 xy

(xy)(x2 + y 2 )2 − 2y 2 (x2 + y 2 )(xy) Ely z = (x2 + y 2 )2 (xy) Ely z =

(xy)(x2 + y 2 )((x2 + y 2 ) − 2y 2 ) (xy)(x2 + y 2 )(x2 + y 2 ) Ely z =

(x2 + y 2 ) − 2y 2 x2 + y 2

x2 − y 2 Ely z = 2 . x + y2 Determinar el tipo de rendimientos a escala de la funci´on de producci´on F (K, L) = F (λK, λL) =

((λK)r

(K r

m . + Lr )1/r

m m = r r = λ−1 F (K, L). r 1/r + (λL) ) (λ (K + Lr ))1/r

Entonces la funci´on de producci´on tiene rendimientos decrecientes a escala. Graficar la curva de nivel z = 2 para la funci´on z = m´ın{2x − y, 3 + x}   2x − y, si 2x − y ≤ 3 + x z=2=  3 + x, si 2x − y ≥ 3 + x. 8

Si la l´ınea de separaci´on es y = x − 3, de tal manera que: y = 2x − 2

si

y ≥ x − 3.

x = −1

si

y ≤ x − 3.

y

−1

3

−4

Hallar el contorno superior CS(1) de y = f (x1 , x2 ) = m´ın{2x1 − x2 , 4 + x2 }.

9

x

Si y = 1, entonces

1=

Es decir,

   2x − x2   1     4 + x2

1=

si

2x1 − x2 ≤ 4 + x2

si

2x1 − x2 ≥ 4 + x2

   2x − x2   1     4 + x2

si

x2 ≥ x1 − 2

si

x2 ≤ x1 − 2

As´ı, el contorno superior es la regi´on sombreada

x2

−1

x1

−3

10

Ejercicios 1. Para la funci´on de producci´on Q = F (K, L) = (K a +La )1/a , determinar si la funci´on de producci´on es homog´enea y de qu´e grado en caso de serlo. Interpretar este resultado econ´omicamente. 2. Determinar si la funci´on de producci´on q = f (x, y) = x + 2 ln y es homog´enea y de qu´e grado: x representa la mano de obra, y el capital. 3. Representar gr´aficamente las curvas de nivel para la siguiente funci´on e indicar la direcci´on hacia donde aumenta la variable dependiente. z = f (x, y) = min{6 + x + y, 2 + 2x + 3y}. 4. Suponga que z = g(x, y) es una  funci´on homog´enea de grado uno. . Probar que f (x, y) = aLn g(x,y) x 5. Sea Q = F (K, L) = (KL)1/2 ln(K/(K +L)), una funci´on de producci´on que depende del capital K y la mano de obra L. El ingreso de la empresa se obtiene del producto del precio p y la cantidad producida Q. Si w es el salario de las unidades de mano de obra L y r la renta del capital K, entonces la funci´on de costo es C(K, L) = wL + rK. Sea B(K, L) la funci´on de beneficio de la empresa. (Recuerde que los beneficios son la diferencia entre el ingreso y el costo). Determinar si la funci´on de beneficio es homog´enea. Analizar e interpretar econ´omicamente. 6. Para la funci´on de producci´on Q = f (K, L) = 10K 1/2 L1/3 , hallar e interpretar econ´omicamente las curvas de nivel: Q = 1, Q = 2, K = 8, K = 27.

11

7. Hallar y dibujar el dominio de la funci´on z = f (x, y) =

xy−3 . x2 +y 2 −4

8. Hallar los menores principales y menores de la matriz Hessiana de la funci´on z = f (x, y) = 3xy − 4y 3 x en el punto (1, 1). 9. Dibujar las curvas de nivel z = 1, x = 2 para la funci´on z = f (x, y) = m´ın{2x − y, 3 + x + 3y}. 10. Hallar el dominio de la funci´on z = f (x, y) = ln(x+y 2 +5)− √

1 . 2x2 +y 2 −2

11. Hallar los valores de β para que la siguiente funci´on tenga rendimientos decrecientes a escala. y = g(x1 , x2 ) = A

12



1/2 x1

+

1/2 x2

β

.

Derivadas de funciones de varias variables Ejemplos S´ı u = f (x, y, z) = ln(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz) probar que (x + y + z)( ∂u + ∂x ∂u ∂y

+

∂u ) ∂z

= 3. 3x2 − 3yz ∂u = 3 ∂x x + y 3 + z 3 − 3xyz ∂u 3y 2 − 3xz = 3 ∂y x + y 3 + z 3 − 3xyz

3z 2 − 3xy ∂u = 3 ∂z x + y 3 + z 3 − 3xyz ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u +x +x +y +y +y +z +z +z = x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

=

3x3 − 3xyz + 3y 3 − 3xyz + 3z 3 − 3xyz x3 + y 3 + z 3 − 3xyz =

3(x3 − xyz + y 3 − xyz + z 3 − xyz) x3 + y 3 + z 3 − 3xyz =

3(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz) = 3. x3 + y 3 + z 3 − 3xyz

S´ı z = f (x, y) = x20 y 30 ,

x = t + 1,

y = (t + 1)2 , entonces hallar la

elasticidad de z con respecto a t. z = x20 y 30 ,

y = (t + 1)2 , ∂z ∂y

x = t + 1. ∂x ∂t

∂y ∂t

∂z ∂x

= 20x19 y 30 ,

∂z ∂t

=

∂z ∂t

= 20x19 y 30 + 30x20 y 29 [2(t + 1)]

∂z ∂t

= 20(t + 1)19 (t + 1)60 + 30(t + 1)20 (t + 1)58 [2(t + 1)]

∂z ∂t

= 20(t + 1)79 + 30(2)(t + 1)79

∂z ∂x ∂x ∂t

+

= 30x20 y 29 ,

= 1,

= 2(t + 1).

∂z ∂y ∂y ∂t

13

∂z ∂t

= 80(t + 1)79

ytz =

∂z t ∂t z

=

80(t+1)79 t (t+1)20 (t+1)60

=

80t . (t+1)

Hallar la derivada direccional de f (x, y) = z = h2, −3i en el punto (3, 1).

p

x − y 2 en la direcci´on de

Si f = (x−y 2 )1/2 , entonces ∂f = 12 (x−y 2 )−1/2 , ∂x  As´ı, ∇f = √ 1 , √−y 2 x−y 2 x−y 2 1 =√2 h2, −3i = √113 h2, −3i 2 +(−3)2 Dz f = ∇f · z = √ 2 2 √ + √ 3y2 √ 2 x−y 13 x−y 13 3(1) 1 √ √ Dz f (3, 1) = √3−1 13 + √3−1 13 √ Dz f (3, 1) = √21√13 + √23√13 = √24√13 = √426 √26 26

∂f ∂y

= 21 (x−y)−1/2 (−2y).

z kzk

=

√ 4 26 26

=

√ 2 26 . 13

Hallar todos los valores del par´ametro a para que la funci´on f (x, y) = (2a + 4)xy − 6x2 − y 2 + 4ay sea c´oncava.

Si f (x, y) = (2a + 4)xy − 6x2 − y 2 + 4ay, entonces:

′′ ′′ fx′ = (2a + 4)y − 12x, fxx = −12, fxy = 2a + 4, fy′ = (2a + 4)x − 2y + 4a,

′′ ′′ fyx = 2a + 4,fyy = −2.



H=

−12

2a + 4

2a + 4

−2

 

Para que sea c´oncava debe cumplir: (−1)k Hˆk > 0, es decir Hˆ2 > 0.

14

Hˆ1 < 0 y

Como:

Hˆ1 =

  −12,

Hˆ2 = 24 − (2a + 4)2 . Entonces:

 −2.

24 − (2a + 4)2 > 0 (2a + 4)2 < 24 √ √ − 24 < 2a + 4 < 24 √ √ − 24 − 4 < 2a < 24 − 4

La funci´on es c´oncava si,

√ − 24 2

−2 y − x, entonces es el´astica la relaci´on entre x e y; si x + y < y − x, las variables tienen relaci´on inel´astica; si x + y = y − x, entonces la elasticidad entre las variables es unitaria. ˆ 2 y H2 para la funci´on F (x, y, z) = 3xy − 4y 3 x + 4zy en el Hallar H punto (1,1,1). ′′ ′′ ′′ fx′ = 3y − 4y 3 ; fxx = 0; fxy = 3 − 12y 2 ; fxz =0

15

′′ ′′ fy′ = 3x − 12y 2 x + 4z; fyy = −24yx; fyz =4

′′ fz′ = 4y; fzz =0

La matriz Hessiana para esta funci´on es: 

2

0 3 − 12y   H =  3 − 12y 2 −24yx  0 4

De donde:

0



  4   0

  −(3 − 12y 2 )2 = −81         ˆ2 = H −16          0 H2 = −81.

Para Q = F (L, K) = 100(K 1/2 + L1/2 )2 , hallar: elasticidad de Q con respecto a K (ElK Q), tasa marginal de sustituci´on t´ecnica de L por K (T M STKL ) y el tipo de rendimientos a escala. FK′ = 200(K 1/2 + L1/2 )( 21 K −1/2 ). FL′ = 200(K 1/2 + L1/2 )( 12 L−1/2 ).
−1/2 L 1/2 dL . = T M STKL = − dK = FFKL = K −1/2 K L ElK Q =

∂Q K ∂K Q

=

100(K 1/2 +L1/2 ) 21 K −1/2 K 100(K 1/2 +L1/2 )2

16

=

K 1/2 . 2(K 1/2 +L1/2 )

F (λL, λK) = 100((λK)1/2 +(λL)1/2 )2 = λ100(K 1/2 +L1/2 )2 . Por tanto, tiene rendimientos constantes a escala.

Hallar todos los puntos en los que la funci´on z = f (x, y) = x3 −3xy +y 3 es c´oncava, convexa. 

La matriz Hessiana para la funci´on es: 

6x −3 −3 6y

La funci´on es c´oncava si Hˆ1 ≤ 0 y Hˆ2 ≥ 0.



.

Es decir, si 6x ≤ 0, 6y ≤ 0 y 36xy − 9 ≥ 0.

Por tanto, la funci´on es c´oncava si, x ≤ 0, y ≤ 0 y xy ≥ 14 . La funci´on es convexa si Hˆ1 ≥ 0 y 36xy − 9 ≥ 0; es decir si, x ≥ 0, y ≥ 0 y xy ≥ 14 .

Hallar todos los valores del par´ametro a para que la funci´on f (x, y) = (a + 4)xy − 9x2 − y 2 + 4ax sea c´oncava.

fx′ = (a + 4)y − 18x + 4a,

′′ fxy = a + 4,

fy′ = (a + 4)x − 2y, f ′′ yy = −2.   −18 a + 4  H= a + 4 −2   −18 ˆ H1  −2 Hˆ2 = 36 − (a + 4)2

′′ fxx = −18,

Para que sea c´oncava, Hˆ1 ≤ 0 y Hˆ2 ≥ 0. Es decir, si 36 − (a + 4)2 ≥ 0. (6 − a − 4)(6 + a + 4) ≥ 0. (2 − a)(10 + a) ≥ 0. 2 ≥ a ∧ a ≥ −10 ∨ 2 ≤ a ∧ a ≤ −10. 17

[−10, 2] ∪ φ= [−10, 2] Si a ∈ [−10, 2] la funci´on es c´oncava.

Ejercicios 1. Hallar σxy , para la funci´on f (x, y) = xa + y a . 2. Para Q = A(K α + Lα )β , hallar ElL K, T M SKL . 3. Suponga que la funci´on de utilidad intertemporal de un consumidor es : U (x1 , x2 , t) = A(xa1 + xa2 )(b+a)/a e−ct . x1 representa el consumo de discos; x2 el consumo de libros; t es el tiempo. Hallar la variaci´on del consumo de libros a trav´es del tiempo para un nivel de utilidad constante y analizar e interpretar la respuesta econ´omicamente. Hallar la elasticidad, consumo de discos de la utilidad e interpretar econ´omicamente la expresi´on obtenida. 4. Dada un funci´on de producci´on Q = A(K m + Lm )n/m en donde K es el capital y L representa la mano de obra. Hallar la elasticidad capital de la producci´on. Interpretar el resultado econ´omicamente. Hallar la tasa marginal de sustituci´on T M STK,L e interpretar el resultado econ´omicamente. Hallar la elasticidad de sustituci´on σK,L e interpretar el resultado econ´omicamente. 5. Sea x∗1 =

am bp1 +cp2

una funci´on de demanda con a, b y c constantes posi-

tivas. Determinar si el bien i es giffen, normal o inferior. 18

6. Dada la funci´on de producci´on Q = F (K, L) = K a L1−a . Determinar si la funci´on de producci´on es homog´enea y de qu´e grado en caso de serlo. Analizar e interpretar este resultado econ´omicamente. Hallar la tasa marginal de sustituci´on T M SKL interpretar y analizar el resultado. 7. Para la funci´on de producci´on Q = f (K, L) = 10K 1/2 L1/3 , hallar e interpretar econ´omicamente cada uno de los siguientes resultados: 8. Si u = f (x, y) = Ax1/2 y 2/5 , tal que x = g(p1 , p2 , m) = m(p1 p2 )−1 y y = h(p1 , p2 , m) =

3m . p2

hallar

∂u ∂m

cuando p1 = 1 = p2 ,

m = 2.

Elasticidad de Q con respecto a L. Tasa marginal de sustituci´on t´ecnica de K por L. Tipo de rendimiento a escala de la funci´on de producci´on. 9. Sea u = f (x, y) = ln(rw). Hallar

∂u ∂w

xy , x+y

tal que x = g(r, w) = erw ,

y = h(r, w) =

cuando (r, w) = (1, 1).

10. Dada la funci´on de utilidad u(x, y) = A xa y b ent con x, y cantidades de consumo, A es constante, a, b ∈ (0, 1) y x, y ≥ 0. Hallar e interpretar econ´omicamente la tasa marginal de sustituci´on T M Syx . 11. Sea f (x, y) = Axa y b ; donde A es constante, a, b ∈ (0, 1) y x, y ≥ 0. Muestre que si a + b ≤ 1, entonces la funci´on f es c´oncava, pero si a + b > 1 la funci´on f es cuasic´oncava. 12. Hallar los valores de las constantes a, b y c, tal que z = f (x, y) = ax2 y + bxy + 2xy 2 + c sea convexa.

19

M´ aximos y m´ınimos Ejemplos Hallar los puntos cr´ıticos de y = f (x1 , x2 ) = 3x1 x2 − 2x32 + 5x21 − 8x1 . ∂f (1) ∂x = 3x2 + 10x1 − 8 = 0, 1

∂f (2) ∂x = 3x1 − 6x22 = 0. 2

De la ecuaci´on (1), x1 = −9x2 10

+

24 10

−3x2 +8 . 10

Reemplazando en (2) se obtiene:

− 6x22 = 0; que es equivalente con 60x22 + 9x2 − 24 = 0.

De la soluci´on de la cuadr´atica se obtiene: x2 = √ −3+ 649 , 40 √ −3− 649 , x1 40

As´ı, para x2 = Para x2 =

√ 329−3 649 . 400 √ 329+3 649 . 400

√ −3± 649 . 40

x1 = =

Los puntos cr´ıticos son:     √ √ √ √ 329−3 649 −3+ 649 329+3 649 −3− 649 , . , 40 , 40 400 400

Hallar los puntos cr´ıticos de la funci´on q y = f (x1 , x2 ) = 1 − x21 − x22 + x21 − 2x22 .

Las derivadas parciales son:

fx′ 1 = 12 (1 − x21 − x22 )−1/2 (−2x1 ) + 2x1 = 0.

fx′ 2 =12 (1 − x21 − x22 )−1/2 (−2x2 ) − 4x2 = 0. S´ı x1 2 − √ 1 2 2 = 0, entonces x1 = 0 o 2 − √ 1 2 2 = 0. 1−x1 −x2 1−x1 −x2   S´ı −x2 √ 1 2 2 + 4 = 0 entonces x2 = 0 o √ 1 2 2 + 4 = 0. 1−x1 −x2

1−x1 −x2

Por tanto (0, 0) es punto cr´ıtico.

Si 2 − √ es decir

= 0, implica x21 + x22 = 43 . As´ı, x2 = 0, entonces x21 = 43 ; q q   q  3 , 0 , − 34 , 0 , tambi´en son x1 = ± 34 . De donde, 4

1 1−x21 −x22

puntos cr´ıticos.

20

; por tanto, si x1 = 0, + 4 = 0, entonces x21 + x22 = 15 16 q entonces x22 = 15 ; es decir, x2 = ± 15 . Otros puntos cr´ıticos son 16 16  √   √  0, 415 , , 0, − 415 . Si √

1 1−x21 −x22

As´ı, los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x1 , x2 ) = son: (0, 0), 0,

r

15 , 4

!

, 0, −

r

15 4

!

,

r

p

1 − x21 − x22 +x21 −2x22

!

3 ,0 , − 4

r

!

3 ,0 . 4

Hallar los punto cr´ıticos de z = f (x, y) = (x − 1)2 (y + 4)2 .

Como, fx′ = 2(x − 1)(y + 4)2 = 0, fy′ = 2(x − 1)2 (y + 4) = 0, entonces

x = 1 es punto cr´ıtico, independiente de la cantidad de y. An´alogamente, y = −4, para cualquier x. As´ı, (1, y), (x, −4) forman un conjunto infinito de puntos cr´ıticos. Hallar los puntos cr´ıticos de y = g(w, x) = −w3 + wx + x2 + w y clasificarlos. gx′ = w + 2x = 0 gw′ = −3w2 + x + 1 = 0

Si w = −2x, entonces 12x2 − x − 1 = 0. De donde: x1 =

1 3

y x2 =

−1 . 4

Si x1 = 13 , entonces w1 = − 32 . Si x2 = − 14 entonces w2 = 21 .  −6w 1 . La matriz Hessiana para esta funci´on es H =  1 2    
4 1 −2 1 −2 1  . Donde, H1 = 4, H2 = 7. Para 3 , 3 , H 3 , 3 =  1 2 , 1 ) hay m´ınimo relativo para y. En ( −2 3 3 21

Para

1 −1 , 4 2






, H( 12 , −1 )= 4

−3 1 1

2



 . Donde H1 = −3,

H2 = −7.

), hay punto de silla para y. Luego en ( 12 , −1 4 Minimizar w = f (x, y, z) = x + 4y + 3z s.a. x2 + 2y 2 + 13 z 2 = b. L = −x − 4y − 3z − λ[x2 + 2y 2 + 31 z 2 − b]. 1 L′x = −1 − 2λx = 0. De donde λ = − 2x .

L′y = −4 − 4λy = 0. Reemplazando λ,

L′z = −3 − 23 λz = 0. Reemplazando λ,

1 1 = (− 2x )y. 1 3 = − 23 (− 2x )z.

L′λ = x2 + 2y 2 + 13 z 2 = b. Si 2x = y, 9x = z, entonces 1 (81x2 ) 3

Luego x1 = x2 = −

9x2 + 27x2 = 36x2 = b. De donde x2 =

= b. Es decir,

√

b , 6

√

b , 6

y1 =

y2 = −

√

x2 + 2(4x2 ) +

b , 3

√

√ 3 b b , z = , 1 3 2 √ z2 = −32 b ,

λ1 = λ2 =

b . 36

−3 √ . b

√3 . b

El m´ınimo est´a en el punto cuyas coordenadas son: x2 =

√ √ − 6 − b ,y , 2 6 3

z2 =

√ −3 b . 2

Con valor m´ınimo para w, √ −6 b.

√ − b 6

−

√ 4 b 3

−

√ 9 b 2

=

√ √ √ − b−8 b−27 b 6

=

√ −36 b 6

=

Hallar todos los valores de las constantes a,b y c tal que z = f (x, y) = ax2 y + bxy + 2xy 2 + c, tenga un m´ınimo local en el punto ( 23 , 13 ) con valor m´ınimo: − 91 .

fx′ = 2axy + by + 2y 2 = 0, fy′ = ax2 + bx + 4xy = 0. Reemplazando los puntos cr´ıticos se obtiene: fx′ = 2( 23 )( 31 a + 3b ) + 2( 13 )2 = 0, es decir

4 a 9

+ 3b +

fy′ = ( 23 )2 a + 32 b + 4( 32 )( 31 ) = 0, es decir 94 a + 23 b +

22

8 9

2 9

= 0.

= 0.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene: b = −2, a = 1. Reemplazando el punto cr´ıtico y las constantes a y b en la funci´on se tiene:

4 a 27

+ 92 b +

4 27

+ c = − 19 .De donde c = 19 .

Max z = f (x, y) = 100 − e−x − e−y s.a. px + qy = m. L = 100 − e−x − e−y − λ(px + qy − m). L′x = e−x − λp = 0,

L′y = e−y − λq = 0, Lλ = px + qy = m.

e−x p

Despejando e igualando λ se obtiene e−x e−y

= ey−x =

=

e−y . q

p q

y − x = ln p − ln q

De donde y = ln( pq ) + x. px + q ln( pp ) + qx = m x(p + q) = m − q ln( pq ) x= y=

m−q ln( pq )

p+q m−q ln( p ) ln( pq ) + p+q q .

El m´aximo de z est´a en x =

m−q ln( pq ) p+q

El valor m´aximo de z es 100 − e

, y = ln( pq ) +

p m−q ln( q ) p+q

p

− eln( q )+

m−q ln( pq ) p+q

p m−q ln( q ) p+q

.

.

Maximice w = f (x, y, z) = xyz s.a. x + y + z = 32, x − y + z = 0. L = xyz − λ1 (x + y + z − 32) − λ2 (x − y + z).

L′x = yz − λ1 − λ2 = 0

L′y = xz − λ1 + λ2 = 0

L′z = xy − λ1 − λ2 = 0

(1) (2) (3) 23

L′λ1 = x + y + z − 32 = 0

L′λ2 = x − y + z = 0

(4)

(5)

De(1), λ2 = yz − λ1 . Reemplazando en (2) y (3) se obtiene: xz − λ1 + yz − λ1 = 0, es decir,

xz + yz − 2λ1 = 0 (6).

xy − λ1 − yz + λ1 = 0, es decir,

yx − yz = 0 (7).

De (5) y = x + z. Reemplazando en (4), (6), (7) se obtiene 2zx − 2λ1 + z 2 = 0 (8) x2 − z 2 = 0 (9) 2x + 2z = 32 (10) De (10), x = 16 − z. Reemplazando (8) y (9) se obtiene z = 8. Luego x = 8,

y = 16. As´ı, λ1 = 96,

λ2 = 32.

Luego el m´aximo valor de w es 83 (2). Hallar extremos de la funci´on w = f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 s.a. x + 2y + z = 1, 2x − y − 3z = 4.

L = x2 + y 2 + z 2 − λ1 [x + 2y + z − 1] − λ2 [2x − y − 3z − 4]. L′x = 2x − λ1 − 2λ2 = 0, de donde,

λ1 = 2x − 2λ2 .

L′y = 2y − 2λ1 + λ2 = 0, reemplazando λ1 ,

L′z = 2z −λ1 +3λ2 = 0 reemplazando λ1 , Es decir: 2y − 4x + 5λ2 = 0,

L′λ1 = x + 2y + z − 1 = 0.

2y − 2(2x − 2λ2 ) + λ2 = 0. 2z −(2x−2λ2 )+3λ2 = 0.

y − z = x.

L′λ2 = 2x − y − 3z − 4 = 0. Reemplazando x = y − z, se obtiene: y = 31 , z =

−11 , 15

x=

48 , 15

λ2 =

54 , 75

λ1 =

372 . 75

Para determinar si es m´aximo o m´ınimo, la funci´on L es convexa por

24

ser suma de funciones convexas, por tanto en x =

48 , 15

y = 13 , z = − 11 15

hay un m´ınimo. Maximizar z = f (x, y) = y + 2x2 + 3y 2 s.a. L = y + 2x2 + 3y 2 − λ(x + y − 2).

x + y ≤ 2.

L′x = 4x − λ = 0.

L′y = 1 + 6y − λ = 0.

Si λ = 0, entonces x = 0, y = − 16 . Si x + y = 2, entonces 4x = 1 + 6y; es decir, 4(2 − y) = 8 − 4y = 1 + 6y. De donde 7 = 10y, es decir y =

7 , 10

x=

13 , 10

λ=

52 . 10

Hay dos puntos que satisfacen las condiciones K-T-K. Reemplaz´andolos en la funci´on objetivo z = f (x, y) = y + 2x2 + 3y 2 , se obtiene:  −1  −1 f 0, . = 6 12  13 7  111 f , . = 10 10 20

, 7 ), con valor m´aximo z = El m´aximo est´a en ( 13 10 10

111 . 20

Maximizar z = f (x, y) = x2 + 2y s.a. y ≥ 0, y − x ≥ −2, y 2 ≤ x.

L = x2 + 2y − λ1 [−y] − λ2 [−2 + x − y] − λ3 [y 2 − x].

L′x = 2x − λ2 + λ3 = 0.

L′y = 2 + λ1 + λ2 − 2λ3 y = 0. 1. λ1 = 0

λ2 = 0

λ3 = 0

2. λ1 = 0

λ2 = 0

x = y2

3. λ1 = 0

y =x−2

λ3 = 0

4. λ1 = 0

y =x−2

x = y2 25

5. y = 0

λ2 = 0

λ3 = 0

6. y = 0

λ2 = 0

x = y2

7. y = 0

y =x−2

λ3 = 0

8. y = 0

y =x−2

x = y2

Las alternativas 1, 3 ,5 ,6 quedan descartadas ¿Por qu´e? x = y 2 . De donde, 2x+λ3r = 0, 2 = 2λ r3 y. −1 1 , x= 3 , As´ı λ3 = −2x = y1 . Es decir, 1 = −2y 3 . Luego y = 3 2 4 r 1 λ3 = −2 3 , que no sirve. 4 De(4), λ1 = 0, y = x − 2, x = y 2 , es decir, y 2 − y − 2 = 0. De(2), λ1 = 0,

λ2 = 0,

Luego y = 2, o y = −1. Adem´as, 2x − λ2 + λ3 = 0, 2 + λ2 − 2λ3 y = 0. Si y = 2, entonces x = 4, λ3 =

10 , 3

λ2 =

34 . 3

Los cuales cumplen las

restricciones. Si y = −1, entonces x = 1, λ3 = − 43 . No sirve. De (7), si y = 0,

y = x − 2, es decir, x = 2.

λ3 = 0,

2x = λ2 es

decir, λ2 = 4,

2 + λ1 + 4 = 0,

De(8), y = 0,

y = x − 2, es decir x = 2. No sirve. El m´aximo est´a en

x = 4,

λ1 = −6. No sirve.

y = 2 con cantidad m´axima 20.

Maximizar z = f (x, y) = y − x2 s.a. y ≥ 0, y − x ≥ −2, y 2 ≤ x. L = y − x2 + λ1 (y) + λ2 (y − x + 2) − λ3 (y 2 − x). L′x = −2x − λ2 + λ3 = 0.

L′y = 1 + λ1 + λ2 − 2yλ3 = 0. Las condiciones de K − T − K para las tres restricciones son: 1. λ1 = 0,

λ2 = 0,

λ3 = 0.

2. λ1 = 0,

λ2 = 0,

y 2 = x. 26

3. λ1 = 0,

y = x − 2,

λ3 = 0.

4. λ1 = 0,

y = x − 2,

y 2 = x.

5. y = 0,

λ2 = 0,

λ3 = 0.

6. y = 0,

λ2 = 0,

y 2 = x.

7. y = 0,

y = x − 2,

λ3 = 0.

8. y = 0,

y = x − 2,

y 2 = x.

• Si λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0, entonces 1 = 0, lo cual es falso. • Si λ1 = 0, λ2 = 0, y 2 = x, entonces 1 = 4y 3 , es decir y = As´ı, x =

1 √ , 3 16

λ3 =

2 √ 3 16

=

1 √ 3 . 2

1 √ 3 . 4

Los cuales cumplen todas las

condiciones. • Si λ1 = 0, y = x − 2, λ3 = 0, entonces λ2 = −1, que no cumple la condici´on λ2 ≥ 0. • Si λ1 = 0, y = x − 2, y 2 = x, entonces y 2 − y − 2 = 0. Luego y = 2, y = −1. Para y = 2, x = 4. Entonces −8 − λ2 + λ3 = 0, 1 + λ2 − 4λ3 = 0. Luego λ3 =

−7 , 3

que no cumple la condici´on

λ3 ≥ 0. Para y = −1, entonces x = 1, λ3 =

1 3

y λ2 =

−5 7

≤ 0, que no

cumple la condici´on. • Si y = 0, λ2 = 0, λ3 = 0, entonces λ1 = −1. No cumple la condici´on λ1 ≥ 0. • Si y = 0, λ2 = 0, y 2 = 0, entonces λ1 = −1. No sirve. • Si y = 0, y = x − 2, λ3 = 0, entonces x = 2. Pero, λ2 = −4, que no cumple λ2 ≥ 0. 27

• Si y = 0, y = x − 2, y 2 = x, entonces x = 2, y = −2; pero no cumple y 2 = x; por lo tanto no sirve esta alternativa.

El valor m´aximo es z = f rac344/3 , cuando x =

1 , 42/3

y=

1 . 41/3

Maximizar z = f (x, y) = (5 − x)x + (10 − y)y − (x + y)2 s.a. y ≤ 2, x + y ≥ 27 .

L = (5 − x)x + (10 − y)y − (x + y)2 − λ1 (y − 2) + λ2 (x + y − 27 .)

L′x = 5 − 4x − 2y + λ2 = 0,

L′y = 10 − 4y − 2x − λ1 + λ2 = 0. Las condiciones de K − T − K son: 1. λ1 = 0

λ2 = 0.

2. λ1 = 0

x + y = 72 .

3. y = 2

λ2 = 0.

4. y = 2

x + y = 72 .

De (1), 5 − 4x − 2y = 0, 10 − 4y − 2x = 0. Resolviendo el sistema se obtiene: x = 0, y =

5 2

que no cumple la restricci´on y ≤ 2.

De (2), 10 − 4y − 2x + λ2 = 0, 5 − 4x − 2y + λ2 = 0, x + y = 27 . Igualando λ2 se logra 5 + 2x = 2y. Ahora, si y =

7 2

− x, entonces x = 21 , y = 3, que no cumple: y ≤ 2.

De (3), x = 41 ; pero no cumple la restricci´on x + y ≥ 27 .

De (4), x = 32 ,

y = 2. Reemplazando en: L′x = 0 y L′y = 0 se obtiene

λ1 = 4, λ2 = 5. As´ı, el m´aximo es 9 en x = 23 , y = 2. Para maximizar: z = y − x s.a. y − x ≥ −2, y 2 ≤ x.

L = y − x + λ1 (y − x + 2) − λ2 (y 2 − x). 28

L′x = −1 − λ1 + λ2 = 0.

L′y = 1 + λ1 − 2yλ2 = 0. Las condiciones de K − T − K son: 1. λ1 = 0, λ2 = 0. 2. λ1 = 0, y 2 = x. 3. y − x + 2 = 0, λ2 = 0. 4. y − x + 2 = 0, y 2 = x. De (1), −1 = 0 que es falso. Luego se descarta esta alternativa.

De (2), λ2 = 1, 1 = 2yλ2 . Luego y = 12 , x = 41 . Los cuales cumplen todas las condiciones. De (3), λ1 = −1. No cumple la condici´on λ1 ≥ 0.

De (4), y − x = −2, y 2 = x, −1 − λ1 + λ2 = 0, −1 + λ1 − 2yλ2 = 0.

As´ı y − y 2 + 2 = 0. Es decir y = 2, y = −1. Si y = 2, entonces x = 4.

Adem´as λ2 = 13 , λ1 = − 23 , que no cumple la condici´on. Si y = −1, x = 1. Pero λ2 = − 31 , que tampoco cumple condici´on.

As´ı el m´aximo est´a en: x = 14 , y = 12 , con valor m´aximo de 41 .   √ 1 2 S´ı G(p1 , p2 , u) = 3 p1 + p1 p2 + 3 p2 u, entonces u = V (p1 , p2 , m) =

m

√ 1 p + p1 p2 + 32 p2 3 1

.

Adem´as,    1/2   1 1 1 1 p2 ∂G h −1/2 = x1 = u + (p1 p2 ) p2 = u + ∂p1 3 2 3 2 p1   1/2    2 1 2 1 p1 ∂G −1/2 h p1 + + = x2 = u (p1 p2 ) =u ∂p2 2 3 3 2 p2

29

  Ahora s´ı, xh1 p1 , p2 , v(p1 , p2 , m) = xm 1 , entonces

 −1/2 + 12 (p1 p2 p2 ) . xm √ 1 = 1 p + p1 p2 + 32 p2 3 1   m 31 + 21 (p1 p2 )−1/2 p2 xm . √ 2 = 1 p + p1 p2 + 32 p2 3 1 m



1 3

Si las funciones de demandas Hicksianas son: √ √ xh1 = u¯, xh2 = 2 u¯, entonces la funci´on de gasto es: √ G(p1 , p2 , u¯) = u¯(p1 + 2p2 ). Usando las ecuaciones de demanada se obtiene la funci´on de utilidad indirecta. √ m = (p1 + 2p2 ) v es decir v(p1 , p2 , m) =



m p1 +2p2

2

Reemplazando la funci´on de utilidad indirecta en las funciones de demandarHicksianas se obtienen las funciones de demanda Marshalianas:   m p1 +2p2

xm 1 = xm 2

=2

r

m p1 +2p2

2

=

2

m p1 +2p2

=

1/2

Sea u(x1 , x2 ) = x21 x2

2m p1 +2p2

pr K ∗ = ( wr )2 [ 4w(w+r) ]4/3 .

una funci´on de utilidad. Adem´as p1 , p2 los pre-

cios de x1 y x2 respectivamente. Las funciones de demanda Marshallianas se obtienen de resolver el problema de maximizar u(x1 , x2 ) s.a. p1 x1 + p2 x2 = m. Donde m representa el ingreso del consumidor. 1/2

l = x21 x2 − λ(p1 x1 + p2 x2 − m). 1/2

(1) lx′ 1 = 2x1 x2 − λp1 = 0

30

−1/2

(2) lx′ 2 12 x21 x2

− λp2 = 0

(3) p1 x1 + p2 x2 = m Dividiendo (1) entre (2) se obtiene: 4x2 x1

=

x2 =

p1 ; p2 p 1 x1 4p2

Reemplazando en (3) p 1 x1 +

p 2 x1 p 1 4p2

=m

De donde: xm 1 =

4m 5p1

xm 2 =

m 5p2

son las demandas Marshallianas. La funci´on de utilidad indirecta se obtiene de reemplazar las anteriores funciones de demanda en la funci´on de utilidad. v(p1 , p2 , m) =

16m5/2 1/2 55/2 p21 p2

la funci´on de gasto m´ınimo es:  5/2¯ 1/2 2/5 u5 p1 p2 = G(p1 , p2 , u¯). 15

Las funciones de demanda Hicksiana se pueden obtener reemplazando la funci´on de gasto por el ingreso, en las funciones de demandas Mars-

hallianas, as´ı:  5/2 2 1/2 2/5  2 1/5 u ¯ 5 p1 p2 = u¯4pp12 xh1 = 5p41 16  2 4 1/5 u ¯ p h x2 = 162 p14 . 2

Para la funci´on de utilidad indirecta V = (p1 , p2 , m) =

q

(p1 +p2 )m , p1 p2

hallar las funciones de gasto, demanda Hicksiana y Marshalliana. Reemplazando m por G(p1 , p2 , u) se obtiene  1/2 (p1 + p2 )G(p1 , p2 , u) . V = (p1 , p2 , m) = u = p1 p2 Despejando G(p1 , p2 , u) se llega a G(p1 , p2 , u) = 31

u2 p 1 p 2 . (p1 +p2 )

As´ı, ∂G ∂P2

∂G ∂P1

=

xm 1 = xm 2 =

=

u2 p2 (p1 +p2 )−u2 p1 p2 (p1 +p2 )2

=

u2 p22 (p1 +p2 )2

= xh1 .

u2 p21 = xh2 (p1 +p2 )2 p22 2 )m 2 = (p1p+p = (p1mp (p1 +p2 )2 +p2 )p1 1 p2 p21 (p1 +p2 )m 1 = (p1mp . (p1 +p2 )2 p1 p2 +p2 )p2

Hallar las demandas Marshallianas, si la funci´on de utilidad indirecta es 

 a b V (P1 , P2 , m) = m . + P1 P2

La funcion de gasto se obtiene despejando m y reemplazando U por V (P1 , P2 , m). Asi m = G(P1 , P2 , U¯ ) =

U P1 P2 . aP2 + bP1

Por el lema de Shephard se obtiene: ∂G aP2 2 U = X1 h (P1 , P2 , U ) = ∂P1 (aP2 + bP1 )2 ∂G bP1 2 U = = X2 h (P1 , P2 , U ) ∂P2 (aP2 + bP1 )2 Reemplazando U por la funci´on de utilidad indirecta se obtienen las funciones de demanda Marshallianas X1 m =

amP2 P1 (aP2 + bP1 )

X2 m =

amP1 . P2 (aP2 + bP1 )

Sea la funci´on de gasto G(p1 , p2 , u) = eu ( pa1 )a ( pb2 )b . Hallar la funci´on de utilidad indirecta, las funciones de demanda compensada y Marshalliana. 32

Si G(p1 , p2 , u) = eu ( pa1 )a ( pb2 )b , entonces

xh =

∂G pa−1 p2 pa−1 p2 p1 p2 = eu (a 1 a )( )b = eu 1a−1 ( )b = eu ( )a−1 ( )b ∂p1 a b a b a b

xh = eu ( pa1 )1−a ( pb2 )b .

b−1 b−1 ∂G p1 b u p1 a p2 u p1 a p2 y = = e ( ) b b = e ( ) b−1 = eu ( )a ( )1−b ∂p2 a b a b a p2 h

G(p1 , p2 , u) = eu ( pa1 )a ( pb2 )b m( pa1 )( pb2 )b = ev(m,p1 ,p2 )

m = ev(m,p1 ,p2 ) ( pa1 )a ( pb2 )b

ln(ev(m,p1 ,p2 ) ) = ln[m( pa1 )a ( pb2 )b ]

v(m, p1 , p2 ) = ln m + a ln( pa1 ) + b ln( pb2 ) ∂v 1 xu = − ∂p ∂v = − ∂m ∂v 2 y u = − ∂p ∂v = − ∂m

−a p1 1 m

1

−b p1 1 m

2

=

am p1

=

bm p2

Si G(p1 , p2 , u) = eu ( pa1 )a ( pb2 )b , igualando G(p1 , p2 , u) = m y despejando u se obtiene m( pa1 )a ( pb2 )b = eu , ln[m( pa1 )a ( pb2 )b ] = u = v(p1 , p2 , m), la funci´on de utilidad indirecta. Derivando con respecto a los precios se obtienen las funciones de demanda compensadas. Si E(P1 , P2 , U ) =

P1 P2 U 2 P1 +P2

∂G ∂p1

p2 b p1 a−1 (a) =xh 1 (p1 ,p2 ,u)

= eu( b )

es una funci´on de gasto m´ınimo, hallar las

funciones de demandas Marshallianas. Despejando U se obtiene la funci´on de utilidad indirecta U = V (P1 , P2 , m) =

33



m(P1 + P2 ) P1 P2

1/2

.

Por el lema de Shephard se obtienen las funciones de demanda Hicksianas:

U 2 P2 2 ∂E = X1 h = ∂P1 (P1 + P2 )2 ∂E P1 2 U 2 = = X2 h 2 ∂P2 (P1 + P2 )

Reemplazando U por la utilidad indirecta en las funciones de demanda Hicksianas, se obtienen las demandas Marshallianas: X1 m =

P2 m (P1 + P2 )P1

X2 m =

P1 m . (P1 + P2 )P2

Ejercicios 1. Hallar todos los valores del par´ametro a para que la funci´on z = f (x, y) = (2a + 4)xy − 6x2 − y 2 + 4ay sea c´oncava. 2. Hallar los puntos cr´ıticos de la funci´on z = f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy, y clasificarlos. 3. Hallar los puntos estacionarios o cr´ıticos de la funci´on z = f (x, y) = ln(1 + yx2 ), y clasificarlos. 4. Hallar el m´aximo o m´ınimo de z = f (x, y) = ex 5. Minimizar x + 4y + 3z

2 +y 2

s.a. x2 + 2y 2 + 31 z 2 = b.

6. m´ax (m´ın) x2 + y 2 + z 2 s.a.

x + 2y + z = 1 2x − y − 3z = 4.

7. m´ax x2 + 4xy + y 2 s.a. x + y = 100. 34

.

sujeto a 2x − y = 4.

√ 8. m´ax 12x y s.a. 3x + 4y = 12. 9. m´ax y = m´ın{2x1 + 8,

3x2 + 4} s.a. 2x1 + 3x2 = 12.

10. m´ax y = m´ın{x21 ,

x1 + x2 } s.a. 3x1 + 2x2 = 6.

11. m´ax y = m´ın{x1 ,

x2 } s.a. x2 = x31 .

12. Maximizar 2(x − 2)2 − 3y 2 s.a. 10y + 7x = 70, x = 6, y = 5. 13. Maximizar 2(x − 2)2 + 3y 2 s.a. 10y + 7x ≤ 70, x ≤ 6, y ≤ 5. 14. Maximizar 2(x − 2)2 + 3y 2 s.a. 10y + 7x < 70, x > 0, y > 0. 15. Maximizar 2(x − 2)2 + 3y 2 s.a. 10y + 7x ≤ 70, x > 0, y = 0. 16. Comparar los ejercicios anteriores. 17. Maximizar 21 x − y

s.a.

x + e−x ≤ y,

x ≥ 0. Determinar si la

restricci´on del problema es un conjunto convexo. 18. Max y − x2 sujeto a y ≥ 0, y − x ≥ −2, y 2 ≤ x. 19. Max 4z − x2 − y 2 − z 2 s.a. z ≤ xy; x2 + y 2 − z 2 ≤ 3. 20. Maximizar y − x2 s.a. (10 − x2 − y)3 ≥ 0, −(3/4)x2 + (9/2)x − y ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0. 21. Maximizar 100 + ln x + ln y s.a. 98 − x2 − y 2 ≥ 0, 418 − x2 − 6y 2 ≥ 0. 22. Maximizar G(x, y) = (5−x)x+(10−y)y −(x+y)2 s.a. y ≤ 2; x+y ≥ 27 . 23. Minimizar xy + 2x2 + 3y 2 s.a. x + y ≤ 2.

35

24. Si la funci´on de utilidad es u = m´ın{3x1 + 2x2 , 4x1 + 5}, hallar la demanda de bienes x1 y x2 que maximiza la utilidad, dado que p1 es el precio del bien x1 ; p2 es el precio del bien x2 ; pp21 > 23 ; si el ingreso del consumidor es m, hallar las demandas Marshallianas de los bienes x1 y x2 . Hallar las m´axima utilidad del consumidor. Adem´as, hallar el tipo de rendimientos de la funci´on de utilidad y analizar e interpretar el resultado. Hallar la utilidad marginal del bien x2 e interpretar el resultado. 25. Si la utilidad de un consumidor es U = f (x1 , x2 ) = a1 ln x1 + a2 ln x2 , hallar las demandas Marshallianas, demandas compensadas (Hicksianas), funci´on de utilidad indirecta, funci´on de gasto; determinar si el bien x1 es giffen, y si el bien x2 es normal. 26. Para U (x1 , y1 ) = a ln(x1 − y1 ) + (1 − a) ln(x1 − y1 ), x1 > y1 , x2 > y2 , hallar la funci´on de utilidad indirecta V (p1 , p2 , m). Verificar que la funci´on de utilidad indirecta es homog´enea de grado cero. Interpretar econ´omicamente cada resultado. 27. Para la funci´on de costo C(K, L) = wL + rK, hallar la funci´on de costo m´ınimo, las demandas compensadas cuando la empresa produce bajo la tecnolog´ıa Q = min{aK, bL}. 28. Para la funci´on de costo C(K, L) = wL + rK, hallar la funci´on de costo m´ınimo, las demandas compensadas cuando la empresa produce bajo la tecnolog´ıa Q = A(L−r + K −r )−a/r . 29. La funci´on de utilidad indirecta para Luna es V (p1 , p2 , m) = ln m − a ln p1 − (1 − a) ln p2 . Hallar la funci´on de utilidad directa que refleja 36

las preferencias de bienes x1 y x2 . 30. Sea U (x, y) =

m (pr1 +pr2 )1/r

una funci´on de utilidad indirecta. Hallar Elp1 U

e interpretar el signo. Determinar el grado de homogeneidad de la funci´on de utilidad e interpretarlo. Hallar las funciones de demanda Marshalliana, demandas compensadas y funci´on de gasto. 31. Dada la funci´on de gasto E(p, U ) = ( 31 p1 +

√

p1 p2 + 32 p2 )U . Obtener

las demandas Marshalliana, las demandas Hicksianas y la funci´on de utilidad indirecta. 32. Sea la funci´on de gasto G(p1 , p2 , u) = eu



p1 a p2 b . a b

Hallar la funci´on

de utilidad indirecta, las funciones de demanda compensada y Marshalliana. 33. Una empresa produce a trav´es de la siguiente relaci´on: f (K, L) = (K 1/2 + L1/2 )1/2 . Si p es el precio del bien producido por la empresa, w el salario y r la renta del capital, entonces el beneficio de la empresa es: Q (K, L) = p(K 1/2 + L1/2 )1/2 − wL − rK. Hallar el beneficio m´aximo y las cantidades de factores que utiliza (demanda de factores).

34. Hallar x1 , x2 que minimizan el gasto para una funci´on de utilidad u(x1 , x2 ) = xα1 xβ2 . 35. Si la funci´on de utilidad indirecta es V (p1 , p2 , m) =



(p1 +p2 )m p1 p2

 12

, hallar

las demandas compensadas, Marshallianas y la funci´on de gasto.

Bibliograf´ıa Casas D. (2012) Elementos de econom´ıa matem´atica. Ed. Unisalle. 37