GUIA DE EJERCICIOS PARA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

ITAM, Agosto 1998.

G. Grabisnky

1

INTRODUCCION

La siguiente lista de ejercicios constituye una gua para el estudiante del curso CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I y es tal solo eso, una gua, en consecuencia es incompleta por de nicion. La seleccion de los ejercicios pretende re ejar la variedad y la profundidad que se pide del estudiante. Considero util que se haga uso de esta gua en el entendido de que su solo estudio no es su ciente por lo que hago un llamado al estudiante a profundizar mas en cada tema y a hacer mas ejercicios de cada tipo, especialmente aquellos en el que se sienta menos seguro y para todo esto el trabajo de clase, los apuntes y nuestro texto son fundamentales. Las preguntas de los examenes departamentales no seran necesariamente iguales a algunos de estos ejercicios, sin embargo s podran ser similares tanto en su contenido as como en su complejidad. Hago votos para que el lector encuentre en estas paginas un apoyo mas para el curso.

G. Grabinsky.

2

EJERCICIOS 1. Encuentra un conjunto solucion de cada una de las siguientes igualdades y desigualdades: (a)

j2x + 4j + 5 = 11 (b)

jx + 2j  3 2

(c)



1 , x > 0 x , 4

(d)

x2 , 4  1 3x (e) 4x2 + 5  1 2+x (f)

x  2x 2+x

(g)

jx + 5j < 2 jx , 1j (h)

(i)





1 , 1 < 0:1 3x 27

3x + 2 , 11 < 0:2 x 3

(j) (2x , 3)(x + 5)  0 ,x2 + 6x , 6 (k) (x , 1)(x + 1)x < 0 x2 , x , 12 3

2. Escribe los siguientes intervalos como el conjunto solucion de una desigualdad de la forma jx , x0 j <  para algunas x0 2 R y  > 0 (a)

I = (0; 3) (b)

I = (,3; 2) (c)

I = (3; 3 + a) 3. Prueba:

ja + bj = jaj + jbj , ab  0

4. Prueba por induccion: Si a1; a2; : : :; an 2 R entonces ja1 + a2 +


+ an j  ja1j + ja2 j +


+ jan j 5. Muestra con ejemplos que la suma, resta, producto y conciente de dos numeros irracionales podra no dar como resultado un numero irracional. 6. Enuncia con todo detalle la propiedad arquemidiana y el axioma del supremo. 7. Usa la propiedad arquimediana para probar que   si 0 < x < y entonces existe n 2 N tal que 1 < n xy 8. Sin probarlo pero justi cando brevemente obten el supremo de S si: (a)   1 2 3 4 S = 2; 3; 4; 5; : : : (b)

S = f:7; :78; :787; :7878; : : :g (c)

S = fx 2 Q : x < 2g 2

9. Proporciona un ejemplo de un conjunto acotado S consistente solamente de numeros irracionales tal que su supremo sea un numero racional. 10. Escribe los siguientes decimales periodicos como cociente de dos numeros enteros: (a) 4:017 (b)

,6:1532 4

(c)

,15:7915 (d) 0:012345 11. Encuentra un mnumero racional y uno irracional entre:

p

p

a = 72 y b = 115

12. Que signi ca la a rmacion "Q es denso en R " ? 13. Detrmina el dominio de las siguientes funciones: (a) s

s

2 f (x) = x2 4,,5xx + 6 + x24+x 1

(b) s

x , 5) + 1 f (x) = x(x x,2 1)( + 2x (x2 , 9)2 (c) p

p

f (x) = x2 , 9 + 4 , x2 14. Traza la gra ca de y = f (x) si: (a) 8 > > > > > > > <

f (x) = > > > > > > > :

,2 si x  ,3 ,x + 1 si ,3 < x < ,1 jxj + 1 si ,1  x < 2 0 si x=2 1 , x si 2 < x  3 1 si 3 <

jxj , 2 si jxj  1 f (x) = > ,x2 si 1 < jxj  2 : ,4 si jxj > 2 15. Traza la gra ca de y = f (x) si: (a)

f (x) = jx , 3j + 3 5

(b)

f (x) = 3 , jxj (c)

f (x) = jjxj , 3j (d)

f (x) = jx2 , 9j + 3 (e)

f (x) = jx2 , 5x + 6j 16. Completa la siguiente tabla:

f

g

a. 3x + 7 b.

jxj

c.

x2

d.

x x,1

x x,1

1 + x1

p

x,5

f.

obten tales que

x

1

x

e.

17. Supon que

g f

2x , 1

p

x x3 , 5

f (x) = 2x , 3 g; h : R ! R f (g(x)) = x + 7 y h(f (x)) = x + 7; 8 x 2 R

18. Prueba que las siguientes funciones y = f (x) son biyectivas y obten x = f ,1 (y ) si: (a)

f : R ! R; con f (x) = mx + b; (m 6= 0) (b)

f : (,1; 1) ! R; con f (x) = 1 ,xjxj 6

(c) 19. De ne:

f : R ! R; con f (x) = (x , 3)3 , 1 f (x) =

(

pxx sisi xx < 00 1

y g (x) =

(

si x < 0 , x si x  0 1

xp2

Determina f  g; g  f; f  f; g  g; 1g y fg as como sus dominios. Cuales son sus dominios ? Traza la gra ca de cada una. 20. Calcula la inversa de cada una de las funciones invertibles del ejercicio anterior. 21. Obten los siguientes lmites (a)

x2 , 6x + 9 lim x!3 x2 , 9 (b)

p

p

lim 4 + 3x ,x 4 , 3x x!0 (c)

px , p,a ; (a < 0) lim x!a, jx + aj

(d)

p ,x j lim j81 x!9+ x , 3 2

(e) 2 lim + x,j+1 x++xj1

x!,1

(f)

p 2 ,px , 1 lim x! 2 , x + 3 1

(g) r

lim x 12 , 1

x

x!0

(h) lim

x!0+

7

1 , 1

x2

1

(,x) 13

!

(i) s

xlim !1

x , 1,x x , 1 4x 2

(j) lim x!,1

p

p

x2 + x + 1 , x2 , x + 1



(k) sin2 x lim x!0 1 , cos x (l)

x tan x lim x!0 cos x , 1 (m) sin(ax) ; b 6= 0 lim x!0 sin(bx) (n)

x + 2) lim , sin( j4 , x2j

x!,2

(o) tan x lim sinxx2 , tan x

x!0

(p) 1 sin x lim x!1

x

(q) xlim !1

x + cos x x + sin x

(r)

x)) lim sin((sin sin x

x!0

22. Supon que

lim f (x) = A y

x!0+

lim f (x) = B

x!0,

Calcula en terminos de a y B los siguientes lmites unilaterales: 8

(a) lim f (x3 , x)

x!0+

(b) lim f (x2 , x4)

x!0+

(c) lim f (x , sin x)

x!0,

23. Usa los teoremas sobre lmites para obtener: (a) ,




2f (x) + g 2(x) 2 lim x!,1 2h(x) , g (x) (b)

f 2 (x) g (x) lim x!,1 (2h(x) + 1)3 Si xlim f (x) = 3; xlim g (x) = 2; xlim h(x) = ,1 !,1 !,1 !,1 5 = 3, prueba que limx!4 f (x) existe y obten su valor. 24. Si limx!4 (xf,(x2)),2 +1 25. Supon que f esta de nida en una vecindad V de x0 = 7 pero no necesariamente en x0 y que: 1 ,  x , 7 2  f (x)  1 +  2x , 14 4 8 x 2 V , fx g 0 2 4 2 7 Obten limx!7 f (x). 26. Sea f : (0; 1) ! R una funcion tal que 2x , 3 < f (x)  2x2 + 8x + 7 8 x > 0

x

x2

Calcula limx!1 f (x) 27. Determina  =  () > 0 tal que si 2 < x < 2 +  entonces jx2 + 3x , 4 , 6j <  28. Prueba formalmente que: (a) lim , ,x2 + 2x + 1 = ,16 x!,3

(b) lim

1

x!0 x2 + 1

9

=1

(c) lim f (x) = 1; si

x!3 8 > <

f (x) = > :

(d)

(x , 3)2 si x < 3 2 si x = 3 j2 , xj si x > 3

lim f (x) = 1 si

x!0

f (x) =

(

1 , x si x < 0 1 + x2 si x > 0

29. Prueba: Si xlim !x0 f (x) = 0 y jg (x)j  M 8 x 6= x0 (M > 0 constante) entonces xlim !x0 f (x) g (x) = 0: Concluye que:   1 =0 lim x sin x!0 x

30. Supon que f satisface: jf (x) , lj  M jx , x0j2; (M > 0 constante) Prueba formalmente que limx!x0 f (x) = l 31. Sea  2 (0; 1) ja. Determina  =  () > 0 que garantice que si 0 < jx , 1j <  entonces j x1 , 1j <  32. Prueba formalmente que: (a) x2 + x = 1 lim x!1 x2 , 1 (b) 10 = ,1 lim, (x , 2)3 x!2 (c) (d)

x =1 lim x!,1 x , 1

x2 + 3 = 1 lim x!1 x + 1 10

(e) 1 =0 lim 2 x!,1 x + 1 (f)

p

lim x2 + 1 = 1 x!,1 33. De ne

8 > > > > > <

f (x) = > > > > > :

Determina el valor de a; b; c; d. 34. De ne 8 > <

f (x) = > :

35.

36.

37.

38.

p

1 , x2 si a si bx , 1 si c si x2 + dx , 3 si

0x < ,1 si x < 0 f (x) = > 0 si x = 0 : 1 si x > 0 y sea g (x) = x(1 , x2) Determina todos los puntos en los que f  g y g  f son discontinuas. Proporciona ejemplos de funciones f y g tales que: (a) Ni f ni g son continuas en x0 = 2 pero f + g , f , g , fG son continuas en x0 (b) g es discontinua en x0 = 0, f es discontinua en g (x0) pero f  g es continua en x0 . Obten la forma analtica y traza la gra ca de una funcion f que posea las siguientes propiedades: (a)

D(f ) = [,4; 4] 11

(b)

f (,4) = f (,2) = 1 y f (2) = f (4) = 2 (c) f es continua por la derecha en 2, f es continua solo por la izquierda en -2, es discontinua en 0 y es continua en todos los demas puntos. (d) lim , f (x) = 0 y lim, f (x) = 1 x!,2

x!2

39. Sean f; g : [a; b] ! R continuas tales que f (a) < g (a) y f (b) > g (b). Demuestra que existe c 2 (a; b) tal que f (c) = g (c). 40. Demuestra que x3 , 19x + 1 y 21 , 2x2 coinciden en tres y solo tres valores de x. 41. Sea f : [0; 1] ! [0; 1] continua. Usa el Teorema del Valor Medio de Bolzano para probar que existe c 2 [0; 1] tal que f (c) = 1 , c 42. Demuestra que todo polinomio cubico tiene al menos una raiz real. 43. Obten dy dx y evalua en x0 si: (a) , 13 1 + x y= 1 1 + x2

(b)

!4

; x0 = 1

q p y = (3x2 + 1)(2x + 2 x); x0 = 1

44. Si

u(1) = 2 ; u0(1) = 2 v(1) = 5 ; v 0(1) = 0 Determina: (a)

(b)

p ! 2u + v 0 (1) u2 + 4v pu + 2uv !0 u + 2v (1) 12

45. Supon que

f 0(3) = 2; f 00(3) = 1; g (0) = 3; g 0(0) = 1; g 00(0) = 0 ,
calcula (f  g )00(0). Si ademas f (3) = ,2, obten f 3 00 (3). 46. La funcion y = ax2 + bx + c pasa por el punto P (1; 2) y es tangente a la recta y = x en el origen. Determina a; b; c. 47. Sea f derivable en x0 y f (x0 ) = 0. Demuestra que si g es continua en x0 (solo continua!) entonces fg es derivable en x0 y (fg )0(x0 ) = f 0(x0 )g (x0). Sugerencia: usa la de nicion de derivada. Concluye que:

q

xjxj; x1=3 sin x; x2=3 sin x; (1 , cos x) jxj son todas derivables en x0 = 0 y determina el valor de sus derivadas en x0 . 48. Sea

(

0 si x = 0 si x 6= 0 x Usa la de nicion de derivada para probar que f 0 (0) = frac12. 49. Para que valores de a; m; b se tiene que la funcion:

f (x) =

,

1 cos

x

8 > <

3 si x=0 f (x) = > ,x2 + 3x + a si 0 < x < 1 : mx + b si 1  x  2 Satisface las hipotesis del Teorema del Valor Medio ?. 50. Sean f; g : [a; b] ! R continuas y derivables en (a; b). Supon que

f (a) = g (a) y que f (b) = g(b) Demuestra que existe c 2 (a; b) tal que f 0(c) = g 0(c). 51. Sea

f : [a; b] ! R continua y derivable en (a; b). Si f (b) < f (a) entonces existe c 2 (a; b) tal que f 0(c) < 0.

52. Sea

f :R!R derivable. Supon que existe c 2 R tal que f 0 (x) < 0 si x 2 (,1; c) y f 0 (x) > 0 si x 2 (c; 1). Prueba que f (x)  f (c) 8 x 2 R (aplica TVM).

53. Sea

f : [,8; 27] ! R

de nida por f (x) = x2=3. Muestra que la conclusion del Teorema del Valor Medio no se satisface. Por que? 13

54. Sean

f; g : [a; b] ! R continuas y derivables en (a; b). Si f (a) = g (a) y f 0 (x) < g 0(x) 8 x 2 R entonces prueba que f (x) < g (x) 8 x 2 [a; b]

55. Sea

f : [a; b] ! R continua y derivable en (a; b). Supon que f 0 (x) = 6 0 8 x 2 (a; b), demuestra que f es

inyectiva. 56. Sea

f : [a; b] ! R continua y derivable en (a; b) y tal que jf 0(x)j  M 8 x 2 (a; b); M > 0. Demuestra que

jf (x) , f (y)j  M jx , yj 8 x; y 2 [a; b]

57. Prueba: (a) Sea f (x) = x1 y 0 < a < b (o a < b < 0), entonces

p f (b) , f (a) = f 0(c)(b , a) si y solo si c = ab

(b) Sea f (x) = Ax2 + Bx + C; A 6= 0, entonces

f (b) , f (a) = f 0(c)(b , a) si y solo si c = a +2 b

58. Sea f : [a; b] ! R continua y derivable en (a; b) y tal que f 0(x) 6= 0 8 x 2 (a; b) y f (a) f (b) < 0. Prueba que existe c 2 (a; b) unico con f (c) = 0. 59. Usa el Teorema de Rolle para probar que la ecuacion tan x = 1 , x tiene solucion en (0; 1). (Sugerencia: considera f (x) = (x , 1) sen x y calcula f (0); f (1); f 0 (x)) 60. Sea f : [a; b] ! R continua y derivable dos veces en (a; b). Supon que f tiene tres raices en [a; b]. Prueba que f 0 tiene al menos dos raices en (a; b) y que f 00 tiene al menos una raz en (a; b). 61. Encuentra las coordenadas de los puntos en donde la gra ca de la relacion x2 + y 3 = 2xy tiene una tangente horizontal. 62. Halla las coordenadas de los puntos en donde la curva x2 + xy + y 2 = 7 intersecta al eje X y prueba que las rectas tangentes a la curva en esos puntos son paralelas. Obten tambien los puntos donde

dy = dx = 0 dx dy

63. Encuentra la ecuacion de la recta tangente y la de la recta normal a la gra ca de la curva 2xy +  sen y = 2 en el punto P (1; =2) 64. Encuentra la ecuacion de la recta tangente y la de la recta normal a la gra ca de la curva xsen (2y ) = y cos(2x) en el punto P (=4; =2) 14

65. Veri ca que las gra cas de las curvas siguientes son perpendiculares en P (1; 2): 16x2 , 9y 2 = 20 9x2 + 4y 2 = 25 Ademas, halla las ecuaciones de las rectas tangentes en ese punto e identi ca las curvas. 66. La recta normal a la curva x2 + 2xy = 3y 2 a traves del punto P (1; 1) intersecta a la curva en otro punto. Determina las coordenadas del otro punto. 2

d y en el punto indicado: 67. Calcula dx 2 (a)

y3 + y = 2 cos x; P (0; 1) (b)

x 13 + y 13 = 4; P (8; 8) (c)

x2y 2 = 9; P (,1; 3) (d)

y2 , 2x , 4y = 1; P (,2; 1) 68. Una partcula se mueve en el plano xy sobre la curva y = x 12 en el primer cuadrante de tal modo que la distancia desde el origen aumenta a razon de una unidad por segundo. Determina la razon en la que cambian la abscisa y la ordenada en el instante en que x = 3 69. Una partcula se mueve sobre la gra ca de y = x2 en el plano xy a una velocidad constante de 10 cm/s . Denota por  el angulo que forma la recta que une al origen con P (x; x2). Determina como cambia  respecto al tiempo en el instante en que x = 3. 70. En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a la razon de 720 cm3 /min. El tanque tiene una altura de 200 cm y el radio en la parte superior es de 60 cm. Cuan rapido sube el nivel de agua cuando el tanque esta a un octavo de su capacidad y cuanto se tarda en llenar el tanque?. El volumen de un cono circular recto de altura h y de radio r es de V = 31 r2h. 71. Arena cae sobre un montculo de forma conica a una tasa constante de 10 cm3 /s. Si la altura del cono siempre es tres octavos del dametro de la base, determina: (a) Como cambia la altura del cono. (b) Como cambian la altura y el radio del cono en el instante en que la altura del cono ha alcanzado los 60 cm. 15

72. El area super cial lateral S de un cono circular recto se relaciona con el radio de la base r y la altura h de la manera siguiente: p

S = r r2 + h2 dr (a) Como se relaciona dS dt con dt si h no cambia respecto al tiempo t. dr dh (b) Como se relaciona dS dt con dt y dt si r y h cambian rescto al tiempo t. 73. Supon que la relacion de demanda de un cierto producto es p + 2q + pq = 38 en donde q se mide en miles de unidades y p es el precio en dolares por unidad. Supon ademas que el precio p (y en consecuencia la demanda q ) cambian semanalmente, es decir p es una funcion del tiempo. (a) A que ritmo esta cambiando la demanda si el precio esta disminuyendo a razon de 0.40 dolares por semana, a un nivel de demanda de q = 4, ? (b) Que ocurre ahora si el precio esta aumentando a razon de 0.20 dolares por semana al mismo nivel de demanda? 74. Traza con todo detalle la gra ca de las siguientes funciones y = f (x) indicando cuando corresponda: (a) Dominio y rango. Intersecciones con los ejes. (b) Maximos y mnimos relativos (las coordenadas) as como los puntos singulares (coordenadas). (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Intervalos de concavidad positiva y negativa. Puntos de in exion (coordenadas). (e) Asntotas verticales, horizontales y oblicuas. (f) Calculo de lmites relevantes. (g) Terminos dominantes. Si: (a)

f (x) = x4 + 8x3 + 18x2 , 1 (b)

f (x) = 3x4 , 4x3 + 6 (c)

f (x) = (x2 , 1)5 (d)

f (x) = x24+x 4 16

(e) 2 f (x) = xx ,+ 31x

(f) 3 f (x) = x x+,xx,2 2

(g)

f (x) = x 2+x 2 3

(h)

f (x) = 32 x 23 , 35 x 35 (i)

p f (x) = x + p1x

(j)

f (x) = x 21 (2 , x) 23 75. Traza la gra ca de una funcion continua en su dominio y que cumpla con todas las siguientes propiedades: (a) D(f ) = R n f,1g (b) f 0(x) > 0 si x 2 (,1; ,1) [ (0; 1) (c) f es decreciente en (-1,0) (d) El inico punto crtico es x = 0; f (0) = 2 (e) limx!,1, f (x) = 1 = limx!,1+ f (x) (f) f tiene asntota oblicua y = x + 1 (g) limx!,1 f (x) = 1 76. Halla el area maxima y la longitud correspondiente de los catetos que puede tener un triangulo rectangulo cuya hipotenusa mide 5 unidades. 77. Determinap las coordenadas del punto p (x0; y0) perteneciante a la gra ca del semicr2 culo y = 16 , x mas proximo a (1; 3) 78. Sean a; b  0 tales que a + b = 20. Maximiza y minimiza: (a) ab (b) a2 + b2 p p (c) a + b 17

p

(d) a + b 79. Determina las dimensiones que debe tener una caja rectangular con tapas cuadradas que minimicen el costo de fabricacion si el material de los costados cuesta el cuadruple del de las tapas y si el volumen debe ser de 1 m3 . 80. Se va a construir un campo deportivo de forma rectangular de largo x y rematado en cada extremo por un semicrculo de radio r. Si el permetro total debe ser de 400 m, determinar las dimensiones que maximicen el area. 81. Sea m 2 (1; 1) constante. Prueba que (desigualdad de Bernoulli) (1 + x)m  1 + mx 8 x  ,1 y obten el mnimo de

f (x) = (1 + x)m , mx en [,1; 1) 82. Prueba que la suma de un numero positivo y su recproco es mayor o igual que 2 y que es igual a 2 si y solo si el numero es igual a 1. 83. Hallar el menor valor de aquella constante positiva m tal que haga: mx + 1 , 2  0 8 x > 0

x

p

84. Obten el valor maximo de f (x) = cot x , 2 csc x en (0;  ) 85. Una agencia de viajes ofrece el siguiente plan para un tour sobre las siguientes bases: Para un grupo de 50 personas (grupo mnimo) el costo es de $200 por persona. Por cada persona adicional y hasta llegar a 80 (grupo maximo) la tarifa de todas las personas se reduce en $2. Si el costo jo de la agencia es de $6000 y de $32 por cada viajero, determina el tama~no del grupo que maximiza la utilidad y cual es esta. 86. Una librera puede obtener un cierto libro a un costo de $3 por cada uno. La librera ha estado vendiendo el libro a $15 por ejemplar y a esate precio vende 200 ejemplares por mes. Con objeto de estimular las ventas, la librera esta planeando bajar ese precio y estima que por cada dolar de reduccion en el precio del libro se venderan 20 libros mas al mes. (a) A que precio debe venderse el libro para generar el mayor bene cio posible, y cual es este. (b) Que cantidad adicional de libros es vendida al nuevo precio ? 87. Un estudio de productividad efectuado en una fabrica, indica que un trabajador medio que inicia su labor a las 8:00 AM habra producido Q(t) = ,t3 + 9t2 + 12t unidades de producto t horas despues del inicio. (a) En que momento de la ma~nana es el trabajador mas e ciente ?. Se de ne el momento de e ciencia maxima aquel en el que el ritmo de produccion es maximo, tambien conocido como el punto de bene cios decrecientes (b) Proporciona un argumento que justi que los dos nombres dados a ese punto. 18

88. Cada maquina de una maquiladora puede producir 50 unidades por hora. El costo de puesta a punto es de 80 dolares por maquina, mientras que el costo de operacion es de 5 dolares por hora para todas las maquinas. Cuantas maquinas deben usarse para producir 8000 unidades al menor costo posible y cual es este costo mnimo ?. 89. El cierta fabrica el costo de puesta a punto es proporcional al numero de maquinas empleadas y el costo de operacion es inversamente proporcional al numero de maquinas empleadas. Demuestra que el costo total de operacion es mnimo cuando el costo de puesta a punto es igual al costo de operacion. 90. Halla la ecuacion de la curvapen el plano xy que pasa a traves de P (1; 0) y cuya pendiente en cada punto es 3 x. Traza su gra ca. 91. Halla f (x) tal que: 1 (a) dy dx = x2 + x; (x > 0); y = 1 si x = 2 2 dy = 2; y = 2 si x = 0 (b) ddxy2 = 0; dx d2 y = 2 ; dy = 1 si x = 1; y = 1 si x = 1 (c) dx 2 x3 dx 92. Calcula los siguientes lmites como integrales de nidas y calcula su valor: (a) 1 + 4 +


+ n2 lim n!1 n3 n3 n3 (b) nlim !1

n X k=1

(c) nlim !1

(   2

  3 nk , 7 nk + 2

!

) 

1

n

  ,
sen n +


+ sen (n,n1)

n

93. Escribe las siguientes integrales de nidas como el lmite de sumas de Riemann as como en el ejercicio anterior: (a) Z

1

0

p

1 , s2 ds

(b) Z

1 0

cos( + 2) d

(c) Z

3 2

3

(3t2 + 2t , 11) 2 19

94. Se sabe que Z

4

,1

f (x) dx = 5;

Z

2

,1

f (x) dx = 3 y

calcular: (a) Z

4

2

Z

4 2

g (x) dx = ,1

p

(7f (x) + 2g (x))dx

(b) Z

2 4

95. Prueba que el valor de

p

Z 

2

0

(,5f (x) + 2x)dx

p

1 + cos x dx

no puede exceder 2 ni ser menor que 2 . 96. Sin calcular la integral y usando solamente metodos geometricos demuestra que 1 < Z 2 dx < 3 2 1 x 4 R

97. Calcula ab jtj dt en los siguientes casos: (a) a < b < 0 (b) a < 0 < b (c) 0 < a < b 98. Supon que R (a) f es continua y que 12 f (x) dx = 4. Prueba que existe c 2 [1; 2] tal que f (c) = 4. R (b) f; g : [a; b] ! R son continuas (a < b) y que ab [f (x) , g (x)] dx = 0. Prueba que existe c 2 [a; b] tal que f (c) = g (c). (Usar el TVM para integrales) 99. Calcula (a) Z h 1 lim tan t dt h!0 h 0

(b) Z x+h 1 lim h!0 h

x

20

pdu u+ u +1 2

100. Evalua las siguientes integrales de nidas: (a) Z

p

1

(1 +p u) 2 du u

4 1

(b) Z

1 ds (1 + 7s)2

1

p 3

0

(c) Z

2 0

p 2t dt t +9 3

4

(d) 2

Z

2

4

p u

cosp u du

(e) Z 

3

0

ptan  d 2 sec 

(f) Z 

2

psen v cos v dv 1 + 3sen v 2

0

(g)

p

Z 2

4 cos x q dx 2 xsen px 25

(h)   cot2 a6 da 

Z

101. Donde esta el error:

Z



0

102. Sea

sec2 t dt =

Z

 0



3

d tan t dt = tan tj = 0 ? 0 dt

y = x2 +

Prueba que y satisface: (a) y (1) = 1 21

x dt

Z 1

t

(b) y 0(1) = 3 (c) y 00(x) = 2 , x12 103. Resuelve: R (a) Sea T (x) = 0x 1+dss2 demostrar que T : R ! R es creciente y que P (0; 0) es su unico punto de in exion. R dt Demustra que y 00 es proporcional a y0 . (Usa la relga (b) Supon que x = 0y p1+4 y t2 de Leibniz) 104. Calcula F 0 (x) si: (a)

F (x) =

Z

3

x

(b)

F (x) =

Z

p

1 + 3u7 du

sen

x

dt

2 cos x 1 + t

(c)

F (x) =

Z

xp 0

2

1 + s ds 2

105. Halla f (4) si: (a) x2

Z 0

(b)

f (t) dt = x cos(x)

(Dos soluciones) Z

f (x)

0

(c) Z

0

f (x)

t2 dt =  cos(x)

p t dt =  cos(x)

106. El area de una region en el plano xy entre el eje X y lap gra ca depla funcion continua no negativa y = f (x) entre x = 1 y x = b es igual b2 + 1 , 2 8 b > 1. Halla f (x). 107. Supon que: Z F (t) + C = f (t) dt; C constante demuestra que: Z f (at + b) dt = a1 F (at + b) + C; a 6= 0 22

108. Sea f : [0; 1] ! R continua. Prueba: Z

1 0

f (t) dt = ,

Z

1 0

f (1 , t) dt

109. Sea F (x) una primitiva de f (x) = senx x (x > 0). Expresa Z

3 1

sen (2t) dt

t

en terminos de F . 110. Obten el area de la region limitada por: (a) La curva y 2 = 4x y la recta 4x , 3y = 4 (b) La recta y , x , 4 = 0 y la curva y = x2 , 2 (c) Las curvas y = sen x, y = cos x entre =4 y 5=4 p (d) La curva y = x y la recta x + y = 6 (e) Las curvas y = cos(x=2) y y = 1 , x2 en el primer cuadrante. p (f) Las curvas x = y 2 , 1 y x = jy j 1 , y 2 (g) Las curvas x = 3y , y 2 y la recta x + t = 3 (h) Las curvas x = tan2 y y x = , tan2 y en ,=4  y  =4

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