EJERCICIOS DE MATRICES

 0 −1 2  1  5     1. Resuelva la siguiente ecuación matricial: AX − 2 B = C , siendo A = 1 0 1 , B = − 2 , C =  3 .        1 1 0  4  − 1 2. Determine la matriz X de orden 2x2 tal que:

1 X ⋅  2

3   0 1  − 1 0  − 2  =  . 5   1 1   3 − 1 

 1 x − 1   1 . 3. Se considera la matriz A =  1 1 x x 0   a) Calcule los valores de x para los que no existe la inversa de A . b)Para x = 3 , calcule, si es posible, A −1 .

4. Sea la matriz

 1 0 − 1   A =  0 m − 6  1 1 − m  

a) Determine para qué valores del parámetro m existe A−1 . b)Calcule A−1 para m = 2

1 0 0   1     5. Dada la matriz A = 1 1 0  , determine si existe la matriz X tal que A.X =  2  1 0 1  3      3 1 1 z        x 6. Sean las matrices A =  1 3  , B =   , C =  1  , D =  z  .  y 1 0  0 z       a) Calcular x, y, z sabiendo que A. B = 2.C — D

 2 −1   0  , B =   3 − 2  −1

7. Sean las matrices A = 

1 2  −1 2 5   , C =  . 1 − 1  3 4 −1

a) Realice, cuando sea posible, los siguientes productos de matrices: A·B, B·C, C·A.

b) Resuelva la ecuación matricial: AX + B = C .

1 − 1  2   8. Sea la matriz A =  0 m−6 3   m +1 2 0   a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) Haciendo m = 4 , resuelva la ecuación matricial X ⋅ A = ( 3 1 1) .  1 − 1  1 − 1  , B =   9. Sean las matrices A =  2 0  1 2  −1

a) Calcule ( At ⋅ B − 2 ⋅ I 2 ) . Donde I 2 es la matriz unidad de orden 2x2 y At es la traspuesta de A.

1 2  4 3  , N =  10. Sean las matrices M =  .  2 1 3 4 a) Calcule la matriz A = M ⋅ M t − 5 ⋅ M donde M t es la traspuesta de M . b) Calcule la matriz B = M −1 y resuelva la ecuación N + X ⋅ M = M ⋅ B donde X 2×2 . x  2 11. Sean las matrices A =   0 x + 2

a) Halle los valores de x para los que se verifica A2 = 2 ⋅ A. b) Para x = −1, halle A−1 . Compruebe el resultado calculando A ⋅ A−1.

1 12. Resuelva la ecuación: 4

−1

3 2+ x 1

−5 x =0 −3

m   3  13. Sea la matriz A =   1 − m m + 1 a) Halle los valores de m para los que A tiene inversa. b)Haciendo m = 0 , resuelva la ecuación matricial A ⋅ X ⋅ A = I 2 , donde I 2 es la matriz unidad de orden

2 × 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

 1 3  1 5   −1 7  14. Determine la matriz X que verifica la igualdad: X ⋅   − 2⋅ =   0 1  −1 2   1 −1   −1 0   0 −1 2   −1 2 −1 15. Sean las matrices A =  , B =   y C =   1 2  1 −1 0   0 1 −1 a) Calcule ( A − I 2 ) ⋅ B, siendo I 2 la matriz identidad de orden 2. b)Obtenga la matriz B t (matriz traspuesta de B) y calcule, si es posible, B t ⋅ A. c) Calcule la matriz X que verifica AX + B = C .

 1    16. De una matriz A se sabe que su segunda fila es (− 1 2 ) y su segunda columna es  2 .  − 3    1 1 1 0 0      ⋅ A =    .  2 0 1  0 − 1

a) Halle los restantes elementos de A sabiendo que  

 1 −2   2 −1 0  2 1   17. Sean las matrices A =  , B =  , C =  0 2  0 2 − 1 2 2      −2 0    a) Calcule la matriz P que verifica B ⋅ P − A = C t , donde C t indica la traspuesta de C. b)Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A ⋅ M ⋅ C . c) Determine la dimensión de la matriz N para que C t ⋅ N sea una matriz cuadrada.

1 0    18. Dada la matriz A =  , halle A 2004 .  0 − 1  

 1 −1   −2 −1 1    19. Sean las matrices A =  , B = 2 0 .  −1 0 1   −2 − 1    a) Calcule la matriz C que verifica C = B ⋅ A − At ⋅ B t

 4  2

b)Halle la matriz X que verifique A ⋅ B ⋅ X =  

0 1   2 1 3   20. Sean las matrices A =   , B =  1 −2   1 −2 0  1 1    a) De las siguientes operaciones, algunas no se pueden realizar; razone por qué. b) Efectúe las que se pueden realizar: A + B , At + B , A ⋅ B , A ⋅ B t .

 x −y

21. Sean las matrices A = 

y  −1 2  .  y B =  x  1 0

a) Calcule, si existe la matriz inversa de B. b)Si A ⋅ B = B ⋅ A , A + At = 3 ⋅ I 2 calcule x e y .

 2 −1 1 0   .  y B =   −1 0  1 2 

22. Sean las matrices A =  a) Calcule, A−1 ⋅ (2 B + 3I 2 )

b)Determine la matriz X para X ⋅ A = A + I 2

 2 −1   1 −2  −1 t , B =  . Calcule A ⋅ ( B − A ) . − 2 0 2 4    

23. Sean las matrices A = 

1 0 0 1  − 2  1   − 2           24. Sean las matrices A =  1 1 0  , B =  2  , C =  − 5  , D =  2  y E =  − 5  . 3 0 1 1  2   − 5  5            a) Calcule los valores de los números reales x, y, z para que se verifique la siguiente igualdad entre matrices E − x ⋅ A ⋅ B = y ⋅ C + z ⋅ D

 2 2  , B = (1 − 1) . Explique qué dimensión debe tener la matriz X para  −5 −4 

25. Sean las matrices A = 

que tenga sentido la ecuación matricial X ⋅ A + 2 B = (1 −1) . Resuelva dicha ecuación.

 1 3  2 −1   y B= .  0 1 0 x 

26. Sean las matrices A = 

a) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad A ⋅ B = B ⋅ A b)Obtenga la matriz C tal que At ⋅ C = I 2

x 1

1   0 1  y B= . x + 1  1 1 a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A . b)Igualmente para que A − I 2 = B −1 .

27. Sean las matrices A = 

c) Determine x para que A ⋅ B = I 2 .

 2 1 1 0   y B=  , se pide :  0 1 1 2  a) Determinar la matriz C = 2 A − B 2 b)Calcular una matriz X tal que A ⋅ X = B 1 0 m   29. Dada la matriz A : A =  m 1 1   1 1 −1   28. Dadas las matrices A = 

a) Hallar los valores de m para los cuales la matriz A no tiene inversa .

2 1 1 0  3 −1  ⋅ X +   = 2  1 2 3 4  0 −1  a 1 31. Sea a un parámetro real y sea la matriz M ( a ) =   1 a 30. Encontrar la matriz X que verifique : 

a) Halle los valores de a para los que M ( a ) tiene inversa. b)Supongamos que a ≠ 1 y a ≠ −1 . Halle los valores de a para los que M ( a ) es igual a su inversa . c) Calcule una matriz cuadrada A , tal que M ( 0 ) ⋅ A = A ¿Es la única solución?

1 x x    32. Determine los valores de x para los que la matriz A tiene inversa. A = 1 2 2  1 2 1    a) Determine la inversa de la matriz A en el caso x = 3 1 0    b)Calcule A ⋅ M , siendo M la matriz: M = 1 1   0 1    a11 a12  i = 1, 2 i+ j  , donde aij = ( −1) ( 2i + j ) con j = 1, 2  a21 a22 

33. Determine los elementos de una matriz: A =  a) Calcule la matriz inversa de A

1 − 1  O 1  y B=  2 3   2 1 a) Calcular las inversas de las matrices A y B b)Calcular la inversa de la matriz A + B −1 c) Comprobar si es cierta la igualdad ( A + B ) = A−1 + B −1

34. Dadas las matrices A = 

EJERCICIOS RESUELTOS  1 3  0 1 −1 0   , B =   , C =    2 5  1 1  3 − 1

2. Resuelve la ecuación matricial X ⋅ A − 2 ⋅ B = C ,donde A = 

Solución ( por sistema de ecuaciones) a

Llamamos a la matriz incógnita X =  c

b  , sustituyendo en la ecuación d 

 a b   1 3  0 1  −1 0  →  a + 2b   ⋅  − 2⋅ =   c + 2d  c d   2 5  1 1  3 −1

3a + 5b   0 2   −1 0  − = → 3c + 5d   2 2   3 −1

Operando e igualando las matrices obtenemos:

a + 2b − 0 = −1 3a + 5b − 2 = 0  9 −5   → resolviendo a = 9 , b = −5 , c = −23 , d = 14 → X =     −23 14  c + 2d − 2 = 3 3c + 5d − 2 = −1 Solución ( despejando X mediante la inversa) Despejamos X ⋅ A = C + 2 ⋅ B . Comprobamos que existe A −1 , porque A = por A −1 a la derecha de ambos miembros: X ⋅ A ⋅ A−1 = (C + 2 ⋅ B ) ⋅ A−1 Como A ⋅ A−1 = I , obtenemos X = ( C + 2 ⋅ B ) ⋅ A−1

−5

Calculamos A −1 =   2

3  y realizamos las operaciones con matrices: − 1

 −1 0   0 1   −5 3   9 −5  X =   + 2.   . =   1 1   2 −1  −23 14   3 −1

1 3 2 5

= −1 ≠ 0 . Multiplicamos