EL CONTRASTE DE HIPOTESIS: Esquemas y ejemplos Una vez expuesta la lógica de un Contraste de Hipótesis y tras haber definido los términos y conceptos involucrados, hay que decir que esa lógica general se concreta en una enorme cantidad de técnicas particulares. Cada técnica ha sido desarrollada para ser empleada en un escenario específico, es decir, a las hipótesis referidas a un determinado parámetro, con unos determinados supuestos distribucionales y en unas circunstancias concretas. En la asignatura Análisis de Datos en Psicología II se expondrá una variedad de estas técnicas, elegidas por ser algunas de las más empleadas en Psicología. En este tema vamos a exponer tres de las más sencillas, para que el estudiante se vaya familiarizando con ellas y para que pueda ir aplicándolas en los contextos en los que sean pertinentes. En este documento se ofrece un esquema general de los pasos que se deben dar en un Contraste de Hipótesis y luego se exponen tres técnicas concretas, como ilustración de su aplicación. Las dos primeras se refieren al Contraste de Hipótesis sobre la media poblacional (µ), mientras que la tercera se refiere al Contraste de Hipótesis sobre la independencia lineal entre dos variables (ρ=0). El estudiante debe prepararse para ir rellenando una tabla como la que aparece al final, en la que deberá ir incluyendo cada técnica estudiada.

Pasos en el Contraste de Hipótesis Lo expuesto en el documento anterior nos permite especificar el esquema de los pasos que se deben dar en un Contraste de Hipótesis de la siguiente forma: 1) Establecer las Hipótesis, indicando la Hipótesis Nula (H0) y la Hipótesis Alterativa (H1). 2) Especificar los Supuestos que se van a asumir, incluyendo supuestos distribucionales, de muestreo, de información conocida, etc. 3) Elegir un Estadístico de Contraste apropiado, especificando su distribución cuando se asume como verdadera la H0 establecida en el paso 1 y los supuestos indicados en el paso 2. 4) Establecer una Regla de Decisión, bilateral o unilateral, basada en el nivel de significación (α) específico que se adopte. 5) Calcular, según la fórmula indicada, el valor del estadístico de contraste y el nivel crítico. 6) Adoptar la Decisión y establecer la conclusión.

Contraste de hipótesis sobre la media, conocida σ Para contrastar hipótesis sobre el valor de una media vamos a distinguir dos casos: aquellos en los que se conoce la varianza poblacional y aquellos en los que no se conoce. Aunque el primer caso es muy infrecuente en la práctica, por razones didácticas se suele exponer en primer lugar. El procedimiento consiste, como ya hemos dicho en aplicar el esquema habitual con los siguientes pasos: 1) Hipótesis. Si se trata de un contraste bilateral, éstas serán de la forma, H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0 2) Supuestos. - La población se distribuye N(µ,σ) o la muestra es suficientemente grande como para asumir la normalidad basándonos en el Teorema Central del Límite. - La media muestral se ha obtenido sobre una m.a.s. - Conocemos σ. 3) Estadístico de Contraste y su distribución bajo H0 verdadera.

z=

X − μ0 → N(0, 1) σ n

4) Regla de Decisión, basada en el nivel de significación (α) adoptado. Rechazar si z ≥ 1-α/2z ó z ≤ α/2z No rechazar si α/2z < z < 1-α/2z 5) Cálculo del Estadístico de Contraste (y eventualmente el Nivel Crítico). 6) Adoptar la Decisión y Concluir.

Ejemplo. Supongamos que queremos contrastar la hipótesis de que la media poblacional en una determinada variable, X, es igual a 100, sabiendo que la varianza poblacional es igual a 64 y que X es normal. Para ello extraemos una m.a.s. de 25 observaciones y calculamos su media aritmética en X, que resulta ser igual a 105; establecemos un nivel de significación (α) de 0,05. 1) Hipótesis. H0: µ = 100 H1: µ ≠ 100

(Adviértase que en el problema no se especifica nada sobre la dirección de la diferencia entre 100 y la media poblacional real, en caso de ser falsa H0, por lo que se realiza un contraste bilateral)

2) Supuestos. - La población se distribuye N(µ, 8) - Se trata de una m.a.s. - Conocemos σ 3) Estadístico de Contraste. En las condiciones indicadas,

z=

X − μ0 → N(0, 1) σ n

4) Regla de decisión. Rechazar si z ≥ 1,96 ó z ≤ -1,96 No rechazar si -1,96 < z < 1,96

5) Cálculo.

z=

X − μ0 105 − 100 = = 3,125 σ 8 n 25

6) Decisión y Conclusión. Como 3,125 > 1,96 rechazamos H0. Concluimos que la evidencia aconseja rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de que la media poblacional sea igual a 100. Un último comentario sobre esta técnica de contraste. Entre los supuestos se ha incluido la normalidad de la distribución en la población de la variable implicada. Por lo que ya hemos estudiado, sabemos que aunque esto no fuera verdad la distribución muestral de la media se aproxima a la normal a medida que se incrementa el tamaño de la muestra empleada (Teorema Central del Límite). Es raro que sepamos con certeza la forma de una distribución y en cambio no conozcamos su media. Es más frecuente que desconozcamos ambos. Esta es la razón por la que se suele recomendar, para aplicar este contraste, que la muestra sobre la que se calcula la media sea de al menos n=30. De esta forma se podrá aplicar esta técnica sin preocuparnos por la distribución de la variable de partida.

Contraste de hipótesis sobre la media, desconocida σ Con mucha frecuencia nos encontraremos en una situación como la anterior pero con la diferencia de que no conoceremos la varianza poblacional, σ2. Es decir, queremos contrastar si la media poblacional es un cierto valor y podemos asumir la normalidad de la población (o se trata de una muestra grande) y que la media se ha obtenido en una m.a.s. Si la única diferencia con el escenario anterior es que no conocemos la varianza poblacional (algo bastante razonable, dado que será raro que no conozcamos µ y en cambio conozcamos σ) entonces podemos recurrir a un estadístico similar al anterior, pero en el que en lugar de aparecer σ en el denominador aparece su estimador S (la desviación típica de la muestra). La única consecuencia de cambiar σ por S es que el Estadístico de Contraste ya no se distribuye N(0,1), sino según la distribución t de student, siendo los grados de libertad el tamaño de la muestra menos 1 (tn-1),

T=

X − μ0 → tn-1 S n

(Si lo que aparece en el denominador es el estimador sesgado de la desviación típica, entonces en la raíz aparece (n-1). Es decir, representando por Sn y Sn-1 a los estimadores sesgado e insesgado, respectivamente, las fórmulas serían,

T=

X − μ0 Sn n -1

T=

y

X − μ0 Sn n -1

aunque en ambos casos la distribución es la misma: tn-1. El similar al del caso anterior, será el siguiente,

esquema,

muy

1) Hipótesis. H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0 2) Supuestos. - La población se distribuye N(µ,σ) o la muestra es suficientemente grande como para asumir la normalidad basándonos en el TLC. - La media muestral se ha obtenido sobre una m.a.s. - Desconocemos σ. 3) Estadístico de Contraste.

T=

X − μ0 o S n-1 n

T=

X − μ0 Sn n -1

4) Regla de Decisión. Rechazar si T ≥ 1-α/2tn-1 ó T ≤ α/2tn-1

→

tn-1

No rechazar si

α/2tn-1

< T < 1-α/2tn-1

5) Cálculo. 6) Decisión y Conclusión.

Ejemplo. Supongamos que queremos contrastar la hipótesis de que la media poblacional en una determinada variable, X, que se distribuye normalmente, es igual a 80. Extraemos una m.a.s. de 81 observaciones y en ella obtenemos que su media es 75,8 y su varianza ( S n2-1 ) es igual a 236; establecemos un nivel de significación (α) de 0,01. 1) Hipótesis. H0: µ = 80 H1: µ ≠ 80 2) Supuestos. - La población se distribuye N(µ, σ) - Se trata de una m.a.s. - Desconocemos σ. 3) Estadístico de Contraste.

T=

X − μ0 → t80 S n

4) Regla de decisión, con el nivel de significación adoptado (α=0,01), Rechazar si T ≥ 2,639 ó T ≤ -2,639 No rechazar si -2,639 < T < 2,639 5) Cálculo.

T=

X − μ0 75,8 − 80 = = -2,461 S n-1 15,36 81 n

6) Decisión y Conclusión. Como el valor obtenido (-2,461) está entre ± 2,639 Mantenemos H0. La evidencia aconseja no rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de que la media poblacional sea igual a 80; la evidencia observada es compatible con ella.

Contraste de hipótesis sobre la correlación de Pearson El caso que exponemos aquí es única y exclusivamente aquel en el que queremos contrastar si la correlación de Pearson poblacional es 0. Los contrastes sobre cualquier otro valor exigen otros elementos que se expondrán en la asignatura de Análisis de Datos en Psicología II. No obstante, el contraste del valor 0 es, con mucho, el más interesante y el que con mayor frecuencia se emplea. Se trata de contrastar la independencia lineal entre dos variables; es decir, si la correlación poblacional (ρ) es igual a 0. Para ello necesitamos especificar un escenario en el que podamos definir un Estadístico de Contraste con una distribución conocida con la que establecer la regla de decisión. El escenario buscado es el que se resume en el siguiente esquema, en el que se llega a un Estadístico de Contraste que bajo hipótesis nula verdadera se distribuye t de student con n-2 grados de libertad (tn-2). 1) Hipótesis. H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0 2) Supuestos. - Las dos variables a las que se refiere la correlación son normales (en realidad los supuestos distribucionales son más complejos, pues se debe asumir la homocedasticidad condicional; esto se explicará en Análisis II). - La correlación muestral, rXY, se ha obtenido sobre una m.a.s. de pares de valores de X e Y. 3) Estadístico de Contraste.

T=

rXY n - 2 2 1 − rXY

4) Regla de Decisión. Rechazar si T ≥ 1-α/2tn-2 ó T ≤ α/2tn-2 No rechazar si α/2tn-2 < T < 1-α/2tn-2 5) Cálculo. 6) Decisión y Conclusión.

→ tn-2

Ejemplo. Supongamos que queremos contrastar si a nivel poblacional las variables X e Y son linealmente independientes. Extraemos una m.a.s. de 62 observaciones y en ella obtenemos una correlación de 0,28. Por estudios anteriores sabemos que podemos asumir que se trata de variables normales; establecemos un nivel de significación (α) de 0,05. 1) Hipótesis. H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0 2) Supuestos. - Ambas variables se distribuye Normalmente en la población. - Se trata de una m.a.s. 3) Estadístico de Contraste.

T=

rXY n - 2 2 1 − rXY

→ t60

4) Regla de Decisión. Rechazar si T ≥ 2,000 ó T ≤ -2,000 No rechazar si -2,000 < T < 2,000 5) Cálculo.

T=

rXY n - 2 2 1 − rXY

=

0,28 62 - 2 1 − 0,28 2

= 2,259

6) Decisión y Conclusión. Como 2,259 no está entre ± 2,000, Rechazamos H0. La evidencia aconseja rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de que en la población estas variables sean linealmente independientes; la evidencia observada no es compatible con ella.

CONTRASTES CON UNA MUESTRA Parámetro

Media

Supuestos y condiciones - Normalidad o no normalidad con muestra grande - Conocida σ - m.a.s. - Normalidad o no normalidad con muestra grande - Desconocida σ - m.a.s.

Estadístico y Distribución

z=

X − μ0 → N(0,1) σ n

T=

T=

Correlación

- Normalidad y homocedasticidad - Hipótesis de independencia lineal, ρ=0 - m.a.s. - Normalidad y homocedasticidad - Hipótesis sobre otros valores de ρ - m.a.s.

T=

X − μ0 → tn-1 S n-1 n

X − μ0 → tn-1 Sn n -1 rXY n - 2 2 1 − rXY

?

? Proporción ?

? Varianza ?

→ tn-2

CONTRASTES CON DOS MUESTRAS Parámetro

Diferencia de medias

Igualdad de varianzas

Otros

Supuestos y condiciones

Estadístico y Distribución