Series de números reales

SERIES DE NÚMEROS REALES Autor:

Patrici

Molinàs

Mata

([email protected]),

José

Francisco

Martínez

Boscá

([email protected])

MAPA CONCEPTUAL

Definición

________________________ Series aritméticas

SERIES DE NÚMEROS REALES

Series de números positivos

Series geométricas

Series alternadas

Criterios de convergencia

Condición necesaria de convergencia

Criterio de comparación

Criterio del cociente o de d’Alembert

Criterio de Leibniz

Criterio de Pringsheim

Criterio de la raíz o de Cauchy

Convergencia y convergencia absoluta

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Series de números reales

INTRODUCCIÓN

___________________

En el Matblock “Sucesiones” introducimos el concepto de sucesión de números reales. Se trata de una aplicación de los números naturales, un conjunto infinito, pero discreto, en los números reales. Este tipo de aplicaciones son inyectivas puesto que existe una cantidad infinita y densa de números reales y sólo una cantidad infinita pero discreta de naturales. En este Mathblock nos ocuparemos de estudiar las series asociadas a las sucesiones que vimos. Entendemos por elemento n-ésimo de una serie, la suma de n términos de una sucesión. Averiguar si la suma de los términos de una sucesión, o dicho de otro modo, el límite del n-ésimo término de una serie cuando n tiende a infinito, es finita, es decir, existe, supone resolver el problema de determinar la convergencia de la serie. En adelante, distinguiremos claramente dos problemas: el de averiguar la convergencia y el de sumar la serie cuando esta sea, evidentemente, convergente. La suma de una serie divergente es imposible puesto que diverge! Después de introducir el concepto de serie de números reales y repasar los dos únicos tipos de series que se estudian en la enseñanza secundaria: las series aritméticas y las series geométricas, introduciremos la condición necesaria de convergencia para series de números reales positivos. Cuando esta condición se cumple, sabemos que la serie puede ser convergente, mientras que cuando no se satisface, es forzosamente divergente. A continuación introduciremos los criterios suficientes de convergencia de uso más habitual para series de números reales positivos. Finalmente trataremos de la convergencia de series de signos alternados enunciando el Teorema de Leibniz y introduciremos el concepto de convergencia absoluta de una serie.

OBJETIVOS DOCENTES ___

___________________________________

•

Profundizar en el dominio de las propiedades de las series aritméticas y geométricas, en particular de su suma.

•

Desarrollar cierta habilidad para la suma de series a partir de la reducción a series geométricas.

•

Determinar, a partir del criterio necesario de convergencia, si una serie es divergente.

•

Lograr determinar el carácter (convergente o divergente) de series de números reales positivos o de signo alternado a partir de diferentes criterios de suficiencia.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

___________________________________

Previamente a la lectura de este Mathblock es recomendable el haber realizado un estudio detallado de los siguientes temas: •

Sucesiones de números reales.

Asimismo también es muy aconsejable que se tenga un conocimiento mínimo del programa Mathcad. Por lo tanto, recomendamos que trabajéis los Mathblocks: “Sucesiones” y “Uso básico del Mathcad en Análisis (I): cálculo simbólico y analítico” antes de empezar con éste.

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Series de números reales

CONCEPTOS FUNDAMENTALES •

______________________________

Series de números reales

A partir de una sucesión de números reales, se puede formar una nueva sucesión sumando los términos sucesivamente. Así, si la sucesión dada tiene los términos:

a1 , a 2 , K, a n , K , se forma la sucesión de “sumas parciales”:

s1 = a1 ,

s 2 = a1 + a 2 ,

s 3 = a1 + a 2 + a3 ,

Y así sucesivamente, estando definida la suma parcial de los n primeros términos como sigue: n

s n = a1 + a 2 + a3 + L + a n = ∑ a k . k =1

La sucesión {s n } de las sumas parciales se llama serie infinita o simplemente serie, y se indica también por los símbolos siguientes:

a1 + a 2 + a3 + L

Por ejemplo, la serie

∑

∞ k =1

a1 + a 2 + L + a n + L

∞

∑a k =1

k

a k representa la sucesión {s n } para la cual: ∞

1 k =1 k

sn = ∑

Con las tres expresiones para una serie que acabamos de presentar se quiere recordar que la sucesión de sumas parciales {s n } se obtiene de la sucesión {a n } por adición de términos sucesivos. Si existe un número real S tal que:

lim s n = S n→∞

se dice que la serie

∑

∞ k =1

a k es convergente y tiene suma S en cuyo caso se escribe: ∞

∑a k =1

k

=S

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Series de números reales Si {s n } diverge, es decir si: lim s n → ∞ se dice que la serie n →∞

•

∑

∞ k =1

a k diverge; no tiene suma finita.

Series aritméticas

Como ejemplo de serie divergente, consideremos la serie formada a partir de la sucesión o progresión artimética de diferencia d . Se generan los términos de una sucesión aritmética asociada a dicha serie de la siguiente forma:

a k = a k −1 + d que equivale a:

a k = a1 + d ⋅ (k − 1) Los términos de la serie infinita corresponden a:

s k = a1 + a 2 + L + a k = k ⋅ a1 + (1 + 2 + L + (k − 1))d Cuando k → ∞ , s k → ∞ y, por tanto, las series aritméticas siempre divergen.

•

Series geométricas

La ecuación generadora de una sucesión o progresión geométrica viene dada por:

a k = r ⋅ a k −1

donde r es la razón, es decir, el factor por el cual se mulplica un término para generar el posterior. Formemos ahora la serie geométrica:

(

s k = a1 + a 2 + L + a k = a1 ⋅ 1 + r + r L + r 2

k −1

)

(

a1 ⋅ 1 − r k = 1− r

)

Descomponiendo esta suma en dos términos se obtiene:

sk =

a1 a − 1 ⋅rk 1− r 1− r

Al efectuar el límite cuando k → ∞ se distinguen cuatro casos:

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Series de números reales 1. Tomemos r < 1 . Entonces r → 0 cuando n → ∞ , y por lo tanto la serie es convergente con n

suma igual a S = lim a k = k →∞

a1 . 1− r

2. Tomemos r > 1 . Entonces r

n

crece infinitamente y el segundo término de la expresión tiene a

+ ∞ o − ∞ cuando n → ∞ , y por lo tanto en este caso la serie diverge y no tiene suma finita. 3. Tomemos r = +1 . En este caso la serie es: a + a + L + a + esta es una serie aritmética y por lo visto en el apartado anterior, diverge. 4. Finalmente tomemos r = −1 . La serie resultante tiene la siguiente forma:

a − a + a − a + L + (−1) k −1 a + En función del número de sumandos que tomamos, esta serie oscila entre dos valores fijos: 0 y 1 . En este caso tampoco converge la serie, sino que oscila.

•

Series de números reales positivos: Criterio necesario de convergencia

Si la serie a1 + a 2 + L + a n −1 + a n + L converge, entonces a medida que el índice n crece infinitamente, el n-ésimo término a n tiende a cero. Esta afirmación, de hecho, un teorema no afirma que si lim a n = 0 esto implique que la serie converja, com a veces, erróneamente, por supuesto, se n→∞

afirma. Se trata de una condición necesaria de convergencia. El contrario: si lim a n ≠ 0 si que representa una condición suficiente de divergencia. En efecto n→∞

siempre que el término general tenga por límite en el infinito una cantidad finita, la serie diverge. Este criterio es muy útil para elucidar el carácter divergente de una serie con el sólo cálculo de un límite. Veamos seguidamente algunos

Criterios suficientes de convergencia para series de términos positivos

•

Criterio de convergencia de comparación

Antes de enunciar el criterio de convergencia de comparación debemos comentar que el carácter (convergente o divergente) de una serie de números reales no depende de una cantidad finita de miembros de la serie. Es decir, supongamos que de la serie

a1 + a 2 + L + a p + a p +1 + a p + 2 + L

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Series de números reales extraemos p términos, por ejemplo, del inicio de la serie. Entonces obtendremos la siguiente serie, todavía infinita:

a p +1 + a p + 2 + a p +3 + L cuyo carácter (convergente o divergente) será el mismo que el de la serie original puesto que el hecho de extaer p términos iniciales sólo a modificado el valor de la serie en una cantidad finita Q :

Q = a1 + a 2 + a3 + L + a p Enunciemos ahora el criterio de convergencia de comparación entre dos series, de gran utilidad para determinar la convergencia de una serie. Si los términos de una serie:

a1 + a 2 + L + a n + L son positivos (o, de forma más precisa, no negativos) y no exceden del valor de los términos correspondientes de la serie convergente:

b1 + b2 + L + bn + L es decir a j ≤ b j para cualquier valor de j ≥ 1 , entonces la primera serie también es convergente. Este potente teorema se utiliza a menudo para comparar una serie con otra más conocida y convergente, después de haber retirado un número finito de términos del inicio de la serie, para facilitar la comparación y sin que esto afecte al carácter de la serie.

•

Criterio del cociente o de d’Alembert

Supongamos que todos los términos de una serie

a1 + a 2 + L + a n + L son positivos y que la razón entre el (n+1)-ésimo y el n-ésimo términos tiende a un número real l cuando n tiende a infinito, es decir:

lim n →∞

a n +1 =l an

Entonces existen tres posibilidades: 1.

l < 1 . La serie dada converge.

2.

l > 1 . La serie dada diverge.

3.

l = 1 . La serie puede tanto convergir como divergir; el criterio no proporciona respuesta alguna.

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Series de números reales

•

Criterio de la raíz o de Cauchy

Supongamos que todos los términos de una serie

a1 + a 2 + L + a n + L son positivos y que la raíz n-ésima del n-ésimo término tiende a un número real l cuando n tiende a infinito, es decir:

lim n a n = l n →∞

Entonces existen tres posibilidades: 1.

l < 1 . La serie dada converge.

2.

l > 1 . La serie dada diverge.

3.

l = 1 . La serie puede tanto convergir como divergir; el criterio no proporciona respuesta alguna. •

Criterio de Pringsheim

Supongamos que todos los términos de una serie

a1 + a 2 + L + a n + L son positivos y que existe un número s mayor que la unidad (s > 1) tal que el límite del producto de

n s ⋅ a n es un número real l , es decir: lim n s ⋅ a n = l n →∞

entonces podemos afirmar que la serie converge. Por el contrario, si existe un número s menor o igual a la unidad (s ≤ 1) tal que el límite del producto de n ⋅ a n es un número real l no nulo, es decir: s

lim n s ⋅ a n = l ≠ 0 n→∞

entonces podemos afirmar que la serie diverge. Es consecuencia de este criterio, la siguiente afirmación. Es condición necesaria para la convergencia de una serie de términos positivos y decrecientes que:

lim n ⋅ a n = 0 n →∞

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Series de números reales

Criterio suficiente de convergencia para series de términos con signos alternados: •

Criterio de convergencia de Leibniz

Se define serie alternada como aquella serie que posee la forma siguiente:

a1 − a 2 + a3 − a 4 + L + (−1) n −1 a n + L con a j ≥ 0 para todo j = 1,2,3K , de forma que todos los términos tienen vecinos de signos opuestos. Enunciemos ahora el Teorema de Leibniz para series alternadas. Si los valores absolutos de los términos de una serie alternada forman una secuencia que decrece monótonamente, tendiendo a cero:

a1 ≥ a 2 ≥ a3 ≥ a 4 ≥ L y el n-ésimo término tiende a cero cuando n → ∞ , es decir:

lim a n = 0 n→∞

entonces podemos afirmar que la serie es convergente. Un ejemplo de serie que satisface todas las premisas del teorema de Leibniz y, por tanto, es convergente, es la serie armónica alternada:

1−

•

1 1 1 1 1 + − + − +L 2 3 4 5 6

Convergencia absoluta

Supongamos una serie formada por términos positivos, negativos y nulos como: ∞

a1 + a 2 + a3 + a 4 + L + a n + L = ∑ a j j =1

podemos construir otra serie con los valores absolutos de los términos de la primera: ∞

a1 + a 2 + a3 + a 4 + L + a n + L = ∑ a j j =1

si esta segunda serie converge, también convergirá la primera. El contrario es falso. Si una serie converge, la serie formada por los valores absolutos de sus términos no convergirá necesariamente. Por lo tanto toda serie convergente forma parte de una de las dos clases siguientes. En la primera tenemos las series tales que la serie asociada formada por los valores absolutos de sus términos también converge. Llamaremos a este tipo de series, series Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Series de números reales absolutamente convergentes. Mientras que aquellas series cuyas series asociadas construidas con los valores absolutos de todos los términos, divergan, recibirán el nombre de series condicionalmente convergentes. Pongamos un ejemplo de cada tipo de series. La serie:

1−

1 1 1 1 1 + − + − +L 2 4 8 16 32

es absolutamente convergente puesto que la serie formada con los valores absolutos:

1 1 1 1 1 + + + + +L 2 4 8 16 32

1+

también converge. Basta con darse cuenta que ambas series son series geométricas con razones,

r , de valor absoluto inferior a la unidad r < 1 . La original tiene r = −

1 mientras que la de los 2

1 . Aplicando la fórmula correspondiente a la suma de términos 2 2 de una serie geométrica deducimos que la original suma y la de los valores absolutos 2 , un valor 3 valores absolutos se forma con r =

obviamente mayor. Por otro lado, consideremos la serie armónica alternada:

1−

1 1 1 1 1 + − + − +L 2 3 4 5 6

que, al satisfacer todas las premisas del criterio de Leibniz, será convergente. No obstante, la serie formada por los valores absolutos de ésta, la serie armónica:

1+

1 1 1 1 1 + + + + +L 2 3 4 5 6

diverge. Para finalizar estos conceptos fundamentales ilustramos el caso de serie que satisface la condición necesaria de convergencia, pero que diverge. Este es el caso de la serie armónica cuyo término general de la sucesión: 1 n tiende a cero cuando n → ∞ . Para demostrar que esta serie diverge, empecemos reescribiendo la serie agrupando términos:

S 2m = 1 +

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 +  + + + + + + +  +K  9 10 11 12 13 14 15 16 

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Series de números reales

1 1   1 K +  m −1 + m −1 + K + m . 2   2 +1 2 + 2 Después de agrupar términos, podemos observar que:

1 1 1 1 1 + > + = , 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + > + + + = , 5 6 7 8 8 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + > + + + + + + + = 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 2 en el caso general

1 2 m −1 + 1

+

1 2 m −1 + 2

+K+

1 1 1 1 2 m −1 1 K > + + + = = 2 2m 2m 2m 2m 2m

1 . Como el número 2 total de parejas de paréntesis (sin contar los dos primeros términos) es igual a m − 1 , tenemos que:

Así pues vemos que la suma de los términos en cada paréntesis es mayor que

S 2m > 1 +

m . 2

Por esta expesión. podemos afirmar que al tender a infinito el número total de términos

n = 2 m también tiende su suma S n = S 2m a infinito, con lo cual, la serie diverge. En resumen, cuando se satisface la condición necesaria de convergencia no podemos deducir el carácter de la serie. Debemos, entonces, pasar a averiguar si se satisface alguno de los criterios suficientes de convergencia que hemos enunciado anteriormente.

CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE___________________________________

•

Determinación del carácter de una serie mediante el criterio del cociente o de d’Alembert

Estudiemos la convergencia o divergencia de la serie:

(n!)2 a 2n ∑ n =1 (2n )! ∞

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Series de números reales en función del valor del parámetro a con a ≥ 0 . En el caso que a = 0 la serie es convergente puesto que la serie está formada por términos nulos. Si a > 0 aplicamos el criterio del cociente:

((n + 1)!)2 a 2n + 2 a (2(n + 1))! lim n +1 = lim n→∞ a n→∞ (n!)2 a 2 n n (2n )!

(n + 1)!(n + 1)!a 2 n a 2 (2n )! = : n →∞ (2n + 2)!n!n!a 2n

= lim

utilizando que (2n + 2 )!= (2n + 2)(2n + 1)(2n )! y (n + 1)!= (n + 1)n! llegamos a: 2 ( n + 1) a 2 a2 = lim = n → ∞ (2n + 2 )(2n + 1) 4

a2 a2 < 1 , es decir 0 < a < 2 , la serie sera convergente. Para > 1 , es 4 4 a2 decir a > 2 , la serie sera divergente. Finalmente cuando = 1 , es decir a = 2 , debemos construir 4

Distinguiremos tres casos. Si

la serie con el propósito de averiguar su carácter:

(n!)2 22 n ∑ n=1 (2n )! ∞

Comprovemos que esta serie no cumple la condición necesaria de convergencia y, por tanto, será divergente:

(n!)2 22 n = n → ∞ (2n )!

lim an = lim

n→∞

−n

(aplicando la fórmula de Stirling: n!≈ e n

n

2πn )

e −2 n n 2 n 2πn 2 2 n n 2 n 2πn 22 n 2πn lim = = lim =∞ 2 n 2 2 2 n n − n n →∞ e (2n ) 4πn n →∞ 2 n 4πn n →∞ 4πn

= lim

Resumiendo:

Para 0 ≤ a < 2 la serie es convergente. Para a ≥ 2 la serie es divergente.

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Series de números reales

Comprobemos estos resultados con Mathcad. Para ello barremos el intervalo de la recta real entre 0 y 3 donde debería encontrarse el intervalo de convergencia. En lugar de calcular la suma de infinitos términos, basta con sumar los 25 y los 50 primeros para ver que fuera del intervalo de convergencia el valor numérico se dispara. En efecto, para valores dentro del intervalo [0,2[ la serie converge.

•

101 s2=r−q+r= − 277 3 3 23

Determinación del carácter de una serie mediante el criterio de la raíz o de Cauchy

Estudiemos la convergencia o divergencia de la serie:

 an + 1    ∑ n =1  4n + 3  ∞

n

en función del valor del parámetro a con a ≥ 0 . Aplicamos el criterio de la raíz: n

an + 1 a  an + 1  lim  = lim =  n→∞ n →∞ 4n + 3 4  4n + 3  n

a a < 1 es decir si a < 4 y divergente si > 1 , es decir, si 4 4 a > 4 . Estudiemos qué sucede en la frontera. Para a = 4 tenemos la siguiente serie:

Por lo tanto, la serie será converge si

n

∞  n +1 4   4n + 1    =   ∑ ∑ n =1  4n + 3  n =1  n + 3 4  ∞

n

Comprobemos si satisface el criterio necesario de convergencia. Para ello debemos calcular el limite del n-ésimo término cuando n tiende a ∞ :

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Series de números reales

 n +1 4   (− 1 2)  = e −1 2 ≠ 0  = lim1 + lim  n→∞ n + 3 4  n →∞    n+3 4 n

n

Al ser este límite diferente de cero, el criterio necesario de convergencia no se satisface y, por tanto,, para a = 4 la serie es divergente. Resumiendo:

Para 0 ≤ a < 4 la serie es convergente. Para a ≥ 4 la serie es divergente.

Comprobemos estos resultados con Mathcad.

25

g ( a) :=

∑

 an + 1  4n + 3   

50

n

h ( a) :=

Para ello barremos el n =1 intervalo de la recta real entre 0 y 6 donde debería 100 n encontrarse el intervalo de i( a) :=  an + 1  4n + 3  convergencia. En lugar de   n =1 calcular la suma de infinitos términos, basta con sumar los primeros 25, 50, 100 y 1000 200 términos para ver que fuera del intervalo de g( a) convergencia el valor numérico se dispara.

∑

n =1 500

∑

j( a) :=

∑

n =1

 an + 1  4n + 3     an + 1  4n + 3   

n

n

h( a)

En efecto, para valores dentro del intervalo [0,4[ la serie converge.

i( a)

500

j( a)

0

0

2

4

6

a

•

Determinación del carácter de una serie mediante el criterio de Pringsheim y ejemplo de cálculo de la suma infinita

Estudiemos la convergencia de la serie: ∞

n

∑ (n + 1)(n + 2)(n + 3) n =1

y si lo es, determinemos su suma. Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Series de números reales Apliquemos el criterio de Pringsheim:

n n α +1 n α +1 lim n a n = lim n = lim = lim n→∞ n →∞ (n + 1)(n + 2)(n + 3) n→∞ (n + 1)(n + 2)(n + 3) n→∞ n 3 + K α

α

Para que este límite sea finito y diferente de cero, necesariamente el grado del numerador y del denominador deben ser iguales, entonces tenemos que tomar α + 1 = 3 , es decir, α = 2 . Como α > 1 , según el criterio de Pringsheim, la serie es convergente. Calculemos la suma. Para ello descomponemos el término general de la serie en sumandos:

an =

n A B C = + + (n + 1)(n + 2)(n + 3) n + 1 n + 2 n + 3

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos: A = −

1 3 , B=2 y C=− . 2 2

Calculemos la suma parcial: S n = a1 + a 2 + K + a n

an =

4 3 −1 + − 2(n + 1) 2(n + 2) 2(n + 3)

an −1 =

4 3 −1 + − 2n 2(n + 1) 2(n + 2)

KKKKKKKKKKKKKKKK

a4 =

4 3 −1 + − 2⋅5 2⋅6 2⋅7

a3 =

4 3 −1 + − 2⋅4 2⋅5 2⋅6

a2 =

4 3 −1 + − 2⋅3 2⋅4 2⋅5

a1 =

4 3 −1 + − 2⋅2 2⋅3 2⋅4

Si sumamos, observamos que cada sumando del tipo

4 de a k se simplifica con los 2(k + 2)

4 4 de a k y de a k −1 (si 1 < k < n ). Por consiguiente obtenemos los 2(k + 2) 2(k + 2) siguientes 6 términos que no se simplifican:

sumandos

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Series de números reales

Sn =

2 1 1 3 3 4 − − − − + 3 4 6 2(n + 2 ) 2(n + 3) 2(n + 2 )

Pasando al límite cuando n → ∞ obtenemos la suma de la serie:

lim S n = n→∞

2 1 1 1 − − = 3 4 6 4

Comprobemos este resultado con Mathcad. Efectuemos la suma infinita con la opción View > Toolbars > Symbolic > Symbolic Evaluation

CONCLUSIONES

∞

∑

n =1

n 1 → ( n + 1) ⋅ ( n + 2) ⋅ ( n + 3) 4

___________________________________

Existen series de números reales que son convergentes, divergentes, oscilantes, etc. Entre las series más populares tenemos las aritméticas, siempre divergentes, y las geométricas que convergen sólo cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1. Dada una serie de números reales positivos siempre procedemos a aplicar el criterio necesario de convergencia. Si la serie no lo satisface, seguro que la serie es divergente. Si lo satisface debemos verificar si satisface algun criterio de suficiencia de convergencia, como por ejemplo, el criterio del cociente o de D’Alembert o el criterio de la raíz o de Cauchy. En el caso de series de números reales alternadas, solemos comprobar si se satisface el criterio de Leibniz por su sencillez de aplicación. Basta con averiguar si el límite del término general de la sucesión que da lugar a la serie tiende a cero. Hemos visto la inestimable ayuda que Mathcad nos puede prestar para ir descubriendo el carácter de las series. Con Mathcad podemos realizar la suma infinita de una serie o bien, definir una conjunto de series finitas (truncadas) de la primera y representarlas gráficamente. Entonces comprobaremos la exactitud de nuestro cálculo analítico.

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Series de números reales

BIBLIOGRAFÍA

___________________________________

[1] J. M. Ortega (1990): “Introducción al Análisis Matemático”, Manuales de la Universidad Autónoma de Barcelona, Bellaterra. [2] V.A. Kudryasvtsev and B.P. Demidovich (1981): “A brief course of Higher Mathematics”, Mir Publishers, Moscú, p. 430-480. [3] M. R. Spiegel (1970): “Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas”, Serie de Compendios Schaum, McGraw-Hill, Mexico, p.107-109. [4] T. Apostol, (1979); “Calculus. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal”, Vol.1, Reverté, Barcelona, p. 469-501. [5] R. Calm, N. Coll, y M.R. Estela (1992): “Problemas de cálculo”, Micromar, Barcelona, p. 37-65. [6] R. Courant and F. John (1976): “Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático”, Limusa, México, p. 527-555. [7] B. Demidovich (1978): “Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático”, Paraninfo, Madrid, p. 312324.

ENLACES

___________________________________

[W1]

http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html Aula virtual con apuntes muy completos de series numéricas.

[W2]

http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/ Apuntes de series de números reales.

[W3]

http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/problemas/ Compendio de problemas y ejercicios sobre convergencia de series numéricas.

[W4]

http://www.lafacu.com/apuntes/matematica/series/default.htm El sitio de los estudiantes y los docentes universitarios. Es una recopilación de apuntes, con ejemplos, sobre series convergentes, divergentes, alternadas, propiedades y criterios de convergencia.

[W5]

http://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#termposit Monografía sobre aproximaciones polinomiales, sucesiones y series.

[W6]

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=Series Apuntes sobre series numéricas (en inglés).

[W7]

http://www.math-atlas.org Contiene un módulo sobre “Sucesiones, series y sumabilidad” (en inglés).

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