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Geometría Diferencial
1.- a) Se denomina cicloide a la curva descrita por un punto P de una circunferencia que rueda, sin deslizar, a lo largo de una recta. Si P está inicialmente en el origen O(0,0) y a es el radio de la circunferencia, hallar unas ecuaciones paramétricas de la cicloide. b) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la hélice circular suponiendo que el giro es de radio a y la traslación tiene longitud b por unidad de tiempo. 2.- a) Demostrar que todos los puntos de la hélice circular son puntos regulares. x a cos 3 () b) Hallar los puntos singulares de la astroide r () y a sen 3 () [0,2) . z 0 3.- Calcular la longitud de arco de hélice circular correspondiente a un paso.
x 1 3 3 1 2 4.- Dada la curva r ( ) y 1,1 , se pide: 3 z 2 a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) ¿Es una parametrización natural? 1 1 c) Hallar el triedro de Frénet en el punto P0 , ,0 3 3 d) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P0 . e) Hallar el centro y el radio de curvatura en P0 . f) Hallar la ecuación del plano normal a la curva en P0 . 3 2
x sen () cos() 5.- Dada la curva r () y sen () cos() R, se pide: z
a) b) c) d) e)
Escribir las ecuaciones de su parametrización natural. Hallar el triedro de Frénet en el punto P(1,-1,0). Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. Justificar si se trata de una curva plana o alabeada. Hallar la ecuación de la recta tangente en P.
6.- Dada la curva de ecuación r() cos 2 ,sen 2 ,sen cos
[0, ) . Se pide:
a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(0,1,0). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
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c) d) e) f)
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Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. Hallar el centro y el radio de curvatura de la curva en P. Hallar la ecuación del plano osculador en P. Hallar unas ecuaciones implícitas de la curva.
7.- El lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva c, cuya curvatura no sea nula en ninguno de sus puntos, se llama “evoluta” de c. Hallar la evoluta de la espiral logarítmica: x e cos y e sen y demostrar que la evoluta calculada es una nueva espiral logarítmica.
x cos 8.- Dada la curva r () y sen , R , se pide: z
a) Estudiar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frénet en el punto P0 ,0, d) Calcular la curvatura en P0 . e) ¿Existe algún plano que contenga a la curva?
9.- Sea r r la curva de ecuación:
a) b) c) d)
x y sh 2 , z ch 2 Estudiar si es el parámetro arco. ¿Tiene r algún punto singular? Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,0,1). Hallar el plano osculador y el plano normal en P.
x cos 10.-Dada la curva r ( ) y 1 2sen , R , se pide: z cos a) b) c) d) e)
Estudiar si tiene puntos singulares. ¿Es el parámetro arco? Hallar el triedro de Frénet en el punto P(-1,1,-1) Calcular la curvatura en P. ¿Existe algún plano que contenga a la curva?
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x cos 11.- Dada la curva r () y 2 . Se pide: z sen
a) b) c) d) e)
¿Tiene algún punto singular? ¿Es el parámetro arco? Hallar la curvatura en el punto P0 1, 2 ,0 . ¿En qué punto de la curva la torsión es nula? Hallar el triedro de Frenet en el punto P1 1,0,0 .
x sen 2 12.- Dada la curva r ( ) y cos . Se pide: z 2 a) Analizar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,1,0) d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura y el centro de curvatura en dicho punto P. 13.- a) Hallar la curvatura y la torsión del arco de curva: 4 x 5 cos s y 1 sen s , referido al parámetro arco. 3 z cos s 5 b) Demostrar que el arco de curva anterior está contenido en una circunferencia, es decir, que el centro y el radio de curvatura son los mismos para todos los puntos del arco.
x 3 cos t 14.- Se considera la hélice de ecuación y 3 sen t . Se pide: z 4 t a) Ecuación de la recta tangente t 0 y de la normal principal n 0 a la hélice en el punto P0 0, 3, 2 . b) Demostrar que el ángulo que forma la recta tangente rt a la hélice, en un punto genérico P de la misma, con el plano xy es constante independientemente de P. c) Demostrar que la normal principal rn en un punto genérico P de la curva, corta al eje OZ.
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Geometría Diferencial r 2 cos , 1 2sen, , R . Se pide:
15.- Dada la curva a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(2,1,0). d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura, el centro de curvatura y la torsión en P. e) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en P. f) Hallar la ecuación del plano osculador a la curva en P g) ¿Se trata de una curva plana o alabeada? Si es plana, hallar la ecuación del plano que la contiene. x cos t t 16.- Se considera la curva: r t y sen , se pide: 2 z t a. b. c. d. e. f.
Analizar si tiene algún punto singular. ¿ Es t el parámetro arco? Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1, 0, 0). Hallar el plano osculador en P. Hallar la curvatura, el radio y el centro de curvatura y la torsión en P. La curva ¿es plana o alabeada?
17.- De las curvas siguientes justifica, mediante los cálculos adecuados, cuál tiene como parámetro el parámetro arco, cuál admite un cambio de parámetro admisible para proporcionar unas ecuaciones respecto del parámetro arco y cuál no verifica ni lo uno ni lo otro. a ) r 3 sin( ), 3 cos( ), 3
b) r 3 sin , 3 cos , 2 2 3 1 3 c ) r 2 , 1, 4 4 d ) r cos ,sin , sin cos
3 2
4 3 sin e) r sin , 1-cos , 5 5 f ) r 3 sin , 3 cos , 3
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18.- Dada la curva r cos(2 ), 1 2 sen(2 ), , R . Se pide:
a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano osculador de la curva en P. 19.-Dada la curva r 2 cos 1, 2 sen 1, , R . Se pide:
a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,0) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta normal y del plano normal de la curva en P.
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1.- a) Se denomina cicloide a la curva descrita por un punto P de una circunferencia que rueda, sin deslizar, a lo largo de una recta. Si P está inicialmente en el origen O(0,0) y a es el radio de la circunferencia, hallar unas ecuaciones paramétricas de la cicloide. b) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la hélice circular suponiendo que el giro es de radio a y la traslación tiene longitud b por unidad de tiempo. Solución: a) Considerando que el eje OX es la recta, que la circunferencia situada en el plano XY tenga de radio “a” y que inicialmente M esté en el origen de coordenadas, al girar la circunferencia un ángulo “t” , el punto M se encuentra en la situación de la figura:
x = OS = OP – SP = arc (PM) – SP = a t – MN = a t – a sen t = a (t – sen t) y = SM = PC – NC = a – a cos t = a (1 – cos t) z=0 x t a (t - sen t) Luego, unas ecuaciones paramétricas de la cicloide son: yt a (1 - cos t) z t 0 b)
La hélice circular es la trayectoria seguida por un punto M que se mueve por el cilindro x 2 y 2 a 2 , de modo que su proyección sobre el eje OZ se desplace por este eje con velocidad constante “b” y su proyección sobre el plano XY gire uniformemente por la circunferencia. Sea M’ = proy XY M . Las coordenadas x, y de M’ son las mismas que las de M, y, como M’ pertenece a la circunferencia de centro O(0, 0) y radio “a”, se verifica: x t a cos t yt a sen t Por otra parte, aplicando la fórmula “espacio = velocidad x tiempo”, se tiene que: z = proy OZ M b t
x t a cos t Luego, unas ecuaciones paramétricas de la hélice circular son: yt a sen t , siendo “a” y z t b t
“b” constantes y t R .
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2.- a) Demostrar que todos los puntos de la hélice circular son puntos regulares. x a cos 3 () b) Hallar los puntos singulares de la astroide r () y a sen 3 () [0,2) . z 0 Solución: x' t - a sen t x t a cos t a) r ( t ) yt a sen t r ' ( t ) y' t a cos t cuyas tres coordenadas no se anulan z' t b z t b t
simultáneamente para ningún valor de t. x ' 3a cos 2 () sen () x a cos 3 () b) r () y a sen 3 () [0,2) r ' () y' 3a sen 2 () cos() z' 0 z 0 2 cos ( ) sen ( ) 0 r ' ( ) 0 2 sen ( ) 0 ó cos( ) 0 . Diferentes casos: sen ( ) cos( ) 0
1) sen ( ) 0 y cos ( ) 0 , imposible. 0 2) sen() 0
P1 a, 0, 0 P2 a, 0, 0
3) cos( ) 0 2 3 2
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P3 0, a, 0 P4 0, a, 0
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3.- Calcular la longitud de arco de hélice circular correspondiente a un paso. Solución:
L[0,2 ]
2 0
2 0
x' t y' t z' 2
2
t
2
dt
2
a 2 sen 2 t a 2 cos 2 t b 2 dt
0
a 2 b 2 dt 2 a 2 b 2
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3 2 1 x 3 3 1 2 4.- Dada la curva r ( ) y 1,1 , se pide: 3 z 2 a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) ¿Es una parametrización natural? 1 1 c) Hallar el triedro de Frénet en el punto P0 , ,0 3 3 d) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P0 . e) Hallar el centro y el radio de curvatura en P0 . f) Hallar la ecuación del plano normal a la curva en P0 .
Solución: ⎡ 3/2 3/2 ⎤ ⎢ (1 + λ) (1 - λ) λ ⎥ #1: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎣ 3 3 √2 ⎦ a) ¿Sus puntos son regulares? ⎡ 3/2 3/2 ⎤ d ⎢ (1 + λ) (1 - λ) λ ⎥ #2: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ dλ ⎣ 3 3 √2 ⎦ ⎡ √(λ + 1) √(1 - λ) √2 ⎤ #3: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ≠ [0, 0, 0] ⎣ 2 2 2 ⎦ Luego, todos los puntos son regulares. b) ¿Es una parametrización natural? ⎮⎡ √(λ + 1) √(1 - λ) √2 ⎤⎮ #4: ⎮⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥⎮ ⎮⎣ 2 2 2 ⎦⎮ #5: λ Real [-1, 1] #6: 1 Se trata, por tanto, de una parametrización natural. c) Triedro de Frenet en P ⎡ 1 1 ⎤ #7: p = ⎢⎯, ⎯, 0⎥ ⎣ 3 3 ⎦
Vector tangente t 0 : ⎡ √(0 + 1) √(1 - 0) √2 ⎤ #9: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎣ 2 2 2 ⎦ ⎡ 1 1 √2 ⎤ #10: ⎢⎯, - ⎯, ⎯⎯⎥ ⎣ 2 2 2 ⎦
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Vector normal n 0 : ⎡ 3/2 3/2 ⎤ ⎛d ⎞2 ⎢ (1 + λ) (1 - λ) λ ⎥ #11: ⎜⎯⎯⎟ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎝dλ⎠ ⎣ 3 3 √2 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ #12: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 4·√(λ + 1) 4·√(1 - λ) ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ #13: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 4·√(0 + 1) 4·√(1 - 0) ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ #14: ⎢⎯, ⎯, 0⎥ ⎣ 4 4 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ ⎢⎯, ⎯, 0⎥ ⎣ 4 4 ⎦ #15: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮⎡ 1 1 ⎤⎮ ⎮⎢⎯, ⎯, 0⎥⎮ ⎮⎣ 4 4 ⎦⎮ ⎡ √2 √2 ⎤ #16: ⎢⎯⎯, ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 2 2 ⎦
Vector binormal b 0 : ⎡ 1 1 √2 ⎤ ⎡ √2 √2 ⎤ #17: ⎢⎯, - ⎯, ⎯⎯⎥ X ⎢⎯⎯, ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 2 2 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ 1 1 √2 ⎤ #18: ⎢- ⎯, ⎯, ⎯⎯⎥ ⎣ 2 2 2 ⎦
d) Curvatura y torsión en P. Curvatura k 0 = r ' ' (0) : #19:
⎮⎡ 1 1 ⎤⎮ ⎮⎢⎯, ⎯, 0⎥⎮ ⎮⎣ 4 4 ⎦⎮ √2 k(0) = ⎯⎯ 4
#20:
Torsión 0
#21:
#22:
r ' (0), r ' ' (0), r ' ' ' (0)
k 0 ⎡ 3/2 3/2 ⎤ ⎛d ⎞3 ⎢ (1 + λ) (1 - λ) λ ⎥ ⎜⎯⎯⎟ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎝dλ⎠ ⎣ 3 3 √2 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎢ 3/2 3/2 ⎥ ⎣ 8·(λ + 1) 8·(1 - λ) ⎦ 2
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#23: #24:
#25:
#26:
#29:
#30:
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⎡ 1 1 ⎤ ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎢ 3/2 3/2 ⎥ ⎣ 8·(0 + 1) 8·(1 - 0) ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ ⎢- ⎯, ⎯, 0⎥ ⎣ 8 8 ⎦ ⎡ 1 1 √2 ⎤ ⎢ ⎯ - ⎯ ⎯⎯ ⎥ ⎢ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 ⎥ DET ⎢ ⎯ ⎯ 0 ⎥ ⎢ 4 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 ⎥ ⎢ - ⎯ ⎯ 0 ⎥ ⎣ 8 8 ⎦ √2 ⎯⎯ 32 √2 ⎯⎯ 32 ⎯⎯⎯⎯ 1 ⎯ 8 √2 ⎯⎯ 4
e) Centro C y radio de curvatura R en P: 1 #31: R = ⎯ k 1 ⎯⎯⎯⎯ #32: √2 ⎯⎯ 4 #33: r = 2·√2 Centro de curvatura en P: ⎡ 1 1 ⎤ ⎡ √2 √2 ⎤ #34: ⎢⎯, ⎯, 0⎥ + (2·√2)·⎢⎯⎯, ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 3 3 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ 7 7 ⎤ #35: ⎢⎯, ⎯, 0⎥ ⎣ 3 3 ⎦ f) Plano normal a la curva en P: ⎛ ⎡ 1 1 ⎤⎞ ⎡ 1 1 √2 ⎤ #36: ⎜[x, y, z] - ⎢⎯, ⎯, 0⎥⎟·⎢⎯, - ⎯, ⎯⎯⎥ = 0 ⎝ ⎣ 3 3 ⎦⎠ ⎣ 2 2 2 ⎦ #37: x - y + √2·z = 0
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x sen () cos() 5.- Dada la curva r () y sen () cos() R , se pide: z
a) Escribir las ecuaciones de su parametrización natural. b) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(1,-1,0). c) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. d) Justificar si se trata de una curva plana o alabeada. e) Hallar la ecuación de la recta tangente en P. Solución: x sen () cos() a) r () y sen () cos() R, no es una parametrización natural de la curva z pues el vector derivada no es unitario en todos sus puntos. En efecto: x ' cos() sen () 2 2 2 r ' () y cos() sen () r ' () cos() sen () cos() sen () 1 3 r ' () 3 z 1
Por tanto, no es el parámetro arco. s
r ' ( ) r ' ( ) d r ' ( ) d
3 d 3
s
3 Sustituyendo en función del arco, se obtiene una parametrización natural de la curva: s s x sen ( ) cos( ) 3 3 s s r (s) y sen ( ) cos( ) ,sR 3 3 s z 3 ⎡ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ s ⎤ #1: ⎢SIN⎜⎯⎯⎟ + COS⎜⎯⎯⎟, SIN⎜⎯⎯⎟ - COS⎜⎯⎯⎟, ⎯⎯⎥ ⎣ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ √3 ⎦
#2: #3:
0
0
0
b) Triedro de Frenet en el punto P(1,-1,0): ⎡ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ 0 ⎤ ⎢SIN⎜⎯⎯⎟ + COS⎜⎯⎯⎟, SIN⎜⎯⎯⎟ - COS⎜⎯⎯⎟, ⎯⎯⎥ ⎣ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ √3 ⎦ [1, -1, 0]
Vector tangente: d ⎡ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ s ⎤ #4: ⎯⎯ ⎢SIN⎜⎯⎯⎟ + COS⎜⎯⎯⎟, SIN⎜⎯⎯⎟ - COS⎜⎯⎯⎟, ⎯⎯⎥ ds ⎣ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ √3 ⎦ ⎡ ⎛ √3·s ⎞ ⎛ √3·s ⎞ ⎛ √3·s ⎞ ⎢ √3·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ √3·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ √3·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ #5: ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎣ 3 3 3
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#6:
#7:
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⎛ √3·s ⎞ ⎤ √3·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎝ 3 ⎠ √3 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ 3 3 ⎦ ⎡ ⎛ √3·0 ⎞ ⎛ √3·0 ⎞ ⎛ √3·0 ⎞ ⎢ √3·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ √3·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ √3·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎣ 3 3 3 ⎛ √3·0 ⎞ ⎤ √3·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎝ 3 ⎠ √3 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ 3 3 ⎦ ⎡ √3 √3 √3 ⎤ ⎢⎯⎯, ⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎣ 3 3 3 ⎦
Vector normal: ⎛d ⎞2 ⎡ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ s ⎤ #8: ⎜⎯⎯⎟ ⎢SIN⎜⎯⎯⎟ + COS⎜⎯⎯⎟, SIN⎜⎯⎯⎟ - COS⎜⎯⎯⎟, ⎯⎯⎥ ⎝ds⎠ ⎣ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ √3 ⎦ ⎡ ⎛ √3·s ⎞ ⎛ √3·s ⎞ ⎛ √3·s ⎞ ⎛ √3·s ⎞ ⎤ ⎢ COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎥ #9: ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 3 3 3 3 ⎦ ⎡ ⎛ √3·0 ⎞ ⎛ √3·0 ⎞ ⎛ √3·0 ⎞ ⎛ √3·0 ⎞ ⎤ ⎢ COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎥ #10: ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 3 3 3 3 ⎦ ⎡ 1 1 ⎤ #11: ⎢- ⎯, ⎯, 0⎥ ⎣ 3 3 ⎦ ⎮⎡ 1 1 ⎤⎮ #12: ⎮⎢- ⎯, ⎯, 0⎥⎮ ⎮⎣ 3 3 ⎦⎮ √2 #13: ⎯⎯ 3 ⎡ 1 1 ⎤ #14: ⎢- ⎯, ⎯, 0⎥ / (√2/3) ⎣ 3 3 ⎦ ⎡ √2 √2 ⎤ #15: ⎢- ⎯⎯, ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 2 2 ⎦ Vector binormal: ⎡ √3 √3 √3 ⎤ ⎡ √2 √2 ⎤ #16: ⎢⎯⎯, ⎯⎯, ⎯⎯⎥ X ⎢- ⎯⎯, ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 3 3 3 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ √6 √6 √6 ⎤ #17: ⎢- ⎯⎯, - ⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎣ 6 6 3 ⎦
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c) Curvatura en P , k 0 = r ' ' (0) : #18:
√2 ⎯⎯ 3
Torsión en P, 0 #19:
#20:
#21:
#22:
#23:
r ' (0), r ' ' (0), r ' ' ' (0)
: 2 k 0 ⎛d ⎞3 ⎡ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ s ⎞ s ⎤ ⎜⎯⎯⎟ ⎢SIN⎜⎯⎯⎟ + COS⎜⎯⎯⎟, SIN⎜⎯⎯⎟ - COS⎜⎯⎯⎟, ⎯⎯⎥ ⎝ds⎠ ⎣ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ ⎝ √3 ⎠ √3 ⎦ ⎡ ⎛ √3·s ⎞ ⎛ √3·s ⎞ ⎛ √3·s ⎞ ⎢ √3·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ √3·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ √3·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎣ 9 9 9 ⎛ √3·s ⎞ ⎤ √3·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ 9 ⎦ ⎡ √3 √3 ⎤ ⎢- ⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 9 9 ⎦ ⎡ √3 √3 √3 ⎤ ⎢ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎥ ⎢ 3 3 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 ⎥ DET ⎢ - ⎯ ⎯ 0 ⎥ ⎢ 3 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ √3 √3 ⎥ ⎢ - ⎯⎯ - ⎯⎯ 0 ⎥ ⎣ 9 9 ⎦ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎛ √2 ⎞2 ⎜⎯⎯⎟ ⎝ 3 ⎠ 1 ⎯ 3
d) Es una curva alabeada por no ser la torsión nula en todos sus puntos. e) Recta tangente en P: Pasa por P y es paralela al vector tangente en P ⎡ √3 √3 √3 ⎤ #24: ⎢x = 1 + ⎯⎯·λ, y = -1 + ⎯⎯·λ, z = 0 + ⎯⎯·λ⎥ ⎣ 3 3 3 ⎦ Más simplificada: x = 1 + μ, y = -1 + μ, z = μ
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Geometría Diferencial
6.- Dada la curva de ecuación r () cos 2 , sen 2 , sen cos [0, ) . Se pide: a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(0,1,0). c) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. d) Hallar el centro y el radio de curvatura de la curva en P. e) Hallar la ecuación del plano osculador en P. f) Hallar unas ecuaciones implícitas de la curva. Solución: ⎡ 2 2 ⎤ #1: ⎣COS(λ) , SIN(λ) , SIN(λ)·COS(λ)⎦ #2: λ Real [0, π) a) ¿Puntos regulares? d ⎡ 2 2 ⎤ #3: ⎯⎯ ⎣COS(λ) , SIN(λ) , SIN(λ)·COS(λ)⎦ dλ ⎡ 2 ⎤ #4: ⎣ - 2·SIN(λ)·COS(λ), 2·SIN(λ)·COS(λ), 2·COS(λ) - 1⎦ ⎮⎡ 2 ⎤⎮ #5: ⎮⎣ - 2·SIN(λ)·COS(λ), 2·SIN(λ)·COS(λ), 2·COS(λ) - 1⎦⎮ 2 2 #6: √(4·SIN(λ) ·COS(λ) + 1) 2 2 #7: √(4·SIN(λ) ·COS(λ) + 1) ≠ 0 Luego, todos los puntos son regulares y el parámetro no es el arco, pues el módulo del vector derivada no es 1 para todo valor de λ.
b) Triedro de Frenet en P(0,1,0): {P, t , n , b } ⎡ 2 2 ⎤ #8: [0, 1, 0] = ⎣COS(λ) , SIN(λ) , SIN(λ)·COS(λ)⎦ ⎡ 2 2 ⎤ #9: SOLVE([0, 1, 0] = ⎣COS(λ) , SIN(λ) , SIN(λ)·COS(λ)⎦, λ, Real) 3·π π π #10: λ = ⎯⎯⎯ ∨ λ = - ⎯ ∨ λ = ⎯ 2 2 2 Sólo sirve: π #11: λ = ⎯ [0, ) 2 Han salido los otros valores por que al pedirle a DERIVE que resolviera, hemos dicho que λ varía en todo R. Vector tangente en P: ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞2 ⎤ #12: ⎢- 2·SIN⎜⎯⎟·COS⎜⎯⎟, 2·SIN⎜⎯⎟·COS⎜⎯⎟, 2·COS⎜⎯⎟ - 1⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ #13: [0, 0, -1] Que es unitario y, por tanto, ya es el vector tangente en P. Vector binormal en P: ⎛d ⎞2 ⎡ 2 2 ⎤ #17: ⎜⎯⎯⎟ ⎣COS(λ) , SIN(λ) , SIN(λ)·COS(λ)⎦ ⎝dλ⎠
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Asignatura: Métodos Matemáticos 15
#18: #19: #20: #21: #22: #23: #24: #25: #26:
Geometría Diferencial
⎡ 2 2 ⎤ ⎣2 - 4·COS(λ) , 4·COS(λ) - 2, - 4·SIN(λ)·COS(λ)⎦ ⎡ ⎛ π ⎞2 ⎛ π ⎞2 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎢2 - 4·COS⎜⎯⎟ , 4·COS⎜⎯⎟ - 2, - 4·SIN⎜⎯⎟·COS⎜⎯⎟⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ [2, -2, 0] [0, 0, -1] X [2, -2, 0] [-2, -2, 0] ⎮[-2, -2, 0]⎮ 2·√2 [-2, -2, 0] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2·√2 ⎡ √2 √2 ⎤ ⎢- ⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 2 2 ⎦
Vector normal en P: ⎡ √2 √2 ⎤ #27: ⎢- ⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ X [0, 0, -1] ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ √2 √2 ⎤ #28: ⎢⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 2 2 ⎦
r ' r '' 2 2 c) Curvatura en P, k : 3 2 r' 2 ⎮[-2, -2, 0]⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #29: 3 ⎮[0, 0, -1]⎮ #30: 2·√2
Torsión en P, 2
#31: #32: #33: #34:
r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( ) 2 2 2
2
:
r ' ( ) r '' ( ) 2 2
⎛d ⎞3 ⎡ 2 2 ⎤ ⎜⎯⎯⎟ ⎣COS(λ) , SIN(λ) , SIN(λ)·COS(λ)⎦ ⎝dλ⎠ ⎡ 2⎤ ⎣8·SIN(λ)·COS(λ), - 8·SIN(λ)·COS(λ), 4 - 8·COS(λ) ⎦ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞2⎤ ⎢8·SIN⎜⎯⎟·COS⎜⎯⎟, - 8·SIN⎜⎯⎟·COS⎜⎯⎟, 4 - 8·COS⎜⎯⎟ ⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ [0, 0, 4]
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⎡ 0 ⎢ DET ⎢ 2 ⎢ ⎣ 0
#35:
Geometría Diferencial 0 -2
-1 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 4 ⎦
0 #36: Luego, la torsión en P vale 0.
0
d) Centro C y radio de curvatura ρ en P: 1 1 #37: ρ = ⎯ = ⎯⎯⎯⎯ es el radio de curvatura en P. k 2·√2
C = P + ρ· n
#38:
1 ⎡ √2 √2 ⎤ C = [0, 1, 0] + ⎯⎯⎯⎯·⎢⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ 2·√2 ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ 1 3 ⎤ #40: ⎢⎯, ⎯, 0⎥ ⎣ 4 4 ⎦ es el centro de curvatura en P. #39:
e) Plano osculador en P:
Pasa por P y es perpendicular al vector
b . 2
#41: #42:
⎡ √2 √2 ⎤ ([x, y, z] - [0, 1, 0])·⎢- ⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ = 0 ⎣ 2 2 ⎦ x + y = 1 f) Unas ecuaciones implícitas de la curva son: {x + y = 1, z 2 = x·y}
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Asignatura: Métodos Matemáticos 17
Geometría Diferencial
7.- El lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva c, cuya curvatura no sea nula en ninguno de sus puntos, se llama “evoluta” de c. Hallar la evoluta de la espiral logarítmica: x e cos y e sen y demostrar que la evoluta calculada es una nueva espiral logarítmica. Solución: ⎡ λ λ ⎤ #20: ⎣e ·COS(λ), e ·SIN(λ), 0⎦ Centro de curvatura: c(λ) = r(λ) + 1/k(λ) n(λ) . ¿Es λ el parámetro arco? ⎮d ⎡ λ λ ⎤⎮ #23: ⎮⎯⎯ ⎣e ·COS(λ), e ·SIN(λ), 0⎦⎮ ⎮dλ ⎮ λ #24: √2·e Luego, λ no es el parámetro arco. Cálculo de la curvatura k(λ):
k
r ' ( ) r ' ' ( )
3
r ' ( ) ⎛d ⎞2 ⎡ λ λ ⎤ ⎜⎯⎯⎟ ⎣e ·COS(λ), e ·SIN(λ), 0⎦ ⎝dλ⎠ ⎡ λ λ ⎤ #26: ⎣ - 2·e ·SIN(λ), 2·e ·COS(λ), 0⎦ ⎡ λ λ ⎤ ⎡ #27: ⎣e ·(COS(λ) - SIN(λ)), e ·(COS(λ) + SIN(λ)), 0⎦ X ⎣ λ λ ⎤ 2·e ·SIN(λ), 2·e ·COS(λ), 0⎦ ⎡ 2·λ⎤ #28: ⎣0, 0, 2·e ⎦ ⎮⎡ 2·λ⎤⎮ ⎮⎣0, 0, 2·e ⎦⎮ #29: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ λ 3 (√2·e ) -λ √2·e #30: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 Cálculo del vector tangente t(λ): ⎡ λ λ ⎤ ⎣e ·(COS(λ) - SIN(λ)), e ·(COS(λ) + SIN(λ)), 0⎦ #31: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮⎡ λ λ ⎤⎮ ⎮⎣e ·(COS(λ) - SIN(λ)), e ·(COS(λ) + SIN(λ)), 0⎦⎮ ⎡ √2·COS(λ) √2·SIN(λ) √2·COS(λ) √2·SIN(λ) ⎤ #32: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 2 2 2 2 ⎦ #25:
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Asignatura: Métodos Matemáticos 18
Geometría Diferencial
Cálculo del vector binormal b(λ):
#33:
⎡ 2·λ⎤ ⎣0, 0, 2·e ⎦ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮⎡ 2·λ⎤⎮ ⎮⎣0, 0, 2·e ⎦⎮
#34:
[0, 0, 1]
Cálculo del vector normal n(λ): #35:
⎡ √2·COS(λ) √2·SIN(λ) √2·COS(λ) [0, 0, 1] X ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎣ 2 2 2 √2·SIN(λ) ⎤⎞ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥⎟ 2 ⎦⎠
#36:
⎡ √2·COS(λ) √2·SIN(λ) √2·COS(λ) √2·SIN(λ) ⎤ ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 2 2 2 2 ⎦
Cálculo del centro de curvatura c(λ):
#37:
⎡ λ λ ⎤ 1 ⎡ √2·COS(λ) ⎣e ·COS(λ), e ·SIN(λ), 0⎦ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -λ ⎣ 2 √2·e ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 √2·SIN(λ) √2·COS(λ) √2·SIN(λ) ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ 2 2 2 ⎦
#38:
⎡ λ λ ⎤ ⎣ - e ·SIN(λ), e ·COS(λ), 0⎦
que es una nueva espiral logarítmica pues puede escribirse en la forma: #39:
⎡ - π/2 μ - π/2 μ ⎤ ⎣e ·e ·COS(μ), e ·e ·SIN(μ), 0⎦
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para μ = π/2 +λ.
Asignatura: Métodos Matemáticos 19
Geometría Diferencial
(2 puntos) x cos 8.- Dada la curva r () y sen , R , se pide: z a) Estudiar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frénet en el punto P0 ,0, d) Calcular la curvatura en P0 . e) ¿Existe algún plano que contenga a la curva? Solución: #1: [λ·COS(λ), λ·SIN(λ), λ] a) Derivadas sucesivas: d #2: ⎯⎯ [λ·COS(λ), λ·SIN(λ), λ] dλ #3: [COS(λ) - λ·SIN(λ), λ·COS(λ) + SIN(λ), 1] ⎛d ⎞2 #4: ⎜⎯⎯⎟ [λ·COS(λ), λ·SIN(λ), λ] ⎝dλ⎠ #5: [- λ·COS(λ) - 2·SIN(λ), 2·COS(λ) - λ·SIN(λ), 0] ⎛d ⎞3 #6: ⎜⎯⎯⎟ [λ·COS(λ), λ·SIN(λ), λ] ⎝dλ⎠ #7: [λ·SIN(λ) - 3·COS(λ), - λ·COS(λ) - 3·SIN(λ), 0] Curva y derivadas en : #8: [-π, 0, π] #9: [-1, -π, 1] #10: [π, -2, 0] #11: [3, π, 0] Puntos singulares no tiene b) ⎮d ⎮ #12: ⎮⎯⎯ [λ·COS(λ), λ·SIN(λ), λ]⎮ ⎮dλ ⎮ 2 #13: √(λ + 2) 2 #14: √(λ + 2) ≠ 0 λ no es el parámetro arco pues: 2 #15: √(λ + 2) ≠ 1 para cualquier valor de λ. Relación entre el arco s y λ: λ ⌠ 2 #16: s = ⌡ √(λ + 2) dλ 0 c) Triedro de Frenet en el punto P0 ,0, correspondiente a : Lo constituyen el propio punto y los vectores tangente, normal y binormal en dicho punto.
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Asignatura: Métodos Matemáticos 20
Geometría Diferencial
Vector tangente: [-1, -π, 1] #17: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮[-1, -π, 1]⎮ ⎡ 1 π 1 ⎤ ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ #18: ⎢ 2 2 2 ⎥ ⎣ √(π + 2) √(π + 2) √(π + 2) ⎦ Vector binormal: [-1, -π, 1] X [π, -2, 0] #19: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮[-1, -π, 1] X [π, -2, 0]⎮ ⎡ 2 ⎤ ⎢ 2 π π + 2 ⎥ #20: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⎢ 4 2 4 2 4 2 ⎥ ⎣ √(π + 5·π + 8) √(π + 5·π + 8) √(π + 5·π + 8) ⎦ Vector normal: ⎡ ⎢ 2 π #21: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎢ 4 2 4 2 ⎣ √(π + 5·π + 8) √(π + 5·π + 8) 2 ⎤ π + 2 ⎥ ⎡ 1 π 1 ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ X ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ 4 2 ⎥ ⎢ 2 2 2 ⎥ √(π + 5·π + 8) ⎦ ⎣ √(π + 2) √(π + 2) √(π + 2) ⎦ ⎡ 2 2 ⎢ π·(π + 3) π + 4 #22: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎢ 2 4 2 2 4 2 ⎣ √(π + 2)·√(π + 5·π + 8) √(π + 2)·√(π + 5·π + 8) ⎤ π ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ 2 4 2 ⎥ √(π + 2)·√(π + 5·π + 8) ⎦ d) Curvatura en el punto P0 ,0, : ⎮[-1, -π, 1] X [π, -2, 0]⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #23: 3 ⎮[-1, -π, 1]⎮ √(π4 + 5·π2 + 8) #24: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 3/2 (π + 2) e) La torsión en el punto P0 ,0, es no nula, por tanto, la curva no es plana; en efecto: #25: [-1, -π, 1]·([π, -2, 0] X [3, π, 0]) 2 #26: π + 6 2 #27: π + 6 ≠ 0
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Asignatura: Métodos Matemáticos 21
Geometría Diferencial
9.- Sea r r la curva de ecuación:
x y sh 2 z ch 2
a) Estudiar si es el parámetro arco. b) ¿Tiene r algún punto singular? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,0,1). d) Hallar el plano osculador y el plano normal en P. Solución: a) ¿Es λ el parámetro arco? d #2: ⎯⎯ [λ, SINH(2·λ), COSH(2·λ)] dλ ⎡ 2·λ - 2·λ 2·λ - 2·λ⎤ #3: ⎣1, e + e , e - e ⎦ ⎮⎡ 2·λ - 2·λ 2·λ - 2·λ⎤⎮ - 2·λ 8·λ 4·λ #4: ⎮⎣1, e + e , e - e ⎦⎮= e ·√(2·e + e + 2) En general es: - 2·λ 8·λ 4·λ #6: e ·√(2·e + e + 2) ≠ 1 Luego, λ no es el arco. b) ¿Hay algún punto singular? ⎡ 2·λ - 2·λ 2·λ - 2·λ⎤ #7: ⎣1, e + e , e - e ⎦ = 0 ⎡ 2·λ - 2·λ 2·λ - 2·λ⎤ #8: SOLVE(⎣1, e + e , e - e ⎦ = 0, λ) = false Luego, no hay puntos singulares. c) Triedro de Frenet en el punto P (0,0,1) El punto P se obtiene para λ = 0. En efecto: #10: [λ, SINH(2·λ), COSH(2·λ)] = [0, 0, 1] #11: SOLVE([λ, SINH(2·λ), COSH(2·λ)] = [0, 0, 1], λ) #12: λ = 0 d #13: ⎯⎯ [λ, SINH(2·λ), COSH(2·λ)] dλ ⎡ 2·λ - 2·λ 2·λ - 2·λ⎤ #14: ⎣1, e + e , e - e ⎦ En λ = 0: #15: [1, 2, 0] ⎛d ⎞2 #16: ⎜⎯⎯⎟ [λ, SINH(2·λ), COSH(2·λ)] ⎝dλ⎠ ⎡ 2·λ - 2·λ 2·λ - 2·λ⎤ #17: ⎣0, 2·e - 2·e , 2·e + 2·e ⎦ En λ = 0: #18: [0, 0, 4] Vector tangente: [1, 2, 0] #19: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮[1, 2, 0]⎮
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Asignatura: Métodos Matemáticos 22
Geometría Diferencial
⎡ √5 2·√5 ⎤ ⎢⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 5 5 ⎦
#20: Vector binormal: #21:
[1, 2, 0] X [0, 0, 4]
#22: #23:
[8, -4, 0] [8, -4, 0] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮[8, -4, 0]⎮ ⎡ 2·√5 √5 ⎤ ⎢⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ ⎣ 5 5 ⎦
#24: Vector normal:
⎡ 2·√5 √5 ⎤ ⎡ √5 2·√5 ⎤ #25: ⎢⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥ X ⎢⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯, 0⎥ = ⎣ 5 5 ⎦ ⎣ 5 5 ⎦
[0, 0, 1]
Luego, el triedro de Frenet en P es: #27:
⎧ ⎡ √5 2·√5 ⎤ ⎡ 2·√5 √5 ⎤⎫ ⎨[0, 0, 1], ⎢⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯, 0⎥, [0, 0, 1], ⎢⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯, 0⎥⎬ ⎩ ⎣ 5 5 ⎦ ⎣ 5 5 ⎦⎭
d) Plano osculador: Es el plano que pasa por P y es perpendicular al vector binormal en P. #28:
2·x - y + d = 0
#29:
0 - 0 + d = 0
#30:
SOLVE(0 - 0 + d = 0, d)
#31:
d = 0
#32:
2·x - y = 0
Plano normal: pasa por P y es perpendicular al vector tangente en P. #33: #34: #35: #36:
x + 2·y + k = 0 0 + 0 + k = 0 SOLVE(0 + 0 + k = 0, k)
#37:
x + 2·y = 0
k = 0
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Geometría Diferencial
x cos 10.-Dada la curva r ( ) y 1 2sen , R , se pide: z cos
a) Estudiar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(-1,1,-1) d) Calcular la curvatura en P. e) ¿Existe algún plano que contenga a la curva? Solución: a) Puntos singulares #21: [COS(λ), 1 - √2·SIN(λ), COS(λ)] d #22: ⎯⎯ [COS(λ), 1 - √2·SIN(λ), COS(λ)] = [- SIN(λ), - √2·COS(λ), SIN(λ)] dλ #23: ⎮[- SIN(λ), - √2·COS(λ), - SIN(λ)]⎮ = √2 No tiene puntos singulares pues su vector derivada es no nulo en todos los puntos del intervalo. b) λ no es el parámetro arco pues la longitud (módulo) del vector derivada no es 1 en el intervalo. c) El origen en la referencia que denominamos triedro de Frenet en P(-1,1,-1) es el propio punto P. Como λ no es el parámetro arco hemos de usar las fórmulas al respecto para calcular los vectores del triedro. Previamente hallamos el valor de λ para el cual se obtiene P #24: [COS(λ), 1 - √2·SIN(λ), COS(λ)] = [-1, 1, -1] #25: SOLVE([COS(λ), 1 - √2·SIN(λ), COS(λ)] = [-1, 1, -1], λ, Real) #26: λ = -π ∨ λ = π Como λ ha de ser positivo la solución válida es λ = π Cálculo del vector tangente #27: [- SIN(π), - √2·COS(π), - SIN(π)] = [0, √2, 0] [0, √2, 0] #28: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = [0, 1, 0] ⎮[0, √2, 0]⎮ Cálculo del vector binormal ⎛d ⎞2 ⎜⎯⎯⎟ [COS(λ), 1 - √2·SIN(λ), COS(λ)] = [- COS(λ), √2·SIN(λ), - COS(λ)] ⎝dλ⎠ #30: [- COS(π), √2·SIN(π), - COS(π)] = [1, 0, 1] [0, √2, 0] ⨯ [1, 0, 1] ⎡ √2 √2 ⎤ #31: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎢⎯⎯, 0, - ⎯⎯⎥ ⎮[0, √2, 0] ⨯ [1, 0, 1]⎮ ⎣ 2 2 ⎦ Cálculo del vector normal ⎡ √2 √2 ⎤ ⎡ √2 √2 ⎤ #32: ⎢⎯⎯, 0, - ⎯⎯⎥ ⨯ [0, 1, 0] = ⎢⎯⎯, 0, ⎯⎯⎥ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦
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Geometría Diferencial
d) Cálculo de la curvatura en P ⎛ ([0, √2, 0] ⨯ [1, 0, 1])·([0, √2, 0] ⨯ [1, 0, 1]) ⎞ √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ = #33: ⎜ 3 ⎟ ⎝ ([0, √2, 0]·[0, √2, 0]) ⎠ ⎮[0, √2, 0] ⨯ [1, 0, 1]⎮ √2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ 3 2 ⎮[0, √2, 0]⎮ e) Hay que estudiar si la torsión es cero en los puntos del intervalo, luego basta calcular el numerador de la expresión ⎛d ⎞3 #34: ⎜⎯⎯⎟ [COS(λ), 1 - √2·SIN(λ), COS(λ)] = [SIN(λ), √2·COS(λ), SIN(λ)] ⎝dλ⎠ #35: [SIN(π), √2·COS(π), SIN(π)] = [0, - √2, 0] #36:
[0, √2, 0]·([1, 0, 1] ⨯ [0, - √2, 0]) = 0
Luego efectivamente se trata de una curva plana pues su torsión es 0
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Asignatura: Métodos Matemáticos 25
Geometría Diferencial
x cos 11.- Dada la curva r () y 2 . Se pide: z sen
a) ¿Tiene algún punto singular? b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar la curvatura en el punto P0 1, 2 ,0 . d) ¿En qué punto de la curva la torsión es nula? e) Hallar el triedro de Frenet en el punto P1 1,0,0 . Solución: ⎡ 2 ⎤ #1: ⎣COS(λ), - λ , - SIN(λ)⎦ a) ¿Tiene algún punto singular? d ⎡ 2 ⎤ #2: ⎯⎯ ⎣COS(λ), - λ , - SIN(λ)⎦ dλ #3: [- SIN(λ), - 2·λ, - COS(λ)] #4: [- SIN(λ), - 2·λ, - COS(λ)] ≠ [0, 0, 0] puesto que cosλ y senλ no se anulan simultáneamente. Luego, la curva no tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? #5: ⎮[- SIN(λ), - 2·λ, - COS(λ)]⎮ 2 #6: En general es: 2 #7: √(4·λ + 1) ≠ 1 luego, λ no es el arco.
√(4·λ
+ 1)
c) Hallar la curvatura en el punto P0 1, 2 ,0 ⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤ #8: ⎣ -1, - π , 0⎦ = ⎣COS(λ), - λ , - SIN(λ)⎦ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤ #9: SOLVE(⎣ -1, - π , 0⎦ = ⎣COS(λ), - λ , - SIN(λ)⎦, λ, Real) #10: λ = -π ∨ λ = π Tomamos λ = π. Aplicando la fórmula para el cálculo de la curvatura para un parámetro cualquiera:
r ' () r '' () k
3
r ' ( )
0, 2,1 1, 2, 0
3
5 4 3 1 4 2
3
r ' (), r '' (), r ''' () d)
1 4 2
2
0 r ' (), r '' (), r ''' () 0
r ' () r '' ()
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Asignatura: Métodos Matemáticos 26
Geometría Diferencial
sen
r ' (), r ' ' (), r ' ' ' () cos sen
2 cos
sen 2 0 0 P1 1,0,0
2
cos
0
e) Triedro de Frenet en el punto P1 1,0,0 : P1 , t 0 , n 0 , b0 Aplicando las fórmulas para calcular los vectores tangente, normal y binormal para un parámetro cualquiera, en 0 , se obtiene:
t 0 (0,0,1) ,
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Geometría Diferencial
x sen 2 12.- Dada la curva r ( ) y cos . Se pide: z 2 a) Analizar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,1,0) d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura y el centro de curvatura en dicho punto P. Solución: a) No tiene puntos singulares pues el vector derivada primera: 1 r ' () cos ,sen,2 0,0,0 al no anularse simultáneamente las tres 2 2 coordenadas para el mismo valor de .
b) no es el parámetro arco pues r ' () 1 , ya que depende de . c) Triedro de Frenet en el punto P(0,1,0): P, t P , n P , bP
P(0,1,0) = sen , cos , 2 0 2 Aplicando las fórmulas para calcular los vectores tangente, normal y binormal para un parámetro cualquiera, en 0 , se obtiene: 5 2 5 2 5 5 , n 0, t (1,0,0) , b 0, , , 5 5 5 5 d) Aplicando la fórmula de la curvatura para un parámetro cualquiera, se obtiene la curvatura en P: k 4 5 , y el radio de curvatura en P: 1 1 R . k 4 5
Centro de curvatura en P:
C r(0) R(0) n(0) 0,1, 0
1 5 2 5 , 0, 5 5 4 5
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19 1 0, , 20 10
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13.- a) Hallar la curvatura y la torsión del arco de curva: 4 x 5 cos s y 1 sen s , referido al parámetro arco. 3 z cos s 5 b) Demostrar que el arco de curva anterior está contenido en una circunferencia, es decir, que el centro y el radio de curvatura son los mismos para todos los puntos del arco. Solución: 4 x cos s 5 a) Curvatura y torsión del arco de curva: r s y 1 sen s 3 z cos s 5 3 3 4 4 r ' (s) sen s, - cos s, sen s , r ' ' (s) cos s, sen s, cos s 5 5 5 5 3 16 9 4 k s = r ' ' (s) cos s, sen s, cos s cos 2 s sen 2 s sen 2 s 1 5 25 25 5
Luego, la curvatura es la misma en todos los puntos de la curva y vale 1 .
r ' (s), r ' ' (s), r ' ' ' (s)
3 4 r ' ' ' (s) sen s, cos s, - sen s s 5 5
k s
2
0
Por tanto, la torsión es nula en todos los puntos. Se trata pues de una curva plana. b) Es un arco de circunferencia, en efecto:
Por ser k(s) = 1, el radio de curvatura vale R (s) =
1 1 en todos los puntos. k s
El vector normal en cada punto es: 3 4 cos s, sen s, cos s r ' ' (s) 5 5 4 cos s, sen s, 3 cos s n (s) 1 5 5 r ' ' (s) Y, por último, el centro de curvatura es:
C(s) r (s) R (s) n (s) 0, 1, 0 también común a todos los puntos de la curva, que está contenida, en consecuencia, en una circunferencia de centro el punto C (0, 1, 0) y radio R = 1.
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Geometría Diferencial
x 3 cos t 14.- Se considera la hélice de ecuación y 3 sen t . Se pide: z 4 t a) Ecuación de la recta tangente t 0 y de la normal principal n 0 a la hélice en el punto P0 0, 3, 2 . b) Demostrar que el ángulo que forma la recta tangente rt a la hélice, en un punto genérico P de la misma, con el plano xy es constante independientemente de P. c) Demostrar que la normal principal rn en un punto genérico P de la curva, corta al eje OZ. Solución: a) #1: [3·COS(t), 3·SIN(t), 4·t]= [0, 3, 2 ] t / 2 La recta tangente en cada punto es paralela al vector: d #2: ⎯⎯ [3·COS(t), 3·SIN(t), 4·t] dt #3: [- 3·SIN(t), 3·COS(t), 4] Sustituyendo t por / 2 : [- 3,0,4] x 3 La recta tangente t 0 tiene, pues, de ecuación: y 3 . z 2 4
Es fácil comprobar que t no es el parámetro arco, pues el vector derivada primera no es unitario en todos los puntos de la curva. Por ello, el vector normal es paralelo al vector: (r'∧ r'') ∧ r' (ya que dicho vector normal es b t ). ⎛d ⎞2 #7: ⎜⎯⎯⎟ [3·COS(t), 3·SIN(t), 4·t] ⎝dt⎠ #8: [- 3·COS(t), - 3·SIN(t), 0] Sustituyendo t por / 2 : [0, -3, 0] r'∧ r''= [12, 0, 9]; (r'∧ r'') ∧ r'= [0, -75, 0], que, a su vez, es paralelo al vector [0, 1, 0]. x 0 La normal principal n 0 tiene, pues, de ecuación: y 3 . z 2 b) El ángulo α entre el vector tangente en un punto P genérico de la curva y el vector (0, 0, 1), perpendicular al plano xy, es: [- 3·SIN(t), 3·COS(t), 4]·[0, 0, 1] #4: COS(α) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮[- 3·SIN(t), 3·COS(t), 4]⎮ 4 #5: COS(α) = ⎯⎯⎯⎯ 5 Luego: ⎛ 4 ⎞ #6: α = ACOS⎜⎯⎯⎯⎟ ⎝ 5 ⎠ que es constante independientemente del valor de t para cada punto.
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Geometría Diferencial
c) La recta normal principal en cada punto P pasa por dicho punto y es paralela al vector normal, es decir, es paralela al vector (r'∧ r'') ∧ r': #9:
([- 3·SIN(t), 3·COS(t), 4] X [- 3·COS(t), - 3·SIN(t), 0]) X [- 3·SIN(t), 3·COS(t), 4]
#10:
⎡ ⎤ ⎣ - 75 COS(t), - 75 SIN(t), 0⎦
Que, a su vez, es paralelo al vector: #11:
[COS(t), SIN(t), 0]
La recta normal en un punto genérico r(t) tiene, por tanto, de ecuación: #12:[x(t) ≔ 3·COS(t)+λ·COS(t), y(t) ≔ 3·SIN(t)+λ·SIN(t), z(t) ≔ 4·t]
Simplificando, queda: #13:
[x(t) ≔ (3 + λ)·COS(t), y(t) ≔ (3 + λ)·SIN(t), z(t) ≔ 4·t]
Corte con el eje OZ: #14:
[x(t) = 0, y(t) = 0]
#15:
SOLVE([(3 + λ)·COS(t) = 0, (3 + λ)·SIN(t) = 0], λ)
#16:
[λ = -3, COS(t) = 0 ∧ SIN(t) = 0]
Sustituyendo λ por -3 en la ecuación de la recta queda: #17:
[x(t) ≔ 0, y(t) ≔ 0, z(t) ≔ 4·t]
que es el punto de corte de la normal principal con el eje OZ. Otro método para demostrarlo es comprobar que el vector director del eje OZ, el vector director de la recta normal y un vector que una un punto de cada recta (por ejemplo, el origen y r(t)) son coplanarios:
#18:
⎡ 0 ⎢ DET ⎢ COS(t) ⎢ ⎣ 3·COS(t) - 0
0
1
⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 4·t - 0 ⎦
SIN(t) 3·SIN(t) - 0
#19:
0
Ó más simple todavía: Como el vector director de la recta normal es [cos(t), sin(t), 0], tiene nula la coordenada z, eso significa que forma un ángulo constante con el plano xy, como queríamos demostrar.
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Geometría Diferencial
15.- Dada la curva r 2 cos , 1 2sen, , R . Se pide: a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(2,1,0). d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura, el centro de curvatura y la torsión en P. e) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en P. f) Hallar la ecuación del plano osculador a la curva en P. g) ¿Se trata de una curva plana o alabeada? Si es plana, hallar la ecuación del plano que la contiene. Solución: #1: x(λ) ≔ 2·COS(λ) #2: y(λ) ≔ 1 + 2·SIN(λ) #3: z(λ) ≔ λ #4: r(λ) ≔ [x(λ), y(λ), z(λ)] a) #5:
r'(λ) = [- 2·SIN(λ), 2·COS(λ), 1]
#6: ⎮r'(λ)⎮ = √5 Todos los puntos son regulares, pues r'(λ) no es cero para ningún valor de λ. b) λ no es el arco, pues ⎮r'(λ) ⎮ no es 1 para todo λ. λ #7: ∫ ⎮r'(λ)⎮ dλ = √5·λ 0 #8: s = √5·λ #9: SOLVE(s = √5·λ, λ, Real) √5·s #10: λ = ⎯⎯⎯⎯ 5 ⎡ ⎛ √5·s ⎞ ⎛ √5·s ⎞ √5·s ⎤ #11: ⎢2·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟, 2·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ + 1, ⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ Una parametrización natural de la curva es: ⎡ ⎛ √5·s ⎞ ⎛ √5·s ⎞ √5·s ⎤ #12: r(s) ≔ ⎢2·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟, 2·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ + 1, ⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ c) Triedro de Frenet en el punto P(2,1,0): P, t P , n P , bP ⎡ ⎛ √5·s ⎞ ⎛ √5·s ⎞ √5·s ⎤ #13: ⎢2·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟, 2·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ + 1, ⎯⎯⎯⎯⎥ = [2, 1, 0] ⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ ⎛⎡ ⎛ √5·s ⎞ ⎛ √5·s ⎞ √5·s ⎤ ⎞ #14: SOLVE⎜⎢2·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟, 2·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ + 1, ⎯⎯⎯⎯⎥ = [2, 1, 0], s,⎟ ⎝⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ ⎠ #15: s = 0
Vector tangente: t (s) r ' (s)
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Geometría Diferencial
⎡ 2·√5 √5 ⎤ r'(0) = ⎢0, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦
#16:
Vector normal: n (s)
r ' ' (s)
r ' ' (s) r''(0) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = [-1, 0, 0] ⎮r''(0)⎮
#17:
Vector binormal: b(s) t(s) n(s)
⎡ 2·√5 √5 ⎤ ⎡ √5 2·√5 ⎤ ⎢0, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⨯ [-1, 0, 0] = ⎢0, - ⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦ ⎣ 5 5 ⎦ Luego, el triedro de Frenet en P es: 2 5 5 5 2 5 , , , 1, 0, 0 , 0, 2,1, 0 0, 5 5 5 5 #18:
d) Curvatura en P respecto al arco: k s r ' ' (s) ⎮⎡ 2 ⎤⎮ 2 ⎮⎢- ⎯, 0, 0⎥⎮ = ⎯ ⎮⎣ 5 ⎦⎮ 5
#19: Radio de curvatura en P:
1 5 ⎯⎯⎯ = ⎯ 2 2 ⎯ 5
#20: Centro de curvatura en P: #21:
5 ⎡ 1 ⎤ [2, 1, 0] + ⎯·[-1, 0, 0] = ⎢- ⎯, 1, 0⎥ 2 ⎣ 2 ⎦
Torsión en P: respecto al arco: s b' (s) n (s) #24:
r ' (s), r ' ' (s), r ' ' ' (s) k s
2
⎡ 2·√5 ⎤ ⎢0, - ⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 25 ⎦ ⎡ 2·√5 √5 ⎤ ⎢ 0 ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎥ ⎢ 5 5 ⎥ ⎢ 2 ⎥ DET ⎢ - ⎯ 0 0 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 2·√5 ⎥ ⎢ 0 - ⎯⎯⎯⎯ 0 ⎥ ⎣ 25 ⎦ 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ ⎛ 2 ⎞2 5 ⎜⎯⎟ ⎝ 5 ⎠
r’’’(0) =
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Geometría Diferencial
e) Recta tangente en P: #26: #27:
[x, y, z] = [2, 1, 0] + λ·[0, 2, 1] x = 2 ∧ y = 2·λ + 1 ∧ z = λ
donde se ha tomado un vector director perpendicular al vector tangente en P. f) Plano osculador a la curva en P: #28:
#29:
⎡ 2 ⎤ [x, y, z] = [2, 1, 0] + λ·[0, 2, 1] + μ·⎢- ⎯, 0, 0⎥ ⎣ 5 ⎦ 2·μ x = 2 - ⎯⎯⎯ ∧ y = 2·λ + 1 ∧ z = λ 5
pues pasa por P y es paralelo a los vectores tangente y normal. g) Se trata de una curva alabeada pues la torsión no es nula en todos sus puntos, al no serlo en P.
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Geometría Diferencial
x cos t t 16.- Se considera la curva: r t y sen , se pide: 2 z t a) Analizar si tiene algún punto singular. b) ¿Es t el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1, 0, 0). d) Hallar el plano osculador en P. e) Hallar la curvatura, el radio y el centro de curvatura y la torsión en P. f) La curva ¿es plana o alabeada? Solución:
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ ⎢COS(t), SIN⎜⎯⎯⎯⎟, t⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ a) Puntos singulares: d ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ #2: ⎯⎯ ⎢COS(t), SIN⎜⎯⎯⎯⎟, t⎥ dt ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ ⎢ COS⎜⎯⎯⎯⎟ ⎥ #3: ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎢ - SIN(t), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 1⎥ ⎣ 2 ⎦ Al ser la tercera coordenada igual a 1, no es nunca nulo. No hay, por tanto, puntos singulares . #1:
b) ¿Es t el arco? ⎮⎡ ⎛ t ⎞ ⎤⎮ ⎮⎢ COS⎜⎯⎯⎯⎟ ⎥⎮ #4: ⎮⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎮ ⎮⎢ - SIN(t), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 1⎥⎮ ⎮⎣ 2 ⎦⎮ 2 √2·√(COS(t) + 8·SIN(t) + 9) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≠ 1 4
#5:
Luego, t no es el arco .
c) Triedro de Frenet en el punto P(1,0,0):
Vector tangente: t()
#6:
#7:
r ' ( )
r ' ( )
⎡ ⎛ 0 ⎞ ⎤ [1, 0, 0] = ⎢COS(0), SIN⎜⎯⎯⎯⎟, 0⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎡ ⎛ 0 ⎞ ⎤ ⎢ COS⎜⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎢ - SIN(0), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 1⎥ ⎣ 2 ⎦
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Asignatura: Métodos Matemáticos 35
Geometría Diferencial ⎡ 1 ⎤ ⎢0, ⎯⎯⎯, 1⎥ ⎣ 2 ⎦
#8: #9:
⎮⎡ 1 ⎤⎮ ⎮⎢0, ⎯⎯⎯, 1⎥⎮ ⎮⎣ 2 ⎦⎮ √5 ⎯⎯⎯⎯ 2
#10:
#11:
⎡ 1 ⎤ ⎢0, ⎯⎯⎯, 1⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ √5 ⎯⎯⎯⎯ 2 ⎡ √5 2·√5 ⎤ ⎢0, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦
#12:
Vector binormal: b()
r '() r ''() r '() r ''()
#13:
#14:
#15: #16: #17: #18: #19: #20:
#21:
⎛d ⎞2 ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ ⎜⎯⎯⎟ ⎢COS(t), SIN⎜⎯⎯⎯⎟, t⎥ ⎝dt⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ ⎢ SIN⎜⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎢ - COS(t), - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 4 ⎦ ⎡ ⎛ 0 ⎞ ⎤ ⎢ SIN⎜⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎢ - COS(0), - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 4 ⎦ [-1, 0, 0] ⎡ 1 ⎤ ⎞ ⎢0, ⎯⎯⎯, 1⎥ X [-1, 0, 0]⎟ ⎣ 2 ⎦ ⎠ ⎡ 1 ⎤ ⎢0, -1, ⎯⎯⎯⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎮⎡ 1 ⎤⎮ ⎮⎢0, -1, ⎯⎯⎯⎥⎮ ⎮⎣ 2 ⎦⎮ √5 ⎯⎯⎯⎯ 2 ⎡ 1 ⎤ ⎢0, -1, ⎯⎯⎯⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ √5 ⎯⎯⎯⎯ 2
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Geometría Diferencial
⎡ 2·√5 √5 ⎤ ⎢0, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦
#22:
Vector normal: n() b() t() ⎡ 2·√5 √5 ⎤ ⎡ √5 2·√5 ⎤ #23: ⎢0, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎥ X ⎢0, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦ ⎣ 5 5 ⎦ #24: [-1, 0, 0] Luego, el triedro de Frenet en P es: 5 2 5 2 5 5 1, 0, 0 0, , , 0, , , 1, 0, 0 5 5 5 5
d) Plano osculador en P: #25: - 2·y + z + d = 0 #26: - 2·0 + 0 + d = 0 #27: d = 0 #28:
z - 2·y = 0
e) Curvatura: √5 ⎯⎯⎯⎯ 2 #29: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎛ √5 ⎞3 ⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ 2 ⎠ 4 ⎯⎯⎯ 5
#30:
Radio de curvatura: ⎛ 4 ⎞-1 #31: ⎜⎯⎯⎯⎟ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎯⎯⎯ 4
#32:
Centro de curvatura: #33:
5 [1, 0, 0] + ⎯⎯⎯·[-1, 0, 0] 4
#34:
⎡ 1 ⎤ ⎢- ⎯⎯⎯, 0, 0⎥ ⎣ 4 ⎦
Torsión: ⎛d ⎞3 ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ #35: ⎜⎯⎯⎟ ⎢COS(t), SIN⎜⎯⎯⎯⎟, t⎥ ⎝dt⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦
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#36:
#37:
⎡ ⎢ ⎢ ⎢SIN(0), ⎣
#38:
#39:
#40:
#41:
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ DET ⎢ -1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
Geometría Diferencial
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ ⎢ COS⎜⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎢SIN(t), - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 8 ⎦ ⎛ 0 ⎞ ⎤ COS⎜⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎥ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 0⎥ 8 ⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎢0, - ⎯⎯⎯, 0⎥ ⎣ 8 ⎦ 1 ⎤ ⎯⎯⎯ 1 ⎥ 2 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ - ⎯⎯⎯ 0 ⎥ 8 ⎦ 1 ⎯⎯⎯ 8
1 ⎯⎯⎯ 8 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎛ √5 ⎞2 ⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎝ 2 ⎠
#42:
1 ⎯⎯⎯⎯ 10
f) La curva es alabeada pues la torsión no es nula en todos los puntos.
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Geometría Diferencial
17.- De las curvas siguientes justifica, mediante los cálculos adecuados, cuál tiene como parámetro el parámetro arco, cuál admite un cambio de parámetro admisible para proporcionar unas ecuaciones respecto del parámetro arco y cuál no verifica ni lo uno ni lo otro. a ) r 3 sin( ), 3 cos( ), 3
b) r 3 sin , 3 cos , 2 2 3 1 3 c) r 2 , 1, 4 4 d ) r cos ,sin , sin cos
3 2
4 3 sin e) r sin , 1-cos , 5 5 f ) r 3 sin , 3 cos , 3 Solución:
a) #1:
[3 + SIN(λ), 3 - COS(λ), λ - 3] d #2: ⎯⎯ [3·SIN(λ), 3·COS(λ) - 1, 4·λ - 3] = [3·COS(λ), - 3·SIN(λ), 4] dλ #3: ⎮[3·COS(λ), - 3·SIN(λ), 4]⎮ = 5 El parámetro λ no es el arco λ #4: s = 5·∫ 5 dλ = 5·λ 0 s #5: λ = ⎯ 5 Este cambio de parámetro es admisible porque la derivada de λ es 1/5, en consecuencia, proporciona unas ecuaciones paramétricas naturales de la curva b) #6:
#7:
⎡ ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ λ ⎤ ⎢3 + SIN⎜⎯⎯⎟, 3 - COS⎜⎯⎯⎟, ⎯⎯ - 3⎥ ⎣ ⎝ √2 ⎠ ⎝ √2 ⎠ √2 ⎦ ⎡ ⎛ √2·λ ⎞ ⎢ √2·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ d ⎡ ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ λ ⎤ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎯⎯ ⎢3 + SIN⎜⎯⎯⎟, 3 - COS⎜⎯⎯⎟, ⎯⎯ - 3⎥ = ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, dλ ⎣ ⎝ √2 ⎠ ⎝ √2 ⎠ √2 ⎦ ⎣ 2 ⎛ √2·λ ⎞ ⎤ √2·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎥ ⎝ 2 ⎠ √2 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ 2 2 ⎦
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Asignatura: Métodos Matemáticos 39
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⎮⎡ ⎛ √2·λ ⎞ ⎛ √2·λ ⎞ ⎤⎮ ⎮⎢ √2·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ √2·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎥⎮ #8: ⎮⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ √2 ⎥⎮ ⎮⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥⎮ = 1 ⎮⎣ 2 2 2 ⎦⎮ λ es el parámetro arco, por lo que las ecuaciones dadas son las ecuaciones paramétricas naturales de la curva c) #9:
#10:
#11:
#12:
⎡ 3 2 1 3⎤ ⎢⎯·λ , λ - 1, ⎯·λ ⎥ ⎣ 4 4 ⎦ ⎡ 2 ⎤ d ⎡ 3 2 1 3⎤ ⎢ 3·λ 3·λ ⎥ ⎯⎯ ⎢⎯·λ , λ - 1, ⎯·λ ⎥ = ⎢⎯⎯⎯, 1, ⎯⎯⎯⎯⎥ dλ ⎣ 4 4 ⎦ ⎣ 2 4 ⎦ ⎮⎡ 2 ⎤⎮ 4 2 ⎮⎢ 3·λ 3·λ ⎥⎮ √(9·λ + 36·λ + 16) ⎮⎢⎯⎯⎯, 1, ⎯⎯⎯⎯⎥⎮ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎮⎣ 2 4 ⎦⎮ 4 λ ⌠ 4 2 ⎮ √(9·λ + 36·λ + 16) ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dλ ⌡ 4 0
No tiene primitiva, luego no existe un cambio de parámetro admisible, luego no podemos obtener unas ecuaciones paramétricas para la curva dada. d) #34: #35:
#36: #37:
[COS(λ), SIN(λ), SIN(λ)·COS(λ)] d ⎡ 2 ⎯⎯ [COS(λ), SIN(λ), SIN(λ)·COS(λ)] = ⎣ - SIN(λ), COS(λ), 2·COS(λ) dλ ⎤ - 1⎦ ⎮⎡ 2 ⎤⎮ 2 2 ⎮⎣ - SIN(λ), COS(λ), 2·COS(λ) - 1⎦⎮ = √2·√(1 - 2·SIN(λ) ·COS(λ) ) λ λ ⌠ 2 2 ⌠ 2 2 ⌡ √2·√(1 - 2·SIN(λ) ·COS(λ) ) dλ = √2·⌡ √(1 - 2·SIN(@) ·COS(@) ) 0 0 d@
λ no es el parámetro arco y no se puede calcular una expresión de λ en función de s para obtener una ecuaciones paramétricas naturales de la curva
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Geometría Diferencial
e) ⎡ 4 3 ⎤ ⎢⎯·SIN(λ), 1 - COS(λ), ⎯·SIN(λ)⎥ ⎣ 5 5 ⎦ d ⎡ 4 3 ⎤ ⎡ 4·COS(λ) #39: ⎯⎯ ⎢⎯·SIN(λ), 1 - COS(λ), ⎯·SIN(λ)⎥ = ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(λ), dλ ⎣ 5 5 ⎦ ⎣ 5 3·COS(λ) ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ 5 ⎦ ⎮⎡ 4·COS(λ) 3·COS(λ) ⎤⎮ #40: ⎮⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(λ), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥⎮ = 1 ⎮⎣ 5 5 ⎦⎮ λ es el parámetro arco, luego las ecuaciones dadas es una parametrización natural de la curva. #38:
f) #41:
[3 + SIN(λ), 3 - COS(λ), λ - 3] d #42: ⎯⎯ [3 + SIN(λ), 3 - COS(λ), λ - 3] = [COS(λ), SIN(λ), 1] dλ #43: ⎮[COS(λ), SIN(λ), 1]⎮ = √2 λ #44: s = ∫ √2 dλ = √2·λ 0 λ no es el parámetro arco pero la expresión anterior es un cambio de parámetro admisible (s'=√2≠0) que permite obtener una parametrización natural.
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Geometría Diferencial
18.- Dada la curva r cos(2 ), 1 2 sen(2 ), , R . Se pide:
a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano osculador de la curva en P. Solución:
a) #1:
[COS(2·λ), 1 - 2·SIN(2·λ), λ] d #2: ⎯⎯ [COS(2·λ), 1 - 2·SIN(2·λ), λ] = [- 2·SIN(2·λ), - 4·COS(2·λ), 1] dλ Para cualquier valor de λ, los puntos obtenidos son regulares por ser la 3ª coordenada no nula, [- 2·SIN(2·λ), - 4·COS(2·λ), 1]≠[0,0,0] b) 2 #15: ⎮[- 2·SIN(2·λ), - 4·COS(2·λ), 1]⎮ = √(12·COS(2·λ) + 5) λ no es el parámetro arco pues la longitud del vector tangente no es la unidad para cualquier λ λ λ ⌠ 2 ⌠ 2 #3: ⌡ √(12·COS(2·λ) + 5) dλ = ⌡ √(12·COS(2·@) + 5) d@ 0 0 No tiene primitiva, luego no existe un cambio de parámetro admisible, luego no podemos obtener unas ecuaciones paramétricas para la curva dada. c) Triedro de Frenet en el punto P(1,1, ):
Vector tangente: t()
r ' ( )
r ' ( )
#4: SOLVE([COS(2·λ), 1 - 2·SIN(2·λ), λ] = [1, 1, π], λ) #5: λ = π El origen es R(π)=[1, 1, π] El vector tangente es #6: [- 2·SIN(2·π), - 4·COS(2·π), 1] = [0, -4, 1] [0, -4, 1] ⎡ 4·√17 √17 ⎤ #7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎢0, - ⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ⎮[0, -4, 1]⎮ ⎣ 17 17 ⎦
Vector binormal: b()
r '() r ''() r '() r ''()
#8: #9:
⎛d ⎞2 ⎜⎯⎯⎟ [COS(2·λ), 1 - 2·SIN(2·λ), λ] = [- 4·COS(2·λ), 8·SIN(2·λ), 0] ⎝dλ⎠ [- 4·COS(2·π), 8·SIN(2·π), 0] = [-4, 0, 0]
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#10:
Geometría Diferencial
[0, -4, 1] ⨯ [-4, 0, 0] ⎡ √17 4·√17 ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎢0, - ⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⎮[0, -4, 1] ⨯ [-4, 0, 0]⎮ ⎣ 17 17 ⎦
Vector normal: n() b() t() ⎡ √17 4·√17 ⎤ ⎡ 4·√17 √17 ⎤ #12: ⎢0, - ⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎥ ⨯ ⎢0, - ⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ = [-1, 0, 0] ⎣ 17 17 ⎦ ⎣ 17 17 ⎦ Luego, el triedro de Frenet en P es: 17 4 17 4 17 17 1,1, 0, , , 0, , , 1, 0, 0 17 17 17 17 d) 2 2 ⎮[0, -4, 1] ⨯ [-4, 0, 0]⎮ 16 #13: κ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ 6 289 ⎮[0, -4, 1]⎮ Torsión ⎛d ⎞3 #14: ⎜⎯⎯⎟ [COS(2·λ), 1 - 2·SIN(2·λ), λ] = [8·SIN(2·λ), 16·COS(2·λ), 0] ⎝dλ⎠ #15: [8·SIN(2·π), 16·COS(2·π), 0] = [0, 16, 0] [0, -4, 1]·([-4, 0, 0] ⨯ [0, 16, 0]) 4 τ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - ⎯⎯ #16: 2 17 ⎮[0, -4, 1] ⨯ [-4, 0, 0]⎮ Se trata de una curva alabeada pues τ≠0 e) El radio de curvatura es ρ=1/√(16/289) = 17/4 y 17 ⎡ 13 #17: [1, 1, π] + ⎯⎯·[-1, 0, 0] = ⎢- ⎯⎯, 1, 4 ⎣ 4 El círculo osculador es el circulo intersección radio los de curvatura con el plano osculador ⎛ 13 ⎞2 2 2 289 #18: ⎜x + ⎯⎯⎟ + (y - 1) + (z - π) = ⎯⎯⎯ ⎝ 4 ⎠ 16 ⎡ 13 ⎤ ⎡ √17 #19: ⎢x + ⎯⎯, y - 1, z - π⎥ ⋅ ⎢0, - ⎯⎯⎯, ⎣ 4 ⎦ ⎣ 17
el centro es ⎤ π⎥ ⎦ de la esfera de centro y
4·√17 ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎥ = 0 17 ⎦
f) El plano osculador es que hemos calculado en el apartado anterior y la recta tangente pasa por el punto y su dirección es la del vector tangente ⎡ 13 ⎤ ⎡ √17 4·√17 ⎤ √17·y #20: ⎢x + ⎯⎯, y - 1, z - π⎥ ⋅ ⎢0, - ⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎥ = 0 → ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎣ 4 ⎦ ⎣ 17 17 ⎦ 17 4·√17·z 4·√17·π √17 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 17 17 17 x - 1 y - 1 z - π #21: ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ 0 -4 1
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Geometría Diferencial
19.-Dada la curva r 2 cos 1, 2 sen 1, , R . Se pide:
a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,0) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta normal y del plano normal de la curva en P. Solución:
a) #1:
[2·COS(λ) - 1, 2·SIN(λ) + 1, λ] d #2: ⎯⎯ [2·COS(λ) - 1, 2·SIN(λ) + 1, λ] = [- 2·SIN(λ), 2·COS(λ), 1] dλ Para cualquier valor de λ, los puntos obtenidos son regulares por ser la 3ª coordenada no nula, [- 2·SIN(2·λ), 2COS(2·λ), 1]≠[0,0,0] b) #3: ⎮[- 2·SIN(λ), 2·COS(λ), 1]⎮ = √5 λ √5·s #4: s = ∫ √5 dλ = √5·λ → λ = ⎯⎯⎯⎯ 0 5 λ no es el parámetro arco pero la expresión anterior indica que existe un cambio de parámetro admisible (λ'=√5/5≠0) que permite obtener la parametrización natural siguiente: ⎡ ⎛ √5·s ⎞ ⎛ √5·s ⎞ √5·s ⎤ #5: ⎢2·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟ - 1, 2·SIN⎜⎯⎯⎯⎯⎟ + 1, ⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ c) Obtención Triedro de Frenet con las fórmulas para un parámetro cualquiera. Hallamos, en primer lugar el valor de λ que proporciona el punto [1,1,0] (es para λ=0) #6: SOLVE([2·COS(λ) - 1, 2·SIN(λ) + 1, λ] = [1, 1, 0], λ, Real) #7: λ = 0 El origen del triedro de Frenet es el punto [1,1,0]=R(0)
Vector tangente: t()
r ' ( )
r ' ( )
El vector tangente es R'(0)/abs(R'(0)) #8: [- 2·SIN(0), 2·COS(0), 1] = [0, 2, 1] [0, 2, 1] ⎡ 2·√5 √5 ⎤ #9: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎢0, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ ⎮[0, 2, 1]⎮ ⎣ 5 5 ⎦
Vector binormal: b()
r '() r ''() r '() r ''()
#10:
⎛d ⎞2 ⎜⎯⎯⎟ [2·COS(λ) - 1, 2·SIN(λ) + 1, λ] = [- 2·COS(λ), - 2·SIN(λ), 0] ⎝dλ⎠
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#11: #12:
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[- 2·COS(0), - 2·SIN(0), 0] = [-2, 0, [0, 2, 1] ⨯ [-2, 0, 0] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎮[0, 2, 1] ⨯ [-2, 0, 0]⎮
0] ⎡ √5 2·√5 ⎤ ⎢0, - ⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎥ ⎣ 5 5 ⎦
Vector normal: n() b() t() ⎡ √5 2·√5 ⎤ ⎡ 2·√5 √5 ⎤ #13: ⎢0, - ⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎥ ⨯ ⎢0, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ = [-1, 0, 0] ⎣ 5 5 ⎦ ⎣ 5 5 ⎦ Luego, el triedro de Frenet en P es: 5 2 5 2 5 5 1,1, 0 0, , , 0, , , 1, 0, 0 5 5 5 5 d) Cálculo de la curvatura 2 2 ⎮[0, 2, 1] ⨯ [-2, 0, 0]⎮ 4 #14: κ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ 6 25 ⎮[0, 2, 1]⎮ Cálculo de la torsión ⎛d ⎞3 #15: ⎜⎯⎯⎟ [2·COS(λ) - 1, 2·SIN(λ) + 1, λ] = [2·SIN(λ), - 2·COS(λ), 0] ⎝dλ⎠ #16: [2·SIN(0), - 2·COS(0), 0] = [0, -2, 0] [0, 2, 1]·([-2, 0, 0] ⨯ [0, -2, 0]) 1 τ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ #17: 2 5 ⎮[0, 2, 1] ⨯ [-2, 0, 0]⎮ Es una curva alabeada porque la torsión no es nula (en al menos un punto) e) El radio de curvatura es ρ=1/√(4/25)= 5/2 y el centro es 5 ⎡ 3 ⎤ #18: [1, 1, 0] + ⎯·[-1, 0, 0] = ⎢- ⎯, 1, 0⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ El círculo osculador es el circulo intersección de la esfera de centro y radio los de curvatura con el plano osculador ⎛ 3 ⎞2 2 2 25 #19: ⎜x + ⎯⎟ + (y - 1) + (z - 0) = ⎯⎯ ⎝ 2 ⎠ 4 ⎡ 3 ⎤ ⎡ √5 2·√5 ⎤ #20: ⎢x + ⎯, y - 1, z⎥ ⋅ ⎢0, - ⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎥ = 0 ⎣ 2 ⎦ ⎣ 5 5 ⎦ f) La recta normal pasa por el punto y su dirección es la del vector normal y el plano normal pasa por el punto y su vector característico es el vector tangente x - 1 y - 1 z #21: ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ -1 0 0 ⎡ 3 ⎤ ⎡ 2·√5 √5 ⎤ 2·√5·y √5·z #22: ⎢x + ⎯, y - 1, z⎥ ⋅ ⎢0, ⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎥ = 0 → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ = ⎣ 2 ⎦ ⎣ 5 5 ⎦ 5 5 2·√5 ⎯⎯⎯⎯ 5
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Cicloide Es el lugar descrito por un punto fijo P de una circunferencia que rueda sin deslizarse por una recta fija. En coordenadas cartesianas, las ecuaciones
x r ( t - sent) y r ( 1 - cos t)
paramétricas son:
Problema propuesto por Johan BERNOULLI (1696) Entre todas las curvas que unen dos puntos del plano la curva de descenso más rápido (braquistócrona) es la cicloide. Un ejemplo de arco de cicloide son las pistas de salto de esquí. Es tautocrona: si invertimos una cicloide y dejamos caer rodando dos canicas a diferente altura (sin rozamiento), las dos llegarán al punto más bajo al mismo tiempo. Es isócrona: el período de un péndulo no varía cuando este oscila entre dos cicloides, siendo la trayectoria otra cicloide.
Rotación o giro Las transformaciones ortogonales directas de un espacio vectorial V2 son rotaciones o giros cos sen cos
vectoriales de V2 y su matriz asociada es sen
a La ecuación de la rotación G (A, ) del espacio euclídeo E2, de centro A= y ángulo b
x ' a cos sen x a , es: + .• y ' b
sen
cos y b
Rotación vectorial de V3, es toda transformación ortogonal f de V3, cuyo subespacio F de vectores invariantes sea una recta (dim F= 1). A la recta vectorial F se le denomina eje de la rotación y, el ángulo de la rotación y su matriz asociada será 0 0 1 0 cos sen o una semejante a ella. 0 sen cos
La ecuación de la rotación G(e,α), considerando la referencia R= O; u1 , u 2 , u 3 ,
a ortonormal, tal que u1 sea paralelo al eje e y A= b es un punto cualquiera del eje, es: c
x ' a 1 y ' b 0 z ' c 0
0
0
x a
cos sen y b .
sen
cos z c
Traslación T es la traslación de vector u AA ' . Se designa T
u
En el plano: x ' m x m La ecuación de la traslación T , de vector u es: u n y ' n y
En el espacio: m La ecuación de la traslación T , de vector u n , respecto de cualquier referencia R, es: u p x ' m x y ' n y . z' p z
Puntos singulares
Un punto singular de una curva plana F(t) (x(t), y(t)) es aquel en el cual
F ( t ) 0 , es decir: x '(t)=y'(t) 0 .
Cualquier punto singular es pues un punto crítico. El recíproco no es cierto. Un punto regular es cualquier punto no sea singular.
Astroide o hipocicloide de cuatro cúspides Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a/4 cuando rueda interiormente sin resbalar sobre una circunferencia cuyo radio es a. x a cos3 t ,a0 La ecuación implícita, en coordenadas cartesianas, es: 3 y a sen t 2/3
2/3
En explícitas: x +y
=a
2/3
Longitud de un arco de curva Sea y=f(x) una función continua en a, b y con derivada continua en (a,b). La longitud de la curva y=f(x) entre x=a y x=b, es : L
b
a
t1
x'2 (t) y '2 (t)dt
t0
Si la curva viene dada en coordenadas polares r f() , entonces:
L
2
r 2 r '2 d Para una curva en el espacio definida por r(t) x(t), y(t), z(t) , la longitud de una 1
1 y'2 dx .
x x(t) Si la curva viene dada en paramétricas , y y(t)
L
arco de curva es: s
t1 t0
x'2 (t) y '2 (t) z'2 (t) dt
Triedro de Frenet Las tres semirrectas que arrancan de un punto P de la curva y tienen las direcciones de los vectores tangente, normal y binormal forman el triedro de Fernet: r( s ), T( s ),N( s ),B( s ) r( ), T( ),N( ),B( ) (parámetro arco) (parámetro cualquiera)
Vector tangente:
Vector normal:
T( )
T( s ) r ' ( s )
N( s )
B( s ) T( s ) N( s )
N( ) B( ) T( )
r ' ( )
r'' ( s ) r'' ( s )
Vector binormal:
r ' ( )
B( )
r' ( ) r'' ( )
r' ( ) r'' ( )
Torsión de una curva
r ' (t) r '' (t) r ''' (t) Para una curva r r(t) la torsión es igual a: (t) 2 r ' (t) r '' (t)
Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, r ' (s) r '' (s) r ''' (s) (s) 2 r '' (s)
Para una curva plana la torsión es nula.
Curvatura de una curva
r ' (t) r '' (t) Para una curva r r(t) la curvatura es igual a: k(t) 3 r ' (t) Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la curvatura es igual a: k(s) r ''(s) El recíproco de la curvatura
1 es el radio de curvatura k Centro de curvatura
En un entorno del punto P de una curva consideramos un círculo cuyo radio es el de r ''(s) curvatura y el centro de dicho círculo es: C P n r(s) 2 r ''(s)
Curva alabeada Una curva es alabeada si su torsión es distinta de cero. Curva plana Una curva es plana si todos sus puntos pertenecen a un plano. Si consideramos el plano z=0 entonces su ecuación es F(x,y)=0. Se verifica que la torsión es nula.
Vector tangente
Sea C una curva en el espacio definida por la función r r( t ) , el vector tangente en un
punto P de la curva es:
dr T r' dt Es siempre unitario Vector normal Sea C una curva en el espacio definida por la función r r( t ) y considerando la longitud de arco s, el vector normal en un punto P de la curva es: dT( s ) d 2 r( s ) T' ds ds 2 El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. 1 dT( s ) Así, N , siendo k la curvatura de C en el punto dado. k ds
El recíproco de la curvatura r
1 se llama radio de curvatura. k
Vector binormal
Sea C una curva en el espacio definida por la función r r( t ) , el vector binormal en un punto P de la curva es:
B T N d r( s ) Es el producto del vector tangente a la curva en P, T y el vector normal a la ds 1 dT( s ) considerando la longitud de arco s curva en P, N k ds Se cumple que B'( s ) ( s ) N( s ) siendo la torsión.
Plano osculador a una curva Si r r(t) es la ecuación de una curva, el plano osculador a la curva en el punto P correspondiente al valor del parámetro t es paralelo a los vectores r '(t) y r ''(t) . Contiene a su vector tangente y a su vector normal.
Plano tangente a una superficie en un punto Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie S definida en un subconjunto DR2 y P0(x0,y0)D. Designamos por z0=f(x0,y0) y por P0 (x0,y0,z0) el punto correspondiente en la superficie S.
Cuando exista, el plano tangente a la superficie S en el punto P0, (xo,yo,zo) es: f P0 x x 0 f P0 y y 0 z z0 y x O bien, F F F x x 0 y y 0 z z 0 0 FP0 P0 X 0 z P0 x P0 y P 0
Evoluta Lugar de los centros de curvatura de una curva plana dada. Se obtiene como envolvente de la familia de normales a la curva.
Plano tangente a una superficie en un punto Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie S definida en un subconjunto DR2 y P0(x0,y0)D. Designamos por z0=f(x0,y0) y por P0 (x0,y0,z0) el punto correspondiente en la superficie S.
Cuando exista, el plano tangente a la superficie S en el punto P0, (xo,yo,zo) es: f P0 x x 0 f P0 y y 0 z z0 y x O bien, F F F x x 0 y y 0 z z 0 0 FP0 P0 X 0 z P0 x P0 y P 0
Círculo osculador Es el círculo intersección de la esfera de centro el centro de curvatura y radio el radio de curvatura con el plano osculador