Departamento Matemáticas 2º Bachillerato: Matemáticas II

Colegio Santa Cecilia Carmelitas Vedruna Cáceres

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07 1. a) Calcula el rango de la matriz A, según los valores del parámetro a 1 2 3 a    A =  2 4 6 8  3 6 9 12   

b) Escribe las propiedades del rango que hayas usado. 2. a) Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. b) Discute, según los valores de a, el sistema de ecuaciones lineales  x+ y+z = a   x + y + az = 1  x + ay + z = 1  SEPT 06/07 3. Sea A una matriz cuadrada de orden 3. a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es 2 A = 8. ¿Cuánto vale el

determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener ese valor. c) Calcula para qué valores de x se cumple que 2 A = 8, siendo A la matriz 1 1  x   A =  x +1 2 2  x 2 - x 1   4. Calcula la matriz X tal que A2 X = A, donde 1 2  A=  1 1  JUNIO 05/06 2 5. Sea A una matriz cuadrada tal que A = A + I , donde I es la matriz unidad. Demuestra que la matriz A es invertible. 6. Discute, según los valores de b, el sistema de ecuaciones lineales x + 2y − z = 2    x + (1 + b)y − bz = 2b  x + by + (1 + b)z = 1  SEPT 05/06 7. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

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 x + 2y − z = 1   x + y− z =1  x − z =1 

8. Escribe un ejemplo de una matriz de rango 2, con 3 filas y 4 columnas, que no tenga ningún coeficiente nulo. JUNIO 04/05 9. Determinar un valor del parámetro a para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible e indeterminado  x+ y+z =a   x - y + z =1  x - 3y + z = 0 

10. Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea incompatible. Interpretarlo geométricamente. SEPT 04/05 11. Resolver el sistema de ecuaciones lineales  y−x = z   x-z = y  y+z = x  12. Dar un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea compatible e indeterminado. Interpretarlo geométricamente. JUNIO 03/04 13. Determinar todas las matrices X tales que AX = XA, donde la matriz A es 1 1   1 1 14. ¿Qué relación hay entre los coeficientes de las ecuaciones ax+by+cz=d a’ x + b’ y + c’ z = d’ de dos planos paralelos? Razona la respuesta. 15. Hallar una matriz con 3 filas y 3 columnas que tenga 3 elementos nulos y tal que ninguno de sus menores de orden 2 sea nulo. SEPT 03/04 16. Definir el concepto de rango de una matriz. Dar un ejemplo de una matriz con 3 filas y 4 columnas que tenga rango 2. 17. ¿Puede aumentar el rango de una matriz cuadrada de 3 filas al sustituir un coeficiente no nulo por cero? ¿y permanecer igual? Justifica la respuesta. JUNIO 02/03 18. Determinar un valor del parámetro a a para que las siguientes ecuaciones lineales sean linealmente dependientes 2/5

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x + y + z =1 3x + 2 y + z = 1 y + 2z = a 19. Calcular dos números naturales a,b menores que 10 y tales que la siguiente matriz A tenga rango 2:

2  0 3 

b  a b 

2 5 1

SEPT 02/03 20. Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea compatible e indeterminado. Interpretarlo geométricamente. 21. Definir el producto de matrices. Dar un ejemplo de matrices A, B con 2 filas y 2 columnas, tales que AB no coincida con BA. JUNIO 01/02 22. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ay + (a + 1) z = a ax + z = a x + az = a

23. Calcular la matriz X tal que AX = B , donde 1 A =  0

2  1

1 B =  3

2  4 

SEPT 01/02 24. La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es M. Hallar un sistema equivalente tal que los 3 coeficientes que están por encima de la diagonal principal de la nueva matriz asociada sean nulos:

0  M =  -1  0 

1 0 4

- 1  2 4 

25. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ay + a z = 0 x+z =0 4x - 2y + az = a 3/5

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JUNIO 00/01 26. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ax - ay + a z = a (3 − 2a) z = 1 x + (a − 1) y = 0

JUNIO 99/00 27. La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es M. Hallar un sistema equivalente tal que todos los elementos de la diagonal principal de la nueva matriz asociada sean nulos:

 -1  M = 3 0 

0 1 2

3  1 1 

28. Dar un ejemplo de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea incompatible. SEPT 99/00 29. Definir la suma y el producto de matrices. Dar un ejemplo de 2 matrices que no puedan sumarse ni multiplicarse. 30. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: (a - 3) x + 4z = 2 x - 2 z = −1 - x + ay + 2 z = a

JUNIO 96 31. ¿Puede aumentar el rango de un matriz 3 × 3 al sustituir un coeficiente no nulo por cero? En caso afirmativo, da un ejemplo.

32. Discutir y resolver, en su caso, el sistema ABX = 0 , donde: 1   A =  2  , B = (1  - 1  

2

0 x     2) , 0 =  0  , X =  y  0 z     

SEPT 96 33. Proponer un sistema no homogéneo de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, que sea compatible e indeterminado. Interpretarlo geométricamente. 4/5

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34. Calcular el determinante: x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1

1 1 1 x

SEPT 97

35. Encontrar las matrices X que conmuten con la matriz

1 A =  1

2  1  es decir, tales

que AX = XA 36. Definición de rango de una matriz. Describir la relación del concepto anterior con los menores de la matriz. JUNIO 98

37. Determinar los valores de t para los que es incompatible el sistema de ecuaciones lineales t = t x -z 1= 2 x + t y +z 3= x +3z SEPT 98 38. Proponer un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea incompatible y que, al suprimir cualquier ecuación del sistema se obtenga un sistema compatible. Interpretarlo geométricamente. 39. Determinar los valores de t para los que la matriz M no admite inversa y, en tales casos, calcular el rango de M. 0 t 1 0   0 1 t 1  M = t 1 0 0   t 1 0 t    SEPT 99 40. Si dos sistemas de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas AX = B y AX= B’ tienen la misma matriz de coeficientes A, ¿puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible y determinado?

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