Vicente González Romá

EJERCICIOS DE PSICOMETRÍA ENTREGA 1 Prof. Vicente González Romá

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TEORIA DE LA MEDICION * En base a la magnitud con que contienen la propiedad X, se observan las siguientes relaciones entre cuatro objetos: - d es mayor que c, c es mayor que b, b es mayor que a. - la diferencia entre a y b es igual a la mitad de la diferencia entre b y c; y - la diferencia entre b y c es igual al doble de la diferencia entre c y d. Para asignar imágenes numéricas a los cuatro objetos se define el homomorfismo f, según el cual las respectivas imágenes numéricas son: a → 1; b → 2; c → 4; d → 5; 1 y ϕ (y) = 2 - Sea y la imagen numérica de cada objeto según f, ¿es la aplicación una transformación admisible de f? f ϕ a → 1→0,5 b →2→1 c → 4→2 d → 5→2,5

Sea g= f ° ϕ g(a)-g(b)= 1/2 g(b)-g(c) ; (0,5-1)=1/2 (1-2) g(b)-g(c) = 2 g(c)-g(d) ; (1-2)=2 (2-2,5) ϕ SI ES UNA TRANSFORMACION ADMISIBLE

- La afirmación "c es el doble que b", ¿es formalmente válida? Primero: determinemos el tipo de escala de que se trata. Veamos si δ(y)= 2y+1 es una transformación admisible de f. f δ a → 1→3 b →2→5 c →4→9 d →5→11

Veamos si γ(y)= f γ a →1→1 b →2→1,41 c →4→2 d →5→2,24

Sea k= f ° δ k(a)-k(b)= 1/2 k(b)-k(c) ; (3-5)=1/2 (5-9) k(b)-k(c) = 2 k(c)-k(d) ; (5-9)=2 (9-11) δ SI ES UNA TRANSFORMACION ADMISIBLE. Luego, no se trata de una escala de razón. Puede ser una escala de intervalos, ordinal o nominal. y

es una transformación admisible de f. Sea l= f ° γ l(a)-l(b)≠ 1/2 l(b)-l(c) ; (1-1,41) ≠1/2 (1,41-2) l(b)-l(c) ≠2 l(c)-l(d) ; (1,41-2) ≠ 2 (2-2,24) γ no ES UNA TRANSFORMACION ADMISIBLE. Luego se trata de una escala de intervalos. Ya que en las escalas de intervalos las aplicaciones que son transformaciones admisibles son de los tipos g (y) = a y; y g (y) = a y + b, con a>0.

Segundo: apliquemos una aplicación que sea transformación admisible, y que pertenezca a la familia de aplicaciones más general de todas aquéllas que son transformaciones admisibles. Como la escala de medida es de intervalos, las familias de aplicaciones que son transformaciones admisibles son: g (y)=ay+b, con a>0; y r (y)=ay, con a>0. Como r es un caso específico de g en el que b=0, entonces elegiremos una aplicación del tipo g (y)=ay+b. Por ejemplo: δ(y)= 2y+1, que ya aplicamos anteriormente. ¿Cuál es el valor de verdad del enunciado "c es el doble que b" en base a las relaciones observadas entre las imágenes numéricas que proporciona el homomorfismo f? Verdadero ya que 4=2(2).

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¿Cuál es el valor de verdad del enunciado "c es el doble que b" en base a las relaciones observadas entre las imágenes numéricas que se obtienen tras aplicar δ? Falso, ya que 9≠2(5). Luego el enunciado NO ES FORMALMENTE VALIDO. ™™™™ Un psicólogo ha estado observando a tres niños en la escuela (A, B, y C) que presentan ciertos niveles de hiperactividad. El niño A se levanta continuamente de su pupitre, el niño B se levanta y tira al suelo repetidamente los objetos que tiene cerca, y el niño C además de todo lo anterior hace carreras por el aula. Con el fin de medir la hiperactividad de los tres niños construye la siguiente escala de medida, donde a, b, y c representan la hiperactividad de los tres niños (A, B, y C), y f es el homomorfismo que asigna a cada hiperactividad una imagen numérica: f a →10 b →20 c →30 ¿Qué tipo de escala ha construido el psicólogo? El psicólogo ha observado las siguiente relaciones empíricas: 1. Los tres niños presentan niveles diferentes de hiperactividad; 2. El niño C es más hiperactivo que B, y éste es más hiperactivo que A. Si S es el conjunto de las tres hiperactividades, puede comprobarse fácilmente que f es un homomorfismo de S en R (f: S→R). Para establecer el tipo de escala hay que determinar cuáles son las aplicaciones que son transformaciones admisibles: Veamos si una aplicación inyectiva del tipo δ (y)= -y es una transformación admisible. f δ a →10 → -10 b →20 → -20 c →30 → -30 δ no es una transformación admisible ya que si m= f ° δ, m (a) > m (b) > m (c), y estas relaciones numéricas no son isomorfas con las relaciones empíricas observadas (a p b p c ) donde (p ) es la relación binaria “ser menos agresivo que”. Veamos si γ (y)=

y , una aplicación inyectiva creciente, es una transformación admisible de f.

f γ a →10 → 3.16 b →20 → 4.47 c →30 → 5.48 γ sí es una transformación admisible, ya que si k= f ° γ, k (a) < k (b) < k (c), y estas relaciones numéricas son isomorfas con las relaciones empíricas observadas (a p b p c ) .

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Si esta aplicación inyectiva creciente es transformación admisible, los demás subtipos de aplicaciones inyecticas crecientes (es decir, β (y) = ay + b, y ρ (y) = a y, donde a > 0) también lo serán. Así pues, podemos concluir que el psicólogo ha construido una escala ordinal. ¿Podemos afirmar que ”el niño B es el doble de hiperactivo que el niño A”? Sabemos que un enunciado es formalmente válido cuando su valor de verdad no cambia tras aplicar una transformación admisible. Apliquemos una aplicación que sea transformación admisible, y que pertenezca a la familia de aplicaciones más general de todas aquéllas que son transformaciones admisibles. Esa familia es la de las aplicaciones crecientes (tengan o no la forma de la ecuación de una recta), como por ejemplo γ (y)= y. ¿Cuál es el valor de verdad del enunciado ”el niño B es el doble de hiperactivo que el niño A” en base a las relaciones observadas entre las imágenes numéricas que proporciona el homomorfismo f? Verdadero ya que 20=2 (10). ¿Cuál es el valor de verdad del enunciado en base a las relaciones observadas entre las imágenes numéricas que se obtienen tras aplicar γ? Falso, ya que 4.47 ≠ 2 (3.16). Luego el enunciado NO ES FORMALMENTE VALIDO.

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ESCALAMIENTO. METODO DE LAS COMPARACIONES APAREADAS (THURSTONE) Se está diseñando la campaña publicitaria de lanzamiento de un nuevo producto de limpieza. A 125 personas se les presenta todos los pares que pueden formarse con los siguientes eslóganes: A: Pruebe el nuevo SUPERNET. Y olvídese de las comparaciones. B: SUPERNET, limpia y protege su segunda piel. C: SUPERNET, la superlimpieza del siglo XXI. D: Nuevo detergente SUPERNET. Limpia su ropa y protege la naturaleza. Se les pide que elijan aquel refrán del par que les resulta más atractivo. Los resultados obtenidos se exponen en la siguiente tabla. Indica cuál es el slogan más atractivo y su valor escalar.

A B C D Σ

Matriz de frecuencias acumuladas A B C D 100 42 60 25 50 32 83 75 71 65 93 54 173 268 146 163

SOLUCIÓN: Matriz de frecuencias acumuladas ordenadas C D A B C 71 83 75 D 54 65 93 A 42 60 100 B 50 32 25 Σ 146 163 173 268 Matriz de proporciones D A B .568 .664 .6 .5 .52 .744 .48 .5 .8 .256 .2 .5

C D A B

C .5 .432 .336 .4

C D A B

Matriz de puntuaciones típicas C D A B 0 .17 .42 .25 -.17 0 .05 .66 -.42 -.05 0 .84 -.25 -.66 -.84 0

D-C .17 .17 .37 -.41 Σ .3 media .075

Matriz de diferencias A-D B-A .25 -.17 .05 .61 .05 .84 -.18 .84 .17 2.12 .0425 .53

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ESTÍMULOS C D A B

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VALORES 0 0 + 0.075= 0.075 0.075+0.0425= 0.1175 0.1175+0.53= 0.6475

El eslogan más tractivo es el B: “SUPERNET, limpia y protege su segunda piel”. ™™™™ Hace tiempo, una revista de automóviles estaba interesada en conocer cómo los jóvenes valoraban la calidad de cinco modelos de automóvil (Renault 5, Ford Fiesta, Opel Corsa, Alfa 33, y VW Golf). El equipo de dirección de la revista encargó el estudio a un psicólogo. Este utilizó el método de las comparaciones apareadas. El psicólogo presentó todos los pares de estímulos a los sujetos de la muestra, obteniendo las preferencias acumuladas que se presentan en la siguiente tabla. ¿Cuáles fueron los valores escalares que obtuvo cada modelo de automóvil?

Golf Alfa Opel Ford R-5 Σ

Matriz de frecuencias acumuladas Golf Alfa Opel Ford R-5 77 50 39 0 52 48 51 4 79 81 60 2 90 78 69 4 129 125 127 125 350 361 294 275 10

SOLUCIÓN: Matriz de frecuencias acumuladas ordenadas R-5 Ford Opel Golf Alfa R-5 125 127 129 125 Ford 4 69 90 78 Opel 2 60 79 81 Golf 0 39 50 77 Alfa 4 51 48 52 Σ 10 275 294 350 361 Matriz de proporciones (N=129) R-5 Ford Opel Golf Alfa R-5 .5 .969 .98* .98* .969 Ford .5 .5349 .6977 .6047 Opel .5 .6124 .6279 Golf .5 .5969 Alfa .5 Los valores marcados con * son en realidad mayores que .98, pero para evitar distorsiones en los valores escalares debido al uso de la distribución normal unitaria N(0, 1) para su obtención, se reducen a 0.98. Para ahorrar un poco de tiempo sólo se ha calculado la mitad de la matriz de proporciones. La otra mitad está compuesta por los respectivos valores complementarios. Para obtener la matriz de puntuaciones típicas sólo necesitamos saber las puntuaciones típicas correspondientes a las

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proporciones de una de las mitades de la matriz de proporciones, el resto se obtienen cambiando el signo a las puntaciones típicas correspondientes a las proporciones complementarias. Matriz de puntuaciones típicas R-5 Ford Opel Golf Alfa R-5 0 1.87 2.05 2.05 1.87 Ford -1.87 0 .09 .52 .27 Opel -2.05 -.09 0 .29 .33 Golf -2.05 -.52 -.29 0 .25 Alfa -1.87 -.27 -.33 -.25 0 Ford-R5 1.87 1.87 1.96 1.53 1.60 Suma 8.83 N 5 Media 1.766

ESTÍMULOS R-5 Ford Opel Golf Alfa

Matriz de diferencias Opel-Ford Golf-Opel .18 0 .09 .43 .09 .29 .23 .29 -.08 .08 .51 1.09 5 5 0.102 0.218

VALORES 0+1.766= 1.766+0.102= 1.868+0.218= 2.086+0.022= ™™™™

0 1.766 1.868 2.086 2.108

Alfa-Golf -.18 -.25 .04 .25 .25 .11 5 0.022

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Una marca de automóviles encargó a una agencia publicitaria la campaña de lanzamiento de un nuevo modelo dirigido a conductores jóvenes. La agencia propuso cuatro eslóganes para apoyar la campaña, y averiguó mediante el método de escalamiento de las comparaciones apareadas cuál era el que hacía que el coche resultara más atractivo. Los datos que obtuvo la agencia tras presentar todos los pares de estímulos a una muestra de sujetos se muestran a continuación. Averigua el valor escalar de cada eslogan. Eslóganes: 1. STAR GT. Una mecánica hecha a tu medida. 2. STAR GT. Un diseño joven para el siglo XXI. 3. STAR GT. La versatilidad hecha realidad. 4. STAR GT. Un pequeño gran coche que te ayuda a pasarlo bien.

1 2 3 4 Σ

Matriz de frecuencias acumuladas 1 2 3 4 27 6 22 24 8 16 45 43 30 29 35 21 98 105 35 68

SOLUCIÓN: Matriz de frecuencias acumuladas ordenadas 3 4 1 2 3 30 45 43 4 21 29 35 1 6 22 27 2 8 16 24 Σ 35 68 98 105

3 4 1 2

Matriz de proporciones (N=51) 3 4 1 2 .5 .5882 .8824 .8431 .5 .5686 .6863 .5 .5294 .5

3 4 1 2

Matriz de puntuaciones típicas 3 4 1 2 0 .22 1.19 1.01 -.22 0 .17 .49 -1.19 -.17 0 .07 -1.01 -.49 -.07 0

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4-3 .22 .22 1.02 .52 Σ 1.98 n 4 media .495 ESTÍMULOS 3 4 1 2

Matriz de diferencias 1-4 2-1 .97 -.18 .17 .32 .17 .07 .42 .07 1.73 .28 4 4 .4325 .07 VALORES 0 0 + 0.495= 0.495 0.495+0.4325= 0.9275 0.9275+0.07= 0.9975

El eslogan más atractivo es el 2: “STAR GT. Un diseño joven para el siglo XXI”.

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ESCALAMIENTO. MÉTODO DE LIKERT. Para estudiar la capacidad discriminativa de un cuestionario de actitudes, éste se aplicó a dos grupos de sujetos que mantenían actitudes extremas y opuestas. Cada grupo estaba compuesto por 31 personas. Los estadísticos que se obtuvieron en cada grupo se muestran a continuación. ¿Podemos afirmar que el grupo 1 obtuvo una media significativamente superior a la del grupo 2, y que, por lo tanto, el cuestionario discrimina entre los dos grupos? Media S2 Grupo 1 (G1) 4,1 1,5 Grupo 2 (G2) 3,5 1,6 Para comprobar que la media del grupo 1 es significativamente superior a la media del grupo 2 tenemos que aplicar una prueba de diferencias de medias. En esta prueba las hipótesis estadísticas son: H0: µG1 ≤ µ G1 H1: µG1 > µ G2 Estandaricemos la diferencia entre las dos medias calculando el estadístico T, que se distribuye según el modelo de probabilidad t de Student con n1 + n2 - 2 grados de libertad. X1 − X 2

((n

2 2 1 − 1) S1 + (n 2 − 1) S 2 n1 + n 2 − 2

)  1

=

4.1 − 3.5

= 1.897 ( ( ) ( ) ) 31 1 1 . 5 31 1 1 . 6 − + − 1 1    1  +   n + n  + − 31 31 2  31 31  2   1 Teniendo en cuenta que el valor teórico de t para un nivel de significación α=0.05 y n1 + n2 – 2 = 60 grados de libertad es: T=

t teorica (α = 0,05, g.l. = 60,1 cola) = 1,671 y que T = 1.897 > t teórica = 1.671 podemos afirmar que la probabilidad de observar una diferencia tan grande como la que existe entre las dos medias, bajo el supuesto de la hipótesis nula, es inferior a 0.05. Por lo tanto rechazamos H0, y concluimos que la media del Grupo 1 es significativamente superior a la del Grupo 2. Consecuentemente, también podemos decir que el cuestionario discrimina entre los dos grupos.

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ESCALAMIENTO. MÉTODO DE GUTTMAN. Aplicamos una escala compuesta por cinco ítems dicotómicos a un grupo de 8 sujetos obteniendo los siguientes resultados: ITEMS sujetos A B C D E 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 4 1 1 1 1 0 5 0 1 1 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 0 1 0 0 8 1 1 1 1 1 - Calcula el coeficiente de reproductibilidad (CR) de la escala. ITEMS sujs. C B D E A 8 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 4 1 1 1 0* 1* 3 1 1 1 0 0 6 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 2 0* 0 0 1* 0 Σ 7 5 4 3 2 p .875 .625 .5 .375 .25 q .125 .375 .5 .625 .75 * indica error en el patrón de respuestas.

Xt 5 4 4 3 2 1 1 1

errores 0 0 2 0 0 0 0 2 4

N = 8 sujetos; k = 5 ítems CR = 1 −

4 4 Σ errores = 1− = 1− = 1 − 0.10 = 0. 9 N⋅ k 8⋅5 40

- Calcula la reproductibilidad marginal mínima (RMM) de la escala. RMM es el promedio de las proporciones de respuesta (p, q) modales. RMM =

0,875 + 0, 625 + 0,5 + 0, 75 + 0,625 = 0,675 5

- Calcula el coeficiente de escalabilidad (CS) de la escala. Coeficiente de escalabilidad: CS = CR – RMM / (1 - RMM) = 0.9 - 0.675 / (1-0.675) = 0.225 / 0.325 = 0.6923 Tanto el CR como el CS alcanzan los valores mínimos exigibles (0.9 y 0.6, respectivamente) para que la escala pueda ser considerada una buena aproximación a una escala Guttman. ™™™™

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Una escala compuesta por 5 ítems se ha aplicado a un grupo de 8 sujetos. Las respuestas obtenidas aparecen en la tabla siguiente, donde un 1 indica la aceptación del ítem, y un 0 indica la no aceptación del ítem: SUJETOS 1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 1 1 1 1 1 1 0

B 1 1 0 1 0 1 1 1

C 1 1 1 0 1 0 0 0

D 1 1 1 0 0 0 0 0

- Calcula el coeficiente de reproductibilidad de la escala. A 1 1 1 1 1 1 1 0* 7 0.88 0.12

SUJETOS

1 2 3 4 5 6 7 8 Σ p q CR = 1 −

B 1 1 0* 1 0* 1 1 1* 6 0.75 0.25

∑ errores = 1 − N⋅k

C 1 1 1 0 1* 0 0 0 4 0.50 0.50

D 1 1 1* 0 0 0 0 0 3 0.37 0.63

E 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.12 0.88

Xt 5 4 3 2 2 2 2 1

errores 0 0 2 0 2 0 0 2 6

Xt 5 4 3 2 2 2 2 1

errores 0 0 2 0 2 0 0 2 6

6 = 0.85 8⋅5

- Calcula el coeficiente de escalabilidad de la escala. SUJETOS 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ p q

A 1 1 1 1 1 1 1 0* 7 0.88 0.12

B 1 1 0* 1 0* 1 1 1* 6 0.75 0.25

C 1 1 1 0 1* 0 0 0 4 0.50 0.50

D 1 1 1* 0 0 0 0 0 3 0.37 0.63

E 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.12 0.88

E 1 0 0 0 0 0 0 0

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Coeficiente de escalabilidad: CS = CR – RMM / (1 - RMM) RMM = (0.88 + 0.75 + 0.50 + 0.63 + 0.88) / 5 = 0.73 CS = (0.85-0.73) / 1-0.73 = 0.44 Tanto el CR como el CS están por debajo de los valores mínimos exigibles (0.9 y 0.6, respectivamente) para que la escala pueda ser considerada una buena aproximación a una escala Guttman. ™™™™ Un psicólogo elaboró un cuestionario para medir una dimensión bipolar de bienestar afectivo: la dimensión deprimido-entusiasmado. El cuestionario está compuesto por 6 items: 3 miden el polo negativo de la dimensión (1. deprimido, 2. triste, 3., pesimista), y los otros tres miden el polo positivo (4. optimista, 5. alegre, 6. entusiasmado). Los sujetos que responden el cuestionario deben indicar si durante las últimas semanas se han sentido tal como dicen los ítems (1. SI, 0. NO). El psicólogo aplicó la prueba a un grupo de 6 sujetos. Las respuestas obtenidas aparecen en la tabla siguiente. Calcula el coeficiente de escalabilidad de la escala Sujetos A B C D E F

deprimido 0 0 0 0 0 1

triste 0 0 1 0 0 1

pesimista 0 1 0 0 0 1

optimista 1 0 0 1 1 0

alegre 0 0 0 1 1 0

entusiasmado 1 0 0 0 0 0

Puesto que hay ítems positivos y negativos, transformamos los ítems negativos para que todas las respuestas estén en el mismo sentido. Está transformación afecta al significado de los ítems negativos. Ahora las respuestas a estos ítems transformadas se refieren a la negación de los mismos. Sujetos A B C D E F Σ p q CRi

no deprimido 1 1 1 1 1 0 5 .83 .17 1

no triste no pesimista optimista alegre 1 1 1 0* 1 0 0 0 0* 1* 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 4 4 3 2 .67 .67 .5 .33 .33 .33 .5 .67 .83 .83 1 .83

Coeficiente de escalabilidad: CS = CR – RMM / (1 - RMM) ∑ errores = 1 − 4 = 0.89 CR = 1 − N⋅k 6⋅6 RMM=(.83 + .67 + .67 + .5+ .67 + .83) / 5 = 0.695 CS = CR – RMM / (1 - RMM) = (0.89 -0.695) / (1-0.695) = 0.64

entusiasmado Xt 1* 5 0 2 0 2 0 5 0 5 0 0 1 .17 .83 .83

errores 2 0 2 0 0 0 4

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¿Existe algún ítem que incumpla el criterio del rango de las distribuciones marginales? Si lo hubiera, indical cuál. El criterio del rango de las distribuciones marginales dice que ningún ítem debe tener un coeficiente de reproductibilidad (CRi) inferior a la proporción de respuesta modal (p o q). En este caso, no hay ningún ítem que incumpla el mencionado criterio, ya que en todos los ítems se observa que CRi ≥ proporción de la categoría modal.