EL CONDICIONAL DEFINICIÓN : Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es la proposición p → q , que se lee “si p entonces q ” cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla:

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p→q 1 0 1 1

La tabla anterior nos dice que el condicional es falso solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso; en cualquiera de los otros tres casos , el condicional es verdadero. La tercera y cuarta fila incomoda a mucha gente . ¿ Porque ?

EJEMPLO 5 : DE CONDICIONAL Supongamos que tu papá te hace la siguiente promesa: “Si apruebas el curso de matemáticas discreta te llevo a Margarita”. En cualquiera de los tres casos siguientes la promesa no ha sido rota : 1.-

Aprobaste Mat. Discreta y te llevaron a Margarita

2.-

No aprobaste Mat. Discreta y te llevaron a Margarita.

3.-

No aprobaste Mat. Discreta y no te llevaron a Margarita

En cambio no podemos decir lo mismo en el siguiente caso : 4.-

Aprobaste Mat. Discreta y no te llevaron a Margarita.

Al antecedente se le llama hipotesis y al consecuente tesis Hipótesis → Tesis

CONDICION NECESARIA Y CONDICION SUFICIENTE DEFINICIÓN : Por razones de conveniencia vamos a cambiar las variables p y q en el condicional p → q , por las variables s y n . El antecedente ( o hipótesis ) es la condición suficiente y el consecuente ( o tesis ) es la condición necesaria , es decir, esquemáticamente se tiene : ( Suficiente ) → ( Necesario ) Entonces s → n puede ser leído de las siguientes maneras : 1.- Si s, entonces n. 2.- n es condición necesaria para s. 3.- Una condición necesaria para s es n. 4.- s es condición suficiente para n. 5.- Una condición suficiente para n es s. 6.- n si s. 7.- s solo si n. 8.- s solamente si n .

EJEMPLO 6 : CONDICIONAL NECESARIA Y CONDICION SUFICIENTE

Sean las proposiciones : t : La figura es un rectángulo. r : La figura es un rombo .

c : La figura es un cuadrado. d : La figura es un cuadrilátero.

Expresar simbólicamente las siguientes proposiciones : 1.- La figura es un cuadrado sólo si la figura es un rectángulo.

c→ t

2.- Una condición suficiente para que la figura sea un rombo es que

c→ r

la figura sea un cuadrado . 3.- Una condición necesaria para que la figura sea un rectángulo es

t→ d

que la figura sea un cuadrilátero. 4.- Que la figura sea un cuadrado es una condición suficiente para

c→ d

que la figura sea un cuadrilátero. 5.- Que la figura sea un cuadrado es condición necesaria para que la figura sea un rombo y un rectángulo.

r ^ t → c

CONDICIONALES ASOCIADOS DEFINICIÓN : A cada condicional p → q se le asocian otros tres que se obtienen permutando el antecedente con el consecuente o sus negaciones . Estos condicionales son los siguientes : 1.- Directo

p →q.

2.- Reciproco

3. – Contrario ( ~ p ) → ( ~ q ).

q→p

4.- Contrarecíproco ( ~ q ) → ( ~ p ).

Cualquiera de las cuatro proposiciones se puede tomar como directa y a partir de ella construir las otras tres asociadas . Reciproco

p →q

( ~ p ) → ( ~ q ). Reciproco

Contrario

Contrario

co o r p trar recí pr o í co c e r r tra n Co Co n

q→p

( ~ q ) → ( ~ p ).

EJEMPLO 7 : CONDICIONAL ASOCIADOS Enunciar el reciproco, contrario y contrarreciproco del siguiente condicional Si el triángulo es equilátero , entonces el triángulo es isósceles . Solución : Reciproco :

Si el triangulo es isósceles , entonces el triangulo es equilátero.

Contrario :

Si el triangulo no es equilátero , entonces el triangulo no es isósceles.

Contrarreçiproco :

Si el triangulo no es isósceles , entonces el triangulo no es equilátero.

BICONDICIONAL DEFINICIÓN : Sean p y q dos proposiciones. Se llama bicondicional de p y q a la proposición p ←→ q , que se lee “ p si y solo si q ” o “ p es condición necesaria y suficiente para q ” cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla :

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p ←→ q 1 0 0 1

La tabla nos dice que p ←→ q es verdadera cuando VL ( p ) = VL ( q ) , y es falsa cuando VL ( p ) ≠ VL ( q ) . El nombre de bicondicional proviene del hecho de que p ←→ q es “equivalente ” a ( p ←→ q ) ( q ←→ p ) . Esta Equivalencia explica las expresiones “p si y solo si q” y “ p es∧condición necesaria y suficiente para q”. En efecto “p si y solo si q” es conjuncion de “p si q” y “p solamente si q” , que corresponden a los condicionales q ←→ p y p ←→ q , respectivamente.

EJEMPLO 8 : BICONDICIONAL Si :

a. 2 + 1 = 3 , si y sólo si 2 < 3. b. 2 + 1 = 3 , si y sólo si 2 > 3. c. 2 + 1 = 4 , si y sólo si 2 > 3. d. 2 + 1 = 4 es condición necesaria y suficiente para que si y sólo si 2 < 3

Entonces , VL ( a ) = 1 , VL ( b ) = 0 , VL ( c ) = 1 , VL ( d ) = 0 .