LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

El concepto de logaritmo: una revisión histórica, bibliográfica y una propuesta didáctica en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico

Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología NIECyT Departamento de Formación Docente Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires UNCPBA

Mayo 2016

El concepto de logaritmo: una revisión histórica, bibliográfica y una propuesta didáctica en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico

Profesora María Daniela Sanabria

Tesis de Licenciatura realizada bajo la dirección de la Dra. Viviana Angélica Costa presentada en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, como requisito parcial para la obtención del título de Licenciado en Educación Matemática Tandil –Mayo 2016.

2

CONTENIDO Resumen ........................................................................................................................... 7 Capítulo 1 ......................................................................................................................... 8 Introducción ...................................................................................................................... 9 Utilidad del logaritmo en las diferentes disciplinas ...................................................... 9 El logaritmo y su enseñanza ....................................................................................... 13 Objetivos de la investigación ...................................................................................... 14 Preguntas de investigación.......................................................................................... 15 Capítulo 2 ....................................................................................................................... 16 Revisión Histórica .......................................................................................................... 17 Tablas Logarítmicas .................................................................................................... 21 Tabla de base 2 (aproximando en tres decimales)................................................... 22 Tabla de base 10 (aproximando en tres decimales)................................................. 22 Construcción de la tabla logarítmica en base 10 (aproximación con 3 decimales) . 23 Aportes de la revisión histórica a la investigación...................................................... 26 Capítulo 3 ....................................................................................................................... 27 Revisión Bibliográfica .................................................................................................... 28 Investigaciones sobre las dificultades en la comprensión de la noción de logaritmo ................................................................................................................................. 28 Aportes de la revisión bibliográfica a la investigación ............................................... 31 Capítulo 4 ....................................................................................................................... 32 Marco institucional ......................................................................................................... 33 Diseño Curricular de la Escuela Secundaria y el concepto de logaritmo................ 33 Definición de logaritmos en los libros de texto .......................................................... 35 Descripción de libros escolares de educación matemática secundaria ................... 35 Aportes de la descripción al análisis del marco institucional a la investigación ........ 39 Capítulo 5 ....................................................................................................................... 40 Marco Teórico ................................................................................................................ 41 Actividades de estudio e Investigación: Dispositivos de estudio ............................... 43 3

Capítulo 6 ....................................................................................................................... 45 PROPUESTA DE UNA AEI PARA LA ENSEÑANZA DE LOGARITMO ............... 46 Propuesta Didáctica .................................................................................................... 47 Modelo Praxeológico de Referencia ........................................................................... 47 Conclusiones................................................................................................................... 57 Referencias ..................................................................................................................... 58

4

TABLAS Tabla 1: Relación entre progresiones ............................................................................. 17 Tabla 2: Progresiones en base 2 ..................................................................................... 19 Tabla 3: Tabla de Stifel .................................................................................................. 21 Tabla 4: Tabla de base 2 ................................................................................................. 22 Tabla 5: Tabla de base 10 ............................................................................................... 22 Tabla 6: Construcción de tabla logarítmica en base 10 .................................................. 23 Tabla 7: Tabla de logaritmos decimales (Los valores que aparecen en la tabla son los de la mantisa redondeada a las milésimas) .......................................................................... 25 Tabla 8: Cuadro Bibliográfico ........................................................................................ 30

5

ILUSTRACIONES Ilustración 1: Mapa Curricular. Diseño Curricular para ES 5°Año . DGCyE. Pcia Bs. As ........................................................................................................................................ 34 Ilustración 2: Diseño Curricular para ES 5°Año. DGCyE. Pcia Bs. As. Pp 17. ............ 34 Ilustración 3: Bachillerato LOGSE Matemáticas I ......................................................... 35 Ilustración 4: Nueva Carpeta de Matemática VI ............................................................ 36 Ilustración 5: Matemática Polimodal. Funciones 2 ........................................................ 36 Ilustración 6: Matemáticas. Bachillerato 2 ..................................................................... 37 Ilustración 7: Propiedades del Logaritmo. Nueva Carpeta de Matemática VI ............... 38

6

“EL CONCEPTO DE LOGARITMO: UNA REVISIÓN HISTÓRICA, UNA REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA Y UNA PROPUESTA DIDÁCTICA EN EL MARCO DE LA TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LA DIDÁCTICA”

RESUMEN

El presente trabajo tiene como finalidad analizar las potencialidades de una enseñanza basada en Actividades de Estudio e Investigación (AEI) referido al concepto matemático: logaritmo. Para ello se expone una breve revisión histórica y bibliográfica, se describe el contexto institucional (Quinto año de una Escuela Secundaria de la Provincia de Buenos Aires.), en el cual podría ser implementado el diseño de la propuesta didáctica que se presenta en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Palabras claves: logaritmo, progresiones, enseñanza de la matemática, escuela secundaria, Actividades de Estudio y de Investigación.

7

CAPÍTULO 1

8

INTRODUCCIÓN

Los logaritmos como concepto matemático, desde el momento de su invención, han sido el motor de distintas ramas de las matemáticas y las ciencias. La palabra logaritmo proviene de las palabras logos (razón) y arithmos (números) e indica que la diferencia entre los términos de la progresión aritmética se corresponde a la razón de los términos de la progresión geométrica. Matemáticamente el concepto se define como:

Los logaritmos tienen una gran importancia en la ciencia y su surgir no fue de forma inmediata. Desde el momento de su origen, han facilitado la resolución de cálculos complejos, los cuales han contribuido al avance y al desarrollo de la ciencia. Los logaritmos nacieron como una herramienta para resolver problemas muy prácticos y su importancia está en la simplificación que supone para multitud de cálculos. Sin los logaritmos y su contribución, sería imposible conseguir muchísimos de los avances que hasta ahora han sido posibles. Entre los muchos avances a los que ha contribuido está el de la astronomía, en la navegación marítima y la matemática aplicada, en la economía, en la música, en la topografía, en la biología, etc.

UTILIDAD DEL LOGARITMO EN LAS DIFERENTES DISCIPLINAS 

Logaritmo y la Astronomía: La magnitud absoluta

es la magnitud aparente

que tiene un objeto si estuviera a una distancia de 10 parsecs (aproximadamente

años luz o

). La magnitud aparente de

un cuerpo celeste, planeta o estrella es una medida de su brillo, es decir, de la cantidad de luz que se recibe de dicho objeto. La fórmula que permite establecer la magnitud absoluta es: 9

donde 

es la distancia en parcecs.

Logaritmo y la Química: El pH (potencial de hidrógeno) es una medida de acidez o alcalinidad de una disolución. El pH indica la concentración de iones hidronio [

] presentes en determinadas sustancias. Este término fue acuñado

por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el logaritmo negativo en base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es: ( 

)

Logaritmo y la Arqueología: Los arqueólogos utilizan los logaritmos cuando datan la antigüedad de los restos orgánicos por el método del carbono 14 ( La velocidad de desintegración del

).

en la materia se relaciona con su edad a

través de la siguiente ecuación: ⁄

donde

es la cantidad de

(

original del fósil al morir;

final del fósil al encontrarlo, semidesintegración del

)

⁄

es la cantidad de es el período de

y es el tiempo estimado de antigüedad del fósil.

Otra fórmula que es utilizada para determinar la antigüedad de un fósil es: ( 

)

Logaritmo y la Música: Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el número de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Considerando que la nota do de la octava más baja, que representaremos por cero, está determinada por

vibraciones por segundo. El do de la primera

octava producirá

vibraciones, el do de

-ésima octava producirá

vibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol será la 7ª, la será la 9ª, la 12ª será de nuevo do, en una octava más alta, etc. Como en la escala cada nota tiene √ más vibraciones que las anteriores, entonces el número de éstas en cualquier tono se puede expresar con la fórmula:

10

( √ ) donde

es la ubicación de la nota de la escala cromática y

es el número de

vibraciones. Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad (

) y aplicando los logaritmos a base 2, se tiene que:

En el tono la de la segunda octava; 2 es la característica del logaritmo del número de vibraciones y

la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Así

y el número de vibraciones es

veces mayor que las

del tono do de la 1a octava. Por tal motivo, los pentagramas tienen relación con la escala logarítmica. 

Logaritmo y la Geología: Los logaritmos se utilizan para medir los movimientos sísmicos. Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de los sismos es la escala Richter y mide la energía liberada por el movimiento de rotura de las rocas. La relación entre la magnitud liberada

del sismo y la energía

, es: .

Se deduce de esta igualdad que un aumento de un punto en la escala de medida equivale a multiplicar, aproximadamente por 30 la energía liberada en la situación anterior. Los grados en la escala de Richter de intensidad se calculan mediante la expresión ( ) donde

es la amplitud medida en micrómetros (1 micrómetro = 10-4 cm) y

es

el período medido en segundos. 

Logaritmo y la Psicología: Según la ley de Fechner, mientras que la intensidad de una sensación crece en progresión aritmética, el estímulo crece en progresión geométrica. La formulación matemática de esta ley es la siguiente:

11

siendo S la sensación, E el estímulo y K es una constante, la constante de Weber, distinta para cada modalidad sensorial. Otra de las aplicaciones en la psicología es un modelo para describir el tiempo de aprendizaje de una serie de símbolos por una persona está dada por la ecuación: ( donde para cada persona

y

)

se determinan empíricamente y

es el número

de símbolos a aprender en horas. 

Logaritmo y la Medicina: Cuando una mujer queda embarazada, se produce una hormona llamada gonadotropina coriónica humana. Dado que los niveles de esta hormona aumentan de forma exponencial, y a diferentes velocidades con cada mujer, el logaritmo se puede utilizar para determinar cuándo se produjo el embarazo y para predecir el crecimiento del feto. Otra aplicación en el campo de la medicina es el cálculo de la intensidad del sonido. La intensidad es el flujo de energía por unidad de área que produce medida en watts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido mínima que puede escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente

W/m 2. La

sonoridad de un sonido se define como: ( donde I es la intensidad y

)

se mide en decibelios.

Asimismo encontramos, dentro de las aplicaciones en la medicina, la fórmula de Ehrenberg:

ln P  ln 2, 4  1,84  A

Es la fórmula que relaciona el peso P (en kg) con la altura A (en metros) de niños entre 5 y 13 años de edad. 

Logaritmo y la Economía: Se puede aplicar en la oferta y la demanda; que son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico

12

contemporáneo. Se utiliza los logaritmos para poder medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo. La fórmula que relaciona la cantidad de dinero M y tiempo invertido a una tasa de interés anual es: ( Donde

es el capital invertido,

)

es la cantidad de años transcurridos e

es la

tasa de interés. Así para determinar el tiempo , sólo basta con aplicar logaritmo. ( ) ( 

)

Logaritmo y la Estadística: una de las aplicaciones es para calcular el crecimiento de la población.



Escala Logarítmica: es una escala de medida que utiliza el logaritmo de una cantidad física en lugar de la propia cantidad. Un ejemplo sencillo de escala logarítmica muestra divisiones igualmente espaciadas en el eje vertical de un gráfico marcadas con 1, 10, 100, 1000, ... en vez de 0, 1, 2, 3, ... Si la magnitud a representar no es una potencia entera de la base de logaritmos empleada, para representar dicha medida en la escala logarítmica habrá que añadirle una constante aditiva. Por ejemplo, si la base de la escala logarítmica es 10: log10  1 ; log100  2 log 40  log10  log 4  1  0, 6  1, 6

La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los datos cubren una amplia gama de valores, el logaritmo los reduce a un rango más manejable.

EL LOGARITMO Y SU ENSEÑANZA Generalmente en la mayoría de las situaciones escolares, la enseñanza de logaritmo se realiza de manera mecánica y fuera de contexto. En una clase tradicional de matemática se introduce la definición de logaritmo, se muestran ejemplos, se enuncian (sin demostración alguna) y se dan ejemplos de las propiedades y finalmente se realizan los 13

ejercicios, siendo éste el único papel del alumno: reproducir, de una forma sistemática, lo que el profesor presenta; dejando de lado el contexto histórico que dio origen al logaritmo como herramienta para simplificar cálculos que permiten realizar multiplicaciones, divisiones y potencias de manera rápida. Como docentes esperamos que nuestros alumnos aprendan significativamente el concepto de logaritmo y las propiedades que conllevan. Pero, uno de los mayores obstáculos que existe es la enseñanza de los logaritmos como forma de aplicación evaluando en una fórmula. Por este motivo, es recomendable enseñar el concepto de logaritmo de forma tal, que los alumnos se apropien con sentido de dicho concepto. Abrate y Pochulu (2007) escriben: Creemos que muchas veces el modo en que se enseña Matemática dificulta que se comprenda la relevancia del tema, que se entiendan los obstáculos del pasado y que adquiera real sentido, al menos en parte, para muchos de nuestros alumnos. Enseñar contenidos matemáticos desprovistos de su historia suele acarrear el inconveniente de que pueden ser concebidos por los alumnos como algo artificioso y arbitrario de esta ciencia. La perspectiva histórica no sólo permite conocer cómo se crearon y construyeron los conceptos y las teorías que hoy manejamos, producto de un trabajo acumulativo, sino también, faculta para comparar técnicas y métodos actuales con otros que se utilizaron en el pasado. Así, el quehacer matemático se torna valioso al poner de manifiesto que un mismo problema se resolvió de maneras diferentes en distintas época. (pp 1)

OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN En este contexto, el presente trabajo tiene como finalidad analizar las potencialidades de una enseñanza basada en Actividades de Estudio e Investigación (AEI) referido al logaritmo en relación a su valor como herramienta algebraica, de utilidad por ejemplo para el análisis de funciones logarítmicas y la resolución de ecuaciones logarítmicas, que proporcione al estudiante los conceptos y técnicas necesarias para dar respuesta a situaciones problemáticas y que no se limite a una presentación desarticulada y carente de sentido de los mismos.

14

Para ello se hará una breve revisión histórica y bibliográfica, como así también un análisis en el marco institucional acerca del logaritmo y su enseñanza, para finalmente presentar una propuesta didáctica, en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico que pueda ser implementada en Quinto año de una Escuela Secundaria de la Provincia de Buenos Aires.

PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN Las preguntas que guían la presente investigación son: ¿Cuáles actividades de estudio e investigación podrían proponerse a los estudiantes de un curso de quinto año de la escuela secundaria para estudiar con sentido y funcionalidad el concepto de logaritmo? ¿Cuáles organizaciones matemáticas sería posible construir o reconstruir durante el desarrollo de una AEI propuesta para el estudio del concepto logaritmo que contemple su contexto histórico?

15

CAPÍTULO 2

16

REVISIÓN HISTÓRICA

La necesidad de simplificar los cálculos en campos como la navegación, la agrimensura y la astronomía, tal como se mencionó en algunas utilidades (pag. 13), dio origen al concepto de logaritmo que permitió enfrentar este problema antiguo, que actualmente se resuelven por medio de calculadoras, computadoras y/o aplicaciones digitales. Hasta el siglo XVI la escritura de los números racionales como una parte entera más una fracción de la unidad hacía incluso de la suma una operación muy compleja y los algoritmos de la multiplicación y de la división eran desconocidos. El concepto de logaritmo se remonta hasta los estudios de Arquímedes y se origina a partir de la comparación entre una progresión aritmética y una progresión geométrica.

Progresión Aritmética Progresión Geométrica Tabla 1: Relación entre progresiones

Los valores correspondientes a la progresión aritmética son llamados logaritmos y los valores correspondientes a la progresión geométrica son llamados antilogaritmos. Según Lefort (2001): Cuando varios números están en proporción continua a partir de la unidad, y algunos de estos números se multiplican entre sí, el producto estará en la misma progresión, alejado del más grande de los números multiplicados tantos números como el más pequeño de los números multiplicados lo está de la unidad en la progresión, y alejado de la unidad la suma menos uno de los números de lugares que los números multiplicados están alejados de la unidad" (Arenario, trad. Verecke) Estos números, llamados logaritmos, permiten reemplazar las multiplicaciones por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por cocientes, 17

lo que no sólo simplifica enormemente la realización manual de cálculos matemáticos, sino que permite realizar otros que sin su invención no habrían sido posibles. El origen de los logaritmos se dio mediante dos enfoques: los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo interés compuesto asignados a la economía. En 1614 Napier 1publica su obra “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicatio” en la que da a conocer los logaritmos, en donde él los llamó “números artificiales”, y utilizando una aproximación cinemática pone en relación una progresión geométrica con una progresión aritmética. En 1619 apareció una segunda obra, "Mirifici logarithmorum canonis constructio" donde explica cómo calcular los logaritmos, mediante tablas de logaritmos. La tabla de Napier no daba los logaritmos de la sucesión de los números naturales, sino de los valores de los senos de 0º a 90º. Para obviar los números negativos y para que los términos de su progresión geométrica fueran potencias enteras muy cercanas a un seno dado, tomó como razón un número próximo a la unidad, pero menor que ella:

Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción o razón, y ἀριθμός (arithmos) cuyo significado es número, y se define, literalmente, como “un número que indica una relación o proporción”. Las tablas de logaritmos de Napier tenían la ventaja de que las largas multiplicaciones se podían sustituir por sumas. El producto de dos términos de la progresión geométrica, y

, está asociado el término que corresponde a la suma

de la progresión

aritmética.

1

John Napier, barón de Merchiston, llamado también Neper o Nepair (1550 -1617) fue un matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. También hizo común el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas y aportó la construcción de las primeras tablas de multiplicar.

18

Por ejemplo, dadas las progresiones: P.A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

P. G

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192

Tabla 2: Progresiones en base 2

Para realizar el producto de

se procede como sigue:

 Al 128 en el segundo renglón le corresponde el número 7 en el primer, y al 32 le corresponde el 5  La suma de estos números es: 7 + 5 = 12  Al número 12 en el segundo renglón le corresponde el 4096 en el primero Entonces, 128 × 32 = 4096, y este resultado se obtuvo mediante una operación de suma. Henry Briggs2 retoma la idea fundamental de Napier pero considerando una progresión geométrica simple, la de las potencias de 10. En el año 1617, año de la muerte de Napier, Briggs publicó sus “Logarithmorum chilias prima”, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1000, con una precisión de 14 decimales. En 1624 publica "Arithmetica Logarithmica" que contenía los logaritmos de "Briggs" con 14 cifras para los enteros de 1 a 20000 y de 90000 a 100000. En la obra de Briggs aparece la palabra característica (parte entera), mientras que la palabra mantisa (parte decimal) fue utilizada por primera vez por Wallis en 1693. Los valores entre 20000 y 90000 la completó Ezechiel De Decker3, el cual ayudado por Adriaan Vlacq4, publicó en 1627 una tabla de logaritmos completa. Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento: Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos. A través de ello se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones, transformándolo en algo completamente simple a través de la sustitución de la multiplicación por la adición y la división

2

Henry Briggs (Warley Wood, 1561-Oxford, 1631) Clérigo y matemático inglés notable. Profesor en Cambridge y Oxford, elaboró unas tablas astronómicas y de navegación, si bien su obra principal la constituyen las completísimas tablas de logaritmos decimales que publicó entre 1618 y 1620. 3 Ezechiel De Decker (1603-1647) fue un agrimensor holandés y profesor de matemáticas. 4 Adriaan Vlacq (1600- 1667) fue un editor y autor de tablas matemáticas holandés.

19

por la substracción. Además, el cálculo de las raíces se realiza también con gran facilidad. Los logaritmos de Napier se conocieron en Europa debido a la difusión de Kepler, quien consideró el aspecto analítico del logaritmo como una función, y a las tablas publicadas por Vlacq retomando las tablas de Briggs. El objetivo de Vlacq fue proporcionar un tratado de cálculo práctico, especialmente a los agrimensores. Jobst Bürgi5 consideró por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. En 1620 publicó sus tablas logarítmicas bajo el título “Arithmetische und geometrische Progress Tabulen”. Observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier razón racional q. Bürgi utilizó como base, aunque él mismo no lo supiera, el número: (

)

(

)

valor próximo al número El hecho de que Napier trabajara originalmente con senos, lleva a decir que el enfoque de su trabajo fue geométrico. En Bürgi, por el contrario, se habla de un enfoque algebraico pues su trabajo se basa más directamente en la relación entre series geométricas y aritméticas. Miguel Stifel6 retoma la comparación de dos sucesiones: una aritmética (que llamamos logaritmos) y otra geométrica (que llamamos antilogaritmos). Por antilogaritmo nos referimos a: El logaritmo de un número elevarse la base logaritmo de

en una cierta base

para obtener dicho número

en una base , entonces

es el exponente al que debe Análogamente, si

es el

es el antilogaritmo de en dicha base.

5

Joost Bürgi o Jobst Bürgi (1552 -1632) fue un relojero y matemático suizo. El método de los logaritmos de Bürgi es completamente diferente al de Napier y ambos los descubrieron por caminos completamente independientes. 6 Michael Stifel (1487-1567), fue un matemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una primigenia forma de tablas logarítmicas antes que John Napier

20

En símbolos:

o bien

Publicó en Nuremberg su obra "Arithmetica integra", en el año 1544. En esta obra se encuentra por primera vez el cálculo con potencias de exponente racional cualquiera y, en particular, la regla de la multiplicación:

, para todos los números

racionales n, m. Stifel realiza la primera tabla de logaritmos que existe, aunque muy elemental. Contiene sólo los números enteros desde -3 hasta 6, y las correspondientes potencias de 2: P.A

-3

P. G

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

1

2

4

8

16

32

64

Tabla 3: Tabla de Stifel

En su libro, Stifel hace referencia a que la suma en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la geométrica, lo mismo que la resta en la primera corresponde a la división en segunda. La simple multiplicación en la sucesión aritmética, corresponde a la multiplicación por sí mismo, potenciación, en la geométrica; y la división en la primera corresponde a la extracción de la raíz en la segunda. Por ejemplo:

8  32  23  25  235  28  256 512 : 32  29 : 25  24  16 64  43   22   22  22  22  26  64 3

Las investigaciones dan muestra a las distintas transformaciones del logaritmo, principalmente las transformaciones numéricas que pueden lograrse con el uso de las propiedades de los logaritmos, y también, la disminución de la complejidad operativa en los cálculos aplicados a las distintas disciplinas científicas.

TABLAS LOGARÍTMICAS Toda tabla de logaritmos es a la vez tabla de antilogaritmos.

21

TABLA DE BASE 2 (APROXIMANDO EN TRES DECIMALES)

0 +1

1 +1

+1

*2 *2

√

+1

*2

2,5 3

√

+1

1,5 2

+1

*2

0,5

*2

√

+1

*2 *2

3,5

√

4 Tabla 4: Tabla de base 2

TABLA DE BASE 10 (APROXIMANDO EN TRES DECIMALES)

-2

+1

*10 -1

*10

+1 0

+1

*10

1

*10

+1 +1

2

*10

3 Tabla 5: Tabla de base 10

Así, para calcular podemos realizar el siguiente razonamiento: √

(

)

22

Tomando como referencia el valor anterior y aplicando las propiedades que cumple el logaritmo, se puede establecer el valor numérico de:

( (

(

)

(

) ) )

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA LOGARÍTMICA EN BASE 10 (APROXIMACIÓN CON 3 DECIMALES)

0

10

1

0,301

20

1,301

0,477

30

1,477

0,602

40

1,602

0,698

50

1,698

0,778

60

1,778

0,845

70

1,845

Tabla 6: Construcción de tabla logarítmica en base 10

Los logaritmos decimales se pueden escribir como suma de dos números: la característica y la mantisa. La característica de un logaritmo decimal es el número entero inmediatamente inferior o igual a dicho logaritmo y la mantisa de un logaritmo decimal es la diferencia entre el logaritmo y su característica. Por ejemplo: log 345  2,5378 , donde la característica es 2 y la mantisa es 0,5378. 23

Para establecer el valor del logaritmo decimal, por ejemplo de 345, utilizando las tablas decimales debemos analizar la característica basándonos en el número dado. La mantisa se obtiene mediante las tablas. Considerando el número al cual se le calculará el logaritmo, se presentan dos casos 

Si el número es mayor que 1: En este caso, para determinar la característica que le corresponde, se resta una unidad al número de cifras de su parte entera. Esto se debe a que se divide el número dado entre la base del logaritmo, hasta obtener otro número menor que la base 10 y mayor que 1.



Si el número es menor que 1: Para determinar la característica se suma la unidad al números de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa. Dicha característica es negativa. Esto se debe a que se multiplica el número dado entre la base del logaritmo, hasta obtener otro número menor que la base, pero mayor que 1.

La mantisa de un número será la parte decimal y esta se calculará por medio de las tablas de logaritmos. Para su uso, tendremos en cuenta la siguiente Regla: 

Si el número dado consta de menos de tres cifras, debemos completar con ceros a la derecha hasta que se forme un número de tres cifras significativas, esto incluye los ceros.



Si el número formado consta de tres cifras: Las dos primeras cifras se buscan en la fila y la última en la columna, la cantidad de intercepción será la Mantisa.



Si el número formado consta de 4 cifras. Las dos primeras cifras se buscan en la fila y la última en la columna, la cantidad de intercepción será la Mantisa. La cuarta cifra de busca en la columna de las Partes Proporcionales (P.P) intercepción con la misma fila usada anteriormente.

De esta manera, podemos calcular el logaritmo de cualquier número, de manera aproximada, utilizando las tablas de logaritmos decimales.

24

Tabla 7: Tabla de logaritmos decimales (Los valores que aparecen en la tabla son los de la mantisa redondeada a las milésimas)

Por ejemplo si queremos calcular log 345 , utilizando la tabla de logaritmos decimales, debemos determinar la mantisa:

345  fila 34 columna 5 La mantisa correspondiente es 0,5378 La característica es 2, ya que hay que dividir dos veces para obtener un número menor que 10: 345 10  34,5; 34,5 10  3, 45

Así log345  2  0,5378  2,5378

25

El avance tecnológico ha ayudado a realizar los cálculos de una forma más simple, sin la necesidad de utilizar las tablas logarítmicas. En la actualidad se trabaja con calculadoras científicas y/o aplicaciones en dispositivos digitales que permiten el cálculo de logaritmos de manera rápida y fácil, otorgando así un valor con mayor grado de exactitud.

APORTES DE LA REVISIÓN HISTÓRICA A LA INVESTIGACIÓN Desde su inicio, el logaritmo y su estudio tuvo como finalidad simplificar productos y cocientes por simples sumas y restas, cálculo de potencias y raíces por fáciles multiplicaciones y cocientes. En síntesis, desde su origen se consideró al logaritmo como herramienta facilitadora de cálculos algebraicos. En este sentido, se considerará al logaritmo como herramienta para ser aplicable a problemas de contexto real, en el diseño de las actividades de estudio e investigación que se proponen para ser implementadas en su enseñanza.

26

CAPÍTULO 3

27

REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

INVESTIGACIONES SOBRE LAS DIFICULTADES EN LA COMPRENSIÓN DE LA NOCIÓN DE LOGARITMO

En esta sección se presenta una breve revisión bibliográfica, que aborda la problemática de la enseñanza de logaritmo. Se seleccionaron artículos con no más de 15 años de publicación, que hacen referencia explícita a la enseñanza de los logaritmos en la escuela secundaria como así también artículos que hacen referencia a la historia del mismo. Esto se resume en una Tabla (Tabla 4), en la cual se listan los autores, año de publicación, título del artículo y su resumen. Para luego presentar un análisis de los mismos. Autores

Título

Ferrari, Farfán (2001)

Una visión socioepistemológica. Intenta poner en evidencia las Estudio de la función logaritmo

Resumen

posibles causas de la “dislexia” en

el

discurso

matemático

escolar y concluye que la “dislexia” en el concepto de logaritmo es producida por la enseñanza axiomática de su definición

y

excesiva

algoritmización. El desarrollo de los logaritmos puede ser caracterizado por tres etapas: el logaritmo como transformación (momento de acción), como modelizador

(momento

de

formulación) y como objeto teórico

(momento

de

validación).

28

Ferrari (2004)

La Covariación Como Elemento En este artículo se discute la De

Resignificación

De

La noción de covariación como

Función Logaritmo

argumento

para

el

enriquecimiento del significado escolar de la función logaritmo. Presenta una breve reflexión sobre un ejemplo que se está desarrollando en torno de la función logaritmo enmarcado en

la

aproximación

socioepistemológica.

Abrate, Pochulu (2007)

Los

logaritmos,

desde

la

un

abordaje Proponen

Historia

de

recuperar

la reconstrucción

la

histórica

del

Matemática y las aplicaciones logaritmo, por medio de las actuales

sucesiones

aritméticas

y

geométricas.

Schubring, Gert (2008)

Gauss e a tábua dos logaritmos

Sostiene que entender las tablas de

logaritmo

como

herramientas de cálculo permite estudiar y analizar el concepto logaritmo,

para

su

mejor

comprensión.

Gacharná León (2012)

Algunas

consideraciones Identifica aspectos didácticos

didácticas sobre el concepto de de los conceptos logaritmo y logaritmo

y

de

función función logarítmica por medio

logarítmica y sus posibilidades en de las perspectivas disciplinar, la educación básica y media

Morales Martínez (2013)

Análisis

De

Transformaciones

histórica y epistemológica.

Las Analiza las dificultades que se De

Las presentan cuando el alumno

Representaciones Semióticas En realiza El

Estudio

De

La

actividades

de

Función aprendizaje sobre la función

29

Logarítmica En La Educación logarítmica, analizadas a través Escolar

de

los

registros

de

representación semiótica y las transformaciones realizan

que

sobre

se estas

representaciones. Tabla 8: Cuadro Bibliográfico

Gert Schubrings en su trabajo “Gauss e a tábua dos logaritmos” (2008) se refiere a la importancia de estudiar y analizar las tablas logarítmicas como herramienta para entender los logaritmos, ya que hoy existen diferentes tecnologías que permiten el cálculo de los logaritmos y omiten el significado de los mismos. “El ejemplo particular de una tabla logarítmica alemana conduce no sólo a reveladores estudios para determinar el autor de la misma, sino especialmente a descubrimientos epistemológicos entorno a la naturaleza y el desarrollo de la matemática, y a la relación entre la matemática pura y la matemática aplicada” (pp 383) Trabajos realizados por Ferrari, M. y Farfán, R (2001) sostienen que “El conocimiento se construye respondiendo a cuestionamientos enmarcados en un paradigma específico, en una época y cultura particulares, dentro de una sociedad que le confiere pertinencia, y que su transposición didáctica es inevitable” (pp 1). Las autoras intentan poner en evidencia las posibles causas de la “dislexia” en el discurso matemático escolar en torno a la noción logaritmo teniendo como último fin el generar hipótesis epistemológicas que permitan gestionar las variables pertinentes a una situación didáctica. Su trabajo acerca de la “dislexia” en el discurso matemático escolar en torno a la noción logaritmo, sostiene que en el discurso matemático escolar no se establecen relaciones entre el logaritmo, como herramienta facilitadora de operaciones, y la función logarítmica. Y esto produce dicha “dislexia”. Abrate, R y Pochulu, M. (2007), son quienes proponen enseñar logaritmos por medio de actividades, recuperando la construcción histórica de los mismos, con la finalidad de lograr la comprensión de los conceptos y procedimientos e intentando dotarlos de mayor sentido para los alumnos. Sostienen que la Historia de la Matemática es un valioso 30

aliado para abordar los logaritmos al proporcionar datos del origen de dicho concepto, el cómo y porqué; evitando así, el aprendizaje sin sentido por parte de los alumnos. En su trabajo “Ideas para la clase de logaritmos” (2007) presentan sugerencias de diseño de actividades para la clase de logaritmos. Proponen recuperar la construcción histórica por la que atravesaron, las nociones de progresión geométrica y aritmética, y algunas de sus múltiples aplicaciones. Oscar Gacharná León (2012) propone una secuencia de actividades para apoyar la construcción del concepto de logaritmo con la finalidad de comprenderlo. Se realiza una propuesta que le otorga importancia a las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas, para poder generar un significado más completo y que permita tener acceso a las diferentes aplicaciones del concepto de logaritmo. .

APORTES DE LA REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA A LA INVESTIGACIÓN En resumen, los artículos analizados, coinciden en cambiar el enfoque tradicional de la enseñanza del concepto logaritmo, por una enseñanza basada en el contexto histórico que le dio origen y que le otorga significado. Por ello, para la propuesta didáctica se tomará como referencia los trabajos realizados por Abrate, Pochulu (2007), por Gacharná León (2012) como así también la tesis presentada por Morales Martínez (2013); quienes presentan diferentes estrategias didácticas para la enseñanza de logaritmos.

31

CAPÍTULO 4

32

MARCO INSTITUCIONAL

DISEÑO CURRICULAR DE LA ESCUELA SECUNDARIA Y EL CONCEPTO DE LOGARITMO El Diseño Curricular para ES 5°Año (DGCyE, Pcia. de Buenos Aires, Argentina) sostiene que “el Ciclo Superior de la Escuela Secundaria representa para los jóvenes la oportunidad de profundizar contenidos matemáticos anteriores, analizarlos desde el punto de vista formal de la Matemática como ciencia, al mismo tiempo que se abre un espacio de construcción de nuevos conceptos” y propone “un cambio sustancial en el quehacer matemático del aula mediante el cual el docente, a partir de la asimetría, sea un motor importante en la construcción de conocimientos que cobren sentido dentro de la formación integral del alumno.” (Diseño Curricular para la Educación Secundaria 5o año: Matemática-Ciclo Superior, pp 9) Los contenidos de la materia Matemática-Ciclo Superior, presentados en el Diseño Curricular de la Provincia de Buenos Aires, se organizan en cuatro ejes: Geometría y Álgebra, Números y Operaciones, Álgebra y Funciones, Probabilidades y Estadística. En el eje Números y Operaciones, el concepto de logaritmo se trabaja como una operación entre números reales, la cual es útil para el estudio de las propiedades, que se deducen y se emplean en problemas que las requieran como herramientas. En tanto que dentro del eje Álgebra y Funciones, el concepto de logaritmo se introduce como inversa de la función exponencial, tal como se observa en la Ilustración 1. Dentro del bloque Números y Operaciones también se propone la enseñanza de Sucesiones, pero el propio Diseño no considera la relación entre la enseñanza del concepto logaritmo y de sucesiones.

33

Ilustración 1: Mapa Curricular. Diseño Curricular para ES 5°Año . DGCyE. Pcia Bs. As

El Diseño Curricular para ES 5°Año (DGCyE, Pcia. de Buenos Aires, Argentina), propone desde el eje Números y Operaciones lo que se observa en la Ilustración 2.

. Ilustración 2: Diseño Curricular para ES 5°Año. DGCyE. Pcia Bs. As. Pp 17.

34

En el mismo Diseño Curricular “se introduce al concepto del logaritmo desde el núcleo de funciones, como inversa de a función exponencial”, y no como una herramienta facilitadora de cálculo. No presenta relación alguna entre sucesiones aritméticas y geométricas.

DEFINICIÓN DE LOGARITMOS EN LOS LIBROS DE TEXTO Como expresa Morales Martínez (2013) en su trabajo: En la Historia de las Matemáticas ha ocurrido que los objetivos que motivaron la creación de un conocimiento matemático, debido al progreso de la ciencia, ya no es el objetivo actual de su estudio, esta evolución de objetivos a ocurrido con los logaritmos, que surgieron inicialmente para resolver complicados cálculos aritméticos con sus tablas numéricas, y ahora tiene otros objetivos de estudio como describir fenómenos físicos o químicos o aplicaciones de contexto de la vida real. (pp 48)

DESCRIPCIÓN DE LIBROS ESCOLARES DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA SECUNDARIA Para el presente trabajo, se realizó un estudio de algunos textos escolares que contienen el estudio del concepto de logaritmo. En los textos analizados predomina el enfoque del logaritmo como operación inversa de la potencia, como se muestra en las Ilustraciones 3, 4 y 5.

Ilustración 3: Bachillerato LOGSE Matemáticas I

35

Ilustración 4: Nueva Carpeta de Matemática VI

Ilustración 5: Matemática Polimodal. Funciones 2

7

8

La idea que se trabaja es: “El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número”. En ninguno de los ejemplares hace referencia al porqué de las condiciones que deben cumplir la base y el argumento del logaritmo. En tan sólo tres ejemplares, se presentan las propiedades del logaritmo con sus respectivas demostraciones (Ilustración 6).

7

Cuadernillo I perteneciente a la Nueva Carpeta de Matemática VI. Autores: Claudio Turano, Carlos Abdala, Luis Araventa, coordinados por Ruth Schaposchnik. Editorial Aique. Año 2007 8 Matemática Polimodal. Funciones 2. Autores: Silvia Altman, Claudia Comparatore, Liliana Kurzrok. 2° Edición. Editorial Longseller. Año 2005

36

Ilustración 6: Matemáticas. Bachillerato 2

9

9

Matemática. Bachillerato 2.Autores: Miguel de Guzmán, José Colera, Adela Salvador. Editorial Anaya

37

De la misma forma, se encuentra en otros textos un enfoque mecanicista del concepto logaritmo, donde no se presentan las demostraciones de sus propiedades y su importancia como herramienta de cálculo. Esto se observa en la Ilustración 8.

Ilustración 7: Propiedades del Logaritmo. Nueva Carpeta de Matemática VI

La demostración de las propiedades que verifica el logaritmo es de gran importancia para el alumno, ya que ayuda a comprender de donde surgen y el porqué, como así también su utilidad. Esto permitiría, también analizar y demostrar el resto de ellas: 

Si 

Propiedad 1 (



Propiedad 2 (



)

)

(

)

⏟

(

)

Propiedad 3

38

( 

)

(⏟

)

⏞ ⏟

Propiedad 4 (√ )

APORTES

(

)

⏟

DE LA DESCRIPCIÓN AL ANÁLISIS DEL MARCO INSTITUCIONAL A LA

INVESTIGACIÓN

Como ya se ha hecho referencia, la utilización de esta herramienta matemática permite transformar la multiplicación en suma, la división en resta, la potencia en producto y la raíz en cociente. El logaritmo y sus propiedades no sólo serán de utilidad para realizar cálculos complejos, sino también son una herramienta fundamental para la resolución de problemas con modelización logarítmica, para la resolución de ecuaciones y representación de valores en escala logarítmica.

39

CAPÍTULO 5

40

MARCO TEÓRICO

“No se puede abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sin preguntarse al mismo tiempo qué son las matemáticas, en qué consisten y para qué sirve hacer matemáticas” (Chevallard, 1997) La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) sostiene que el saber matemático se construye como respuesta a cuestiones problemáticas y surge como el producto de un proceso de estudio. Dicha teoría presenta que toda actividad humana, regularmente realizada, puede describirse con una praxeología. Esta teoría distingue dos tipos de praxeologías: las Organizaciones Matemáticas (OM) y las Organizaciones Didácticas (OD). Las primeras se refieren a la realidad matemática que se pretende estudiar y las segundas, a la forma en que eso ocurre. Según Chevallard (1999), los elementos que forman la estructura de la praxeología u organización matemática se pueden representar a través de la siguiente simbología [

]. En ésta se distinguen dos aspectos inseparables:

● El nivel de la práctica o “praxis” que consta de tareas y técnicas (

) que se

identifican generalmente con el saber–hacer. ● De forma vinculada e inseparable se encuentra el discurso razonado sobre la práctica o “logos” formados por las tecnologías y las teorías (

).

El proceso de estudio puede ser entendido como el proceso de construcción de una praxeología matemática. Por lo tanto, estudiar matemáticas consiste en construir o reconstruir determinados elementos de una praxeología matemática para dar respuesta a un determinado tipo de tareas problemáticas. Los diferentes procesos de estudio permiten definir varios tipos de situaciones que necesariamente estén presentes en todos ellos, y que Chevallard (1999) ha denominado momentos de estudio o momentos didácticos: Primer momento: El momento del primer encuentro con la organización que se presenta. La principal función de este momento es encontrar O a través de al menos uno de los tipos de tareas T constitutivas de O. 41

Segundo momento: El de la exploración del tipo de tareas y el de la elaboración de una técnica relativa a este tipo de tareas. La actividad matemática debe consistir en la elaboración de técnicas más que la resolución de problemas aislados. Tercer momento: De la constitución del entorno tecnológico-teórico relativo a la técnica. Momento en donde se permite establecer las justificaciones, de forma general, a la práctica matemática. Cuarto momento: El momento del trabajo de la técnica, transformándola en una técnica útil, teniendo en cuenta la tecnología utilizada y de ser necesario, modificándola. Quinto momento: el momento de la institucionalización, cuya finalidad es definir lo que es "exactamente" la organización matemática.

Sexto momento: El momento de la evaluación. Se evalúa los componentes de la praxeología construida: los tipos de tareas; las técnicas; y el discurso tecnológico. Esto supone una conclusión final sobre la actividad matemática desarrollada en la construcción o reconstrucción de la OM.

En este proceso, “hacer matemática” consiste en activar una OM: resolver determinados tipos de tareas con determinados tipos de técnicas (el “saber hacer”), de manera justificada, razonada y comprendida (mediante el correspondiente “saber”). “Enseñar y aprender matemáticas” comprende la actividad de “reconstrucción” de una OM para utilizarlas en nuevas situaciones y bajo distintas condiciones. La TAD plantea la necesidad de introducir en los sistemas de enseñanza procesos de estudio funcionales, donde los saberes no constituyan “obras muertas”, carentes de sentido y razón de ser. La enseñanza de la matemática no se debe reducir la simple enseñanza de “monumentos” terminados para ser admirados por los estudiantes, sino herramientas conceptuales y materiales, útiles para estudiar y resolver situaciones problemáticas. Se propone un cambio de pedagogía, pasar de la pedagogía tradicional a la pedagogía del cuestionamiento del mundo. Para ello la TAD ha propuesto introducir en el aula el dispositivo didáctico que ha denominado: Actividades de Estudio e Investigación (AEI) (Chevallard 2004, 2005, 2006).

42

Las AEI tienen un gran potencial para recuperar el sentido y la razón de ser del estudio de la matemática, y de otras disciplinas, en los diferentes niveles de enseñanza. ACTIVIDADES DE ESTUDIO E INVESTIGACIÓN: DISPOSITIVOS DE ESTUDIO Las AEI emergen como modelo didáctico para abordar la problemática de la enseñanza de la matemática con sentido y funcional. Si bien se trata de una alternativa incompleta y limitada, es viable en nuestra escuela secundaria y permite comenzar a enfrentar el problema de la monumentalización e instalar algunos elementos de la pedagogía de cuestionamiento del mundo. Las AEI introducen razón de ser de la Organización Matemática Local (OML) que se quiere construir a partir del estudio de una cuestión, propuesta por el profesor, a la que se tiene que dar respuesta (Chevallard, 2004). Toda AEI surge de una cuestión generatriz, que permite hacer surgir un tipo de problemas y una técnica de resolución, así como una tecnología apropiada para justificar y comprender mejor la actividad matemática que se está desarrollando (Chevallard 2005). Es necesario partir de una cuestión generatriz Q cuyo estudio produzca la elaboración de una respuesta R, y esta contenga los elementos esenciales de la OML inicial. Las AEI están compuesta por: las cuestiones, los ejercicios, una síntesis, que a su vez genera nuevas cuestiones y los controles, que operan tanto en el análisis a priori como durante su implementación. Las AEI asumen los momentos del primer encuentro con un tipo de tareas exploración de

y de la emergencia de la técnica

tecnológico-teórico institucionalización de

, de la construcción del bloque

La síntesis es el tiempo por excelencia de la . Los ejercicios y problemas son un tiempo

indispensable de trabajo de la organización matemática O  Ti / i / / de la técnica

, de la

, en particular

, así como de la relación tanto de la clase como de cada uno de sus

miembros con O. Los controles están en el corazón del momento de la evaluación. (Chevallard, 2007) De esta manera, las AEI constituyen un proceso de estudio praxeológicamente concluido, pues se atribuye la condición de que R contenga los principales componentes de una OML determinada y conocida de antemano por la institución escolar. Una

43

enseñanza por AEI permite comenzar a enfrentar el problema de la monumentalización de los saberes. Las AEI suponen un cuestionamiento fuerte al contrato didáctico tradicional de la escuela secundaria con la intención de provocar en los estudiantes la necesidad de seguir aprendiendo, y que facilite abrir un proceso de investigación, que permita explorar, conjeturar y validar.

44

CAPÍTULO 6

45

PROPUESTA DE UNA AEI PARA LA ENSEÑANZA DE LOGARITMO

A continuación se presenta una actividad de estudio e investigación (AEI) para la enseñanza del concepto logaritmo. Para ello se consideraran los aportes realizados en relación a la revisión histórica y bibliográfica, como así también la descripción del marco institucional. La misma podría ser implementada en un curso de Quinto año de la escuela secundaria de la Provincia de Buenos Aires. La implementación de la AEI en el curso, supondrá cambios en la forma de enseñar y de estudiar. Habrá cambios en las responsabilidades asignadas a cada uno de los actores – alumnos y profesor. Los estudiantes se dispondrán en grupos (4 integrantes por equipo). Se presentará la actividad a los alumnos, tratando de que se involucren en el problema. Cada equipo conformará un equipo que al final de las sesiones que dure la AEI (posiblemente 3 sesiones) defenderá su trabajo. Para realizar el trabajo podrán consultar libros, internet, etc. También podrán usar software matemático (por ejemplo: Geogebra) y calculadora. Durante las sesiones, el profesor administrará los tiempos, realizará un seguimiento de los grupos, dirigirá las puestas en común y además deberá evitar sugerir o dar indicaciones acerca de las respuestas o de cómo conseguirlas. Al finalizar cada sesión, cada grupo presentaría un informe escrito en el que consignen las preguntas que trabajaron, las respuestas que pudieron haber dado a las mismas, y las que derivaron de ellas para la próxima sesión. Al finalizar las sesiones, los equipos presentarían un informe. Se realizará una puesta en común para concluir el trabajo y se propondrá una respuesta final a la pregunta inicial. Habrá que mencionarles que de algún modo la actividad será evaluada.

46

PROPUESTA DIDÁCTICA Actividad

Al bombardear un átomo de uranio con neutrones, su núcleo se divide en dos núcleos más livianos, liberando energía y 3 neutrones. Bajo ciertas condiciones, es decir, si existe una masa crítica de uranio, se inicia una reacción en cadena, cada uno de los tres neutrones liberados choca al núcleo de otro átomo, al que dividen en dos núcleos, liberando en cada colisión gran cantidad de energía y 3 neutrones y así sucesivamente. a) ¿Cuántos neutrones liberados en total hay al cabo de 4 choques? ¿Y al cabo de 6? ¿y al cabo de 9? b) ¿Es posible determinar la expresión matemática que permita establecer la cantidad de neutrones liberados, dependiendo de la cantidad de choques producidos desde el inicio? c) Utilizando los datos obtenidos anteriormente, ¿es posible calcular cuántos neutrones liberados habrá al cabo de 13 choques? ¿y de 15 choques? ¿Es posible calcular los neutrones liberados en 32 choques? d) ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados 243 neutrones, 6561 neutrones, 59049 neutrones? e) ¿Qué número de choques producen exactamente 500 neutrones? f) Si sabemos la cantidad de choques que producen 729 neutrones y 6561 neutrones, ¿cuántos choques producen 4782969 neutrones? ¿Es posible determinar una expresión matemática que permita establecer la cantidad de choques producidos desde el inicio, sabiendo la cantidad de neutrones liberados?

MODELO PRAXEOLÓGICO DE REFERENCIA Para abordar el estudio de una praxeología o de un conjunto de praxeologías es necesario, en términos de la TAD (Chevallard, 2012), construir un modelo praxeológico de referencia (MPR). Este modelo consiste en el análisis y descripción de las obras matemáticas relacionadas con el estudio de tal praxeología. La construcción y análisis de un MPR se encuadra en el nuevo paradigma de la pedagogía de la investigación y del 47

cuestionamiento del mundo cuyo objetivo primordial es establecer una relación más funcional con el saber (Chevallard, 2012, 2013). En este Modelo Praxeológico de Referencia se describe la organización matemática local (OML) logaritmo y su relación con cuatro organizaciones matemáticas puntuales (OMP) que son necesarias para construir la respuesta a la pregunta generatriz

: ¿Es

posible determinar una expresión matemática que permita establecer la cantidad de choques producidos desde el inicio, sabiendo la cantidad de neutrones liberados? y a sus preguntas derivadas.

48

Análisis a priori del posible recorrido de la AEI

El estudio de la cuestión Q0 : ¿Es posible determinar una expresión matemática que permita establecer la cantidad de choques producidos desde el inicio, sabiendo la cantidad de neutrones liberados?, conduce a un estudio sobre la potenciación, sus elementos y sus propiedades, para dar origen al logaritmo.

𝑄 ¿Cuántos neutrones liberados en total hay al cabo de 4 choques? 𝑄 ¿Y al cabo de 6 choques? 𝑄 ¿Cuántos serán los neutrones liberados, en total, al cabo de 9?

Para buscar respuesta el inciso a las cuestiones

, el grupo de estudio

podría construir una tabla de valores considerando que la cantidad de neutrones liberados al aumentar un choque, se efectúa al multiplicar por 3 la cantidad anterior. Así pues, la tabla quedaría armada de la siguiente manera: Número de Choques

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

Cantidad de neutrones liberados

Por lo que las posibles respuestas serán que: a los 4 choques habrán 81 neutrones liberados, a los 6 choques producidos se habrán liberado 729 neutrones, y al cabo de 9 choques serán 19683 los neutrones liberados. 𝑄

¿Es posible determinar la expresión matemática que permita establecer la

cantidad de neutrones liberados, dependiendo de la cantidad de choques producidos

desde el inicio?

Para buscar la respuesta la cuestión

, el grupo de estudios podría escribir la expresión

matemática general que se corresponde con el problema, considerando las respuestas propuestas que se corresponden con las cuestiones

. 49

El grupo de estudio puede considerar que la cantidad de neutrones liberadas al aumentar un choque, se efectúa al multiplicar por 3 la cantidad anterior. Podrían aplicar sus conocimientos sobre potenciación de números reales y armar la siguiente tabla:

Número de Choques Cantidad

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

N

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

3c

de neutrones liberados

Si llaman c a la cantidad de choques producidos y N a la cantidad de neutrones liberados, podrán establecer la expresión matemática: N  3c

.

𝑄 : Utilizando los datos obtenidos anteriormente, ¿es posible calcular cuántos neutrones liberados habrá al cabo de 13 choques? 𝑄

¿Se puede calcular el total de neutrones liberados de 15 choques?

𝑄 ¿Es posible calcular los neutrones liberados en 32 choques?

El grupo de estudio podría, para la búsqueda de las respuestas a las cuestiones, seguir multiplicando hasta llegar a 13, 15 y 32, pero sería un trabajo “arduo, extenso y aburrido”. Si consideran como herramienta sus conocimientos previos sobre potenciación de números reales, podrían utilizar la propiedad de la potenciación: producto de potencias de igual base. La propiedad producto de potencia de igual base es: a n  a m  a nm

50

Sabiendo que 13  4  9 , aplicando la propiedad de producto de potencia de igual base y utilizando las respuestas dadas en las cuestiones

, el grupo de estudio

podrá calcular 313 realizando el siguiente cálculo:

313  349  34  39  8119683  1594323 La posible respuesta será que al cabo de 13 choques se habrán liberado 1.594.323 neutrones en total. El grupo de estudio podría calcular la cantidad de neutrones liberados al cabo de 15 choques y 32 choques, utilizando la misma técnica. Si 15  6  9 , entonces si se quiere calcular cuántos neutrones se habrán liberado en total al cabo de 15 choques, el grupo de estudio podría realizar el cálculo de la siguiente forma:

315  369  36  39  729 19683  14348907 El grupo de estudio podría responder que al cabo de 15 choques se habrán liberado 14.348.907 neutrones. El número 32 se podría armar de diferentes maneras, utilizando los datos obtenidos anteriormente. Por ejemplo:

32  4  4  4  4  4  4  4  4  4  8 32  6  9  9  4  4  6  2  9  2  4 32  15  13  4 En estas descomposiciones se utiliza la suma de un mismo número varias veces. A lo que dicha suma se puede transformar en producto. Entonces el grupo de estudio puede retomar otra propiedad de la potenciación: potencia de potencia.

a 

n m

Para dar respuesta a la cuestión

 a n m

, el grupo de estudio podría utilizar la propiedad

producto de potencia de igual base y la propiedad potencia de potencia.

51

332  34 4 4 4 4 4 4 4  348   34   818  1853020189 1015 8

332  3699 4 4  3692 42  36  392  342  36   39    34   729  19683  81  2

2

2

2

 1853020189 1015 332  31513 4  315  313  34  14348907 1594323  81  1853020189 1015 Otra posibilidad que podría surgir dentro del grupo de estudio seria de considerar la siguiente forma de armar el 32:

32  9  9  9  9  4  9  4  4 Esta manera permite utilizar otra de las propiedades de la potenciación: cociente de potencia de igual base. La propiedad cociente de potencia de igual base es: a n : a m  a nm

 

Así 332  399994  394 : 34  39

4

: 34  196834 : 81  1853020189 1015

Por lo tanto, podrían responder que al cabo de 32 choques se habrán liberado

1853020189 1015 neutrones en total, desde el inicio. 𝑄 : ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados 243 neutrones? 𝑄 : ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados6561 neutrones? 𝑄 : ¿Cuántos choques fueron producidos si hay liberados, 59049 neutrones?

Para dar respuesta a la cuestión

(

) sería necesario que el grupo de

estudio busque la respuesta de manera “inversa”. La consigna pregunta sobre la cantidad de choques producidos, sabiendo la cantidad de neutrones liberados. El grupo podría re-utilizar la misma tabla realizada que dieron respuestas a las cuestiones , pero deberían interpretarlas “al revés”.

52

Cantidad de neutrones

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

liberados Número de Choques

El grupo de estudio analizaría la propia tabla construida, y sin dificultad, podrían responder que si hay liberados 243 neutrones, se produjeron 5 choques desde el inicio. Mientras que se produjeron 8 choques si hay liberados 6561 neutrones. Para buscar la respuesta sobre la cantidad de choques producidos para que estén liberados en total 59049 neutrones, el grupo de estudio ha deducido anteriormente que la cantidad de neutrones liberadas al aumentar un choque, se efectúa al multiplicar por 3 la cantidad anterior. Entonces, si se multiplica por 3 la cantidad de neutrones, se aumenta en 1 la cantidad de choques.

x3 Cantidad de neutrones

1

3

9

27

81

243

…

19683

59049

0

1

2

3

4

5

…

9

10

liberados Número de Choques

+1

Así pues, darían como posible respuesta que debieron transcurrir 10 choques para que se hayan liberado 59049 neutrones. 𝑄 : ¿Qué número de choques producen exactamente 500 neutrones?

53

Para buscar la respuesta a la cuestión

, el grupo de estudio podrían discutir respecto a

la respuesta. El grupo de estudio podría analizar la tabla y hacer referencia que la cantidad de neutrones liberados pasa de 243 a 729, al aumentar sólo un choque. Como 500 es un número comprendido entre 243 y 729, la cantidad de choques correspondiente a ese número de neutrones liberados será un número entre 5 y 6. Pero en el contexto del problema, al ser números naturales los que representan el número de choques, no habría ningún número natural que se corresponda con el número 500 que representa la cantidad de neutrones liberados. 𝑄 : Si sabemos la cantidad de choques que producen 729 neutrones y 6561 neutrones, ¿cuántos choques producen 4782969 neutrones?” El grupo de estudio lograría preguntarse porque, la misma cuestión, les hace referencia a 729 y 6561 neutrones. Posiblemente, podrían analizar las técnicas utilizadas al buscar respuesta a las primeras cuestiones y encontrar la respuesta a esta pregunta de manera similar. Luego interpretarían que la cantidad de choques producidos está indicada en el exponente (como ellos ya lo indicaron en la expresión matemática correspondiente a la cuestión

). Es decir, que si el grupo de estudio determinaría el valor del exponente,

establecería la cantidad de choques producidos para que estén liberados 4782969 neutrones. Podrían considerar que el número 4782969 se descompone como producto de los factores 729 y 6561, siendo los valores que otorga como dato la pregunta. Entonces

4782969  729  6561. Además si 6561  38 y 729  36 entonces el grupo de estudio podría realizar una sustitución en la forma de expresar los factores. 4782969  729  6561  36  38

Aplicando entonces la propiedad de la potencia, producto de potencia de igual base: 4782969  729  6561  36  38  368  314 54

Entonces se deben producir 14 choques para que se liberen en total 4782969 neutrones. Otra manera de encontrar respuesta a esta pregunta sería realizando un análisis de la tabla producida por el mismo grupo, pero realizando un planteo “inverso”. Si la cantidad de neutrones liberados se obtiene al multiplicar por 3 la cantidad anterior de neutrones, entonces aumenta la cantidad de choques en una unidad. Y considerando que lo que se desconoce es el exponente.

=

x

Cantidad de neutrones liberados

Número de Choques

729

2187

6561

19683

59049

4782969

6

7

8

9

10

14

+

=

Entonces si hay 4782969 neutrones liberados, es porque se produjeron 14 choques. Para responder la cuestión

¿Es posible determinar una expresión matemática que

permita establecer la cantidad de choques producidos desde el inicio, sabiendo la cantidad de neutrones liberados?, deberían interpretar lo que se desconoce ahora es el exponente de una potencia que ellos presentaron en las respuestas a cuestione anteriores. Entonces los alumnos podrían preguntarse cuál es la operación matemática que permite determinar el exponente de una potencia. Así puede surgir la primera pregunta por parte de los alumnos:

¿Cuál es la operación matemática que permite establecer el valor de un exponente?

Con esta cuestión continuaría la búsqueda de la respuesta.

55

El grupo de estudio podría valerse del saber de una de las operaciones inversa de la potencia es la radicación. Pero será descartada porque no será de utilidad para responder a la pregunta, ya que lo que se desconoce es el exponente. Los alumnos encontrarán en libros o internet, el concepto de logaritmo. El logaritmo como operación inversa de la potenciación, aunque el análisis que hicieron previamente es por medio de la comparación de sucesiones aritméticas y geométricas. Estableciendo que la potenciación posee dos operaciones inversas. Una que permite determinar la base de la potencia, la radicación; y la otra que permite determinar el exponente de la potencia, el logaritmo. El profesor institucionalizaría en el grupo de estudio, que el logaritmo de un número es un exponente, para luego poder ampliar sus saberes y aprender con sentido las propiedades del logaritmo, por ejemplo.

56

CONCLUSIONES En este trabajo de tesis, se realiza una breve revisión histórica y bibliográfica acerca del concepto logaritmo y su enseñanza. También se diseñó AEI para ser implementada en un Quinto año de Secundaria Superior de una escuela bonaerense, la cual revalorice el contexto histórico. La enseñanza del concepto logaritmo por medio de una AEI lograría realizar un estudio amplio del concepto, estudiándolo como una de las operaciones inversas de la potencia pero, al mismo tiempo estableciendo su relación con progresiones aritméticas y geométricas. No se puede pretender que el concepto de logaritmo sea estudiado sólo como la operación inversa de la potencia o sólo como una comparación entre dos progresiones. Además, daría lugar al estudio sobre las propiedades del logaritmo como así también al del concepto de función logarítmica.

57

REFERENCIAS 

Abrate, R. S., & Pochulu, M. D. (2007). Ideas para la clase de logaritmos. Unión: revista iberoamericana de educación matemática, (10), 77-94. Disponible en http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2380080



Abrate, R. S., & Pochulu, M. D. (2007). Los logaritmos, un abordaje desde la Historia de la Matemática y las aplicaciones actuales. Experiencias, propuestas y reflexiones

para

la

clase

de

Matemáticas,

111-135.

Disponible

en

http://www.unvm.galeon.com/Cap06.pdf 

Ariño, R., & Cifuentes, W. (2008). Actividades problemáticas con el uso las nuevas tecnologías en el estudio de la función logarítmica en el grado noveno. Disponible en http://funes.uniandes.edu.co/972/1/4Taller.pdf



Barquero, B., Bosch, M., & Gascón, J. (2012). Ecología de la modelización matemática: los recorridos de estudio e investigación. Actas III CITAD. Disponible en http://www. crm. es/Publications/Documents/Documents_10. pdf, 553-578.



Bonacina, M., Teti, C., Haidar, A., Bortolato, S., & Philippe, V. (2014). Un dispositivo didáctico para la enseñanza funcional de las matemáticas: Las actividades

de

estudio

e

investigación-AEI.

Disponible

en

http://funes.uniandes.edu.co/5639/ 

Castañeda, A., Rosas, A., & Molina, G. (2010). El discurso matemático escolar de los logaritmos en libros de texto. Premisa. Buenos Aires, Argentina, 12(44), 3-18.

Disponible

en

http://www.soarem.org.ar/Documentos/44%20Castanieda.pdf 

Chevallard, B. G. (1997). El eslabón perdido entre la enseñanza. Barcelona: Horsori.



Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoria antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 19, nº 2, pp. 221-266.



Chevallard, Y. (2000). La Transposición Didáctica: del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires. Argentina.: Editorial AIQUÉ.

58



Chevallard Y. y otros, (2000) "Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje". ICE - HORSORI. Universitat de Barcelona.



Chevallard, Y. (2007). Passé et présent de la théorie anthropologique du didactique. L. Ruiz-Higueras, A. Estepa, & FJ García (Éds), Sociedad, Escuela y Mathemáticas. Aportaciones de la Teoría Antropológica de la Didáctico, 705746. Primer Traducción: Año 2008 – Parra Verónica- NIECyT-Departamento de Formación

Docente.

Facultad

de

Ciencias

Exactas-UNCPBA.

Revisión completa y corrección: Año 2011 – Llanos, Carolina y Parra, Verónica. CONICET-NIECyT Departamento de Formación Docente-Facultad de Ciencias Exactas-UNCPBA. 

Chevallard, Y. (2013). Enseñar matemáticas en la sociedad de mañana: alegato a favor de un contraparadigma emergente. Journal of Research in Mathematics Education, 2(2), 161-182.



Farfán, R., & Ferrari, M. (2002). Una visión socioepistemológica. Estudio de la función logaritmo. Disponible en http://funes.uniandes.edu.co/6323/



Ferrari Escolá, M; Farfán Márquez, R.M. (2010). Una socioepistemología de lo logarítmico. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,

53-68.

Disponible

en

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33529137004 

Ferrari, M., & López, R. I. (2005). La función logaritmo bajo la perspectiva de la

construcción

dada

por

Agnesi

(1748).

Disponible

en

http://funes.uniandes.edu.co/5976/1/FerrariLafuncionAlme2005.pdf 

Ferrari, M. (2004). La covariación como elemento de resignificación de la función logaritmo. En Díaz, Leonora (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 45-50). México, DF: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C. Disponible en http://funes.uniandes.edu.co/6241/



Ferrari, M.; Farfán, R.M. (2008). Un estudio socioepistemológico de lo logarítmico: la construcción de una red de modelos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Noviembre-Sin mes, 309-354. Disponible en http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33511302



Gacharná León, O. (2012). Algunas consideraciones didácticas sobre el concepto de logaritmo y de función logarítmica y sus posibilidades en la

59

educación básica y media (Doctoral dissertation, Universidad Nacional de Colombia). Disponible en http://www.bdigital.unal.edu.co/11718/ 

González Astudillo, M.T; Vargas Hernández, J. (2007). Segmentos de la historia: la función logarítmica. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, diciembre,

129-144.

Disponible

en

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=46815210 

Lefort, X. (2001). Historia de los logaritmos: Un ejemplo del desarrollo de un concepto en matemáticas. Proyecto Penélope: Documentos de Historia de las Ciencias.

Disponible

en

http://www.fundacionorotava.org/archivos%20adjuntos/publicaciones/otros_idio mas/Espanol/Penelope/Lefort_logaritmos_es.pdf 

Llanos, V.C; Otero, M-R; Bilbao, M. P. (2011). Funciones Polinómicas en la Secundaria: primeros resultados de una Actividad de Estudio y de Investigación (AEI). Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias, Julio-Sin mes, 1-10. Disponible en http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=273319419009



Martínez, Z. E. M. Análisis De Las Transformaciones Semióticas En El Aprendizaje

De

ISSN, 2301(0797),

La

Función

Logarítmica.

1037.

Actas

del

VII

CIBEM

Disponible

en

http://www.cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/856.pdf 

Morales Martínez, Z. E. (2013). Análisis de las transformaciones de las representaciones semióticas en el estudio de la función logarítmica en la educación

escolar.

Disponible

en

http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/handle/123456789/4639 

Ortega Arcega, M. I. (2014). Una propuesta didáctica para la enseñanza de las funciones exponencial y logarítmica con empleo de diferentes registros de representación

semiótica.

Disponible

en

http://funes.uniandes.edu.co/4886/1/NesterovaUnapropuestaAlme2009.pdf 

Otero, M. R. (2013). La Teoría Antropológica de lo Didáctico. En MR Otero; M. Fanaro; AR Corica; VC Llanos; P. Sureda; V. Parra (2013). La Teoría Antropológica de lo Didáctico en el Aula de Matemática, 15-28.



Parra, V., Otero, M. R., & Fanaro, M. (2014). Enseñanza por Recorridos de Estudio e Investigación en la escuela secundaria: la dialéctica del estudio y de la investigación. 60



Schubring, G. (2008). Gauss e a tábua dos logaritmos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Noviembre-Sin mes, 383-412. Disponible en http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33511304



Tapia, F. (2003). Historia de los logaritmos. Apuntes de la Historia de las Matemáticas,

2(2),

5-22.

Disponible

en

http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdf

61