Parte II

CALCULO DIFERENCIAL.

165

167 En esta parte veremos el C´alculo diferencial en forma precisa.

168

Cap´ıtulo 1

Axiomas Para los N´ umeros Reales. En este cap´ıtulo daremos las bases en las cuales se fundamenta el C´alculo Diferencial e Integral. En forma m´as precisa, daremos una serie de afirmaciones [llamadas axiomas] que supondremos son verdaderas y a partir de ellas deduciremos muchas otras usando s´olo implicaciones l´ogicas.

1.1

Introducci´ on.

Todas las propiedades habituales del conjunto de los n´ umeros reales pueden ser demostradas a partir de ciertas propiedades, que llamamos axiomas. Estos axiomas son de tres tipos distintos. Los axiomas algebraicos [que se detallar´an en la secci´on 1.2] que son propiedades de la suma y multiplicaci´on de n´ umeros reales, los axiomas de orden [que se detallar´an en la secci´on 1.3] que, como su nombre lo indica, son propiedades del orden < y un axioma topol´ ogico [que se detallar´a en la secci´on 1.4] que nos permitir´a tener una buena noci´on de continuidad. Usando esta terminolog´ıa, tenemos el siguiente Axioma Fundamental. Existe un conjunto R que satisface los axiomas algebraicos, de orden y topol´ ogico. Todo resultado que se obtenga a partir de este axioma ser´a un teorema. Se acostumbra usar el t´ermino proposici´ on para denotar un teorema que no es muy importante, el t´ermino corolario para denotar un teorema que es consecuencia inmediata de otro y el t´ermino lema para denotar un teorema que, a pesar de no ser interesante en si mismo, es muy u ´til para demostrar teoremas importantes. Es claro que estas diferencias son puramente subjetivas. Es importante notar que los axiomas tambi´en son teoremas. Una consecuencia de esta definici´on es que todos los teoremas del C´alculo Diferencial e Integral son expresiones del tipo: Si el Axioma Fundamental es verdadero, entonces cierta afirmaci´on es verdadera. √ Por ejemplo, es posible demostrar que la existencia de 2 es deducible del Axioma Fundamental. Por lo tanto, la afirmaci´on: “Existe r ∈ R tal que x2 = 2 ” es un teorema, cuya forma 169

170

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

m´as precisa es: “Si se cumple el Axioma Fundamental, entonces existe r ∈ R tal que x2 = 2 ”. La siguientes preguntas surgen de inmediato: ¿De qu´e sirve darse tanto trabajo para demostrar los teoremas si no demostramos el Axioma Fundamental? ¿Por qu´e agregar los resultados que nos interesan a lo axiomas para no tener que demostrarlos? La respuesta a la primera pregunta es que cuando se aplica la Matem´atica a una situaci´on real, se construye un modelo simplificado y, si se considera que las propiedades del Axioma Fundamental se aplican en el modelo, entonces se pueden usar todos los teoremas del C´alculo. Si esto conduce a resultados que son falsos en el mundo real, entonces hay que cambiar de modelo y usar otros axiomas que conducir´an a otros teoremas. En otras palabras, a pesar de que la Matem´atica no dice nada sobre el mundo real, es muy u ´til para comprenderla. En cuanto a la segunda pregunta, notamos que si agregamos un nuevo axioma que es demostrable a partir de los otros axiomas, nos ahorramos mucho trabajo pero el que quiera usar esta teor´ıa tendr´a que comprobar m´as propiedades que debe satisfacer su modelo. Pero si se agrega un axioma que es falso [es decir, tal que su negaci´on es demostrable a partir de los axiomas], entonces tenemos una teor´ıa totalmente in´ util ya que en ella toda afirmaci´on es verdadera y tambi´en es falsa. No profundizaremos m´as en esto ya que ello nos llevar´ıa a escribir otro libro. Sin embargo, para conveniencia del lector, en el Ap´endice veremos algunos conceptos de L´ogica y de Teor´ıa de Conjuntos.

1.2

Axiomas Algebraicos.

Los axiomas algebraicos, que establecen la existencia de las operaciones suma y multiplicaci´on de n´ umeros reales y sus propiedades b´asicas, son los siguientes: Axiomas de la Suma. AS1. Para todo x, y ∈ R existe un u ´nico elemento de R que denotaremos por x + y y que llamaremos la suma de x e y . AS2. x + y = y + x para todo x, y ∈ R . AS3. (x + y) + z = x + (y + z)) para todo x, y, z ∈ R . AS4. Existe un elemento de R , que denotaremos por 0 tal que x + 0 = x para todo x ∈ R . AS5. Para cada x ∈ R existe y ∈ R al que x + y = 0 . Axiomas del Producto. AP1. Para todo x, y ∈ R existe un u ´nico elemento de R que denotaremos por xy [´ o por x · y ] y que llamaremos el producto de x e y . AP2. xy = yx para todo x, y ∈ R .

171

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.

AP3. (xy)z = x(yz)) para todo x, y, z ∈ R . AP4. Existe un elemento de R , que denotaremos por 1 tal que x1 = x para todo x ∈ R . AP5. Para cada x ∈ R tal que x 6= 0 , existe y ∈ R tal que xy = 1 . Axiomas Mixtos. AM1. 1 6= 0 . AM2. (x + y)z = xz + yz para todo x, y, z ∈ R . A continuaci´on demostraremos algunas propiedades que aparentemente, no necesitan demostraci´on. Teorema 1. i. 0 + x = x para todo x ∈ R . ii. 1x = x para todo 0 6= x ∈ R . iii. x(y + z) = xy + xz para todo x, y, z ∈ R . Demostraci´ on. i. Si x ∈ R , entonces 0+x=x+0 =x

[por AS2] [por AS4]

ii. Si x ∈ R y x 6= 0 , entonces 1x = x1 = =x

[por AP2] [por AP4]

iii. Si x, y, z ∈ R , entonces x(y + z) = (y + z)x = yx + zx = xy + xz

[por AP2] [por AM2] [por AP2]

2

A continuaci´on demostraremos la unicidad de los elementos de R cuya existencia est´a garantizada en los axiomas AS4, AS5, AP4 y AP5. Teorema 2. i. Si 00 ∈ R es tal que x + 00 = x para todo x ∈ R , entonces 0 = 00 . ii. Si 10 ∈ R es tal que x · 10 = x para todo x ∈ R , entonces 1 = 10 . iii. Si x ∈ R , entonces existe un u ´nico y ∈ R tal que x + y = 0 . iv. Si 0 6= x ∈ R , entonces existe un u ´nico y ∈ R tal que xy = 1 .

172

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

Demostraci´ on. i. Si x + 00 = x para todo x ∈ R , entonces 0 = 0 + 00 = 00 + 0 = 00

[ya que x + 00 = x para todo x ∈ R ] [por AS2] [por AS4]

ii. Si x · 10 = x para todo x ∈ R , entonces 1 = 1 · 10 = 10 · 1 = 10

[ya que x · 10 = x para todo x ∈ R ] [por AM2] [por AP4]

iii. Sean x, y, y 0 ∈ R tales que x + y = x + y 0 = 0 . Entonces y =y+0 = y + (x + y 0 ) = y + (y 0 + x) = (y + y 0 ) + x = (y 0 + y) + x = y 0 + (y + x) = y 0 + (x + y) = y0 + 0 = y0

[por [por [por [por [por [por [por [por [por

AS4] hip´otesis] AS2] AS3] AS2] AS3] AS2] hip´otesis] AS4]

iv. La demostraci´on es igual a la anterior, reemplazando + por · y usando los axiomas AP2, AP3 y AP4. 2 Si x ∈ R , entonces denotamos por −x al u ´nico elemento de R tal que x + (−x) = 0 y, si x 6= 0 , denotamos por x−1 al u ´nico elemento de R tal que xx−1 = 1 . La siguiente consecuencia inmediata del Teorema es muy u ´til. Corolario. i. Sea x ∈ R . Entonces y = −x si y s´ olo si x + y = 0 . ii. Sea 0 6= x ∈ R . Entonces y = x−1 si y s´ olo si xy = 1 .

2

Los siguientes resultados se demuestran usando los axiomas y algunos de los teoremas ya demostrados. Es importante que el lector justifique cada paso de la demostraci´on indicando el axioma o teorema que se ha usado. Teorema 3. i. x0 = 0 para todo x ∈ R . ii. Sean x, y ∈ R tales que xy = 0 . Entonces, x = 0 ´ o y=0.

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.

173

iii. −x = (−1)x para todo x ∈ R . iv. −(x + y) = (−x) + (−y) para todo x, y ∈ R . v. Si x, y ∈ R son tales que x 6= 0 6= y , entonces (xy)−1 = x−1 y −1 . vi. x + y = x + z si y s´ olo si y = z . vii. Si x 6= 0 , entonces xy = xz si y s´ olo si y = z . Demostraci´ on. i. Por el Corolario del Teorema 2 basta demostrar que x + x0 = x y, para ello notamos que x + x0 = x1 + x0 = x(1 + 0) = x1 =x ii. Si x = 0 , no hay nada que demostrar. Si x 6= 0 , entonces como x−1 existe, se tiene que y = 1y = (x−1 x)y = x−1 (xy) = = x−1 0 =0 iii. Por el Corolario del Teorema 2, basta demostrar que x + (−1)x = 0 y, para ello notamos que x + (−1)x = 1x + (−1)x = (1 + (−1))x = 0x =0 iv. Usando la propiedad iii, tenemos que −(x + y) = (−1)(x + y) = (−1)x + (−1)y = (−x) + (−y)

174

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

v. Por el Corolario del Teorema 2, basta demostrar que (xy)(x−1 y −1 ) = 1 y, para ello notamos que (xy)(x−1 y −1 ) = (xy)(y −1 x−1 ) = x(y(y −1 x−1 )) = x((yy −1 )x−1 ) = x(1x−1 ) = xx−1 =1 vi. Si x + y = x + z , entonces y =0+y = ((−x) + x) + y = (−x) + (x + y) = (−x) + (x + z) = ((−x) + x) + z =0+z =z Adem´as es claro que si y = z , entonces x + y = x + z . vii. Si xy = xz , entonces y = 1y = (x−1 x)y = x−1 (xy) = x−1 (xz) = (x−1 x)z = 1z =z Adem´as es claro que si y = z , entonces xy = xz .

2

Ejemplo 1. El Teorema 3 nos permite demostrar que no existe no existe y ∈ R tal que 0y = 1 . En efecto, como si existiera, tendr´ıamos que 0 = 0y = 1 lo cual es falso ya que el Axioma AM1 dice que 0 6= 1 . Es importante notar que, a pesar de que el Axioma AP5 dice que para todo x 6= 0 existe y tal que xy = 1 , no dice que no existe y tal que 0y = 1 . El resultado que demostramos es consecuencia de los otros axiomas. 3

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.

175

Ejemplo 2. El m´etodo de demostraci´on usado en Ejemplo 1 tiene la siguiente justificaci´on. Si queremos demostrar que una afirmaci´on P es verdadera, basta demostrar que si es falsa, entonces podemos deducir que una afirmaci´on falsa es verdadera. En forma m´as precisa, demostramos que ¬P ⇒ Q [ ¬P es la afirmaci´on “ P es falsa”] es verdadera y, por lo tanto, que Q es verdadera. Como una afirmaci´on no puede ser verdadera y falsa, tenemos que no es posible que 6= P sea verdadera y, por lo tanto, que P es verdadera [para mayores detalles ver Ap´endice]. 3 A continuaci´on demostraremos dos resultados muy conocidos. El lector deber´a justificar los pasos de la demostraci´on. Teorema 4. Sean x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R tales que y1 6= 0 6= y2 . Entonces i. (x1 y1−1 )(x2 y2−1 ) = (x1 x2 )(y1 y2 )−1 o, usando la notaci´ on habitual, x1 x2 x1 x2 = y1 y2 y1 y2 ii. x1 y1−1 + x2 y2−1 = (x1 y2 + x2 y1 )(y1 y2 )−1 o, usando la notaci´ on habitual, x1 x2 x1 y2 + x2 y1 + = y1 y2 y1 y2 Demostraci´ on. i. Por el Teorema 3v, se tiene que (y1 y2 )−1 = y1−1 y2−1 . Entonces (x1 x2 )(y1 y2 )−1 = (x1 x2 )(y1−1 y2−1 ) = (x1 y1−1 )(x2 y2−1 ) ii. Basta notar que (x1 y2 + x2 y1 )(y1 y2 )−1 = (x1 y2 + x2 y1 )y1−1 y2−1 = x1 y2 y1−1 y2−1 + x2 y1 y1−1 y2−1 = x1 y2 y2−1 y1−1 + x2 1y2−1 = x1 1y1−1 + x2 y2−1 = x1 y1−1 + x2 y2−1

2

Por u ´ltimo demostraremos un resultado muy u ´til. Teorema 5. Sean a, b ∈ R . Entonces ab = 0 si y s´ olo si a = 0 ´ o b=0. Demostraci´ on. N´otese que queremos demostrar que ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 . [⇒] Supongamos que ab = 0 . Si a = 0 , no hay nada que demostrar. Si a 6= 0 , entonces existe a−1 y b = b(aa−1 ) = baa−1 = 0a−1 =0

176

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

[⇐] Si a = 0 , por el Teorema 3, ab = 0b = 0 y si b = 0 , tambi´en ab = a0 = 0 .

2

Ejemplo 3. Si consideramos el conjunto {0} y definimos 0+0=0

y 0·0=0

es f´acil comprobar que se cumplen todos los axiomas algebraicos salvo AM1. Esta es la raz´on por la cual se incluye este axioma, a pesar de que es “evidente”. 3 Ejemplo 4. Si a, b , queremos resolver la ecuaci´on ax = b . Esto significa que queremos encontrar el conjunto S = {x ∈ R | ax = b} Ingenuamente, se podr´ıa decir que S = {ba−1 } . Sin embargo, esto no es verdadero cuando a = 0 . Por lo tanto, tenemos que considerar tres casos distintos: i. Si a = b = 0 , entonces como para todo x ∈ R se cumple que 0x = 0 , se tiene que S=R ii. Si a = 0 y b 6= 0 , como no existe x ∈ R tal que 0x = b 6= 0 , se tiene que S=∅ iii. Si a 6= 0 , entonces si x ∈ S , se tiene que ax = b y, por lo tanto, x = a−1 b . As´ı hemos comprobado que x ∈ S ⇒ x ∈ {a−1 } que es lo mismo que S ⊂ {a−1 b} . Por u ´ltimo si x = a−1 b [que es lo mismo que x ∈ {a−1 b} ], como ax = aa−1 b = b , concluimos que x ∈ S y, por lo tanto, {a−1 b} ⊂ S . Hemos demostrado que S = {a−1 b}

3

En la Parte I definimos N = {1, 2, 3, · · · } . Sin embargo, esta “definici´on” es totalmente inadecuada ya que no sabemos que significan los s´ımbolos 2, 3, . . . . Si bien es cierto que podemos definir 2 = 1 + 1 y 3 = 2 + 1 , no podemos definirlos todos. N´otese que tampoco podemos recurrir a la inducci´on ya que esta es una propiedad del conjunto que queremos definir. Esta dificultad es insalvable y tenemos que usar ideas totalmente distintas. Diremos que S ⊂ R es un conjunto inductivo ssi satisface las dos propiedades siguientes: I1. 1 ∈ S . I2. Si x ∈ S , entonces x + 1 ∈ S . Es claro que R es un conjunto inductivo. Adem´as, nuestra idea intuitiva nos dice que N debe ser el conjunto inductivo m´as peque˜ no ya que s´olo debe contener a los n´ umeros reales que se obtienen sumando 1 un n´ umero finito de veces.

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.

177

Por lo tanto, definimos N=

\ {S | S es un conjunto inductivo }

= {x ∈ R | x ∈ S para todo conjunto inductivo S} Dicho de otra manera, N es el conjunto de todos los elementos de R que pertenecen a todos los conjuntos inductivos. El siguiente resultado resume las propiedades principales del conjunto N llamadas Propiedades de Peano. Teorema 6. i. 1 ∈ N . ii. Si n ∈ N entonces n + 1 ∈ N . iii. Si N ⊂ N es un conjunto inductivo, entonces N = N . Demostraci´ on. i. Como 1 ∈ S para todo conjunto inductivo S , concluimos que 1 ∈ N . ii. Sea n ∈ N . Entonces n ∈ S para todo conjunto inductivo S y, por lo tanto, n + 1 ∈ S para todo conjunto inductivo S . As´ı hemos comprobado que n + 1 ∈ N . , tenemos que demostrar que si S es un conjunto inductivo, entonces n + 1 ∈ S . iii. Como N ⊂ N , s´olo nos falta demostrar que N ⊂ N . Para ello, basta notar que, por definici´on, si n ∈ N , como N es un conjunto inductivo [por definici´on de N ] n ∈ N . 2 N´otese que hemos demostrado que N es el conjunto inductivo m´as peque˜ no, es decir, que N es inductivo y est´a contenido en todos los conjuntos inductivos. Usando este resultado, podemos demostrar el Principio de Inducci´on que, como vimos en la Parte I, es un arma muy poderosa. Corolario (Principo de Inducci´ on). Para cada n ∈ N , sea Pn una afirmaci´ on y supongamos que i. P1 es verdadera. ii. Si Pm es verdadera, entonces Pm+1 es verdadera. Entonces Pn es verdadera para todo n ∈ N . Demostraci´ on. Las hip´otesis dicen exactamente que el conjunto {n ∈ N | Pn es verdadera } ⊂ N es inductivo. Por el Teorema 6, N = N que es lo que quer´ıamos demostrar. Usaremos el Principio de Inducci´on para demostrar el siguiente importante resultado.

2

178

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

Teorema 7. Si m, n ∈ N , entonces m + n, mn ∈ N . Demostraci´ on. Sea m ∈ N . Entonces tenemos que demostrar que m + n ∈ N y mn ∈ N para todo n ∈ N . Dicho de otra manera, tenemos que comprobar que Ns = {n ∈ N | m + n ∈ N} = N

y

Np = {n ∈ N | mn ∈ N} = N

para lo cual, basta demostrar que los conjuntos Ns y Np son inductivos. Primero demostraremos que Ns es inductivo. Para ello notamos que, como m + 1 ∈ N , se tiene que 1 ∈ Ns . Adem´as, si n ∈ Ns , entonces m + n ∈ N y, como m + n + 1 ∈ N , concluimos que n + 1 ∈ Ns . Por u ´ltimo, demostraremos Np es inductivo. Para ello notamos que, como m1 = m ∈ N , se tiene que 1 ∈ Np . Adem´as, si n ∈ Np , entonces mn ∈ N y, como m(n + 1) = mn + m ∈ N , concluimos que n + 1 ∈ Np . 2 Sea a ∈ R . Entonces definimos a1 = a y an+1 = aan . De esta manera, hemos definido an para todo n ∈ N . En efecto, como el conjunto {n ∈ N | an est´a definido } ⊂ N es inductivo de N , se tiene que es igual a N . Usando el Principio de Inducci´on se demuestra f´acilmente el siguiente resultado. Teorema 8. Sea a ∈ R . Entonces, am+n = am an para todo m, n ∈ N . Demostraci´ on. Ejercicio.

2

Terminamos esta secci´on recordando las definiciones de los siguientes subconjuntos de R .

Z = N ∪ {0} ∪ {−n | n ∈ N}

;

Q=

nm ¯ o ¯ ¯ m, n ∈ Z n 6= 0 n

;

I=R\Q

Z se llama el conjunto de los enteros, Q el conjunto de los n´ umeros racionales y I el conjunto de los n´ umeros irracionales. El siguiente resultado es consecuencia casi inmediata del Teorema 4. Teorema 9. Q satisface todos los Axiomas Algebraicos. Demostraci´ on. Ejercicio.

2

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS.

179

Ejemplo 5. En I.1.1.6 Teorema 3 [ver p. 22] vimos que Q 6= R [en el Cap´ıtulo 2 demostraremos este resultado a partir del Axioma Fundamental]. N´otese que esta afirmaci´on es equivalente a I 6= ∅ . Algunas propiedades del conjunto I son las siguientes: i. Si x ∈ I , entonces −x ∈ I y x−1 ∈ I . En efecto, si −x 6∈ I , entonces −x ∈ Q y, por lo tanto, existen m, n ∈ Z tales que −x = m/n . Como esto implica que x = −m/n ∈ Q , contradicci´on que demuestra que −x 6∈ I es falso. En forma an´aloga, se demuestra que si x ∈ I entonces x−1 ∈ I . ii. Si x, y ∈ I no se puede concluir que x + y ∈ I y tampoco que xy ∈ I . En efecto, si x ∈ I , entonces −x, x−1 ∈ I y x + (−x) = 0 ∈ Q y xx−1 = 1 ∈ Q . iii. Si x ∈ Q y y ∈ I , entonces x + y ∈ I . En efecto, si z = x + y ∈ Q , entonces y = z − x ∈ Q , lo cual es falso. iv. Si x ∈ Q y y ∈ I , entonces xy ∈ I . En efecto, si z = xy ∈ Q , entonces y = zx−1 ∈ Q , lo cual es falso. Ejercicios. 1. Demuestre, a partir de los axiomas, que x + (y + z) = (y + x) + z v(x + (y + z)) = vy + (x + z)v .

y que

2. Demuestre que si x, y ∈ R son tales que x + y = x , entonces y = 0 . 3. Si x, y ∈ R son tales que x 6= 0 y xy = x , demuestre que y = 1 . Aplique este resultado para demostrar que si x, y ∈ R son tales que xy = y , entonces x = 0 o´ y = 1 . 4. Demuestre de dos maneras distintas que (−x)−1 = −x−1 para todo 0 6= x ∈ R . 5. Determine cuales son los axiomas algebraicos que son v´alidos para cada uno de los conjuntos N , Z y Q. 6. Sean a, b, c ∈ R tales que a 6= 0 y que existe r ∈ R tal que r2 = b2 − 4ac . Encuentre el conjunto {x ∈ R | ax2 + bx + c = 0} . 7. Revise el Cap´ıtulo I.1, demostrando, a partir de los axiomas algebraicos, todos los resultados que all´ı aparecen.

180

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

1.3

Axiomas de Orden

Los axiomas de orden, establecen la existencia la existencia de una relaci´on < en R que satisface ciertas propiedades que llamaremos Axiomas de Orden. El significado de este concepto es que para cada x, y ∈ R es posible definir si x < y es verdadero o falso. De manera m´as precisa, existe un conjunto O ⊂ R × R tal que x < y si y s´olo si (x, y) ∈ O . Axiomas de Orden. O1. Si x, y ∈ R , entonces se cumple una y s´ olo una de las siguientes afirmaciones: x y ] ssi y < x [ y 6 x ]. A continuaci´on veremos algunos ejemplos de resultados que pueden ser demostrados usando los axiomas algebraicos y de orden. Teorema 1. i. Si x < y , entonces −y < −x . ii. Si x < y y z < 0 , entonces yz < xz . iii. 0 < n para todo n ∈ N . iv. x2 > 0 para todo x 6= 0 . v. Si x + y = 0 y x, y > 0 , entonces x = y = 0 . vi. x2 + y 2 = 0 si y s´ olo si x = y = 0 . vii. Si x < y y x0 < y 0 , entonces x + x0 < y + y 0 . viii. Si x < y y x0 < y 0 , entonces x − y 0 < y − x0 . Demostraci´ on. i. Supongamos que x < y . Entonces por O3 0=x−x 0 si x2 + y 2 = 0 , por v se tiene que x2 = y 2 = 0 y, por lo tanto x = y = 0 . Adem´as, es claro que si x = y = 0 , entonces x2 + y 2 = 0 . vii. Supongamos que x < y y x0 < y 0 . Entonces, por O3 x + x0 < y + x0

y

y + x0 < y 0 + x0

182

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

y, por O2, concluimos que x + x0 < y + y 0 . viii. Supongamos que x < y y x0 < y 0 . Entonces, como −y 0 < −x0 , por vii, concluimos que x − y 0 < y − x0 . 2 Ejemplo 1. Si x > 0 [ x < 0 ], entonces x−1 > 0 [ x−1 < 0 ]. En efecto, supongamos que x > 0 y que es falso que x−1 > 0 . Entonces, como x−1 6= 0 [¿por qu´e?] por O3 se tiene que x−1 < 0 . Por O4, concluimos que 1 = x−1 x < 0x = 0 , contradicci´on que demuestra que x−1 > 0 . Para demostrar la otra afirmaci´on se puede usar un argumento an´alogo o usar la propiedad (−x)−1 = −x−1 [ver 1.2 Ejercio 4]. 3 Ejemplo 2. . Si 0 < x < y ´o x < y < 0 ] entonces y −1 < x−1 . En efecto, si 0 < x < y , entonces 1 = xx−1 < yx−1 y, por lo tanto, y −1 = y −1 1 < y −1 yx−1 = x−1 El caso en 0 < x < y se comprueba en forma an´aloga o usando que, −y < −x < 0 .

3

Ejemplo 3. A veces es conveniente usar la siguiente propiedad, cuya demostraci´on es muy sencilla: Sean x, y ∈ R . Entonces x < y si y s´olo si y − x > 0 . La siguiente consecuencia es interesante: Sean m, n ∈ N . Entonces m > n si y s´olo si m−n∈N. 3 Ejemplo 4. Es conveniente no innovar y definir los siguientes n´ umeros naturales: 2=1+1 5=4+1 8=7+1

3=2+1 6=5+1 9=8+1

4=3+1 7=6+1 10 = 9 + 1

N´otese que podemos demostrar f´acilmente que 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 Tambi´en es f´acil demostrar que 2 + 3 = 5 y que 5 + 7 = 10 + 2 . Sin embargo, no es posible demostrar que 5 + 7 = 12 ya que no hemos definido el n´ umero 12 . 3 Usaremos la notaci´on D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y diremos que los elementos de D son los d´ıgitos. A continuaci´on demostraremos que todos los n´ umeros naturales pueden ser expresados en forma u ´nica como sumas de la forma ck ck−1 · · · c1 c0 =

k X i=0

ci 10i

donde

ci ∈ D ∀ i = 0, 1, · · · k

y

ck 6= 0

1.3. AXIOMAS DE ORDEN

183

Por ejemplo, 36980 = 0 · 100 + 8 · 101 + 9 · 102 + 6 · 103 + 3 · 104 N´otese que, si no pudieramos demostrar este resultado a partir de los axiomas, no tendr´ıamos un buen modelo de los n´ umeros reales. Es claro que podemos demostrar que 999 + 1 = 1000 . En efecto, 999 + 1 = 9 · 100 + 9 · 101 + 9 · 102 + 1 = 10 + 9 · 100 + 9 · 101 + 9 · 102 = 0 · 100 + 101 + 9 · 101 + 9 · 102 = 0 · 100 + 0 · 101 + 102 + 9 · 102 = 0 · 100 + 0 · 101 + 0 · 102 + 1 · 103 = 1000 En forma general, tenemos el siguiente resultado que, obviamente, se demuestra por inducci´on. Lema. Para todo k ∈ N ∪ {0} , k X

9 · 10i + 1 = 10k+1

i=0

Demostraci´ on. Es claro que el resultado es verdadero para k = 1 . Para completar la inducci´on, supongamos que es v´alido para k . Entonces k+1 X

9 · 10i + 1 =

i=0

k X

9 · 10i + 9 · 10k+1 + 1

i+0

= 10k+1 + 9 · 10k+1 = 10k+2

2

Ahora podemos demostrar el siguiente resultado que dice que los n´ umeros naturales son lo que usamos en la vida diaria para contar. Teorema 2. El conjunto N ∪ {0} es igual al conjunto de todos los n´ umeros reales de la forma k X

ci 10i

i=0

tales que k ∈ N ∪ {0} y ci ∈ D para todo 0 6 i 6 k . Demostraci´ on. Es claro que tenemos que demostrar que si ( k ) X N= ci 10i | k ∈ N ∪ {0} y ci ∈ D ∀0 6 i 6 k i=0

184

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

entonces N = N ∪ {0} . Primero notamos que, por 1.2 Teorema 7, usando inducci´on, se tiene que N ⊂ N ∪ {0} . Por lo tanto, para terminar la demostraci´on s´olo tenemos que demostrar que m = N \ {0} ⊂ N es un conjunto inductivo. Para ello, notamos que 1 = 1 · 100 ∈ M y que si m ∈ M , entonces m=

k X

ci 10i

i=0

Entonces, si c0 6= 9 , si definimos c0i

( c0 + 1 = ci

si i = 0 si i > 0

es claro que m+1=

k X

c0i 10i

i=0

y luego usamos una inducci´on [cuyos detalles dejamos al lector] notando que, si ci = 9

para i = 0, 1, · · · , j

y

cj+1 6= 9

entonces, si definimos   0 0 c i = cj+1 + 1   ci

si i = 0, 1, · · · , j si i = j + 1 si i > j + 1

entonces, se tiene que, como 0

m+1=

k X

c0i 10i

i=0

y, por lo tanto, m + 1 ∈ M .

2

Recordemos que, si x ∈ R entonces definimos |x| ∈ R , llamado valor absoluto de x , por ( x si x > 0 |x| = −x si x 6 0 Las siguientes propiedades se demuestran f´acilmente.

1.3. AXIOMAS DE ORDEN

185

Teorema 3. i. |x| = 0 si y s´ olo si x = 0 . ii. |xy| = |x||y| . iii. |x| = | − x| para todo x ∈ R . iv. Sea a ∈ R tal que a > 0 . Entonces |x| 6 a si y s´ olo si −a 6 x 6 a . Demostraci´ on. i, ii y iii se demuestran f´acilmente. iv. Primero demostraremos que |x| 6 a ⇒ −a 6 x 6 a . Para ello supongamos que |x| 6 a . Entonces tenemos dos posibilidades: x > 0 y x 6 0 . Si x > 0 , como |x| = x 6 a , tenemos que −a 6 −x 6 0 6 x = |x| 6 a y, por lo tanto, −a 6 x 6 a . Si x 6 0 entonces, como |x| = −x 6 a , tenemos que −a 6 x 6 0 6 a y, por lo tanto, −a 6 x 6 a . Finalmente demostraremos que −a 6 x 6 a ⇒ |x| 6 a . Para ello supongamos que −a 6 x 6 a . Nuevamente, tenemos que distingir dos casos: x > 0 y x 6 0 . Si x > 0 , entonces |x| = x 6 a . Si x 6 0 , entonces |x| = −x y, por lo tanto −a 6 x = −|x| , lo que implica que |x| 6 a . 2 El siguiente resultado es una de las propiedades m´as importantes del valor absoluto. Teorema 4 (Desigualdad Triangular). Sean x, y, z ∈ R , entonces |x + y| 6 |x| + |y| . Demostraci´ on. Como −|x| 6 x 6 |x| y −|y| 6 y 6 |y| , se tiene que −(|x| + |y|) 6 x + y 6 |x| + |y| y, por lo tanto, |x + y| 6 |x| + |y| .

2

La siguiente variaci´on de la desigualdad triangular tambi´en es muy u ´til. Corolario. Sean x, y, z ∈ R , entonces |x − y| > | |x| − |y| | . Demostraci´ on. Aplicando ii dos veces, tenemos que |x| = |y + (x − y)| 6 |y| + |x − y|

y

|y| = |x + (y − x)| 6 |x| + |y − x|

186

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

de donde concluimos que −|x − y| 6 |x| − |y| = |y − x| y, por lo tanto, que |x − y| > ||x| − |y|| .

2

Recordemos que si a, b ∈ R , son tales que a 6 b , definimos los siguientes subconjuntos de R: 1. 3. 5. 7. 9.

]a, b[ = {x | a < x < b} [a, b[ = {x | a 6 x < b} ]a, ∞[ = {x | a < x} [a, ∞[ = {x | a 6 x} ] − ∞, ∞[ = R

2. 4. 6. 8.

[a, b] = {x | a 6 x 6 b} ]a, b] = {x | a 6 x 6 b} ] − ∞, b[ = {x | x < b} ] − ∞, b] = {x | x 6 b}

donde ∞ = +∞ y −∞ son dos s´ımbolos [que podr´ıamos reemplazar por cualquier otra cosa]. Diremos que un conjunto es un intervalo ssi es uno de estos conjuntos. N´otese que ∅ = [a, a[ es un intervalo. Es conveniente usar una notaci´on que puede parecer muy complicada pero que tiene la virtud de que permite grandes simplificaciones. Si definimos R∗ = R ∪ {±∞}

y

−∞ 0 tal que ]x − ε, x + ε[ ∩ I = ∅ .

1.4

Axioma Topol´ ogico.

Es f´acil comprobar que Q satisface los axiomas algebraicos y los axiomas topol´ogicos. Sin √ 2 6∈ Q embargo, como vimos en I.1.1.6 √ . Por lo tanto, los Axiomas Algebraicos y de Orden no permiten demostrar la existencia de 2 . Por lo tanto, agregaremos un u ´ltimo axioma que, adem´as solucionar esto, nos permitir´a construir una teor´ıa satisfactoria del C´alculo. Antes de introducir este axioma, necesitamos algunas definiciones. Si A ⊂ R , entonces una sucesi´ on en A [o simplemente una sucesi´on cuando A = R ] es una funci´on a : N −→ A . Usaremos la notaci´on a = (an | n ∈ N) [o simplemente (an ) cuando no haya peligro de confusi´on]. Es muy importante notar que si a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) son dos sucesiones en A ⊂ R , entonces a=b

⇔ an = bn

para todo n ∈ N

Ejemplo 1. N´otese que para definir una sucesi´on es necesario definir su primer [ a1 ], su segundo elemento [ a2 , que puede ser igual a a1 ], su tercer elemento que es a3 , etc. Por lo tanto, una sucesi´ on (an | n ∈ N) es algo muy diferente del conjunto {an | n ∈ N} . 3 Ejemplo 2. Veamos algunos ejemplos sencillos de sucesiones. i. Si k ∈ R , entonces la funci´on a : N −→ R tal que a(n) = k para todo n ∈ N es la sucesi´on (an | n ∈ N) tal que an = k para todo n ∈ N y que tambi´en denotamos por (k | n ∈ N) = (k) . Tambi´en podemos decir que (k) es la sucesi´on k, k, · · · , k, · · · . Es importante notar que {an |∈ N} = {k} , que es algo muy distinto de (k | n ∈ N) ii. La funci´on a : N −→ R tal que a(n) = 1/n para todo n ∈ N es la sucesi´on (1/n | n ∈ N) que tambi´en denotamos por (1/n) . Tambi´en podemos decir que (1/n) es la sucesi´ on 1, 1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · · . iii. La funci´on a : N −→ R tal que a(n) = (−1)n para todo n ∈ N es la sucesi´on ((−1)n | n ∈ N) que tambi´en denotamos por ((−1)n ) . Tambi´en podemos decir que ((−1)n ) es la sucesi´on −1, 1, −1, · · · , (−1)n , · · · .

190

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

Es importante notar que esta sucesi´on es distinta de la sucesi´on b tal que b(n) = (−1)n+1 para todo n ∈ N . N´otese que ((−1)n+1 ) es la sucesi´on 1, −1, 1, · · · , (−1)n+1 , · · · . Sin embargo, {an | n ∈ N} = {bn | n ∈ N} = {−1, 1} , a pesar de que las dos sucesiones son distintas. 3 Ejemplo 3. La f´ormula an = 1/(230 − n) no define una sucesi´on ya que a230 no est´a definido.3 Si a = (an ) y b = (bn ) son dos sucesiones en A ⊂ R , podemos construir la siguientes nuevas sucesiones en A . i. La suma de a y b que es la sucesi´on a + b tal que para todo n ∈ N (a + b)(n) = a(n) + b(n) Dicho de otra manera, se tiene que (an | n ∈ N) + (bn | n ∈ N) = (an + bn | n ∈ N) o, cuando no hay peligro de confusi´on (an ) + (bn ) = (an + bn ) . ii. El producto de a y b que es la sucesi´on ab tal que para todo n ∈ N (ab)(n) = a(n)b(n) Dicho de otra manera, se tiene que (an | n ∈ N)(bn | n ∈ N) = (an bn | n ∈ N) o, cuando no hay peligro de confusi´on (an )(bn ) = (an bn ) . iii. Si bn 6= 0 para todo n ∈ N , el cuociente de a y b es la sucesi´on a/b tal que para todo n ∈ N (a/b)(n) = a(n)/b(n) Dicho de otra manera, se tiene que (an | n ∈ N)/(bn | n ∈ N) = (an /bn | n ∈ N) o, cuando no hay peligro de confusi´on (an )/(bn ) = (an /bn ) . iv. Si A ⊂ R y f : A −→ B es una funci´on tal que B ⊂ R , la sucesi´on f ◦ a que es la sucesi´on en B tal que c = (cn ) = (f (an )) tal que para todo n ∈ N (f ◦ a)(n) = f (a(n)) Dicho de otra manera, se tiene que f ◦ (an | n ∈ N) = (f (an ) | n ∈ N)

191

´ 1.4. AXIOMA TOPOLOGICO.

o, cuando no hay peligro de confusi´on f ◦ (an ) = (f (an )) . La siguiente definici´on es el concepto b´asico de todo el C´alculo. Sean a una sucesi´on y a ∈ R . Entonces diremos que a converge a a ssi para todo ε ∈ R tal que ε > 0 existe N ∈ N tal que |a − an | < ε para todo n > N . Adem´as, diremos que una sucesi´on a es convergente ssi existe a tal que a converge a a . Intuitivamente, esto dice que cuando n es suficientemente grande, la distancia entre an y a es peque˜ na. Por lo tanto, este concepto es la formalizaci´on de la idea de acercarse a a que usamos en la Parte I. La siguiente formulaci´on de la definici´on de sucesi´on convergente ayuda a una mejor comprensi´on de este concepto. Teorema 1. Sea a una sucesi´ on y a ∈ R . Entonces a converge a a si y s´ olo si para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que an ∈ ]a − ε, a + ε[ para todo n > N . Demostraci´ on. Basta notar que, por 1.2 Teorema 6, |a − an | < ε

⇔

an ∈ ]a − ε, a + ε[

2

A continuaci´on veremos que una sucesi´on no puede converger a dos n´ umeros distintos. Teorema 2. Sean a una sucesi´ on y a, a0 ∈ R tales que a converge a a y a a0 . Entonces 0 a=a . Demostraci´ on. Comprobaremos que si suponemos que a 6= a0 obtenemos una contradicci´on. En efecto, si a converge a a y a a0 y |a − a0 | >0 2 entonces existen N, N 0 ∈ N tales que |a − an | < ε

∀n > N

y

|a0 − an | < ε

∀n > N 0

Si elegimos cualquier k > N, N 0 [por ejemplo, k = N + N 0 ], se tiene que |a − a0 | y 2 y usando la desigualdad triangular, tenemos que |a − ak | <

|ak − a0 | <

|a − a0 | = |(a − ak ) + (ak − a0 )| 6 |a − ak | + |a− a0 | 0 , entonces podemos elegir N = 1 y se tiene que |a − an | = |a − a| = 0 < ε para todo n > 1 = N . N´otese que podr´ıamos haber elegido cualquier otro N ∈ N . ii. Sea a = (an | n ∈ N) la sucesi´on tal que ( 0 a(n) = an = a

si n 6 8 si n > 8

193

´ 1.4. AXIOMA TOPOLOGICO.

N´otese que esta sucesi´on no es la misma de i. Demostraremos que l´ım a = a . Para ello, si ε > 0 , elegimos |a − an | = |a − a| = 0 < ε .

N = 9

y entonces, si

n > 9 = N , se tiene que

iii. Sea a = ((−1)n | n ∈ N) la sucesi´on tal que an = (−1)n para todo n ∈ N . Demostraremos que a no es convergente. Para ello, demostraremos que si suponemos que a es convergente, obtenemos una contradicci´on. En efecto, si a converge a a , como ε = 1 > 0 , existe N ∈ N tal que |a − an | < 1 para todo n > N . En particular, tenemos que |aN − aN +1 | = |(−1)N − (−1)N +1 | = |(−1)N + (−1)N | =2 tenemos que 2 = |aN − aN +1 | = |(aN − a) + (a − aN +1 | 6 |a − aN | + |a − aN +1 | 1/ε y, entonces si ¯ ¯ ¯ ¯ ¯0 − 1 ¯ = ¯ n¯

n ∈ N) = 0 ya que, dado varepsilon > 0 , n>N ,

1 n 1 6 N x . En efecto, esta propiedad es equivalente a la llamada Propiedad Arquimediana que dice que no existe K ∈ R tal que n < K para todo n ∈ N . Existen ejemplos de conjuntos que satisfacen los Axiomas Algebraicos y de Orden y que no satisfacen la Propiedad Arquimediana [estos objetos matem´aticos se llaman Cuerpos No Arquimedianos]. 3 La siguiente definici´on es necesaria para enunciar el Axioma Topol´ogico: Sea a una sucesi´on. Entonces diremos que C ∈ R es una cota superior [cota inferior] de a ssi an 6 C

194

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

[ an > C ] para todo n ∈ N . Adem´as, diremos que a es acotada superiormente [acotada inferiormente] ssi existe una cota superior [cota inferior] de a y que es acotada ssi es acotada superiormente e inferiormente. Las siguientes afirmaciones se demuestran f´acilmente. Teorema 3. Sea a = (an ) una sucesi´ on. Entonces i. C ∈ R es cota superior de a si y s´ olo si −C es cota inferior de la sucesi´ on −a = (−an ) . ii. Si C es cota superior [cota inferior] de a y C 0 > C [ C 0 6 C ] entonces C 0 es cota superior [cota inferior] de a . iii. a es acotada si y s´ olo si existe C tal que |an | 6 C para todo n ∈ N . iv. a es acotada si y s´ olo si existen N ∈ N y C ∈ R tales que |an | 6 C para todo n > N . Demostraci´ on. Las demostraciones de i , ii y iii son muy sencillas y son dejadas al lector. iv. [⇒] Es muy sencilla y es dejada al lector. [⇐] Supongamos que |an | 6 C para todo n > N . Entonces si C 0 = m´ax {|a1 |, |a2 |, · · · , |aN −1 |, C} se tiene que |an | 6 C 0 para todo n ∈ N .

2

El siguiente resultado muestra la relaci´on que hay entre las sucesiones convergentes y las sucesiones acotadas. Teorema 4. Toda sucesi´ on convergente es acotada. Demostraci´ on. Sea a una sucesi´on convergente y a = l´ım a . Entonces existe N tal que |a − an | < 1 para todo n > N y, por lo tanto, para todo n > N |an | = |an − a + a| 6 |an − a| + |a| < 1 + |a| Por el Teorema 3, concluimos que a es acotada.

2

N´otese que la implicaci´on inversa no es verdadera; es decir, las sucesiones acotadas no necesariamente son convergentes. Por ejemplo, la sucesi´on ((−1)n ) es acotada y [como vimos en el Ejemplo 5] no es convergente. M´ as adelante usaremos la siguiente propiedad que se demuestra en forma an´aloga. Teorema 5. Sea a = (an ) una sucesi´ on convergente tal que l´ım a = a 6= 0 . Entonces existe N ∈ N tal que |an | > |a|/2 para todo n ∈ N .

195

´ 1.4. AXIOMA TOPOLOGICO.

Demostraci´ on. Como |a|/2 > 0 , existe N ∈ N tal que |a − an | 6 |a|/2 para todo n > N . Entonces si n > N , se tiene que |a| = |a − an + an | 6 |an − a| + |an | < y, por lo tanto, |an | >

|a| + |an | 2

|a| . 2

2

Otra propiedad u ´til es la siguiente. Teorema 6. Sean c ∈ R y a = (an | n ∈ N) una sucesi´ on convergente tal que an 6 c [ an > c ] para todo n ∈ N . Entonces l´ım a 6 c [ l´ım a > c ]. Demostraci´ on. Sea a = l´ım a . Si suponemos que a > c , obtendremos una contradicci´on. En efecto, como a − c > 0 , existe N ∈ N tal que |a − an | < a − c para todo n > N . Entonces, como a − an < a − c , concluimos que an > c para todo n ∈ N , lo cual es falso. El caso en que an > c se demuestra en forma an´aloga. 2 Es importante notar que si l´ım a es una sucesi´on convergente tal que an < c para todo n ∈ N entonces s´olo se puede afirmar que l´ım a 6 c . M´as adelante veremos un ejemplo en que esto no se cumple. El siguiente resultado es exactamente lo que es de esperar. Teorema 7. Sean a y b dos sucesiones convergentes. Entonces i. a + b es convergente y l´ım (a + b) = l´ım a + l´ım b . ii. ab es convergente y l´ım ab = l´ım a l´ım b . iii. Si adem´ as bn 6= 0 para todo n y l´ım b 6= 0 , entonces l´ım a/b = l´ım a/ l´ım b . Demostraci´ on. Para simplificar la notaci´on, sean a = l´ım a y b = l´ım b . i. Sea ε > 0 . Entonces, como |(a + b) − (an + bn )| = |(a − an ) + (b − bn )| 5 |a − an | + |b − bn | tenemos que encontrar N ∈ N tal que para todo n > N |a − an | < ε/2

y

|b − bn | < ε/2

Para ello notamos que, como ε/2 > 0 , existen N1 , N2 ∈ N tales que |a − an | <

ε 2

∀n > N1

y

|b − an | <

ε 2

∀n > N2

196

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

si elegimos N > N1 , N2 , tenemos que para todo n > N |(a + b) − (an + bn )| 5 |a − an | + |b − bn | ε ε < + 2 2 =ε ii. Es conveniente ver primero el caso en que b = 0 . Sea ε > 0 . Entonces, por el Teorema 4, podemos elegir C > 0 tal que |an | 6 C para todo n ∈ N y, como |ab − an bn | = |an ||bn | < C|bn | si elegimos N ∈ N tal que |bn | < ε/C para todo n ∈ N , tenemos que para todo n ∈ N |ab − an bn | < C|bn | < Cε/C = ε Veamos el caso en que b 6= 0 . Entonces como [usando C > 0 tal que |an | < C para todo n ] |ab − an bn | = |an bn + (an b − an bn )| 5 |ab − an b| + |an b − an bn | = |a − an ||b| + |an ||b − bn | 6 |a − an ||b| + C|b − bn | tenemos que encontrar N tal que para todo n > N |a − an ||b| < ε/2

y

C|b − bn | < ε/2

Para ello notamos que, si elegimos N1 , N2 ∈ N tales que |a − an | <

ε 2|b|

∀n > N1

y

|b − bn | <

ε 2C

∀n > N − 2

y elegimos N ∈ N tal que N > N1 , N2 , se tiene que para todo n > N |ab − an bn | 6 |a − an ||b| + C|b − bn | ε ε < |b| + C 2|b| 2C ε ε = + 2 2 =ε iii. Primero demostraremos que si b−1 = (1/bn | n ∈ N) , entonces l´ım b−1 = b−1 . Para ello, sea ε > 0 . Entonces, como ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯ ¯ ¯ − 1 ¯ = ¯ b − bn ¯ = 1 1 |bn − b| ¯ bn b ¯ ¯ bn b ¯ |bn | |b| si elegimos N1 , N2 ∈ N [en la elecci´on de N1 usamos el Teorema 5] tales que 1/|bn | < 2/|b|

∀ > N1

y

|bn − b| < |b|2 ε/2

∀ n > N2

´ 1.4. AXIOMA TOPOLOGICO.

197

Entonces si elegimos N ∈ N tal que N > N1 , N2 , se tiene que para todo n > N , ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯ − 1 ¯ = 1 1 |bn − b| ¯ bn b ¯ |bn | |b| 2 1 |b|2 ε 6 |b| |b| 2 =ε Finalmente, para demostrar el caso general, basta notar que a/b = ab−1 y usar el caso especial y ii.

2

Antes de introducir el Axioma Topol´ogico veremos un resultado sumamente u ´til, que ser´a usado muy a menudo. Teorema 8 (Teorema del Sandwich). Sean a = (an ) y b = (bn ) dos sucesiones convergentes tales que l´ım a = l´ım b = a y c = (cn ) una sucesi´ on tal que an 6 cn 6 bn para todo n ∈ N . Entonces c es convergente y l´ım c = a . Demostraci´ on. Sea ε > 0 . Elijamos N1 , N2 ∈ N tales que |a − an | < ε ∀ n > N1

y

|a − bn | < ε ∀n > N2

Si elegimos N ∈ N es tal que N > N1 , N2 entonces, para todo n > N a − ε < an 6 cn 6 bn < a + ε y, por lo tanto, |a − cn | 6 ε .

2

El nombre de este resultado se debe a que si consideramos an , bn como el pan de un sandwich y cn el jam´on entonces el jam´on sigue al pan. Ejemplo 8. Espero que a nadie se le ocurra la aberraci´on de demostrar que l´ım (1/n) = 0 usando el Teorema 7 para concluir que µ ¶ 1 1 1 l´ım = = =0 3 n l´ım (n) ∞ Ejemplo 9. Si c ∈ R y a = (an | n ∈ N) es una sucesi´on, entonces definimos la sucesi´on ca = (can | n ∈ N) = (c | n ∈ N)(an | n ∈ N) Por el Teorema 7 se tiene que l´ım ca = c l´ım a .

3

198

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

Ejemplo 10. Si a = (an | n ∈ N) es una sucesi´on y a ∈ R , entonces definimos la sucesi´on a−a = (an −a | n ∈ N) . Entonces, a es convergente y l´ım a = a si y s´olo si a−a es convergente y l´ım (a−a) = 0 . Para demostrarlo, basta escribir el significado de cada una de estas afirmaciones.3 Para enunciar el Axioma Topol´ogico necesitamos una u ´ltima definici´on. Diremos que una sucesi´on a es creciente [decreciente] ssi an ≤ an+1 [ an > an+1 ] para todo n ∈ N . N´otese que a es creciente [decreciente] si y s´olo si −a es decreciente [creciente]. Finalmente, podemos enunciar el u ´ltimo axioma de R . Axioma Topol´ ogico. AT. Toda sucesi´ on creciente y acotada superiormente es convergente. El siguiente resultado es equivalente al Axioma Topol´ogico. Teorema 9. Toda sucesi´ on decreciente y acotada inferiormente es convergente. Demostraci´ on. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesi´on decreciente y acotada inferiormente. Entonces la sucesi´on −a = (−an | n ∈ N) es creciente y acotada superiormente. Por el Axioma Topol´ogico, es convergente y, por el Teorema 7, a es convergente. 2 A continuaci´on veremos algunos resultados importantes que se deducen f´acilmente del Axioma Topol´ogico. Teorema 10. No existe K ∈ R tal que n 6 K para todo n ∈ N . Demostraci´ on. Queremos demostrar que la sucesi´on (n | n ∈ N) no es acotada superiormente. Si suponemos que es acotada superiormente, como es creciente, por el Axioma Topol´ogico, deber´ıa convergente. Veremos que esto nos lleva a una contradicci´on. En efecto, si l´ım (n | n ∈ N) = a , entonces existe N ∈ N tal que |a − n| < 1/2 para todo n > N y, por lo tanto, 1 = |(N + 1 − a) + (a − N )| 6 |N + 1 − a| + |a − N | 1 1 < + 2 2 =1 es decir, 1 < 1 , lo cual es falso.

2

Este resultado tambi´en puede ser expresado de la siguiente manera. Corolario (Propiedad Arquimediana). Sean ε > 0 y K ∈ R . Entonces existe n ∈ N tal que nε > K . Demostraci´ on. Supongamos que la afirmaci´on es falsa, es decir, que existe K ∈ R tal que nε 6 K para todo n ∈ N . Entonces la sucesi´on (εn) es acotada superiormente y, como tambi´en es creciente, ella es convergente, lo cual es falso. 2 Usaremos el Teorema 10 para dar ejemplos interesantes de sucesiones convergentes.

199

´ 1.4. AXIOMA TOPOLOGICO.

Teorema 11. La sucesi´ on (1/n | n ∈ N) es convergente y l´ım (1/n | n ∈ N) = 0 . Demostraci´ on. Sea ε > 0 . Entonces [por el Teorema 10] existe N ∈ N tal que N ε > 1 . Entonces, para todo n ∈ N tal que n > N se tiene que ¯ ¯ ¯1¯ ¯ ¯= 1 6 1 0 0 − + an = y an = 0 si an 6 0 an

si an > 0 si an 6 0

Entonces l´ım a = 0 si y s´ olo si l´ım a± = 0 . Demostraci´ on. [⇒] Supongamos que l´ım a = 0 y sea ε > 0 . Elijamos N ∈ N tal que |an | < ε para todo n > N . Entonces, para todo n > N |a± n | 6 |an | < ε [⇐] Como a = a− + a+ , concluimos que l´ım a = l´ım a− + l´ım a+ = 0

2

Ejemplo 11. La propiedad arquimedeana dice que, por peque˜ no que sea ε y, por grande que sea K , es posible obtener un n´ umero m´as grande que K sumando ε un n´ umero suficiente de veces. Este es el principio del ahorro: si uno ahorra diariamente una cantidad peque˜ na, entonces al cabo de un tiempo suficientemente grande se ha ahorrado una cantidad apreciable. Este fen´omeno crea problemas en el uso de computadores ya que si se hacen muchos un c´alculos con errores peque˜ nos se puede obtener un resultado con un error muy grande. 3 Ejemplo 12. Para todo k ∈ N µ l´ım

¶ 1 | n ∈ N =0 nk

En efecto, basta notar que para todo n ∈ N , 06

1 1 6 nk n

y usar el Teorema 11 y el Teorema del Sandwich.

3

200

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

Ejemplo 13. Sean a una sucesi´on convergente y b la sucesi´on tal que b1 = 0

y

bn = an−1

∀n > 1

Entonces b es convergente y l´ım b = l´ım a . En forma m´as resumida este resultado se expresa diciendo que l´ım (an−1 | n ∈ N) = l´ım (an | n ∈ N) Para demostrarlo, sea l´ım a = a . Entonces, si ε > 0 , existe N1 ∈ N tal que para todo n > N1 |a − an | < ε Por lo tanto, si n > N = N1 + 1 , como bn = an−1 , y n − 1 > N − 1 = N1 , se tiene que |a − bn | = |a − an−1 | < ε

3

Ejemplo 14. Usaremos el ejercicio anterior para demostrar que, si 0 6 a < 1 , entonces l´ım (an | n ∈ N) = 0 Para ello notamos que (an | n ∈ N) es convergente ya que es decreciente y acotada inferiormente. Si c = l´ım (an | n ∈ N) , entonces c = l´ım (an | n ∈ N) = l´ım a(an−1 | n ∈ N) = a l´ım (an−1 | n ∈ N) = a l´ım (an | n ∈ N) = ac Entonces, como c = ac y a 6= 0 , concluimos que c = 0 . N´otese que, si suponemos que a > 1 , podr´ıamos hacer el mismo c´alculo y concluir algo falso ya que en este caso el l´ımite no existe. Esto es un ejemplo de los errores que se pueden cometer haciendo c´alculos a ciegas, sin tener una buena teor´ıa. 3 Como aplicaci´on de la noci´on de l´ımite de sucesiones, demostraremos que todos los n´ umeros reales tienen un desarrollo decimal. Es decir, daremos un sentido preciso a afirmaciones tales como 1/2 = 0, 5000 · · ·

;

1 = 0, 3333 · · · 3

;

π = 3, 141582653589793 · · ·

y demostraremos que todos los n´ umeros reales pueden ser expresados de esta manera.

´ 1.4. AXIOMA TOPOLOGICO.

201

Como la demostraci´on es bastante larga, la separaremos en lemas m´as manejables. Esto permite que el lector omita o postergue las demostraciones de algunos de estos resultados para obtener as´ı una idea cabal de la demostraci´on. En primer lugar notamos que si (αn | n ∈ N) es una sucesi´on en D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} [es decir, que αn ∈ D para todo n ∈ N ], entonces podemos definir una nueva sucesi´on a = (an ) tal que 1 1 1 + α2 2 + · · · + αn n 10 10 10 n X = αi 10−i

an = α1

i=1

= 0, α1 α2 · · · αn [donde la u ´ltima igualdad es la definici´on del s´ımbolo 0, α1 α2 · · · αn ]. Por ejemplo, 1/2 = 5

1 = 0, 5 10

1 25 1 1 = = 2 + 5 2 = 0, 25 4 100 10 10

y

Nuestra primera meta es demostrar que a es convergente. Para ello demostraremos que es creciente y acotada superiormente. Lema a. La sucesi´ on a = (an ) es creciente. Demostraci´ on. Como an+1 − an =

n+1 X

αi 10−i −

i=1

n X

αi 10−i

i=1

= αn+1 10−(n+1) >0 concluimos que an 6 an+1 para todo n ∈ N .

2

Antes de demostrar que a es acotada superiormente, estableceremos una f´ormula muy u ´til que usaremos en muchas oportunidades. Su demostraci´on es un truco muy sencillo y permite reconstruir la f´ormula en caso de olvido. Lema b. Para todo r 6= 1 , se cumple que n X i=1

ri =

r (1 − rn ) 1−r

Demostraci´ on. Si S = r + r2 + · · · + rn , entonces rS = r2 + r3 + · · · + rn+1 = −r + r + r2 + r3 + · · · + rn + rn+1 = −r + S + rn+1

202

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

y, despejando S , obtenemos la f´ormula.

2

Ahora podemos demostrar el resultado que queremos. Lema c. La sucesi´ on a es convergente y l´ım a 6 1 . Demostraci´ on. Demostraremos que an 6 1 para todo n ∈ N . Para ello, notamos que an =

n X

αi

i=1 n X

1 10i

1 i 10 i=1 ¶i n µ X 1 =9 10 i=1 6

9

1 10

µ µ ¶n ¶ 1 =9 1− 1 10 1− 10 = 1 − 10−n 0 . Por el teorema 12, tenemos que ck ck−1 · · · c0 , α1 α2 · · · y, por lo tanto, si para cada n ∈ N definimos an = ck ck−1 · · · c0 , α1 α2 · · · αn obtenemos una sucesi´on en Q tal que x = l´ım a .

2

Ejemplo 15. El desarrollo decimal x = α1 α2 · · · no es necesario u ´nico. En efecto, se comprueba [Ejercicio] que si αk < 9 , entonces 0, α1 α2 · · · αk 9999 · · · = 0, α1 α2 · · · αk−1 αk0 0000 · · · donde αk0 = αk + 1 . Es m´as dif´ıcil comprobar que estas son los u ´nicos ejemplos en que hay dos desarrollos decimales. [Conviene empezar comprobando que si 1 = 0, α1 α2 · · · entonces αn = 9 para todo n .] 3

Ejemplo 16. Es interesante notar que ck · · · c0 , α1 α2 · · · es racional si y s´olo si existen N y l tales que αn+l = αn para todo n > N . Por ejemplo, el n´ umero real 37, 2597123123123 · · · satisface esta propiedad con N = 5 y k = 3 . [Ejercicio: Demuestre que es racional.] La demostraci´on de una de las implicaciones no es dif´ıcil la otra es m´as complicada. 3 Ejercicios. 1. Sean a, b dos sucesiones tales que existe M tal que an = bn para todo n > M . Demuestre que a es convergente si y s´olo si b es convergente y que si son convergentes y que, si son convergentes, entonces l´ım a = l´ım b . 2. Para cada n ∈ N sea P (n) una afirmaci´on que depende de n . [Ejemplos: las afirmaciones “|a − an | < ε00 y “n es primo”, etc.] Entonces diremos que P (n) es verdadera para casi todo n ∈ N ssi P (n) es falsa s´olo para un n´ umero finito de n ∈ N . Por ejemplo, la afirmaci´on “ n > 4 ” es verdadera para casi todo n ∈ N ya que es falsa si y s´olo si n = 1, 2, 3 . Demuestre que P (n) es verdadera para casi todo n ∈ N si y s´olo si existe N tal que P (n) es verdadera para todo n > N . A continuaci´on veremos algunos ejemplos de la aplicaci´on de este concepto ya que es u ´til para simplificar el manejo de la definici´on de l´ımite.

205

´ 1.4. AXIOMA TOPOLOGICO.

i. Demuestre que l´ım (an | n ∈ N) = a si y s´olo si para todo ε > 0 se cumple que |a − an | < ε para casi todo n ∈ N . ii. Demuestre que l´ım (an | n ∈ N) = a si y s´olo si para todo ε > 0 se cumple que an ∈ ]a − ε , a + ε − an [ para casi todo n ∈ N . iii. Compruebe que en el Ejercicio 1 demostr´o que si an = bn para casi todo n ∈ N , entonces l´ım an = a si y s´olo si l´ım bn = a . iv. Demuestre la siguiente versi´on del Teorema del Sandwich. Sean a, b, c sucesiones tales que l´ım a = l´ım b = a y an 6 cn 6 bn para casi todo n ∈ N . Entonces l´ım c = a . 3. Sean a, b dos sucesiones tales que l´ım a = a y bn = a2n para todo n ∈ N . Demuestre que l´ım b = a . Trate de demostrar la siguiente generalizaci´on: Sean a una sucesi´on convergente y ϕ : N → N una funci´on tal que ϕ(n) < ϕ(n + 1) para todo n . Entonces la sucesi´on b = a ◦ ϕ = (aϕ(n) ) es convergente y l´ım b = l´ım a . ¿Por qu´e es necesario imponer una condici´on a la funci´on ϕ ? ¿Es verdad que si b es convergente, entonces a es convergente? 4. Demuestre que l´ım a = a si y s´olo si para todo m ∈ N existe N tal que |a − an | < 1/m para todo n > N . p(n) 5. Sea p un polinomio de grado k > 0 . Demuestre que l´ım k es el k-´esimo coeficiente n de p . 6. Sean p un polinomio de grado k , q un polinomio de grado l y a la sucesi´on tal que para todo n ∈ N an =

p(n) q(n)

Determine cuando a es convergente y encuentre su l´ımite cuando existe. [Note que el Ejercicio 5 es un caso especial.] 7. Demuestre que, para cada r ∈ R existe un u ´nico n ∈ Z tal que n 6 r < n + 1 . [Note que esto fu´e usado en la demostraci´on de 1.4 Teorema 13.] 8. Si (an ) es una sucesi´on, demuestre que l´ım (an | n ∈ N) = 0 si y s´olo si l´ım |an | = 0 . ¿Qu´e puede decir sobre la siguiente afirmaci´on: l´ım |an | = |a| ?

l´ım (|an | | n ∈ N) = |a|

si y s´olo si

206

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

9. Sean a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) dos sucesiones convergentes tales que an 6 bn para casi todo n [es decir, existe M tal que an 6 bn para todo n > M ]. Demuestre que l´ım a 6 l´ım b Si an < bn para casi todo n , demuestre que l´ım a 6 l´ım b y encuentre un ejemplo en el cual l´ım a = l´ım b . 10. Sean a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) dos sucesiones convergentes tales que l´ım b = 0 y |an | 6 bn para casi todo n . Demuestre que l´ım an = 0 . 11. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesi´on convergente y creciente. Demuestre que an 6 l´ım a para todo n ∈ N . Si s´olo suponemos que an 6 an+1 para casi todo n ∈ N demuestre que an 6 l´ım a para casi todo n ∈ N . 12. Sean a, b, c sucesiones tales que l´ım a = l´ım b = a y para todo n ∈ N cn = an

´o

cn = bn

Demuestre que l´ım c = a . 13. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesi´on convergente tal que l´ım a = a 6= 0 . Demuestre que existe N ∈ N tal que an 6= 0 para todo n > N . Adem´as demuestre que si c 6= 0 y b es la sucesi´on tal que para todo n ∈ N ( si n < N c bn = an si n > N entonces l´ım b−1 = 1/a . Esto justifica que se diga [descuidadamente] que si l´ım a 6= 0 , entonces l´ım a−1 = 1/ l´ım a . 14. Sean a = (an | n ∈ N) y b = (bn | n ∈ N) dos sucesiones tales que l´ım a = 0 y b es acotada. Demuestre que l´ım ab = 0 . Encuentre un ejemplo en que b no es acotada y l´ım ab = 1 y otro en que b no es acotada y ab no es convergente. [Hay ejemplos muy sencillos.] 15. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesi´on convergente en Z [es decir, tal que an ∈ Z para todo n ∈ N ]. ¿Qu´e puede decir sobre a ? 16. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesi´on convergente tal que l´ım a = 0 y an > 0 para todo n ∈ N . Demuestre que existe n0 ∈ N tal que an 6 an0 para todo n ∈ N .

207

1.5. PROBLEMAS.

17. Sea a = (an | n ∈ N) una sucesi´on convergente. Demuestre que, para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que para todo n, m > N |an − am | < ε 18. Demuestre que si a, b son n´ umeros reales, entonces existen [infinitos] n´ umeros r, t ∈ R tales que r es racional, t es irracional y a < r < b y a < t < b ]. [Use el desarrollo decimal de a y de b .] 19. Si x = ck · · · c0 , α1 α2 · · · , encuentre el menor m ∈ N tal que |x − ck · · · c0 , α1 α2 · · · αn | <

1 10m

Use esto para demostrar que para todo x ∈ R y ε > 0 , existe r ∈ Q tal que |x − r| < ε .

1.5

Problemas.

1. Sean n0 ∈ Z y I = {n ∈ Z | n > n0 } y para cada n ∈ I una afirmaci´on Pn . Si se cumplen las siguientes propiedades: i. Pn0 es verdadera. ii. Si n ∈ I y Pn es verdadera, entonces Pn−1 es verdadera. Demuestre que Pn es verdadera para todo n ∈ I . 2. Si a, b, c, d ∈ Q , demuestre que √ √ a+b 2=c+d 2

⇔

a=cy b=d

3. Sea P = {x ∈ R | x > 0} . Demuestre las siguientes propiedades: P1. Si x, y ∈ P , entonces x + y ∈ P . P2. Si x, y ∈ P , entonces xy ∈ P . P3. Si x ∈ P , entonces −x ∈ /P. P4. Si x ∈ R , entonces x = 0 ´o x ∈ P ´o x ∈ /P. Inversamente, demuestre que si P ⊂ R satisface las propiedades P1, P2, P3 y P4, entonces para todo x, y ∈ R , se cumple que x < y si y s´olo si y − x ∈ P . 4. Si x ∈ R definimos inductivamente x1 = x

y

xn+1 = xn x

208

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

Demuestre que xm+n = xm xn y (xm )n = xm n para todo n, m ∈ N . 5. Sean n ∈ N y x > −1 . Demuestre que (1 + x) > 1 + nx . 6. Demuestre que si ∅ 6= M ⊂ N es un conjunto finito, entonces existe un u ´nico m ∈ M tal que x 6 m para todo x ∈ M . [Use inducci´on en el n´ umero de elementos de M .] 7. Sean x, y, ε n´ umeros reales tales que |x − y| < ε . Demuestre que |y| − ε < |a| < |b| + ε 8. Sean x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R . Demuestre que (x21 + x22 )(y12 = y22 ) = (x1 y1 + x2 y2 )2 + (x1 y2 − x2 y1 )2 y deduzca la desigualdad de Schwratz q x1 y1 + x2 y2 6

q x21 + x22

y12 + y22

9. Exprese los siguientes n´ umeros si usar valores absolutos [usando distinos casos cuando sea necesario] i. |a + b| − |b| . ii. ||α| − 1| . iii. |x| − |x2 | . iv. u − |u − |u|| . 10. Demuestre que la sucesi´on a tal que para todo n ∈ N an =

1 + n2 1 + n4

es acotada. 11. Sean a una sucesi´on y b la sucesi´on tal que para todo n ∈ N bn =

n X

ai

i=1

Demuestre que si b es convergente entonces l´ım a = 0 . 12. Sean a una sucesi´on y b la sucesi´on tal que bn = a2n para todo n ∈ N . Si b es convergente y a2n+1 = a2n + 1/n para todo n ∈ N , demuestre que a tambi´en es convergente y encuentre la relaci´on entre los l´ımites.

209

1.5. PROBLEMAS.

13. Sea a una sucesi´on convergente tal que l´ım a = 0 y an > 0 para todo n ∈ N . Demuestre que existe n0 ∈ N tal que an 6 an0 para todo n ∈ N . 14. Sean a y b dos sucesiones tales que l´ım (a2 + b2 ) = 0 . Demuestre que l´ım a = l´ım b = 0 15. Sea ? un s´ımbolo [que no tiene ning´ un sentido especial] y definamos R? = {(x, ?) | x ∈ R} [Intuitivamente podemos pensar que hemos tomado todos los n´ umeros reales y los hemos pintado de otro color.] Si definimos (x, ?) + (y?) = (x + y, ?) ;

(x, ?) · (y, ?) = (x · y, ?)

(x, ?) < (y?) ssi x < y

demuestre que R? satisface el Axioma Fundamental. [Probablemente despu´es de demostrar unos pocos axiomas, ver´a que esto es trivial.] N´otese que la funci´on siguientes propiedades:

F : R −→ R?

i. F (x + y) = F (x) + F (y) y

tal que F (x) = (x, ?) es biyectiva y satisface las

F (xy) = F (x)F (y) para todo x, y ∈ R .

ii. Si x < y entonces F (x) < F (y) . iii. Si l´ım a = a entonces l´ım F ◦ a = F (a) . Compruebe que F ← satisface las mismas propiedades. A pesar de que hay muchos ejemplos de conjuntos que satisfacen el Axioma Fundamental, es posible demostrar que R es “esencialmente” u ´nico. En forma precisa, si R0 es otro comjunto que satisface el Axioma Fundamental, existe una u ´nica funci´on biyectiva F : R −→ R0 tal que ← F y F satisfacen las propiedades i,ii,iii. A continuaci´on indicaremos los pasos a seguir para construir F , dejando los detalles al lector. a. En primer lugar, notamos que tenemos que definir F (0) = 00 y F (1) = 10 [con notaci´on evidente]. b. En segundo lugar, notamos que debemos definir F : N −→ N0 F (n + 1) = F (n) + 10 y podemos demostrar que F es biyectiva.

inductivamente por

c. En tercer lugar, notamos que si n ∈ N , tenemos que definir F (−n) = −F (n) . De esta manera tenemos una biyecci´on F : Z −→ Z0 .

210

´ CAP´ITULO 1. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS REALES.

d. En cuarto lugar definimos la biyecci´on F : Q −→ Q0 tal que F

³m´ n

=

F (m) F (n)

e. Por u ´ltimo, si a ∈ I , tomamos una sucesi´on a en Q tal que l´ım a = a y definimos F (a) = l´ım F ◦ a N´otese que hay que demostrar que esto tiene sentido y que es independiente de la sucesi´on escogida.