Cap´ıtulo 8

El diferencial exterior

1.

El diferencial exterior

En este cap´ıtulo estudiaremos el operador diferencial de formas en Rn , as´ı como su relaci´ on con el producto exterior y el levantamiento, estudiados en el cap´ıtulo anterior. Definici´ on 8.1. Sea f : Rn → R una funci´on diferenciable. El diferencial de f es la 1-forma df dada por df (p)(vp ) = Df (p)(v), para cada p ∈ Rn . Como en el ejemplo 7.3, podemos verificar que df se puede escribir como df = D1 f dx1 + D2 f dx2 + . . . + Dn f dxn . La siguiente proposici´ on enumera las propiedades b´ asicas del diferencial de una funci´ on. Proposici´ on 8.2. Sean f, g : Rn → R diferenciables. Entonces 1. d(f + g) = df + dg; 2. d(f g) = f dg + gdf ; 3. Si h : Rm → Rn es diferenciable, entonces d(f ◦ h) = h∗ df . Demostraci´ on. Las primeras dos partes se siguen de la definici´on del diferencial y las propiedades de la derivada en Rn . La tercera se sigue de la regla de la cadena y de la definici´on del cambio de coordenadas h∗ aplicado a la 1-forma df . Dejamos los detalles al lector (ejercicio 1).  151

152

8. El diferencial exterior

Como hab´ıamos acordado, las funciones son vistas como 0-formas en Rn . As´ı, el diferencial es un operador que toma una 0-forma y da una 1-forma. Generalizamos este operador ahora aplic´ andolo, en general, a k-formas. Definici´ on 8.3. Sea ω una k-forma diferencial en Rn , X ω= ωI dxI , I

con cada componente ωI diferenciable. El diferencial dω de ω es la (k + 1)forma diferencial dada por X (8.1) dω = dωI ∧ dxI . I

Es decir, tomamos la suma de los productos exteriores del diferencial de cada componente ωI con su respectivo producto dxI . Ejemplo 8.4. Sea ω la 1-forma diferencial en R3 dada por ω = xydx − y 2 dy + 3zdz. Entonces, dω es la 2-forma diferencial dω = d(xy) ∧ dx − d(y 2 ) ∧ dy + d(3z) ∧ dz = (ydx + xdy) ∧ dx − (2ydy) ∧ dy + (3dz) ∧ dz = xdy ∧ dx = −xdx ∧ dy. El siguiente ejemplo ya se ha discutido anteriormente. Ejemplo 8.5 (Divergencia). Sea ω la 2-forma diferencial en R3 dada por ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, con P, Q y R diferenciables. Entonces dω es la 3-forma diferencial dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy ∂P ∂Q ∂R dx ∧ dy ∧ dz + dy ∧ dz ∧ dx + dz ∧ dx ∧ dy ∂x ∂y ∂z  ∂P ∂Q ∂R  = dx ∧ dy ∧ dz. + + ∂x ∂y ∂z =

N´otese que la funci´ on componente de dω es precisamente la divergencia del campo vectorial x 7→ (P, Q, R)x en R3 . La siguiente proposici´ on enumera las propiedades b´ asicas del diferencial. Proposici´ on 8.6. Sean ω y η formas diferenciales en Rn , ambas diferenciables. 1. Si ω y η son k-formas, d(ω + η) = dω + dη.

153

1. El diferencial exterior

2. Si ω es una k-forma y η una l-forma, entonces d(ω ∧ η) = dω ∧ dη + (−1)k ω ∧ dη. 3. Si ω es C 2 , entonces d2 ω = d(dω) = 0. 4. Si f : Rm → Rn es de clase C 2 , d(f ∗ ω) = f ∗ dω. Notamos que la parte (2) de esta proposici´ on solo depende del orden de ω y no del de η. Las partes (3) y (4) son de importancia fundamental en la teor´ıa de integraci´ on de formas que estudiaremos en el siguiente cap´ıtulo. Demostraci´ on. La primera parte de la proposici´ on se sigue directamente de la definici´on. Para la segunda parte, calcularemos d(ω ∧ η) expl´ıcitamente.  X X d(ωI ηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ ωI ηJ dxI ∧ dxJ = d(ω ∧ η) = d I,J

I,J

X = (ηJ dωI + ωI dηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ I,J

=

X

ηJ dωI ∧ dxI ∧ dxJ +

I,J

X

ωI dηJ ∧ dxI ∧ dxJ

I,J

= dω ∧ η +

X

k

I

ωI (−1) dx ∧ dηJ ∧ dxJ = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη,

I,J

donde hemos usado la proposici´ on 7.23 para cambiar el orden del producto I dηJ ∧ dx , adem´ as de la proposici´ on 8.2 para calcular d(ωI ηJ ). La tercera parte tambi´en la verificaremos expl´ıcitamente. Sea X ωI dxI ω= I

una k-forma diferencial en Rn , con cada componente ωI de clase C 2 . Entonces n   XX X I Di ωI dxi ∧ dxI d(dω) = d dωI ∧ dx = d =

I

i=1

i=1

I

I

n XX

i

I

d(Di ωI ) ∧ dx ∧ dx =

n X n XX I

Dij ωI dxj ∧ dxi ∧ dxI

i=1 j=1

XX = (Dji ωI − Dij ωI )dxi ∧ dxj ∧ dxI = 0. I

i 0 y una (k − 1)-forma diferencial η en Bε0 (x) ⊂ U tal que ω = dη en Bε0 (x).

4.

Conjuntos simplemente conexos

Sean U ⊂ Rn , V ⊂ Rm , y f, g : U → V dos funciones de clase C 2 . Una homotop´ıa de f a g es una funci´on de clase C 2 H : [0, 1] × U → V tal que H(0, x) = f (x)

y

H(1, x) = g(x),

para todo x ∈ U . Notemos que, como H(t, x) ∈ V para todo t ∈ [0, 1] y x ∈ U , la funci´ on H transforma diferenciablemente la funci´on f en la funci´on g, a trav´es de funciones x 7→ H(t, x) de U a V . Si existe tal homotop´ıa, entonces decimos que f y g son homot´ opicas. Requerimos la condici´ on H ∈ C 2 porque m´ as adelante necesitaremos intercambiar las derivadas parciales de H con respecto a t con las derivadas parciales con respecto a las componentes de x. Definici´ on 8.15. Decimos que un conjunto U ⊂ Rn es simplemente conexo si, para alg´ un x0 ∈ U , existe una homotop´ıa H de la funci´on constante x 7→ x0 a la funci´ on identidad en U . Es decir, existe H : [0, 1] × U → U de clase C 2 tal que H(0, x) = x0 y H(1, x) = x para todo x ∈ U . En otras palabras, la funci´on H deforma al conjunto U en el punto x0 , diferenciablemente, durante el tiempo t de 0 a 1 (figura 1).

161

4. Conjuntos simplemente conexos

U

x0

Figura 1. Si U es simplemente conexo, entonces se puede deformar diferenciablemente en uno de sus puntos.

Si un conjunto es simplemente conexo, tambi´en se suele decir que es homot´ opico a un punto. Ejemplo 8.16. Un conjunto estrella es simplemente conexo: si U es estrella con respecto a x0 , entonces la funci´on H(t, x) = x0 + t(x − x0 ) es una homotop´ıa de x0 a U . Como U es estrella, entonces H(t, x) ∈ U para todo t ∈ [0, 1] y x ∈ U . Podemos generalizar el lema de Poincar´e a conjuntos simplemente conexos. Teorema 8.17. Sea U un conjunto simplemente conexo y ω una forma diferencial cerrada en U . Entonces ω es exacta. Demostraci´ on. Como en la demostraci´on del lema de Poincar´e (teorema 8.14), construiremos un operador Θ de formas diferenciales tal que, si ω es una k-forma en U , Θω es una (k − 1)-forma en U , Θ(0) = 0 y (8.3)

d(Θω) + Θdω = ω.

De igual forma, si ω es cerrada, dω = 0 y entonces ω = dΘω. Sea H : [0, 1] × U → U una homotop´ıa del punto x0 a U . Para resaltar la variable t de las variables x en H(t, x), escribiremos H(t, x) como Ht (x) (es decir, consideramos t como un par´ ametro) y, para cada t, consideramos Ht como una funci´ on de x solamente. d Escribiremos la derivada de Ht (x) con respecto a t como Ht (x), de tal dt forma que, por ejemplo, D1 Ht (x) es la derivada parcial con respecto a x1 , y no con respecto a t.

162

8. El diferencial exterior

Definimos entonces, para una k-forma ω = (8.4)

Θω(x) =

k XX I

α−1

(−1)

α=1

Z

1

P

ωI (Ht (x)) 0

I

wI (x)dxI ,

d iα H (x)dHtIα (x)dt. dt t

Algunas observaciones son necesarias. Como en la secciones anteriores, si I es un k-multi´ındice creciente (i1 , . . . , ik ), entonces Iα denota el (k − 1)multi´ındice (i1 , . . . , iα−1 , iα+1 , . . . , ik ). Adem´as, dHtI denota a la k-forma dHti1 ∧ . . . ∧ dHtik , donde cada uno de los diferenciales dHti es el diferencial on de la funci´ on componente Hti de Ht , como funci´on de x. En la expresi´ d iα H (x)dHtIα (x), dt t d hemos intercambiado, en el producto dHtI , el diferencial dHtiα por Htiα . dt Ahora bien, la forma wI (Ht (x))

d iα H (x)dHtIα (x) dt t

es una (k − 1)-forma diferencial, cuyos componentes tambi´en dependen de P t. Si esta forma est´ a dada por, digamos, J ηJ (t, x)dxJ , donde los J son (k − 1)-multi´ındices, entonces Z 1X   XZ 1 ηJ (t, x)dxJ dt = ηJ (t, x)dt dxJ , 0

J

J

0

es decir, simplemente integramos componente a componente. Claramente, si ω = 0, Θω = 0. Vamos a verificar (8.3). Primero, Z 1  d d ωI (Ht (x)) Htiα (x)dHtIα (x)dt dt 0 Z 1   d d ωI (Ht (x)) Htiα (x)dHtIα (x) dt = dt 0 Z 1X n    d Dj ωI (Ht (x)) Htiα (x) dxj ∧ dHtIα (x) dt = dt 0 j=1 Z 1 n  X d Dj Htiα (x)dxj ∧ dHtIα (x) dt ωI (Ht (x)) = dt 0 j=1 Z 1X n X n  d + Dl ωI (Ht (x))Dj Htl (x) Htiα (x)dxj ∧ dHtIα (x) dt dt 0 j=1 l=1

163

4. Conjuntos simplemente conexos

=

1

Z

d   ωI (Ht (x)) (dHtiα (x)) ∧ dHtIα (x) dt dt 0 Z 1X n X n  d Dl ωI (Ht (x))Dj Htl (x) Htiα (x)dxj ∧ dHtIα (x) dt, + dt 0 j=1 l=1

donde, en la tercera identidad, hemos utilizado tanto la regla de la cadena para calcular cada derivada parcial Dj (ωI (Ht (x))), como el hecho que H es d C 2 para intercambiar Dj con . Entonces dt dΘω(x) = k XX I

+

α−1

(−1)

α=1

Z

0

Z

n X n 1 X

0

1

d   ωI (Ht (x)) (dHtiα (x)) ∧ dHtIα (x) dt dt

Dl ωI (Ht (x))Dj Htl (x)

j=1 l=1

  d iα Ht (x)dxj ∧ dHtIα (x) dt . dt

Sin embargo, k X

(−1)α−1

α=1

 d (dHtiα (x)) ∧ dHtIα (x) = dHtI (x) dt dt

d

(ejercicio 12). Tambi´en n X

Dj Htl (x)dxj = dHtl (x),

j=1

por lo que entonces (8.5) dΘω(x) =

XZ

I

(−1)α−1

Z

0

α=1

ωI (Ht (x))

0

I

k XX

1

n 1X

d dH I (x)dt+ dt t

Dl ωI (Ht (x))

l=1

 d iα Ht (x)dHtl (x) ∧ dHtIα (x) dt. dt

Ahora bien, como dω es la (k + 1)-forma n XX Dl ωI (x)dxl ∧ dxI , dω(x) = I

l=1

tenemos que (8.6) Θdω =

n Z XX I

α=1

Dl ωI (Ht (x))

0

l=1

k X

α

(−1)

1

Z

0

1

 d l Ht (x)dHtI dt+ dt

  d iα Iα l Dl ωI (Ht (x)) Ht (x)dHt ∧ dHt (x) dt . dt

164

8. El diferencial exterior

Entonces, sumando (8.5) y (8.6), tenemos dΘω(x) + Θdω =

XZ

1

d dH I (x)dt+ dt t n Z 1  XX d Dl ωI (Ht (x)) Htl (x)dHtI dt. dt 0

ωI (Ht (x))

0

I

I

l=1

Como
d ωI (Ht (x))dHtI (x) = dt

n

X d d Dl ωI (Ht (x)) Htl (x)dHtI , ωI (Ht (x)) dHtI (x) + dt dt l=1

tenemos entonces que dΘω(x) + Θdω =

XZ I

=

X

=

X

I

0

1


d ωI (Ht (x))dHtI (x) dt dt


ωI (H1 (x))dH1I (x) − ωI (H0 (x))dH0I (x) ωI (x)dxI ,

I

porque H0 (x) = x0 (y dH0 = 0, por ser constante, ) y H1 (x) = x.



Ejercicios 1. Demuestra la proposici´ on 8.2. 2. Calcula el diferencial exterior de las siguientes formas en R4 . a) ω = (x2 + x3 + x4 )2 dx1 ; b) ω = x3 x4 dx1 ∧ dx4 − x1 x2 dx3 ∧ dx4 ; c) ω = (x1 )2 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + x2 x3 x4 dx1 ∧ dx3 ∧ dx4
+ x1 x3 x4 + (x2 )2 x3 dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 .

3. Calcula el diferencial exterior de las siguientes formas en R2 , y escribe el resultado en coordenadas polares. a) ω = ydx − xdy; b) ω = x2 dx + xydy.

165

Ejercicios

4. Sea f : Rn → R diferenciable. Muestra que grad f (p) es el vector con la direcci´ on de crecimiento m´ as r´ apido de f en el punto p. Es decir, si grad f (p) u ˆ= (asumiendo que grad f (p) 6= 0), entonces | grad f (p)| Df (p)(ˆ u) = m´ ax{Df (p)(v) : |v| = 1}. (Sugerencia: Nota que (grad f (p)) · vp = Df (p)(v), para vp ∈ Rnp .) 5. Calcula la estrella de Hodge ∗ω para cada una de las formas en R4 del ejercicio 2. Calcula adem´ as d(∗ω) y ∗dω. 6. Sea F un campo vectorial en Rn , y div F su divergencia, es decir (div F )dx1 ∧ . . . ∧ dxn = d(∗ωF ), donde ω 7→ ∗ω es la operaci´ on estrella de Hodge y ωF es la 1-forma inducida por F v´ıa el isomorfismo natural Rnp → (Rnp )∗ . Muestra que n X Dj F j . div F = j=1

7. Sea F un campo vectorial en Rn , y curl F su rotacional, es decir la (n − 2)-forma curl F = ∗(dωF ). Muestra que curl(grad F ) = 0. 8. En el caso n = 3, el rotacional curl F es una 1-forma que a su vez puede ser identificada con un campo vectorial, tambi´en denotado por curl F . a) Muestra que curl F = (D2 F 3 − D3 F 2 )dx + (D3 F 1 − D1 F 3 )dy + (D1 F 2 − D2 F 1 )dz. b) Muestra que div(curl F ) = 0. 9. Sea ω = f dx una 1-forma en [0, 1] tal que f (0) = f (1). Muestra que existe un u ´nico λ ∈ R tal que ω − λdx = dg, donde g es una funci´on que satisface g(0) = g(1). 10. Sea ω = ω1 dx+ω2 dy+ω3 dz una 1-forma diferencial tal que ω1 , ω2 , ω3 son homog´eneas de grado α. Muestra que, si ω es cerrada, entonces ω = df donde 1 f (x, y, z) = (ω1 (x, y, z)x + ω2 (x, y, z)y + ω3 (x, y, z)z). α+1 11. Sea f : U → Rn diferenciable con inversa f −1 : f (U ) → Rn diferenciable. Muestra que si toda forma cerrada en U es exacta, entonces toda forma cerrada en f (U ) es exacta. (Sugerencia: Considera f ∗ .)

166

8. El diferencial exterior

12. Sean F, G : R × Rn → R funciones diferenciables, donde consideramos la primer variable como par´ ametro. Muestra que  d   d d (dFt ∧ dGt ) = dFt ∧ dGt + dFt ∧ dGt . dt dt dt