Ejercicios de números reales Ejercicio nº 1.Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

−3

2, 7

3 7

4

3

7

9

1, 020020002. ..

Ejercicio nº 2.Considera los siguientes números:

−

3 2

2 3

3

1, 5

8

3

2

2

2, 131331333. ..

Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales. Ejercicio nº 3.Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:

23 13

8 4

−9

3

15

5

2, 3

2, 838383...

Ejercicio nº 4.Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

 5, 7

3 8

− 2, 35

14 7

−4

4

3

8

Ejercicio nº 5.Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:

2, 87

− 15

3

16

2

2, 333...

−1 3

10 5

Potencias de exponente fraccionario Ejercicio nº 1.Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:

a)

6

3

x4 ⋅3 x2

b)

a5 a

Ejercicio nº 2.Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

a)

3

a ⋅ a7

b)

5

23 :

2

Ejercicio nº 3.Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:

a)

5

x2 ⋅ 3 x2

4

b)

53 5

Ejercicio nº 4.Simplifica, expresando previamente los radicales en forma de potencia:

a)

4

3 ⋅ 34

a3

b) 3

a2

Ejercicio nº 5.Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:

a)

3

a2 ⋅

a

b)

4

x5 :

x

Intervalos y entornos: Ejercicio nº 1.Expresa en forma de intervalo los números que verifican: x − 4 ≤ 2

Ejercicio nº 2.Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta desigualdad: x − 5 ≤ 2

Ejercicio nº 3.Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad: x + 1≤ 4 Ejercicio nº 4.Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen: x + 2 ≥ 3

Ejercicio nº 5.Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad: x − 2≥ 5

Operaciones con radicales Ejercicio nº 1.Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a)

84 45

21 15

b)

80 − 3 45

c)

6+

5

6−

5

Ejercicio nº 2.Halla y simplifica al máximo:

a)

30 45

12 10

b)

147 − 2 243

2

c)

2 2 +1

Ejercicio nº 3.Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a)

18 ⋅

45 10

b)

98 − 2 18

6 +3 3

c)

4 3

Ejercicio nº 4.Efectúa y simplifica:

a)

2 27

3 2

48 − 2 12

b)

c)

2+

2

3+

2

Ejercicio nº 5.Calcula y simplifica:

a)

5 7

343 125

b)

45 − 3 125

c)

3+

2

3−

2

Notación científica Ejercicio nº 1.Los valores de A, B y C son:

A = 2, 28 ⋅ 107 Calcula :

B = 2 ⋅ 10 −4

C = 4, 3 ⋅ 105

A + A ⋅C B

Ejercicio nº 2.Calcula y expresa el resultado en notación científica:

3, 7 ⋅ 10 12 − 4, 2 ⋅ 10 11 + 28 ⋅ 10 10 1, 2 ⋅ 10 − 4 Ejercicio nº 3.a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros. b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por término medio? Exprésalo en kilómetros. Ejercicio nº 4.Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Ejercicio nº 5.Efectúa y expresa el resultado en notación científica:

( 2, 4 ⋅ 10 ) −5

2

+ 3, 1 ⋅ 10 −8

2 ⋅ 10 −12

Uso de la calculadora Ejercicio nº 1.Halla con la calculadora: 3

a) √2197 b) (4,31 · 108 ) ∶ (3,25 · 10−4 ) + 7 · 1011 Ejercicio nº 2.Opera con la calculadora:

a) 6 15 625

(

)(

b) 3, 28 ⋅ 109 + 4, 25 ⋅ 1015 : 2, 7 ⋅ 103

)

Ejercicio nº 3.Utilizando la calculadora, halla:

a) 5 16 807

b)

3, 4 ⋅ 10 −7 + 2, 8 ⋅ 10 −6 4, 2 ⋅ 10 − 4

Ejercicio nº 4.Halla, utilizando la calculadora, el valor de:

a) 7 16 384

b)

5, 25 ⋅ 109 + 2, 32 ⋅ 108 2, 5 ⋅ 10 −12

Ejercicio nº 5.Obtén el valor de las siguientes expresiones, con ayuda de la calculadora:

a) 4 20 736

b) 9, 2 ⋅ 10 −12 + 3, 8 ⋅ 10 −15 − 2, 64 ⋅ 10 −14

c) log 5 27 + ln 32

Soluciones Ejercicios de números reales Ejercicio nº 1.Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

−3

3 7

2, 7

4

3

7

9

1, 020020002. ..

Solución:

• Naturales:

4

• Enteros: − 3;

4

• Racionales: − 3;

2, 7;

3 ; 7

4

• Reales: Todos Ejercicio nº 2.Considera los siguientes números:

−

3 2

2 3

3

1, 5

8

3

2

2

2, 131331333. ..

Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.

Solución:

• Naturales:

3

• Enteros:

8

3

8

3 • Racionales: − ; 2 • Reales: Todos

2 ; 1, 5; 3

3

8

Ejercicio nº 3.Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:

23 13

8 4

−9

3

15

5

2, 3

2, 838383...

Solución:

• Naturales: • Enteros:

8 4

8 ; 4

−9

23 ; 13 • Reales: Todos

• Racionales:

8 ; 4

− 9;

2, 3;

2, 838383 ...

Ejercicio nº 4.Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

 5, 7

− 2, 35

3 8

−4

14 7

4

3

8

Solución:

• Naturales:

14 7

14 7  • Racionales: 5, 7; − 2, 35; • Enteros: − 4;

3 ; 8

− 4;

14 7

• Reales: Todos

Ejercicio nº 5.Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:

− 15

2, 87

3

16

2

2, 333...

Solución:

• Naturales:

16 ;

• Enteros: − 15; • Racionales: 2, 87;

10 5 16 ;

10 5

− 15;

16 ;

2, 333...;

−1 ; 3

10 5

• Reales: Todos

Potencias de exponente fraccionario Ejercicio nº 1.Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:

a)

6

3

x4 ⋅3 x2

b)

a5 a

Solución:

a)

6

x4 ⋅3 x2 = x4 6 ⋅ x2 3 = x2 3 ⋅ x2 3 = x4 3 = 3 x4 = x 3 x

3

a5

b)

a

=

a5 3 = a7 6 = 6 a7 = a 6 a a1 2

Ejercicio nº 2.Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

a)

3

a ⋅ a7

b)

5

23 :

2

Solución:

a)

3

a ⋅ a 7 = a 1 3 ⋅ a 7 2 = a 23 6 = a 3 6 a 5

b)

5

23 ÷

2 = 2 3 5 ÷ 21 2 = 21 10 = 10 2

−1 3

10 5

Ejercicio nº 3.Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:

a)

5

4

x2 ⋅ 3 x2

b)

53 5

Solución:

a)

5

x 2 ⋅ 3 x 2 = x 2 5 ⋅ x 2 3 = x 16 15 = 15 x 16 = x 15 x

4

53

b)

5

=

53 4 = 51 4 = 51 2

4

5

Ejercicio nº 4.Simplifica, expresando previamente los radicales en forma de potencia:

a)

4

3 ⋅ 34

a3

b) 3

a2

Solución:

a)

4

3 ⋅ 3 4 = 31 4 ⋅ 3 4 2 = 31 4 ⋅ 3 2 = 3 9 4 = 3 2 4 3 = 9 4 3 a3

b) 3

a2

=

a3 2 = a5 6 = 6 a5 a2 3

Ejercicio nº 5.Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:

a)

3

a2 ⋅

a

b)

4

x5 :

x

Solución:

a)

3

a 2 ⋅ a = a 2 3 ⋅ a1 2 = a 7 6 = 6 a 7 = a 6 a

b)

4

x5 :

x = x 5 4 : x1 2 = x 3 4 = 4 x 3

Intervalos y entornos: Ejercicio nº 1.Expresa en forma de intervalo los números que verifican: x − 4 ≤ 2 Solución: Es el intervalo [2, 6].

Ejercicio nº 2.Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta desigualdad: x − 5 ≤ 2

Solución: Son los números del intervalo [3, 7].

Ejercicio nº 3.Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad: x + 1≤ 4

Solución: Es el intervalo [−5, 3].

Ejercicio nº 4.Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen: x + 2 ≥ 3

Solución: Son los números de (−∞, −5 ] ∪ [ 1, +∞).

Ejercicio nº 5.Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad: x − 2≥ 5

Solución: Son los números de (−∞, −3] ∪ [ 7, +∞).

Operaciones con radicales Ejercicio nº 1.Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a)

84 45

21 15

80 − 3 45

b)

c)

6+

5

6−

5

Solución:

84 ⋅ 45

b)

80 − 3 45 =

c)

21 = 15

6+

5

6−

5

=

22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 7 = 32 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5

84 ⋅ 21 = 45 ⋅ 15

a)

22 ⋅ 72 2⋅7 = ⋅ 5 3 ⋅ 52

3 14 3 1 14 1 14 . = = ⋅ = 3 5 5 3 15 3

2 4 ⋅ 5 − 3 3 2 ⋅ 5 = 4 5 − 9 5 = −5 5

( 6 + 5 )( ( 6 − 5 )(

)= 6+5+2 6−5 5)

6+

5

6+

30

=

11 + 2 30 1

= 11 + 2 30

Ejercicio nº 2.Halla y simplifica al máximo:

a)

30 45

12 10

147 − 2 243

b)

c)

2 2 2 +1

Solución:

30 ⋅ 12 = 45 ⋅ 10

a)

30 12 = 45 10

b)

147 − 2 243 =

c)

2 2 2 +1

=

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 3 = 32 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5

3 ⋅ 7 2 − 2 3 5 = 7 3 − 18 3 = −11 3

(

)

2 2 2 −1

(2

2 5 22 2 = = 5 5 5

)(

)

2 +1 2 2 −1

=

4−

2

8 −1

=

4−

2

7

Ejercicio nº 3.Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a)

18 ⋅

45 10

b)

98 − 2 18

c)

4 3

Solución:

a)

18 ⋅

45 = 10

6 +3 3

18 ⋅ 45 = 10

32 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 2⋅5

34 = 32 = 9

b)

c)

98 − 2 18 = 6 +3 3 4 3

= =

(

2 ⋅ 72 − 2 2 ⋅ 32 = 7 2 − 6 2 = 6 +3 3

)

4 3⋅

3

3 2 +9 12

=

3

18 + 9 = 4⋅3

=

3 2 12

+

2

2 ⋅ 32 + 9 = 12

2 3 9 = + = 12 4 4

2 +3 4

Ejercicio nº 4.Efectúa y simplifica:

a)

2 27

3 2

48 − 2 12

b)

c)

2+

2

3+

2

Solución:

2 27

b)

48 − 2 12 =

c)

3 = 2

2⋅3 = 27 ⋅ 2

a)

2+

2

3+

2

=

3 = 33

1 1 = 2 3 3

24 ⋅ 3 − 2 22 ⋅ 3 = 4 3 − 4 3 = 0

( 2 + 2 )(3 − 2 ) = 6 − 2 (3 + 2 )( 3 − 2 )

2 +3 2 −2 9−2

=

4+

2

7

Ejercicio nº 5.Calcula y simplifica:

a)

5 7

343 125

b)

45 − 3 125

c)

3+

2

3−

2

Solución:

5 7

b)

45 − 3 125 =

c)

3+

343 = 125

5 ⋅ 343 = 7 ⋅ 125

a)

2

3− 2

=

5 ⋅ 73 = 7 ⋅ 53

72 7 = 2 5 5

3 2 ⋅ 5 − 3 5 3 = 3 5 − 15 5 = −12 5

( 3 + 2 )( 3 + 2 ) = 9 + 2 + 6 ( 3 − 2 )( 3 + 2 ) 9 − 2

2

=

11 + 6 2 7

Notación científica Ejercicio nº 1.Los valores de A, B y C son:

A = 2, 28 ⋅ 107 Calcula :

A + A ⋅C B

B = 2 ⋅ 10 −4

C = 4, 3 ⋅ 105

Solución:

(

)(

)

A 2, 28 ⋅ 10 7 + A ⋅C = + 2, 28 ⋅ 10 7 ⋅ 4, 3 ⋅ 10 5 = B 2 ⋅ 10 − 4 = 1,14 ⋅ 1011 + 9, 804 ⋅ 1012 = 1,14 ⋅ 1011 + 98, 04 ⋅ 1011 = 99,18 ⋅ 1011 = 9, 918 ⋅ 1012 Ejercicio nº 2.Calcula y expresa el resultado en notación científica:

3, 7 ⋅ 10 12 − 4, 2 ⋅ 10 11 + 28 ⋅ 10 10 1, 2 ⋅ 10 − 4

Solución:

3, 7 ⋅ 1012 − 4, 2 ⋅ 1011 + 28 ⋅ 1010 1, 2 ⋅ 10 − 4 =

( 370 − 42 + 28) ⋅ 1010 1, 2 ⋅ 10

−4

=

=

370 ⋅ 1010 − 42 ⋅ 1010 + 28 ⋅ 1010 1, 2 ⋅ 10 − 4

356 ⋅ 1010 1, 2 ⋅ 10

−4

=

= 296, 67 ⋅ 1014 = 2, 9667 ⋅ 1016 ≈ 2, 97 ⋅ 1016

Ejercicio nº 3.a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros. b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por término medio? Exprésalo en kilómetros.

Solución: a) 5 l = 5dm = 5 · 10 mm de sangre 6 6 13 4,5 · 10 · 5 · 10 = 2,25 · 10 número de glóbulos rojos 3

b) 2,25 · 10

13

6

3

· 8 · 10−3 = 1,8 · 10

11

mm = 180 000 km

Ejercicio nº 4.Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Solución: y 80 mm = 8 · 10−2 cm 10 bacterias/cm 3 −2 120 · 8 · 10 = 9,6 cm en una caja. 8 9,6 · 10 número de bacterias en una caja. 8

3

3

3

Ejercicio nº 5.Efectúa y expresa el resultado en notación científica:

( 2, 4 ⋅ 10 ) −5

2

+ 3, 1 ⋅ 10 −8

2 ⋅ 10 −12

Solución:

( 2, 4 ⋅ 10 ) −5

2

2 ⋅ 10

+ 3,1⋅ 10 −8 −12

=

5, 76 ⋅ 10 −10 + 3,1⋅ 10 −8 = 2 ⋅ 10 −12

=

5, 76 ⋅ 10 −10 + 310 ⋅ 10 −10 −12

2 ⋅ 10 = 1, 5788 ⋅ 10 4 ≈ 1, 58 ⋅ 10 4

315, 76 ⋅ 10 −10

=

2 ⋅ 10

−12

= 157, 88 ⋅ 10 2 =

Uso de la calculadora Ejercicio nº 1.Halla con la calculadora: 3

a) √2197 b) (4,31 · 108 ) ∶ (3,25 · 10−4 ) + 7 · 1011

Solución:

a) 2 197 SHIFT [x ] 3 = 13 1/y

Por tanto:

2 197 = 13

3

b) 4.31 EXP 8 ÷ 3.25 EXP 4 +/- + 7 EXP 11 = 2.026153846

12

por tanto ( 4,31 · 10 ) : ( 3,25 · 10−4 ) + 7 · 10 8

11

= 2,03 · 10

12

Ejercicio nº 2.Opera con la calculadora:

(

)(

b) 3, 28 ⋅ 109 + 4, 25 ⋅ 1015 : 2, 7 ⋅ 103

a) 6 15 625

)

Solución: a) 15 625 SHIFT [x ] 6 = 5 1/y

Por tanto:

15 625 = 5 b) ( 3.28 EXP 9 + 4.25 EXP 15 ) ÷ 2.7 EXP 3 = 1.574075289 por tanto

( 3,28 10 + 4,25 · 10 ) : ( 2,7 · 10 ) = 1,57 ·10 9

15

3

Ejercicio nº 3.Utilizando la calculadora, halla:

a)

5

16 807

3, 4 ⋅ 10 −7 + 2, 8 ⋅ 10 −6 b) 4, 2 ⋅ 10 − 4

12

12

Solución: a) 16 807 SHIFT [x ] 5 = 7 1/y

Por tanto: 5

16 807 = 7

b) ( 3.4 EXP 7 +/- + 2.8 EXP 6 +/- ) ÷ 4.2 EXP 4 +/- = 7.476190476−03 Por tanto:

3, 4 ⋅ 10 −7 + 2, 8 ⋅ 10 −6 = 7, 48 ⋅ 10 − 3 −4 4, 2 ⋅ 10 Ejercicio nº 4.Halla, utilizando la calculadora, el valor de:

5, 25 ⋅ 109 + 2, 32 ⋅ 108 b) 2, 5 ⋅ 10 −12

a) 16 384 7

Solución: a) 16 384 SHIFT [x ] 7 = 4 1/y

Por tanto: 7

16 384 = 4

b) (5.25 EXP 9 + 2.32 EXP 8) ÷ 2.5 EXP 12 +/− = 2.1928

21

Por tanto:

5, 25 ⋅ 10 9 + 2, 32 ⋅ 10 8 2, 5 ⋅ 10

−12

= 2,19 ⋅ 10 21

Ejercicio nº 5.Obtén el valor de las siguientes expresiones, con ayuda de la calculadora:

a) 4 20 736

b) 9, 2 ⋅ 10 −12 + 3, 8 ⋅ 10 −15 − 2, 64 ⋅ 10 −14

c) log 5 27 + ln 32

Solución: a) 20 736 SHIFT [x ] 4 = 12 1/y

Por tanto: 4

20 736 = 12

b) 9.2 EXP 12 +/- + 3.8 EXP 15 +/- − 2.64 EXP 14 +/- = 9.1774−12

por tanto 9,2 · 10−12 + 3,8 · 10−15 −2,64 · 10−14 = 9,18 · 10−12