Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Formas reducidas y escalonada de una matriz 1) Encuentre una sucesión de matrices elementales E1, E2,..., Ek tal que Ek ... E2 E1 A sea una matriz escalonada, donde:  1 1 0  1 -1   1 -1 1 2 1  A= 0 2 1 

a)

   -1 0 1 

A= -2 2 

b)

c)

   3 -3 

A= 3 -3 8 10 3 

   -2 2 -1 -3 -4 

2) Halle el rango, mediante la reducción de matrices, de las matrices n+1 1 n  n+1 1 1  An= 1

  1

n+1

1 

1

n+1 

y



  

Bn=

1 0

  según los valores del parámetro real n. n

n+1 1 0

Estudio y resolución de sistemas lineales 3) Estudie, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, la compatibilidad de los siguientes sistemas según los distintos valores de los parámetros reales. Resuelva, cuando sea posible, los que dependan de un único parámetro: x − 3y + 5z = 2 x + y + az = 1 a2 x + ay + z = 1 a) 2x − 4y + 2z = 1 b) x + ay + z = 1 c) x + ay + z = a 5x − 11y + 9z = k ax + y + z = 1 x + ay + a2 z = 1 d)

ax + by + z = 1 ax + y + bz = 1 ax + y + z = b

ax + by + 2z = 1 ax + (2b−1) y + z = 1 ax + by + (b+3) z = 2b−1

e)

4) Resuelva, por el método de eliminación de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones: x − 3y + z = −2 2x + 3y − z = 0 x + y + z + t = −2 3x + y − z = 10 a) 2x + y − z = 6 b) x − y + z = 0 c) x − y − z + t = −4 d) x − 2y − z = −2 x + 2y + 2z = 2 x + 9y − 5z = 0 x − y + z + t = −6 −x+y+z=0 x+y−z+t=0 2x − y − 3z = 7 5) Elimine los parámetros en las siguientes ecuaciones paramétricas: x1 = 1 + a x1= a + 2b − c x1 =1 − 3a + b x1= a + 2 b a) x2 = 2 + a d) x2= a − b b) x2 = a − 2b c) x2= b + c x3 = 1 − 3a x3= 3b x3 = 2 + b x3= a + 3 c x4= b + c x5= a − b + 2c

e)

x1= a + b + 2c x2= a + 2b + 3c x3= a + c x4= 0 x5= a − b

Cálculo de la inversa de una matriz 6) Halle, por el procedimiento de Gauss-Jordan, la inversa, si existe, de cada una de las siguientes matrices:  1 a a 2 a3  1 -1 1 1 -1 2 1 0 0   2  0 1 a a 2 1 2 2 1 1 a 1 0 b) c) d) a) 0 0 1 a   0 0 1 3 0 3 b c 1  0 0 0 1

  

e)

1  2 3 4 

  

  

0 1 3 4

0 0 1 4

0  0  0  1

  

  

1 0 0 0 1

f)

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

  

1 2 3 4 5

g)

0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

Ecuaciones matriciales

 1 2  ; halle el subconjunto S={ B∈M / AB=0 }, según el valor del parámetro real m.  2x2 3 m

7) Sea A=

8) Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales: 1 2 -1 -1

 − 2 −1 1  X= 0 2   1

a) 

0 1 2  0 1 −1

 -1 -1 -2 0  1 -2 2   1 0 1  1       ; b) X 0 1 0 = -2 1 0 ; c)     0  1 1 1 0  1 -1 1   1 3 -2  0

1 1

-4 6 2 2

  -2 -2 1 4  X=  0 3 0 -2     2 0 -1 -2  -1 

Aplicaciones 9) Determine la ecuación de la parábola, con eje vertical y en el plano XY, que pasa por los puntos P = (1, 4), Q = (−1, 6) y R = (2, 9) 10) Encuentre la ecuación del plano, en el espacio XYZ, que pasa por los puntos P = (1, 1, 2), Q = (1, 2, 0) y R = (2, 1, 5) 11) Encuentre todos los polinomios p(x) = ax2 + bx + c con coeficientes reales tales que: a) p(1) = 2, p(−1) = 4, p(3) = 16 b) p(1) = 0, p(−1) = 0.

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

ESPACIOS VECTORIALES Espacios vectoriales 1) En el conjunto ℜ2 se definen las operaciones siguientes: (α1, α2) + (β1, β2) = (α1 + β1, α2 + β2) α ∗ (α1, α2) = (α ∗ α1, 0) ¿Es ℜ2 un espacio vectorial sobre ℜ respecto de las citadas operaciones? Subespacios vectoriales 2) Averigüe si los vectores a = (1, −1, 0) y b = (2, −3, 1) pertenecen al espacio vectorial generado por el conjunto de vectores {v1 = (2, 5, 1), v2 = (3, 4, 1), v3 = (5, 9, 2)}. 3) Demuestre que los conjuntos A = {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} y B = {(2, 1, −1), (1, 2, 1)} de vectores de ℜ 3 generan el mismo subespacio vectorial de ℜ 3. Demuestre que el conjunto C = {(2, 1, −1), (1, −1, 0)} no genera dicho subespacio. 4) En ℜ 4 se considera el subespacio generado por los dos vectores (2, 3, 1, −5), (0, 2, −1, 3). Determine el valor de los escalares p y q para los que el vector (2, p, 3, −q) pertenece al citado subespacio. 5) ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales? a) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / y = 0} b) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x + y + z = 0} 3 c) S = { (x, y, z) ∈ ℜ / x + z = 1} d) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / x + z = 0} 3 e) S = { (x, y, z) ∈ ℜ / x + z ≤ 0} f) S = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / xy = 0} 3 g) S = {p(x) ∈ P3(ℜ) / p(x) = x + ax + b} h) S = {p(x) ∈ P3(ℜ ) / p(x) = ax3 + b} Dependencia e independencia lineal 6) Estudie si los siguientes conjuntos de vectores de ℜ 3 son linealmente independientes: a) {(0, 1, 0), (1, 1, −1), (−1, 0, 1)} c) {(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)} b) {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)} d) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (a, 0, 1)}, a ∈ℜ 7) Estudie si los siguientes conjuntos de polinomios de P2(ℜ) son linealmente independientes: b) {x, x2, x + x2} a) {1, 1 + x, 1 + x + x2} 2 2 2 c) {1 − x , 1 + x, x − x, x + x } d) {1 + x2, 2 + x2}

 0 a 0   0 1 0   0 1 0  ,  ,   es linealmente dependiente?  0 1 0   0 a a   0 a 0 

8) ¿Para qué valores de a el conjunto 

9) Determine si los vectores de los siguientes conjuntos son linealmente dependientes. En caso afirmativo, determine una relación de dependencia y un subconjunto con un número máximo de vectores l.i. a) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)} b) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)} c) {1 + 3x + 4x2, 4 + x2, 3 + x + 2x2} en el espacio de polinomios P2(ℜ). Base de un espacio vectorial 10) Halle una base del espacio vectorial generado por el siguiente conjunto de vectores {v1 = (3, 2, 0, 5), v2 = (−1, 0, 3, −4), v3 = (2, 2, 3, 1), v4 = (0, 2, −9, 17)}. 11) ¿Para qué valores del número real a es base de ℜ 3 el conjunto {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)}? Halle las coordenadas del vector (−1, 1, 3) respecto del citado conjunto de vectores para a = 2. 12) En ℜ 4 se consideran los vectores (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1+a, 1) y (1, 1, 1, 1 + a). Determine según los valores del parámetro a la dimensión y una base del subespacio vectorial que generan.

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

13) Demuestre que los polinomios {1, (1 − x), (1 − x)2, (1 − x)3 } forman una base del espacio vectorial P3(ℜ). Obtenga las coordenadas del polinomio 2 − 3x + x 2+ 2x3 respecto de la base anterior. Indicación: Divida el polinomio por 1 − x. 14) En P2(ℜ) se considera el conjunto {1, x + 3, (x + 3)2}. Pruebe que es base de P2(ℜ) y calcule las coordenadas del polinomio a + bx + cx2 respecto de dicha base. 15) Estudie si el conjunto de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas es un subespacio vectorial de ℜ 4  x1+x2=0   x1+x2=1   . y en caso afirmativo obtenga una base: a)  b)   x3+x4=0   x3+x4=-1  16) Se considera el subespacio vectorial de ℜ 5 de las soluciones del siguiente sistema: x+2y-3t+w=0

  x+2y+z-4t-w=0   y+z-2t-w=0   x+z-2t-3w=0 

Obtenga un sistema de generadores, una base y la dimensión del citado subespacio 17) En IR3 se consideran S1 = {(x, y, z) / x = −z} y S2 = {(x, y, z) / x = z − y }. a) Pruebe que S1 y S2 son subespacios de ℜ 3. b) Encuentre una base B1 de S1. Calcule las coordenadas del vector (x, y, z) ∈ S1 respecto de B1. c) Pruebe que B2 = {(0, 1, 1), (−1, 1, 0)} es base de S2. Encuentre las coordenadas de (−2, 1, −1) ∈ S2 respecto de B2. 18) Halle una base y la dimensión del subespacio vectorial M definido de la siguiente forma: 2a − b   a + b + 3c M={   / a, b, c ∈ ℜ }.  − a − c a + 2b + 5c  Suma e intersección de subespacios 19) Sean S y T subespacios vectoriales de ℜ 4 definidos por S = L({(1, 0, 1, 1), (1, −1, −1, 0), (0, 1, 2, 1)}) , T = {(x, y, z, t) / x − z − t = 0 , y + z = 0} Obtenga una base de los subespacios S + T y S ∩ T. Escriba las ecuaciones paramétricas e implícitas para los subespacios citados anteriormente. 20) En P3(ℜ) se consideran los subconjuntos: S = {p(x) / p(−1) = 0} y T = {p(x) / p(x) = ax3 + bx2 + (a + b)x + 2b , a, b ∈ ℜ} a) Pruebe que S y T son subespacios vectoriales de P3(ℜ). b) Obtenga las ecuaciones implícitas y paramétricas de S y T. c) Calcule S ∩ T y S + T.

 a b c d  a,b ∈ ℜ} y V2 = {  c, d, e ∈ ℜ}.  -b a   e -c 

21) Se consideran los subespacios de M2×2(ℜ): V1 = {

Halle una base de los espacios V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2. 22) Sean U y W los subespacios vectoriales de ℜ3 definidos por U = {(x, y, z)∈ ℜ3 / z = 0} , W = L{(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 2)}. Obtenga una base y la dimensión de los subespacios U, W, U ∩ W y U + W. 23) Sean S y T los subespacios vectoriales de ℜ4 definidos por S = {(x, y, z, t) / x + y + z + t = 0, 2x − y + 2z − t = 0, 4x + y + 4z + t = 0} T = {(x, y, z, t) / x = a + b + 2c, y = b + c, z = − a + b, t = 3b + 3c} Obtenga una base y la dimensión de S, T, S + T y S ∩ T.

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

24) Dados los subespacios vectoriales de ℜ4: S = L{(1, 0, 2, −1), (0, −1, 2, 0), (2, −1, 6, −2)} y T = L{(1, −1, 4, −1), (1, 0, 0, 1), (−1, −2, 2, 1)}. Demuestre que dim (S + T) = 3 y dim (S ∩ T) = 2. 25) Para cada a ∈ ℜ se considera el subespacio vectorial V(a) = L{(1, a, 1, 1), (1, a, 1 − a, 0), (0, 1, 2a, 2), (1, 1 + a, 1 + a, 2)} a) Halle una base de V(a). b) Estudie si el vector (1, 1 + a, 1 + 2a, a + 3) ∈ V(a) para algún a ∈ ℜ. c) Obtenga las dimensiones de los subespacios V(0) + V(1) y V(0) ∩ V(1). Suma directa de subespacios 26) En ℜ3 se consideran los subespacios: U = {(x, y, z) ∈ ℜ3 / x = z }, V = {(0, 0, c) / c∈ ℜ} y W = {(x, y, z) ∈ ℜ3 / x + y + z = 0 }. Pruebe que: a) ℜ3 = U + V, b) ℜ3 = V + W, c) ℜ3 = U + W ¿En qué casos la suma es directa? 27) Se consideran los subespacios vectoriales de ℜ3 : S = L{(1, 0, 1), (1, 1, −1), (2, 1, 0)} y T = L{(1, 0, 1), (0, 0, 1), (3, 0, −1)}. Halle un subespacio U tal que ℜ3 = S ⊕ U y la suma T + U no sea directa. 28) Estudie si la suma de los subespacios vectoriales S1 = L{(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 2), (0, −1, 2, −2)} y S2 = L{(1, 1, 1, 0), (−1, −1, 1, −2)} de ℜ4 es directa. Halle una base del subespacio suma. 29) Sean los subespacios vectoriales de P3(ℜ): V = L{1 + x3, 1 + x + x2, 2x − x2, 2 + 3x2} y W = L{1 + 3x2 − x3, 1 + 4x + x2 − x3, 2x −x2}. Demuestre que W ⊂ V y halle un subespacio suplementario de W en V.

 α β    : α , β ∈ ℜ de M2×2(ℜ). − β 0   

30) Halle una base del subespacio vectorial F = 

Amplíe la base obtenida hasta formar una base de M2×2(ℜ). Halle a continuación un subespacio suplementario de F.

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

GEOMETRÍA AFÍN Rectas y planos en el espacio afín ℜ3 1) Dados los puntos P = (1, 1, 1) y Q = (0, 1, 2) y los vectores u = (−1, 2, 0), v = (1, −1, −1), halle las ecuaciones paramétricas e implícitas de las siguientes rectas de ℜ3: a) recta que pasa por P con dirección u − v. b) recta que pasa por P y Q. c) recta que pasa por Q con dirección 3v. 2) Halle las ecuaciones de la recta que pasa por (1, 1, 1) y es paralela a la recta

 3x − y + z = 1  x + y − 3z = 0 

3) Obtenga las ecuaciones implícitas de la recta que se apoya en las rectas r y s y es paralela a la recta t, donde  x = z −1 x = 5z + 4 t : {x = y = z r: s: y = − 3 z + 2  y = 4z − 3 4) Dados los puntos P = (1, 2, 3), Q = (−1, −2, −3) y R = (0, 1, −1) y los vectores u = (0, 1, −1) y v = (5, 1, 2), halle las ecuaciones paramétricas e implícitas de los siguientes planos de ℜ3: a) plano que pasa por P, Q y R. b) plano que pasa por P y R y es paralelo a la recta que pasa por Q con dirección u − v. c) plano que contiene a R y cuyo subespacio de dirección es L{u + 2v, 2u + v}. 5) Obtenga las ecuaciones paramétricas e implícitas de las siguientes variedades afines de ℜ3: 1 z− x − 2 y +1 2 = = a) recta que pasa por el punto (1/2, −1, 2) y es paralela a la recta s : −1 2 −3 b) recta paralela a la recta s del apartado anterior y que pasa por el origen.  x = 1 − 3n + m  c) recta que pasa por (1, −1, 2) y es paralela a los planos α : 1 + x − 3 y + 2 z = 0 y β :  y = n − 2 m  z = 2 + m d) plano paralelo al eje y, y que pasa por los puntos (2, −1, 4) y (3, 0, −1). e) plano paralelo al plano 3x + 4y + z + 7 = 0 y que corta al eje x en el punto de abcisa x = −2. f) plano paralelo al plano x + y + 3z = 8 y que pasa por el punto (2, −1, 0). g) plano que pasa por el punto de intersección de los tres planos siguientes: 1 − x + z = 0, −1 + y − 2z = 0, 2 + 3x − y = 0 y es paralelo al plano 2x − 3y + 6z + 7 = 0. 6) Determine el plano que contiene a la recta x =

y −1 2

2x + y + z = 1 x − y + 2 z = 0

= z + 3 , y es paralelo a la recta 

7) Sean r la recta que pasa por (1, 0, −1) y tiene subespacio de dirección {(x, y, z) / x + y = 0, 2y + z = 0} y s la recta que pasa por (−1, 1, 0) y (−3, 2, 1). Pruebe que se cortan y obtenga las ecuaciones paramétricas del plano que determinan. 8) Determine, si existe, la intersección de los siguientes pares de planos en ℜ3 π : x − y + z = 1 π : ( x, y, z ) = α (1,1,−1) + β (0,1,−2 ) b)  1 a) 1 π 2 : 2 x + 2 y − 3 z = 4 π 2 : ( x, y , z ) = (0,1,0 ) + λ (0,1,−1) + µ (2,3,5)

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

9) Determine la posición relativa de los siguientes pares de rectas de ℜ3 y si se cortan, encuentre el punto de intersección: a) (x, y, z) = (−1, 2, 1) + α (4, 3, 2) (x, y, z) = (0, 1, 0) + β (1, 3, 2). x + 4 y − 3 z +1 x + 9 y −1 z − 3 b) = = = = 5 2 −4 −5 3 2 c)

2 x − 3 y − z = 3  x − 3y = 4 

x+ y =2  y − z = −1 

10) Averigüe la posición relativa de los planos siguientes tomados dos a dos: π1: 2x + 2y − z + 1 = 0 π2: x − y − 4z + 2 = 0 π3 : 4y + 7z − 3 = 0

π4 : 2x + 2y − z − 3 = 0.

Variedades afines de ℜ4

11) Halle el hiperplano de ℜ4 que es paralelo al hiperplano definido por la ecuación x −2y + z – t = 0 y pasa por el punto P = (0, 1, 1, 1). 12) Halle la intersección de los siguientes planos de ℜ4 : M1 : {x + t = 0, y − z = 1} y M2 : (x, y, z, t) = (0, 0, 1, −1) + L{(a, 2, 2, −4), (1, 0, 1, 0)} según los valores del parámetro a. 13) Encuentre el valor del número real a para el que es no vacía la intersección de los planos S1 y S2:  x = a + 3λ + 2µ  x = 2 + α + 2β   y =1− λ − µ y=1  S1 S2  = 4 + λ z  z = 1 + α + β  t = 6 + 5λ + 2µ  t = 3α 14) En ℜ4, halle un hiperplano paralelo al plano Π = (−1, 0, 1, 0) + L{(2, −1, −1, 1), (−1, 1, 2, 0)}, y que pase por los puntos P = (1, −1, 0, 0) y Q = (−1, 0, 0, 1).