Ejercicios de Análisis Matemático Números complejos z donde z 2 C n fi; i g. 1 C z2 Solución. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamos para ello z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que

1. Calcula la parte real e imaginaria de

z x iy x iy .x iy/.1 C x 2 y 2 2xyi / D D D D 1 C z2 1 C .x C iy/2 1 C x 2 y 2 C 2xyi .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 D

x C x 3 3xy 2 C i . y 3x 2 y C y 3 / D .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 x C x 3 3xy 2 y 3x 2 y C y 3 C i D .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2

Luego 

z Re 1 C z2



  x C x 3 3xy 2 y 3x 2 y C y 3 z D ; Im D .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 1 C z2 .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2

ˇ ˇ ˇ .2 C i p5/.1 C i p3/3 ˇ ˇ ˇ 2. Calcula ˇ p p ˇ. ˇ ˇ 5Ci 3

©

Solución. Como lo que nos piden es el módulo no es preciso realizar las operaciones indicadas. Basta tener en cuenta que el módulo de un producto es el producto de los módulos y, por tanto, el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. En consecuencia: ˇ ˇ ˇ .2 C i p5/.1 C i p3/3 ˇ ˇˇ2 C i p5 ˇˇˇˇ1 C i p3 ˇˇ3 p ˇ ˇ p ˇp p p ˇ D6 2 ˇ ˇD ˇ 5 C i 3ˇ ˇ ˇ 5Ci 3

©

3. Calcula los números complejos z tales que w D a) Un número real;

2z i es 2 C iz

b) Un número imaginario puro. Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que wD

2x C i .2y 1/ .2x C i .2y 1//.2 y D 2 y C ix .2 y/2 C x 2

i x/

D

3x C i . 2x 2 2y 2 C 5y .2 y/2 C x 2

2/

Por tanto, w es real si, y sólo si 2x 2

2y 2 C 5y

2 D 0 ” x 2 C .y

5=4/2 D 9=16

Es decir, z está en la circunferencia de centro .0; 5=4/ y radio 3=4. Análogamente, w es imaginario puro si, y sólo si, x D 0, es decir, z está en el eje imaginario.

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©

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2

4. Calcula los números complejos z tales que w D a) Es un número real;

z 1 i z C1Ci

b) Tiene módulo 1. Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que x z 1 i x 1 C i .y 1/ wD D D zC1Ci x C 1 C i .y C 1/



1 C i .y 1/ x C 1 i .y C 1/ D .x C 1/2 C .y C 1/2 x 2 C y 2 2 C i .2y 2x/ D .x C 1/2 C .y C 1/2

Por tanto, w es real si, y sólo si, y D x ¤ 1, es decir, z está en la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero y z ¤ .1 C i /. Es claro que jwj D 1 si, y sólo si jz

1

i j D jz C 1 C i j ” .x

1/2 C .y

1/2 D .x C 1/2 C .y C 1/2 ” x C y D 0

©

Es decir, z está en la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. 5. Comprueba que el argumento principal de z D x C iy ¤ 0 viene dado por 8 ˆ arc tg.y=x/  si y < 0, x < 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < =2 si y < 0, x D 0 # D arc tg.y=x/ si x > 0 ˆ ˆ ˆ =2 si y > 0, x D 0 ˆ ˆ ˆ :arc tg.y=x/ C  si y > 0, x < 0

Solución. Teniendo en cuenta que para t < 0 es =2 < arc tg t < 0 y para 06t es 0 6 arc tg t < =2, se sigue que el número # definido por las igualdades anteriores verifica que  < # 6 . Por tanto, para probar que # D arg.z/ bastará que comprobemos la igualdad z D jzj.cos # C i sen #/, es decir, las igualdades x D jzj cos #, y D jzj sen #. Para # D , # D =2 y # D =2 dichas igualdades son evidentes.

Sea x > 0 en cuyo caso # D arc tg.y=x/. En este caso, como =2 < # < =2, tenemos que tg # D y=x y deducimos y2 x2 C y 2 1 2 D 1 C tg # D 1 C D ÷x 2 D .x 2 C y 2 / cos2 #÷x D jzj cos # cos2 # x2 x2 donde, en la última implicación, hemos tenido en cuenta que x > 0 y cos # > 0. Deducimos también que x sen # D jzj sen # y D x tg # D cos # Consideremos x < 0 e y > 0. Tenemos que =2 < # D arc tg.y=x/ C  < , por lo que =2 < #  < 0, y deducimos tg # D tg.# / D y=x. Razonando como antes obtenemos que x 2 D.x 2 Cy 2 / cos2 #. Como x < 0 y cos # < 0, se sigue que x Djzj cos #. De esta igualdad deducimos, al igual que antes, que y D jzj sen #.

Consideremos x < 0 e y < 0. Tenemos que  < # D arc tg.y=x/  < =2, por lo que 0 < # C  < =2, y deducimos tg # D tg.# C / D y=x. Razonando como en el caso anterior volvemos a obtener las igualdades x D jzj cos #, y D jzj sen #. © 6. Expresa en forma polar los siguientes números complejos. p 3Ci 1 a) 1 C i b) c) p 1Ci 1Ci 3 Dpto. de Análisis Matemático

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Solución. a) Tenemos que arg. 1 C i / D arc tg. 1/ C  D 3=4, por lo que p
1 C i D 2 cos.3=4/ C i sen.3=4/ b) Tenemos que p p arg. 3 C i / D arc tg. 1= 3/ C  D

p arc tg.1= 3/ C  D =6 C  D 5=6   1 D =4 arg.1 C i / D arc tg.1/ D =4 ÷ arg 1Ci ! p 5  7 3Ci D 2 Arg . Por tanto deducimos que 6 4 12 1Ci p
3Ci p D 2 cos.7=12/ C i sen.7=12/ 1Ci p p p c) arg. 3/ C  D arc tg. 3/ C  D =3 C  D 2=3, por lo que  1 C i 3/  D arc tg. 1 arg p D 2=3. Por tanto 1Ci 3 1


1 cos. 2=3/ C i sen. 2=3/ p D 2 1Ci 3

©

z

supuestos conocidos arg z y arg w. w Solución. Sabemos que arg z C arg w 2 Arg.zw/; además 2 < arg z C arg w 6 2. Tenemos las siguientes posibilidades:

7. Calcula arg.zw/ y arg

2 < arg z C arg w 6 ÷0 < arg z C arg w C 2 6 ÷ ÷ arg.zw/ D arg z C arg w C 2  < arg z C arg w 6 ÷ arg.zw/ D arg z C arg w

 < arg z C arg w 6 2÷  < arg z C arg w 2 60÷ ÷ arg.zw/ D arg z C arg w 2 z Para calcular arg se procede de forma análoga teniendo en cuenta ahora que w z arg z arg w 2 Arg y que 2 < arg z arg w < 2. © w 2z 1 8. Calcula los números complejos z tales que w D z 2 a) Tiene argumento principal igual a =2; b) Tiene argumento principal igual a =2. Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Como 2z 1 2x D z 2 x

1 C 2yi .2x D 2 C iy

1 C 2yi /.x 2 .x 2/2 C y 2

deducimos que arg w D =2 si, y sólo si, 2x 2 C 2y 2 2x 2 C 2y 2

5x C 2 D 0 ” .x

iy/

D

2x 2 C 2y 2 5x C 2 .x 2/2 C y 2

3yi

5x C 2 D 0 e y < 0. Como 5=4/2 C y 2 D 9=16

deducimos que arg w D =2 cuando z está en la semicircunferencia de centro .5=4; 0/ y radio 3=4 que está contenida en el semiplano inferior. También También deducimos que arg w D =2 cuando z está en la semicircunferencia de centro .5=4; 0/ y radio 3=4 que está contenida en el semiplano superior. © Dpto. de Análisis Matemático

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9. Resuelve la ecuación cuadrática az 2 CbzCcD0 donde a; b; c, son números complejos conocidos y a ¤ 0. Solución. Tenemos que

  b c b 2 c b2 zC D0 ” zC C D0 a a 2a a 4a2   b 2 b 2 4ac ” zC D0 2a 4a2 # " # "  p 2  p 2 b b 4ac b b 4ac zC C D0 ” zC 2a 2a 2a 2a 8 p ˆ b C b 2 4ac ˆ ˆ jˇ 2

ˇ ˛ C ˇ ˇˇ2 1 C jˇ 2 ˇ 2

˛j2

˛j2 para todo z 2 C y la igualdad se da si, y sólo

14. Prueba las desigualdades: a) jjzj

jwjj 6 jz wj ˇ ˇ ˇ z 1 w ˇˇ ˇ b) jz C wj > .jzj C jwj/ ˇ C 2 jzj jwj ˇ

donde z; w son números complejos no nulos. Estudia también cuándo se da la igualdad en cada una de dichas desigualdades. Sugerencia. Una estrategia básica para probar desigualdades entre módulos de números complejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad. Solución. Siguiendo la sugerencia, es muy fácil hacer el apartado a). Haremos el apartado b). Siguiendo la sugerencia, elevamos al cuadrado y comprobamos que la diferencia es positiva. ˇ ˇ ˇ z w ˇˇ2 1 .jzj C jwj/2 ˇˇ C D 4 jzj jwj ˇ   Re.zw/ 1 D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/ .jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj/ 2 C 2 D 4 jzjjwj
Re.zw/ 1 1 2 1 2 D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/ jzj jwj jzjjwj jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj D 2 2 2 jzjjwj
Re.zw/ 1 Re.zw/ 1 D .jzj2 C jwj2 2jzjjwj/ C 2 jzjjwj jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj D 2 jzjjwj 2 jzjjwj
Re.zw/ 1 1 jzj2 C jwj2 2jzjjwj D D .jzj jwj/2 2 2 jzjjwj   1 Re.zw/ 2 D .jzj jwj/ 1 >0 2 jzjjwj jz C wj2

Porque Re.zw/ 6 jzwj D jzjjwj. La igualdad se da si, y sólo si, jzj D jwj o Re.zw/ D jzwj lo que equivale a que zw D  2 RC que equivale a que z y w estén en una misma semirrecta a partir del origen, o sea, que tengan los mismos argumentos. 15. Expresa en forma binómica los números 25

.1 C i / ;

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p . 3 C i /37 ;

p !24 1Ci 3 1Ci

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7

Solución. Naturalmente, se trata de aplicar la fórmula de De Moivre y para ello todo lo quep hay 1Ci 3 que hacer es expresar los números en su forma polar. Consideremos el número z D . 1Ci p Tenemos que jzj D 2 (cociente de los módulos) y un argumento de z es p p  3 5 arg.1 C i 3/ arg. 1 C i / D arc tg. 3/ .arc tg. 1/ C / D D 3 4 12 Por tanto p !24      p 24 5 1Ci 3 5 D . 2/ cos 24 C i sen 24 D 212 D 4096 1Ci 12 12 16. Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que: a) sen 3' D 3 sen ' 4 sen3 '. b) cos 4' D 8 cos4 ' 8 cos2 ' C 1. c) sen 5' D 5 sen ' 20 sen3 ' C 16 sen5 '. Solución. La fórmula de De Moivre es una herramienta excelente para obtener identidades trigonométricas. Lo único que hay que hacer es usar la igualdad .cos x C i sen x/n D cos.nx/ C i sen.nx/

.n 2 N; x 2 R/

Desarrollando la potencia del lado izquierdo por medio del binomio de Newton y agrupar la parte real, que será igual a cos.nx/ y la parte imaginaria, que será igual a sen.nx/. Por ejemplo, para n D 2 se obtiene inmediatamente que cos.2x/ D cos2 x sen2 x y sen.2x/ D 2 sen x cos x. Haciendo n D 3 obtenemos cos3 x C 3i cos2 x sen x

3 cos x sen2 x

i sen3 x D cos.3x/ C i sen.3x/

Igualando partes imaginarias, resulta: sen.3x/ D 3 cos2 x sen x

sen3 x D 3.1

sen2 x/ sen x

sen3 x D 3 sen x

4 sen3 x

Esta es la igualdad a). Las otras dos igualdades b) y c) se obtiene de forma parecida. 2 2 17. Sean n 2 N, n > 2, y w D cos C i sen . Dado un número entero, m 2 Z, calcula el valor n n de las expresiones: a) 1 C w m C w 2m C


C w .n 1/m . b) 1 w m C w 2m


C . 1/n 1 w .n

1/m

.

Solución. Necesitamos la expresión de la suma de una progresión geométrica. Sean z un número complejo distinto de 1 y n 2 N. Pongamos S D 1 C z C z 2 C z 3 C


C z n . Tenemos que  S D 1 C z C z2 C z3 C


C zn ÷S.z 1/ D z nC1 1 Sz D z C z 2 C z 3 C


C z n C z nC1 Y deducimos que 1 C z C z2 C z3 C


C zn D

z nC1 1 z 1

(5)

La suma en a) es una progresión geométrica de razón w m . Debemos distinguir el caso en que w m D 1, lo que ocurre cuando m es un múltiplo de n, en cuyo caso la suma en a) es igual a n. En los demás casos, tenemos que w nm 1 D0 wm 1 En particular, haciendo m D 1, deducimos que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es igual a 0. El apartado b) se hace de forma parecida. © 1 C w m C w 2m C


C w .n

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1/m

D

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18. Sea w un número complejo de módulo 1. Expresa los números w

1 y w C 1 en forma polar.

Solución. Sea w D cos t C i sen t con t D arg.w/. Pongamos u D cos.t=2/ C i sen.t=2/. Con lo que u2 D w y uu D 1. Tenemos que w

1 D u2

uu D u.u

u/ D 2i sen.t=2/u

(6)

Deducimos que jw 1j D 2jsen.t=2/j. Supondremos en lo que sigue que w ¤ 1. Observa que w 1 es producto de 3 números: el número i , cuyo argumento principal es =2, el número u, cuyo argumento principal es t=2 y el número 2 sen.t=2/ cuyo argumento principal es 0 cuando sen.t=2/ > 0, y  cuando sen.t=2/ < 0. Un argumento de w 1 será =2 C t=2 C arg.sen.t=2//. Observa que  < t 6  y t ¤ 0. Distinguiremos dos casos:  t t C C D ÷ 2 2 2
sen.t=2/ C i cos.t=2/

0 < t 6 ÷ sen.t=2/ > 0÷ arg.w ÷w

1 D 2 sen.t=2/

1/ D

 < t < 0÷ sen.t=2/ < 0÷ arg.w ÷w

1 D 2 sen.t=2/ sen.t=2/

1/ D

i cos.t=2/

 t C 2 2

D

t



2

÷




Fíjate en que si en (6) hacemos el producto i u y distinguimos los casos sen.t=2/ > 0 y sen.t=2/ < 0, obtenemos las mismas expresiones para w 1. © 19. Sea x un número real que no es múltiplo entero de 2. Prueba las igualdades   nC1 x  n  sen 2 x  a) 1 C cos x C cos 2x C


C cos nx D cos x 2 sen 2   nC1 x  n  sen 2 x  b) sen x C sen 2x C


C sen nx D sen x 2 sen 2

Solución. Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, podemos calcular A C iB haciendo uso de la fórmula de De Moivre. Solución. Pongamos w Dcos x Ci sen x; u Dcos.x=2/Ci sen.x=2/. Tenemos que w ¤1 porque x∉2Z. w nC1 1 w nC1 1 D (por (6)) D w 1 2i sen.x=2/u

Teniendo en cuenta que w nC1 D cos .n C 1/x C i sen .n C 1/x es un número complejo de

módulo 1 y que unC1 D cos .n C 1/x=2 C i sen .n C 1/x=2 , podemos usar la igualdad (6) para obtener que:
w nC1 1 D 2i sen .n C 1/x=2 unC1 A C iB D 1 C w C w 2 C w 3 C


C w n D

Deducimos que

A C iB D unC1



nC1 x sen 2 x sen 2





nC1      sen x nC1 nC1 2 x  D cos x C i sen x 2 2 sen 2

Igualando partes real e imaginaria, se obtienen las dos igualdades del enunciado.

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z a es z b real si, y sólo si, z está en la recta que pasa por a y por b; y es real negativo si, y sólo si, z está en el segmento que une a con b.

20. Dados dos números complejos distintos a; b 2 C, justifica que para z ¤ b el número

Solución. Sea t 2 R, t ¤ 1. Tenemos que z z

a a bt t Dt ”zD DaC .a b 1 t 1 t

b/

La recta que pasa por a y b tiene la ecuación paramétrica z D a C .a b/, con  2 R, por lo z a que la igualdad anterior nos dice que es real si, y sólo si, z está en dicha recta. z b Si t < 0, la igualdad anterior puede escribirse, cambiando t por s, en la forma z z

a a C bs s 1 D s”zD D bC a b 1Cs 1Cs 1Cs s Lo que nos dice que z es de la forma b C .1 /a con 0 <  D < 1 pero esos son 1Cs justamente los puntos del segmento que une a con b (excluidos los extremos). 21. a) Sea jz1 j D jz2 j D jz3 j D 1. Prueba que z1 , z2 , z3 son vértices de un triángulo equilátero si, y sólo si, z1 C z2 C z3 D 0. b) Deduce de lo anterior que si el baricentro y el circuncentro de un triángulo coinciden, dicho triángulo debe ser equilátero. Solución. a) Si z1 , z2 , z3 son vértices de un triángulo equilátero, entonces cada uno debe estar girado un ángulo de =3 radianes respecto de otro. Sabemos que multiplicar por un complejo, u, de módulo 1 es un giro de amplitud igual a arg.u/. Definamos u D cos.=3/ C i sen.=3/. Los tres vértices los podemos escribir como z1 , z1 u, z2 u2 y, por tanto: z1 C z2 C z3 D z.1 C u C u2 / D z

u3 1 D0 u 1

Supongamos ahora que jz1 j D jz2 j D jz3 j D 1, y que z1 C z2 C z3 D 0. Para probar que dichos números son vértices de un triángulo equilátero, lo que vamos a hacer es comprobar que son las raíces cúbicas de un número complejo. Es decir, se trata de probar que hay un número ˛ tal que z1 , z2 y z3 son las raíces de la ecuación polinómica z 3 ˛ D 0. Para esto es necesario y suficiente que el producto .z z1 /.z z2 /.z z3 / puede escribirse en la forma z 3 ˛. Tenemos: .z

z1 /.z

z2 /.z

3

z3 / D z 3

D z C .z1 z2 C z1 z3 C z2 z3 /z

.z1 C z2 C z3 /z 2 C .z1 z2 C z1 z3 C z2 z3 /z

z1 z2 z3 D

z1 z2 z3

Poniendo ˛ D z1 z2 z3 , lo que hay que probar es que z1 z2 C z1 z3 C z2 z3 D 0. Todavía no hemos usado la hipótesis de que jz1 j D jz2 j D jz3 j D 1. Vamos a usarla ahora para intentar sacar factor común en la suma z1 z2 C z1 z3 C z2 z3 D 0 la expresión z1 C z2 C z3 . Tenemos que: z1 z2 C z1 z3 C z2 z3 D z3 z3 z1 z2 C z2 z2 z1 z3 C z1 z1 z2 z3 D .z1 C z2 C z3 /z1 z2 z3 D 0 Pues z1 C z2 C z3 D z1 C z2 C z3 D 0:

El apartado b) se deduce fácilmente de a) siempre que sepas lo que es el baricentro y el circuncentro de un triángulo. © 22. Si 0 6 arg w 1 2 Im.zw/.

arg z < , prueba que el área del triángulo de vértices 0, z y w viene dada por

Solución. El área de todo triángulo es la mitad de la base por la altura. En la figura (2) se ha h tomado como base el vector z con longitud jzj y la altura es h. Observa que sen.' #/ D . jwj Por tanto 1 1 área D jzjh D jzjjwj sen.' #/ 2 2 Dpto. de Análisis Matemático

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w

h

' z # Figura 2: Área de un triángulo Esto ya deberías saberlo: el área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo que forman. Pongamos z D x C iy, w D u C i v. Como # D arg.z/ y ' D arg.w/, tenemos que 1 1 área D jzjjwj sen.' #/ D jzjjwj sen.'/ cos.#/ 2 2   1 v x u y 1 D jzjjwj D .vx 2 jwj jzj jwj jzj 2


cos.'/ sen.#/ D uy/ D

1 Im.zw/ 2

©



23. Estudia, para z 2 C y n 2 N, las igualdades:
p
log.z/ a) log ez D z I b/ exp.log.z// D z I c/ log n z D I d/ log.z n / D n log.z/: n

Solución. a) Es evidente que z es un logaritmo de ez y será el logaritmo principal si, y sólo si,  < Im z 6 . En consecuencia:
log ez D z ”  < Im z 6 

b) Los logaritmos de z se definen como los números cuya exponencial es z, luego, en particular, exp.log.z// D z cualquiera sea z 2 C.

c)

ˇp ˇ p
p
logjzj arg z Ci log n z D log ˇ n z ˇ C i arg n z D n n log.z/ logjzj arg z D Ci n n n La igualdad en c) se verifica siempre. d) log.z n / n log.z/

D log.jz n j/ C i arg.z n / D n log.jzj/ C i arg.z n / Dn log.jzj/ C i n arg.z/

La igualdad en d) equivale a que arg.z n / D n arg.z/. Como n arg.z/ es un argumento de z n , para que sea el argumento principal deberá ser  < n arg.z/ 6 . ©
c 24. Estudia condiciones para que ab D abc . Solución. Tenemos que

ab Dpto. de Análisis Matemático


c

D exp.c log.ab //I

abc D exp.bc log a/ Universidad de Granada

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Por otra parte

exp.c log.ab // D exp c log.eb log a / D exp c.b log a C i 2k/ D exp.bc log a C i c2k/

Donde k es un entero que hay que elegir por la condición de que  < Im.b log a C i 2k/ 6 

Concluimos que si k D 0, lo que ocurre solamente cuando  < Im.b log a/ 6 , entonces la igualdad del enunciado se cumple para todo c. En otro caso, la igualdad del enunciado se cumple solamente cuando c es un número entero. © 25. Con una interpretación adecuada de la suma justifica que: a) Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/;

b) Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/

Solución. La forma razonable de interpretar la igualdad Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/, es que sumando cada uno de los elementos de Arg.z/ con cada uno de los elementos de Arg.w/ obtenemos todos los elementos de Arg.zw/. Que efectivamente esto es así es fácil de probar. Sean s 2 Arg.z/ y t 2 Arg.w/. Entonces, sabemos que s Ct es un argumento de zw, esto es s Ct 2 Arg.zw/. Luego hemos probado la inclusión Arg.z/CArg.w/  Arg.zw/. Recíprocamente, sea ' 2 Arg.zw/. Elijamos cualquier elemento s 2 Arg.z/ y pongamos t D ' s. Entonces t es un argumento de zw D w, esto es, t 2 Arg.w/; luego ' D s C t 2 Arg.z/ C Arg.w/. Lo que prueba la otra z inclusión Arg.zw/  Arg.z/ C Arg.w/. Análogamente, La forma razonable de interpretar la igualdad Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/, es que sumando cada uno de los elementos de Log.z/ con cada uno de los elementos de Log.w/ obtenemos todos los elementos de Log.zw/. Teniendo en cuenta que Log.z/ D logjzj C i Arg.z/, la igualdad b) se deduce de a).

Observación. Quien haya estudiado el concepto de grupo cociente, puede interpretar la suma Arg.z/ C Arg.w/ en el grupo cociente del grupo aditivo de los números reales respecto del subgrupo de los múltiplos enteros de 2, esto es, el grupo G D R=2Z. Si z es un complejo no nulo, se tiene que Arg.z/ 2 G y, por definición de suma en un grupo cociente, tenemos que Arg.z/ C Arg.w/ es la clase que contiene a arg.z/ C arg.w/ y, como arg.z/ C arg.w/ 2 Arg.zw/, obtenemos que Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/. © 26. Indica el error en los razonamientos siguientes: . z/2 D z 2 ; por tanto 2 Log. z/ D 2 Log.z/ y, por consiguiente, Log. z/ D Log.z/.

Solución. De la igualdad Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/, probada en el ejercicio anterior, se deduce que Log.z 2 / D Log.z/ C Log.z/. Es decir, que sumando de todas las formas posibles dos logaritmos de z obtenemos todos los logaritmos de z 2 . Pero eso es muy distinto a sumar cada logaritmo de z consigo mismo. Es decir, el conjunto 2 Log.z/ es solamente una parte del conjunto Log.z/ C Log.z/. ©

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