´ noma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco Universidad Auto Departamento de Energ´ıa 2 ´ Area de Ingenier´ıa Energ´ etica y Electromagn´ etica∇

Ejercicios Tipo Examen: Transformadores y M´aquinas S´ıncronas (1131074)

25 de mayo de 2016

1. El circuito magn´etico mostrado en la Figura 1 tiene las siguientes dimensiones: Ac =Ag =9 cm2 , g=0.05 cm, lm = 30 cm y N = 500 vueltas. Considere un valor de permeabilidad relativa µr = 70000 para el material del n´ ucleo. Calcular a) la inductancia L. Si la densidad de flujo magn´etico en el n´ ucleo es de 0.8 T, b) la energ´ıa almacenada W y c) la magnitud del voltaje inducido cuando el flujo var´ıa de forma senoidal a una frecuencia de 50 Hz.

i g

Figura 1: Circuito magn´etico del problema 1. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Se recomienda dibujar el circuito equivalente el´ectrico.

1

La µr es la misma en todo el n´ ucleo. El flujo magn´etico φ es el mismo en el entrehierro y el n´ ucleo. El ´area de secci´ on transversal del entrehierro Ag es la misma que la del n´ ucleo Ac Para calcular L se necesita obtener la R del circuito magn´etico. La longitud media del n´ ucleo ya la proporciona el problema. Para calcular la energ´ıa almacenada W se necesita conocer la corriente i. Ecuaciones fundamentales:

L=

Nφ N2 λ = = i i R

(1)

Rc =

lm Ac µ

(2)

Rg =

g Ag µ0

(3)

1 W = Li2 2

(4)

donde: lm = longitud media. φ= flujo magn´etico. i= corriente el´ectrica. N = n´ umero de vueltas. W = energ´ıa magn´etica almacenada. Ac = ´area de secci´ on transversal del n´ ucleo. Ag = ´area de secci´ on transversal del entrehierro. ucleo. Rc = reluctancia del n´ Rg = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µr = permeabilidad relativa. µ0 = permeabilidad del vac´ıo.

2

i N = 1000 vueltas r = 10 m a = 0.05 m

-

Figura 2: Circuito magn´etico del problema 2.

2. El circuito magn´etico que se muestra en la Figura 2 consta de una bobina devanada en un anillo. El anillo est´ a hecho de un material magn´etico cuya permeabilidad µr =1. El radio del toroide es r=10 m y se mide desde su centro hasta donde se indica. La geometr´ıa del toroide es tal que la intensidad Ni . de campo magn´etico H puede considerarse 0 fuera del dispositivo. Bajo esta suposici´ on, H = 2πr Calcular: a) la longitud media del n´ ucleo lc y el ´area de la secci´ on transversal del n´ ucleo Ac , b) la reluctancia del n´ ucleo Rc , c) la inductancia L de la bobina y d) la energ´ıa total almacenada W en el toroide si la bobina se carga con una densidad de flujo magn´etico B=2.0 T. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. La µ es la misma en todo el n´ ucleo. Para calcular L se necesita obtener la R del circuito magn´etico. La longitud media se puede obtener calculando el per´ımetro de un c´ırculo de radio r. Para calcular la energ´ıa almacenada W se necesita conocer la corriente i. Ecuaciones fundamentales:

L=

Nφ λ = i i

Rc =

lm Ac µ

(5)

(6)

B = µH

(7)

1 W = Li2 2

(8)

donde: Fmm = fuerza magnetomotriz.

3

lm = longitud media. i= corriente el´ectrica. N = n´ umero de vueltas. Ac = ´area de secci´ on transversal del n´ ucleo. ucleo. Rc = reluctancia del n´ µ= permabilidad del material. µr = permeabilidad relativa. µ0 = permeabilidad del vac´ıo. B= densidad de flujo magn´etico. H= intensidad de campo magn´etico.

4

3. El circuito magn´etico de la Figura 3 consiste en una pila de anillos de altura h = 2 cm. Los anillos tienen un radio interno Ri = 3,4 cm, un radio externo Ro = 4 cm y un entrehierro g = 0,2 cm. Asuma que el n´ ucleo tiene permeabilidad infinita. Para N = 65 vueltas, calcular a) la longitud media del n´ ucleo lm y el ´area de la secci´ on transversal del n´ ucleo Ac , b) la reluctancia del n´ ucleo Rc y la reluctancia del entrehierro Rg , c) la inductancia L, d) la corriente I0 requerida para tener una densidad de flujo magn´etico en el entrehierro de Bg = 1,35 T y e) los eslabonamientos de flujo λ correspondientes.

Ro Ri

g

Figura 3: Circuito magn´etico circular del problema 3. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Para calcular las ´ areas y la longitud media, es importante tomar en cuenta la geometr´ıa del circuito magn´etico. Para calcular L e I0 se necesita obtener la R del circuito magn´etico. Ecuaciones fundamentales:

L=

Nφ N2 λ = = i i R

(9)

Rc =

lm Ac µ

(10)

Rg =

g Ag µ0

(11)

donde: lm = longitud media. φ= flujo magn´etico. i= corriente el´ectrica.

5

N = n´ umero de vueltas. Ac = ´area de secci´ on transversal del n´ ucleo. Ag = ´area de secci´ on transversal del entrehierro. ucleo. Rc = reluctancia del n´ Rg = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µr = permeabilidad relativa. µ0 = permeabilidad del vac´ıo.

6

1.1l

l

i N

l

l A

2A A 1.1l

l

Figura 4: Circuito magn´etico del problema 4.

4. El circuito magn´etico que se muestra en la Figura 4 se compone de un n´ ucleo hecho de un material cuya permeabilidad relativa µr =400 y se considera la misma en todo el n´ ucleo. La secci´ on A=10 cm2 2 es la misma en toda la estructura excepto en la columna izquierda, donde vale 20 cm . La longitud on del l es igual a 10 cm. Considere N =100 vueltas, calcular: a) las R correspondientes a cada secci´ n´ ucleo, b) el flujo magn´etico φc en el brazo central y c) la corriente i que debe aplicarse a la bobina para establecer en la columna derecha del n´ ucleo magn´etico un flujo de 10−3 Wb. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Las medidas tienen que estar en m. Se recomienda plantear el circuito equivalente el´ectrico. La µr es la misma en todo el n´ ucleo. Adem´as, µ=µ0 µr . Las secciones del n´ ucleo que tengan la misma longitud media y ´area, tienen la misma R. El φc en la columna central es igual a la suma de los flujos magn´eticos de la columna izquierda φi y derecha φd . Para conocer φi , es necesario conocer la Fmm en la columna izquierda. Para calcular la i en la bobina es necesario conocer φc y la ℜ equivalente de todo el circuito magn´etico. Ecuaciones fundamentales:

Fmm = N i = φR Rc =

lm lm = Aµ Ac µ0 µr

(12)

(13)

7

donde: Fmm = fuerza magnetomotriz. lm = longitud media. φ= flujo magn´etico. i= corriente el´ectrica. N = n´ umero de vueltas. Ac = ´area de secci´ on transversal del n´ ucleo. ucleo. Rc = reluctancia del n´ µ= permabilidad del material. µr = permeabilidad relativa. µ0 = permeabilidad del vac´ıo.

8

2 cm

i 8 cm

N

g

2 cm

2 cm

6 cm

8 cm

6 cm

2 cm

6 cm

Figura 5: Circuito magn´etico del problema 5.

5. El circuito magn´etico que se muestra en la Figura 5 se compone de un n´ ucleo cuya curva B-H viene 1,6H dana por: B = 75+H . Calcular: a) las ℜ correspondientes a cada secci´ on del n´ ucleo y b) la corriente i que debe aplicarse a la bobina para establecer una densidad flujo magn´etico Bg =0.8 T en el entrehierro g=0.1 cm. N =100 vueltas. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. Las medidas tienen que estar en m. Se recomienda plantear el circuito equivalente el´ectrico. La µr es la misma en todo el n´ ucleo. El problema proporciona de manera impl´ıcita µr , B=µH=µr µ0 H. Las secciones del n´ ucleo que tengan la misma longitud media y ´area, tienen la misma R. Para calcular la i en la bobina es necesario conocer el flujo magn´etico en la columna central φc y la R equivalente de todo el circuito magn´etico. El φc en la columna central es igual a la suma de los flujos magn´eticos de la columna izquierda φi y derecha φd . El flujo en la columna derecha φd se conoce de manera impl´ıcita debido a que el problema proporciona la densidad de flujo magn´etico Bg en esa columna. Para conocer φi , es necesario conocer la Fmm en la columna izquierda. Ecuaciones fundamentales:

Fmm = N i = φR

(14)

9

Rc =

lm lm = Aµ Aµ0 µr

(15)

g Ag µ0

(16)

Rg =

B = µH = µ0 µr H

(17)

donde: Fmm = fuerza magnetomotriz. lm = longitud media. φ= flujo magn´etico. i= corriente el´ectrica. N = n´ umero de vueltas. Ac = ´area de secci´ on transversal del n´ ucleo. Ag = ´area de secci´ on transversal del entrehierro. ucleo. Rc = reluctancia del n´ Rg = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µr = permeabilidad relativa. µ0 = permeabilidad del vac´ıo. B= densidad de flujo magn´etico. H= intensidad de campo magn´etico.

10

I0 N1 vueltas

μ→∞

W

Profundidad D

x g Émbolo μ→∞ N2 vueltas g

h >> g

+ v2 Figura 6: Circuito magn´etico 5.

6. El circuito de la Fig. 6 tiene un ´embolo hecho de un material magn´etico que est´ a soportado y puede desplazarse hacia dentro y afuera del n´ ucleo fabricado con el mismo material cuya permeabilidad se considera µ→∞. El n´ ucleo magn´etico y el ´embolo tienen una profundidad D. El movimiento del ´embolo es tal que su posici´ on est´ a limitada de 0≤x≤W y cuando est´ a en la posici´ on w, la R es infinita puesto que h >> g. No obstante, cuando el ´embolo est´ a en la posici´ on x la u ´nica R que existe es la de los dos entrehierros. El n´ ucleo magn´etico est´ a devanado por dos bobinas (1 y 2). La bobina 1 tiene N1 vueltas y una corriente constante I0 (CD). La bobina 2 se encuentra en circuito abierto. Calcular a) la inductancia mutua entre la bobina 1 y 2 como una funci´on de la posici´ on del ´embolo y b) hallar la expresi´ on del voltaje inducido en la bobina 2 si el ´embolo es movido por una fuente externa tal que su movimiento est´ a dado por: x(t) = W (1+ε2 sin ωt) con ε < w/2. Observaciones: Se necesita encontrar la inductancia mutua L12 =L21 . Para se debe hallar la ℜ del circuito magn´etico. Cuando el ´embolo esta en la posici´ on w, la ℜ es infinita puesto que h≫g. Cuando el ´embolo est´ a en la posici´ on x la u ´nica ℜ que existe es la de los dos entrehierros porque el n´ ucleo tiene permeabilidad infinita. Sin embargo, su ´area de secci´ on transversal es variable. El voltaje en la bobina 2 es inducido por la bobina 1, por lo que la inductancia mutua L12 = L21 juega un papel importante. g Ag µ0

(18)

Nφ N2 λ = = i i R

(19)

ℜg = L=

11

L12 = L21 =

N1 N2 R

(20)

donde: I0 = corriente el´ectrica. N = n´ umero de vueltas. Ag = ´area de secci´ on transversal del entrehierro. g= dimensi´on del entrehierro. Rg = reluctancia del entrehierro. µ= permabilidad del material. µr = permeabilidad relativa. µ0 = permeabilidad del vac´ıo. B= densidad de flujo magn´etico. H= intensidad de campo magn´etico. λ= encadenamientos de flujo. L12 =L21 = inductancia mutua entre el devanado 1 y 2.

12

Núcleo Magnético

g2

Área A2

I1 N1

Área A1 N2 g1

I2

Figura 7: Circuito magn´etico 7.

7. El circuito magn´etico que se presenta en la Fig. 7 tiene dos devanados (con N1 y N2 vueltas) y dos entrehierros de dimensiones g1 y g2 . Considere que la permeabilidad del n´ ucleo es infinita µ→∞. a) Si I1 6=0 e I2 =0, calcule: la densidad de flujo magn´etico Bg1 y Bg2 en cada uno de los entrehierros, y los encadenamientos de flujo de cada devanado λ1 y λ2 , b) repetir el inciso a) pero ahora I2 6=0 e I1 =0 y c) repetir el inciso a) pero ahora I1 6=0 y I2 6=0. Observaciones: Es necesario dibujar el circuito equivalente el´ectrico. Para todos los incisos, el circuito magn´etico debe de analizarse como un circuito el´ectrico. Para el inciso c), es necesario conocer la inductancia mutua entre devanados. λ = Nφ

(21)

B = φA

(22)

L12 = L21 =

N1 N2 R

(23)

donde: N = n´ umero de vueltas. A= ´area de secci´ on transversal. g= dimensi´on del entrehierro. R= reluctancia. B= densidad de flujo magn´etico. λ= encadenamientos de flujo. L12 =L21 = inductancia mutua entre el devanado 1 y 2.

13