Ejercicios de Física

Cinemática Juan C. Moreno-Marín, Antonio Hernandez

D.F.I.S.T.S.

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

1.  Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas debajo de 20 km/h. Calcular: a)  ¿Cuál es su velocidad media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? b)  ¿Cuál es su velocidad media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas? c)  ¿Cuál es su velocidad media si emplea doble tiempo en las subidas que en las bajadas? Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

stotal ssubidas + sbajadas 2v v 2s = = = 1 2 = 8km / h a)  Como es v = s s v1 + v2 ttotal ttotal + v1 v2

stotal v1t + v2t v1 + v2 = = = 12.5km / h b)  En este caso es v = ttotal 2t 2

c)  Y ahora es

stotal v1 2t + v2t 2v1 + v2 v= = = = 10km / h ttotal 3t 3

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

2.  Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

2.  Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo. Tomamos como origen el punto de lanzamiento y sentido positivo hacia arriba: 1 2 ec gral: h = v0t + gt 2

−14.1 = 10t − 9.81t 2

Solución:

t = −0.96 s t = 3s

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

3.  Se lanza un cuerpo hacia arriba verticalmente con una velocidad de 98 m/s, desde el tejado de un edificio de 100 m de altura. Determinar: (a) La altura máxima que alcanza desde el suelo. (b) El tiempo cuando pasa por el lugar de lanzamiento. (c) La velocidad al llegar al suelo. (d) El tiempo total transcurrido hasta llegar al suelo.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

(a)

v = v0 + at

v = 98 − 9.8t ⎫ ⎫ ⎛ t0 = 0 ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ → y = 100 → ⎬ 1 1 2 ⎬ ⎜ 0 ⎟ 2 y = 100 + 98t − 9.8t ⎪ e = e0 + v0t + at ⎪ ⎜ v = 98 ⎟ ⎝ 0 ⎠ 2 ⎭ 2 ⎭ B Y A

98 0 = 98 − 9.8t → t = = 10s 9.8

100 m

C

En la altura máxima el cuerpo se para, v = 0

O

1 y = 100 + 98 ⋅10 − 9.8 ⋅102 = 590m → 2

Juan C. Moreno-Marín

h = 590 m

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

(b)

En el movimiento de caída las ecuaciones son: 1 2 ⎛ e0 = 100 ⎞ 1 e = e0 + v0t + at → ⎜ → 100 = 100 + 98 t − 9.8t 2 ⎟ 2 2 ⎝ v0 = 98 ⎠

→

⎧⎪ t = 0 → t ( 98 − 4.9t ) = 0 → ⎨ ⎪⎩ t = 20s B Y A

100 m

C

O

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

(c)

Al llegar al suelo es:

⎛ e = 100 ⎞ 1 1 2 e = e0 + v0t + at 2 → ⎜ 0 → − 100 = 100 + 98 t − 9.8 t ⎟ 2 2 ⎝ v0 = 98 ⎠ → t=

98 ± 982 + 4 ⋅ 4.9 ⋅ ( −100 ) 9.8

→

⎧⎪ t = −0.97 s = → ⎨ ⎪⎩ t = 20.97 s

B Y

v = v0 + at → v = 98 − 9.8 ⋅ 20.97 = −107.5m / s

A

( hacia abajo ) 100 m

C

v = −107.53 m s O

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

(d) El tiempo total es: ttotal = 20.97 s

B Y A

100 m

C

O

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

4.  Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 15 m/s. La piedra llega a una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de la torre. Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento, calcular (a) la posición y velocidad de la piedra al cabo de 1s y de 4s después de su salida. (b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida. (c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto? Considérese g = 10 m/s2

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

(a)

posición: Y

h

1 y = v0t − gt 2 ; 2

(t = 1s ) →

1 1 y1 = v0t1 − gt12 = 15 ⋅1 − 10 ⋅12 = 10m 2 2

1 1 1 y = v0t − gt 2 ; ( t = 4s ) → y2 = v0t2 − gt2 2 = 15 ⋅ 4 − 10 ⋅ 42 = −20m 2 2 2 (el signo – indica que la piedra está por debajo del origen) O

velocidad: v = v0 − gt ;

(t = 1s ) →

v1 = v0 − gt1 = 15 − 10 ⋅1 = 5 m s

v = v0 − gt ;

( t = 4s ) →

v2 = v0 − gt2 = 15 − 10 ⋅ 4 = −25 m s

(el signo – indica que la piedra está cayendo)

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

(b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida. Y

eliminando t :

h

v = v0 − gt

⎫ ⎪⎪ v0 − v → t = ⎬ 1 2 ⎪ g y = v0t − gt ⎪⎭ 2

⎛ v − v ⎞ 1 ⎛ v0 − v ⎞ → y = v0 ⎜ 0 ⎟ − g ⎜ ⎟ g ⎝ ⎠ 2 ⎝ g ⎠

O

v0 2 v 2 gy = − 2 2

→ v = v0 2 − 2 gy

→

( y = 8)

→

→ v = 152 − 2 ⋅10 ⋅ 8 = ±8.06 m s

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

2

Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA

(c) Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto? Y h

1 y = v0t − gt 2 → 2

( y = 0)

1 ⎪⎧ 0s 2 → 15t − 10 ⋅ t = 0 → t = ⎨ 2 ⎪⎩ 3s

O

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

5.  Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ley: v = t 3 + 4t 2 + 2 . Si x = 4m cuando t =2s, encontrar el valor de x cuando t =3s. Encontrar también su aceleración.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

5.  Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ley: v = t 3 + 4t 2 + 2 . Si x = 4m cuando t =2s, encontrar el valor de x cuando t =3s. Encontrar también su aceleración. dx dt

Siendo v =

x

t

x0

t0

→ dx = v ⋅ dt → x − x0 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ v ⋅ dt =

t0 4 4t03 t 4 4t 3 = ∫ ( t + 4t + 2 ) ⋅ dt = + + 2t − − − 2t0 t0 4 3 4 3 t

3

2

t0 4 4t03 t 4 4t 3 x = x0 + + + 2t − − − 2t0 4 3 4 3 Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

t0 4 4t03 t 4 4t 3 x = x0 + + + 2t − − − 2t0 4 3 4 3

Como es t0 = 2s y

t 4 4t 3 24 423 x0 = 4m → x ( t ) = 4 + + + 2t − − − 2⋅2 4 3 4 3

t 4 4t 3 44 x (t ) = + + 2t − 4 3 3

Por lo tanto es x ( t = 3s ) =

Juan C. Moreno-Marín

81 4 ⋅ 27 44 + + 2⋅3− = 47.6m 4 3 3

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento rectilíneo

t0 4 4t03 t 4 4t 3 x = x0 + + + 2t − − − 2t0 4 3 4 3

La aceleración del cuerpo es 3 2 dv d (t + 4t + 2 ) a= = = 3t 2 + 8t → a ( t = 3s ) = 27 + 24 = 51 m s 2 dt dt

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

6.  Un punto se mueve en el plano XY de tal manera que es vx = 4t 3 + 4t , vy = 4t. Si la posición es (1, 2) cuando es t=0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

6.  Un punto se mueve en el plano XY de tal manera que es vx = 4t 3 + 4t , vy = 4t. Si la posición es (1, 2) cuando es t=0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria. Posición: componente x

dx = 4t 3 + 4t → Siendo vx = dt

∫

x

x0

t

dx = ∫ ( 4t 3 + 4t ) dt t0

→ x = x0 + t 4 + 2t 2 − t0 4 − 2t0 2 Sustituyendo x0 = 1 cuando t = 0 s 2

→ x = 1 + t + 2t = (t + 1) 4

Juan C. Moreno-Marín

2

2

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos Posición: componente y

Siendo

dy vy = = 4t → dt →

∫

y y0

t

dy = ∫ 4t dt t0

y = y0 + 2t 2 − 2t0 2

Sustituyendo y0 = 2 cuando t = 0 s

→ y = 2 + 2t 2 = 2 (t 2 + 1)

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

Eliminando el tiempo se obtiene la ecuación de la trayectoria: 2 x = ( t 2 + 1) ⎫ 2 ⎪ y2 ⎛ y ⎞ ⎬ → x = ⎜ ⎟ = 4 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎪ y = 2 (t + 1)⎭

Juan C. Moreno-Marín

→

y2 = 4x ec. de la trayectoria

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

7.  Un móvil describe una trayectoria dada por las 1 2 ecuaciones x = pt e y = pt . Determinar: 2 (a) Velocidad y aceleración del móvil. (b) Componentes tangencial y normal de la aceleración. (c) Radio de curvatura.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

7.  Un móvil describe una trayectoria dada por las 1 2 ecuaciones x = pt e y = pt . Determinar: 2 (a) Velocidad y aceleración del móvil. (b) Componentes tangencial y normal de la aceleración. (c) Radio de curvatura. (a)

Luego

dx vx = = p; dt dy vy = = pt ; dt →

Juan C. Moreno-Marín

r r r v = pi + pt j

dvx ax = = 0; dt dv y ay = = p; dt →

r r a= pj

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

(b)

r d v dv aT = ≡ = dt dt

(

v = vx2 + v y2 = p 1 + t 2

)

=

pt 1+ t

2

;

a = ax2 + a y2 = 0 + p 2 = p; 2 N

2 T

a = a +a

Juan C. Moreno-Marín

2

2 T

→ aN = a − a =

p 2t 2 p − = 2 1+ t 2

p 1+ t

2

;

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

(c)

aN =

v2

ρ

=

p 1+ t

2

; → ρ=

p 2 (1 + t 2 ) p

1 + t = p (1 + t 2

2

)

3 2

;

El radio de curvatura ρ depende del tiempo.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

8. 

Encontrar la velocidad angular de la Tierra con respecto a su eje diametral. SOL

ω=

θ

θ

P’

→ ω=

P’’ TIERRA P

dθ dt

uniforme → ω =

θ t

⎛ θ = 2π rad ⎞ → ⎜ ⎟ → t = 1 dia = 86400 s ⎝ ⎠

2π = 7.27 ⋅10−5 rad / s 86400

E’ pero este resultado no es completamente correcto.

E

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular Pero este resultado no es completamente correcto. Cuando la Tierra da una vuelta completa sobre su eje, está en P’ y para completar un dia hay que girar de P’ a P’’, falta todavía un ángulo θ.



En un dia recorrerá un ángulo 2π+θ = 2π + (2π/365), SOL

2π 2π + θ 365 = ω= = 86400 86400 2π +

θ

θ

P’

= 7.292 ⋅10−5 rad / s

P’’ TIERRA P

E’

E

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

9. 

Un volante gira en torno a su eje a razón de 3000 r.p.m. Un freno lo para en 20s.

(a)  Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene. (b)  Supuesto que el volante tiene 20 cm de diámetro, calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

(a)  Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene. La velocidad angular es: ω = 3000 ⋅

2π rad = 100π rad s 60 s

Y la aceleración es:

ω f = ω0 − α t → α =

ω0 − ω f t

100π − 0 = = 5π rad s 2 20 s

El desplazamiento angular resulta: 1 1 ϕ = ϕ0 + ω0t − α t 2 = 100π ⋅ 20 − 5π ⋅ 202 = 1000π rad 2 2

n=

ϕ 1000π = = 500 vueltas 2π 2π

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

(b)  calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto. El desplazamiento angular es:

ϕ = n ⋅ 2π = 100 ⋅ 2π = 200π rad

Calculamos el tiempo transcurrido:

1 2 1 ϕ = ϕ0 + ω0t − α t = 100π ⋅ t − 5π ⋅ t 2 = 200π rad 2 2 ⎧⎪37.86s → 2.5t − 100t + 200 = 0 → t = ⎨ ⎪⎩ 2.14s 2

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

(b)  calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto. La aceleración tangencial es: aT = α ⋅ R = 5π ⋅ 0.1 = 0.5π m s

2

La aceleración normal es:

v2 2 aN = = ω100 2 ⋅ R = (100π − 5π ⋅ 2.14 ) ⋅ 0.1 = 797.5π 2 m s 2 R Y la aceleración resultante:

a = aT 2 + aN 2 = 0.25π 2 + 797.52 π 4 = 2505.4π m s 2 Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

10.  Un

punto material describe uniformemente una trayectoria circular de 1m de radio, dando 30 vueltas cada minuto. Calcular el periodo, la frecuencia, la velocidad angular, la velocidad tangencial, y la aceleración centrípeta.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

11.  Un vehículo parte del reposo en una via circular de 400m de radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50s. de iniciar su marcha alcanza la velocidad de 72km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar: a) 

Aceleración tangencial en la primera etapa.

b) 

Aceleración normal, aceleración total y longitud recorrida en ese tiempo (50s.)

c) 

Velocidad angular media y velocidad angular a los 50s.

d) 

Tiempo que tardará en dar 100 vueltas al circuito.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

12.  Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s. La barca tiene que dirigirse a un punto A para que al ser arrastada por el agua llegue al punto B (a 60 m).

O

C

α

d

A

e2 e1

B Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

12.  Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s. La distancia A-B es:

e1 = v ⋅ t = 3 m s ⋅15s = 45m

La distancia complementaria es:

Y el ángulo con la horizontal: Juan C. Moreno-Marín

e2 = 60m − 45m = 15m ⎛ e2 ⎞ −1 ⎛ 15 ⎞ = tg ⎜ ⎟ = 30º ⎟ ⎝ 26 ⎠ ⎝ OC ⎠

α = tg −1 ⎜

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

La distancia OA será:

d=

O v

C 30º

e2 15 15 = = = 30m senα sen30º 1 2

v0 vT

A B

Juan C. Moreno-Marín

60m Y por lo tanto la velocidad de la barca:

d 30m v= = = 2m s t 15s

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

De otra forma: uur r v0 = v0 cos α i + v0 senα r r v =v j

r j ⎫⎪ uur uur r r r α i + ( v0 senα + v ) j ⎬ vT = v0 + v = v140 cos 2 43 14243 ⎪⎭ vx vy

Integrando, y teniendo en cuenta que ( x0 , y0 ) = ( 0,0 ) : x = v0 cos α ⋅ t

⎫⎪ ⎬ y = ( v0 senα + v ) ⋅ t ⎪⎭

v0 =

x cos α ⋅ t

→

Juan C. Moreno-Marín

v = 3m s ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x = 26 m , y = 60 m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t = 15s ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ y = ⎜ senα + v ⎟ ⋅ t ⎝ cos α ⋅ t ⎠ Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

v0 =

x cos α ⋅ t

→

⎛ x ⎞ y = ⎜ senα + v ⎟ ⋅ t ⎝ cos α ⋅ t ⎠

y = x ⋅ tgα + vt → tgα = → α = 30º ; v0 =

Juan C. Moreno-Marín

y − vt 60 − 3 ⋅15 15 = = x 26 26

x 26 = = 2m s cos 30º ⋅t cos 30º ⋅15

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

13.  Un cañón dispara una bala con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal. a)  Encontrar la velocidad y la posición de la bala después de 20s. b)  Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra. Y v0 O

Juan C. Moreno-Marín

α

X

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

13.  Un cañón dispara una bala con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal. a)  Encontrar la velocidad y la posición de la bala después de 20s. b)  Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra. a)

v0 = 200 m s ; α = 40º ;

Y v0 O

α

Juan C. Moreno-Marín

X

⎧⎪v0 X = 200 cos 40º = 153.2 m s ; ⎨ ⎪⎩v0Y = 200sin 40º = 128.6 m s

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

⎧⎪vX = v0 X = 200 cos 40º = 153.2 m s ; x = 153.2 ⋅ t → ⎨ 2 y = 128.6 ⋅ t − 4.9 ⋅ t ⎪⎩vY = v0Y − gt = 128.6 − 9.81⋅ t Después de t = 20s, la velocidad y la posición de la bala son:

⎧v X (t = 20) = 153.2 m s ; ⎪ ⎨ ⎪vY (t = 20) = 128.6 − 9.81 ⋅ 20 = −67.4 m s ; ⎩ x(t = 20) = 153.2 ⋅ 20 = 3064 m ; y(t = 20) = 128.6 ⋅ 20 − 4.9 ⋅ 20 2 = 612 m ; Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

r v = (153.2, −67.4 ) m s

r r = ( 3064, 612 ) m

b) Cuando la bala vuelve a tierra, es y=0:

Tiempo de vuelo : y = 0 = 128.6 ⋅ t − 4.9 ⋅ t

2

128.6 → t= = 26.24 s 4.9

Alcance : x = 153.2 ⋅ 26.24 = 4020 m

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

14.  Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro?

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

14.  Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro? Y

P(15,3.5)

v0 O

3,5 m

α =45º

1,5 m

5m

X

15 m

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

1 1 ⎧ 2 2 y = v ⋅ t − g ⋅ t = v sen α ⋅ t − g ⋅ t 0Y 0 ⎪ 2 2 ⎨ ⎪ x = v ⋅ t = v cos α ⋅ t 0X 0 ⎩ La piedra tiene que pasar por el punto P(15,3.5)

1 ⎧ 2 2 3.5 = v ⋅ t − g ⋅ t = v sen 45º ⋅ t − 4.9 ⋅ t 0Y 0 ⎪ 2 ⎨ ⎪15 = v ⋅ t = v cos 45º ⋅t 0X 0 ⎩

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

15 v0 cos 45º

15 = v0 cos 45º ⋅t → t =

3.5 = v0 sen 45º ⋅t − 4.9 ⋅ t 2 = → v0 2 =

2205 → 11.5

Juan C. Moreno-Marín

v0 sen 45º ⋅15

⎛ ⎞ 15 − 4.9 ⋅ ⎜ ⎟ v cos 45º v0 cos 45º ⎝ 0 ⎠

2

→

v0 = 13.8 m s

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

15.  Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué velocidad debería llevar el mas bajo?

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

15.  Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué velocidad debería llevar el mas bajo? v10

X v10=v

4y

v20 y Y

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

Ecuaciones del avión 1: v1x = v10

→ x = v10 ⋅ t = v ⋅ t ⎫ 1 x2 ⎪ ⎬ → 4 y = g ⋅ 2 1 2 2 v v1 y = g ⋅ t → 4 y = g ⋅ t ⎪ 2 ⎭

Ecuaciones del avión 2: v2 x = v20

→ x = v20 ⋅ t ʹ′

⎫ 1 x2 ⎪ ⎬ → y = g ⋅ 2 1 2 2 v20 v2 y = g ⋅ t ʹ′ → y = g ⋅ t ʹ′ ⎪ 2 ⎭

v10

X v10=v

4y

v20 y

Juan C. Moreno-Marín

Y Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

1 x2 g⋅ 2 4y = 2 v2 1 x y g⋅ 2 v20 2

v20 2 → 4= 2 v

→ v20 2 = 4v 2

→

→

v20 = 2v

v10

X v10=v

4y

v20 y

Juan C. Moreno-Marín

Y Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

16.  Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 720 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a)  Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b)  Distancia horizontal recorrida por la bomba. c)  Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

16.  Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 720 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a)  Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b)  Distancia horizontal recorrida por la bomba. c)  Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión. Y O

v0

A

A1

X

h

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante B

Cinemática – Composición de movimientos

a) La velocidad de la bomba al llegar al suelo es: v = vx2 + v y2

720000 ⎡ ⎤ v = = 200 ⎢ x ⎥ → v = 2002 + 2 gh = 2002 + 2 ⋅ 9.8 ⋅ 7840 = 440 m s 3600 ⎢ ⎥ v y = 2 gh ⎢⎣ ⎥⎦

Y O

v0

A

A1

X

h

B

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

b) Las ecuaciones del movimiento son: x = 200 ⋅ t

⎫ 2y 2 ⋅ 7840 ⎪ → t = = = 40s ⎬ 1 9.8 9.8 y = 9.8 ⋅ t 2 ⎪ 2 ⎭

x = 200 ⋅ t = 200 ⋅ 40 = 8000 m

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

c) En el momento de la explosión el avión se encuentra en el punto A, pero cuando reciba el sonido de la explosión se encontrará en A1: 2

BA1 − AA1 = AB

Y O

v0

2

A

A1

X

2

( vsonido = 340 m s ) → 3402 t 2 − 2002 t 2 = 78402

h

t= B

Juan C. Moreno-Marín

7840 2

340 − 200

2

= 28.5s

T = 40 s + 28.5s = 68.5s Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

17.  La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor.

v0

a

Y

O Juan C. Moreno-Marín

X Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

17.  La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor.

La posición del suelo del ascensor es: y = v0t +

1 2 at 2

1 2 La posición de la lámpara es: yʹ′ = v0t − gt 2

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

Choca con el suelo cuando el suelo recorre 3 m más que la lámpara: 1 1 v0t + at 2 = v0t − gt 2 + 3 2 2 ⎛ 3 ⎞ 6 → t 2 = 2 ⎜ → t = = 0.745 s ⎟ 10.8 ⎝ a + g ⎠

v0

a

Y

O Juan C. Moreno-Marín

X Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

18.  Desde un plano inclinado con un ángulo β se lanza una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra?

v0

β Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

18.  Desde un plano inclinado son un ángulo β se lanza una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra? g senβ

Y

β

g cosβ g

v0

(0,0)

Sobre la piedra actúa la aceleración de la gravedad g

R X

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Composición de movimientos

( ejeX ) ( ejeY )

1 g senβ ⋅ t 2 v X = g senβ ⋅ t ⎫ ⎪ 2 → ⎬ vY = v0 − g cos β ⋅ t ⎪⎭ y = v ⋅ t − 1 g cos β ⋅ t 2 0 2 x=

La piedra vuelve al plano inclinado cuando es 1 0 = v0 ⋅ t − g cos β ⋅ t 2 2

→ t= 2

2v0 g cos β

⎛ 2v0 ⎞ 2v0 2 senβ 1 → x = g senβ ⋅ ⎜ ⎟ = 2 g cos β g cos 2 β ⎝ ⎠

Juan C. Moreno-Marín

y=0

→ Distancia del punto de lanzamiento

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

19. 

La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman d y el rayo luminoso es θ.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

19. 

La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman la normal d y el rayo luminoso es θ. B

x ω F

θ

A

FARO

d Juan C. Moreno-Marín

Playa

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

Cuando el faro ha girado un ángulo θ, el punto luminoso ha recorrido sobre la playa la distancia x : x

tgθ =

d

→ x = d tgθ

La velocidad del punto será:

v=

d ( tgθ ) d ( tgθ ) dθ dx d ( d ⋅ tgθ ) 1 ω ⋅d = =d⋅ =d⋅ =d⋅ ω = dt dt dt dθ dt cos 2 θ cos 2 θ

La aceleración será:

dv d ⎛ ω ⋅ d a= = ⎜ dt dt ⎝ cos 2 θ

Juan C. Moreno-Marín

d (1 cos 2 θ ) d (1 cos 2 θ ) dθ ω 2 ⋅ d ⋅ 2senθ ⎞ = ω⋅d ⋅ = ⎟ = ω ⋅ d ⋅ dt d θ dt cos3 θ ⎠

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

20. 

Determinar la función horaria de un móvil que recorre una trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial.

Juan C. Moreno-Marín

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

20. 

Determinar la función horaria de un móvil que recorre una trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial. Velocidad y aceleración iguales: aT = v →

dv =v ↔ dt

dv ds =v → ds dt

dv v=v ds

dv = 1 → dv = ds → v = s + k , k = cte ds ds = s+k dt

→

Juan C. Moreno-Marín

ds ds = dt → t = ∫ = ln ( s + k ) − ln ( c ) , c = cte s+k s+k

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

t + ln ( c ) = ln ( s + k ) → ln (c ⋅ et ) = ln ( s + k ) → c ⋅ et = s + k

(

)

Siendo s = 0 cuando t = 0, resulta: → c = k → s = k et − 1 Y como es

v = s + k → v = k ⋅ et

La aceleración unitaria permite obtener el valor de la cte k: 2

a 2 = aT 2 + aN 2

1= k2 +

4

k R2

2 ⎛ dv ⎞ ⎛ v ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ R ⎠

2

2

⎡ R → ec bicuadr → k = ⎢ ⎢⎣ 2

Juan C. Moreno-Marín

dv = k; dt

→ en t = 0 → v = k ; 1

⎛ ⎞ ⎤ 4 ⎜⎜ 1 + 2 − 1⎟⎟ ⎥ R ⎝ ⎠ ⎥⎦

2

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante

Cinemática – Movimiento circular

La función horaria s(t) obtenida es:

2

⎡ R t s = s ( t ) = k ( e − 1) = ⎢ ⎣⎢ 2

Juan C. Moreno-Marín

1

⎛ ⎞ ⎤ 4 ⎜⎜ 1 + 2 − 1⎟⎟ ⎥ R ⎝ ⎠ ⎥⎦

2

(e − 1) t

Escuela Politécnica - Universidad de Alicante