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Cálculo Diferencial e Integral I
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Segunda edición 2009. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado Revisión de Contenidos: María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez Corrección de Estilo: Alejandro Ernesto Rivas Santoyo Supervisión Académica: Nancy Vianey Morales Luna Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Bernardino Huerta Valdez Francisco Peralta Varela Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 2,915 ejemplares.
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Ubicación Curricular COMPONENTE:
GRUPO:
FORMACIÓN PROPEDÉUTICA
FÍSICO-MATEMÁTICO Y ECONÓMICOADMINISTRATIVO
Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.
HORAS SEMANALES: 03
CRÉDITOS: 06
DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________
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Mapa Conceptual de la Asignatura CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Inician con el conocimiento de
Límites y continuidad Conforman las
Derivadas Se aplican
Funciones elementales
Funciones trascendentes Para derivar se usan
Reglas de derivación Se utilizan en
Aplicaciones A problemas de
Valores máximos y mínimos
Optimización en las ciencias naturales y sociales
Graficado de curvas complejas
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Índice Recomendaciones para el alumno ...................................................................... 7 Presentación.........................................................................................................8 RIEMS ..............................................................................................................9 UNIDAD 1. LÍMITES ................................................................................... 11 1.1. Límites. ..........................................................................................................13 1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.........................................13 1.1.2. Teorema de propiedades de los límites .............................................20 1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. .................................22 1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito .................................................26 1.2. Teorema de continuidad de una función .....................................................33 1.2.1. Condiciones de continuidad ...............................................................34 Sección de tareas ................................................................................................39 Autoevaluación .....................................................................................................49 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................51 UNIDAD 2. LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA ....................... 53 2.1. La derivada ...........................................................................................................55 2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada ................................................55 2.1.2. Razón de cambio promedio......................................................................64 2.1.3. La razón de cambio instantánea ..............................................................68 2.2. Reglas de derivación ............................................................................................68 2.2.1. Reglas para calcular derivadas.................................................................68 2.2.2. Regla de la cadena ....................................................................................75 2.2.3. Derivadas de funciones trigonométricas .................................................78 2.2.4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas ............................81 Sección de tareas ................................................................................................85 Autoevaluación .....................................................................................................103 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................105
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Índice (continuación) UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES ....................................................................... 107 3.1. Aplicaciones de la primera derivada................................................................... 109 3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada .................................................................................. 109 3.1.2. Cálculos de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada...................................................................................... 115 3.2. Aplicaciones de la derivada................................................................................. 118 3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ......................................... 118 3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales.................................................................................................... 122 Sección de tareas ............................................................................................... 127 Autoevaluación .................................................................................................... 133 Ejercicio de reforzamiento ................................................................................... 135 Glosario ............................................................................................................... 135 Bibliografía ........................................................................................................... 137
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Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: •
Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.
•
Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.
•
Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.
•
Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.
•
Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad.
•
Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.
•
Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx
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Presentación El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje, pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales. La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales, tales como:
La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes. El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de sus impactos social, económico y ambiental. La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.
En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología. La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones para su problemática.
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RIEMS Introducción El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.
Competencias Genéricas CATEGORIAS I. Se autodetermina y cuida de sí.
II. Se expresa y comunica
III. Piensa crítica y reflexivamente IV. Aprende de forma autónoma V. Trabaja en forma colaborativa VI. Participa con responsabilidad en la sociedad
COMPETENCIAS GENÉRICAS 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
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Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Competencias docentes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
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Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.
Unidad 1 Límites Objetivo: El alumno: Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.
Temario: ¾ Límites. ¾ Teorema de continuidad de una función.
Cálculo Diferencial e Integral I
Mapa Conceptual de Unidad CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LÍMITES
LÍMITES
TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
NOCIÓN INTUITIVA
TEOREMAS Y PROPIEDADES
LÍMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES, POR PARTES Y RACIONALES
LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO
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CONDICIONES DE CONTINUIDAD
Límites
1 . 1.
LÍMITES.
1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. ¿Qué es cálculo? Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. Algunos ejemplos son: • Un objeto que viaja con velocidad constante puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la velocidad de un objeto en aceleración es necesario el cálculo. • La pendiente de una recta puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la pendiente de una curva es necesario el cálculo. • Una recta tangente a un círculo puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar una recta tangente de una gráfica general es necesario el cálculo. • El área de un rectángulo puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar el área debajo de una curva general es necesario el cálculo. Cada una de estas situaciones comprende la misma estrategia general: el replanteamiento de las matemáticas previas al cálculo a través de la aplicación del proceso de hallar el límite. De este modo, una manera de contestar la pregunta “¿qué es cálculo?” es: cálculo es una “máquina de hallar límites” que comprende tres etapas. La primera la constituye las matemáticas previas al cálculo; la segunda es el proceso de hallar el límite; y la tercera es un nuevo planteamiento del cálculo, como una derivada o una integral. Matemáticas previas al cálculo.
Proceso de hallar el límite.
Cálculo.
Como ves la noción de límite es fundamental para el estudio del cálculo. Las breves descripciones de dos problemas clásicos del cálculo -el problema de la recta tangente y el problema del área- el primero, se presentará en este curso y el segundo en tu curso subsecuente de Cálculo II, deben de darte cierta idea de cómo se usan los límites en esta disciplina. Supongamos que se te pide trazar la gráfica de la función f dada por:
x3 −1 f ( x) = ; x ≠ 1. x −1 Para todos los valores diferentes de x = 1 , es posible aplicar técnicas estándares de trazado de curvas. Pero en x = 1 no resulta claro que pueda esperarse, debido que en ese valor la función no está bien definida. Para darnos una idea del 13
Cálculo Diferencial e Integral I
comportamiento de la gráfica de f cerca de x = 1 , se pueden utilizar dos conjuntos de valores de x ; uno que se aproxime a 1 desde la izquierda y otro que se acerque a 1 desde la derecha, como se muestra en las tablas:
x tiende a 1 por la izquierda
x f (x)
0.9 2.710
0.99 2.970
x tiende a 1 por la derecha
0.999 2.9970
0.9999 2.9997
1 ?
f (x) tiende a 3
1.0001 3.0003
1.001 3.003
1.01 3.030
f (x) tiende a 3
Cuando se traza la gráfica de la función, parece que la gráfica de Fig. 1.1 El límite de cuando
x
f (x ) ,
tiende a 1, es 3.
1.1 3.310
f es una
parábola que tiene una abertura en el punto (1,3) , como se muestra en la Fig. 1.1. Aunque x no puede ser igual a 1 , puedes moverte arbitrariamente cerca de 1 por la izquierda como por la derecha y, como resultado, f (x ) se mueve, también de modo arbitrario, cerca de 3 . Si utilizas la notación de límites, se puede escribir lim f ( x) = 3 . Esto se lee como “el límite de f (x ) , cuando x tiende a 1, es 3” x →1
Esta explicación conduce a una descripción intuitiva de límite. Si f (x ) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a un número c desde cualquiera de los dos lados, el límite de f (x) , cuando x tiende a c , es L . Este límite se escribe como
lim f ( x) = L . x →c
Para x ≠ 1 la función puede simplificarse, haciendo una factorización del numerador primeramente y después una división de la siguiente manera:
f ( x) =
x 3 − 1 ( x − 1)( x 2 + x − 1) = = x 2 + x − 1. x −1 x −1
Como pudiste observar en la Fig. 1.1, la gráfica de la función es la de
f ( x) = x 2 + x − 1 , excepto que
la gráfica de la función dada, tiene un
pequeño hueco en el punto que que el valor de la función f (x)
corresponde a x = 1 , esto debido a no existe para dicho valor de x .
Cuando se aproxima cada vez más a 1 , los valores correspondientes de f (x ) se aproximan cada vez más a 3 . −
Utilizaremos la notación x → c para indicar que x tiende al valor c , por la +
izquierda, y x → c para expresar que x tiende al valor c por la derecha. De esta manera definiremos los límites unilaterales:
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Límites
A) L , es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a c por la izquierda y lo representamos como: lim− f ( x) = L . x →c
B)
L , es el límite de f por la derecha cuando x tiende a c por la derecha y lo representamos como:
lim f ( x) = L .
x →c +
Por tanto, si los límites unilaterales tienen un valor común L : lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L ; x →c
x →c
se dice entonces que lim f ( x ) existe y se escribe como ya lo habíamos x →c
determinado en la definición intuitiva de límite: lim f ( x) . x→c
En el caso contrario, cuando los límites unilaterales no coinciden al mismo valor, se dice que el límite no existe y se representa de la siguiente manera:
lim f ( x ) = ∃
x→c
Usualmente haremos referencia al número embargo debes observar lo siguiente:
L como el límite de f en c , sin
La existencia del límite de una función f no depende de si f está realmente definida en c , sino solamente si
f está definida para valores de x cerca de c .
Como habrás notado, los límites son usados para describir cómo se comporta una función cuando la variable independiente x se mueve alrededor de cierto valor.
Ejemplo 1. Dada la función f ( x) = x 2 − 2 x − 2 determina lim f ( x). La x →3
gráfica de la función dada nos queda de la siguiente manera:
Después de elaborar la gráfica, podemos dibujar una tabla para analizar los valores de f ( x) cuando x se acerca a 3 :
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Cálculo Diferencial e Integral I
Derecha
x f ( x)
3.1 1.41
3.01 1.04
Izquierda 3.001 1.004
3.0001 1.0004
3 ?
2.9999 0.9996
2.999 0.996
2.99 0.96
2.9 0.61
Observa que la función dada en el ejemplo 1 está definida para x = 3 , pero en ningún momento se sustituye dicho valor en la función para encontrar el valor
Observando la gráfica y la tabla tenemos que cuando x se acerca a 3 por la izquierda y por la derecha f ( x) se aproxima a 1 , esto es,
de
por lo tanto,
lim f ( x) . x →3
lim f ( x) = 1 y lim+ f ( x) = 1 ;
x →3 −
x →3
lim f ( x) = 1 . x →3
Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén el límite para la función f ( x) cuando x tiende a 2 , donde f se define como ⎧ x2 f ( x) = ⎨ ⎩− x + 6
si
x2
.
En esta función, el dominio que tenemos está formado por todos los números reales excepto el 2 ; es decir, la función no está definida para x = 2 (fíjate que las desigualdades son estrictas, esto es, no contemplan el igual) esto quiere decir que en la gráfica tendremos un pequeño hueco. Para saber exactamente la posición de ese hueco, le daremos ese valor a la variable x . Como no sabemos si las dos partes de la función se juntarán en ese punto, tomaremos el valor x = 2 para cada una de las dos partes de la función y así tendremos la gráfica exacta. Para ubicar bien los valores de x , podemos auxiliarnos de una recta numérica:
De esta manera la tabla de valores es:
Fig. 1.2 La gráfica tiene un hueco en el punto (2,4).
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x2 f ( x) = − x + 6 (4) 3 2 1 0
La gráfica correspondiente a la función está dada en la Fig. 1.2. Para obtener el límite, elaboramos una tabla con los valores de la función para valores de x cercanos a 2 , por la izquierda y por la derecha:
Límites
x f ( x)
2.1 3.9
2.01 3.99
2.001 3.999
2.0001 3.9999
2 ?
1.9999 3.9996
1.999 3.996
1.99 3.96
1.9 3.61 Observa que
En este tipo de funciones que se definen por partes, es cuando resulta conveniente la utilización de los límites unilaterales, ya que tenemos funciones diferentes en ambos lados del valor de x . De la tabla anterior obtenemos los límites unilaterales: lim− f ( x) = 4 y lim+ f ( x) = 4 , x→2
x→2
lim f ( x) existe x→2
aún cuando f ( 2) no está definida.
y como son iguales, tenemos que el límite buscado es: lim f ( x) = 4 . x→2
Ejemplo 3. Elabora la gráfica y obtén lim f ( x) para la función: x →3
⎧2| x−2| f ( x) = ⎨ ⎩ x − 3 +1
si
x2
TAREAS 2
Página 41.
Solución: Gráficamente tenemos:
Observa en la gráfica que cerca de x = 0 , la función se acerca a y = 3 y que la parte cuadrática no interviene.
En este ejemplo, si x → 2 necesitaremos los límites unilaterales para ver si son iguales o diferentes, pero si x tiende a cualquier otro valor, no será necesario obtenerlos, pues sabemos que por cualquiera de los dos lados cercanos a c , la función es la misma y no presentará problema el límite. Obtendremos los siguientes límites para entender, cómo se obtienen dependiendo del valor de c : 1. lim f ( x) x→0
Como x no se acerca a 2 , que es el valor donde se divide el dominio, obtendremos el valor del límite utilizando el procedimiento visto en la sección anterior; esto lo haremos debido a que cerca de 0 , le corresponde la función | x − 1 | +2 y la parte cuadrática no interviene.
lim f ( x) =| 0 − 1 | +2 =| 0 − 1 | +2 =| −1 | +2 = 1 + 2 = 3. x →0
2.
lim f ( x) x→3
En este límite sucede lo mismo que en el anterior, x tiende a 3 , y como no se acerca 2 , sólo sustituimos en la parte cuadrática que es donde corresponde:
lim f ( x) = −(3) 2 + 6(3) − 8 =| −9 + 18 − 8 = 1. x →3
En la gráfica puedes observar que cerca de x = 3 , la función se acerca a y = 1 y que la parte del valor absoluto no interviene.
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Cálculo Diferencial e Integral I
3.
lim f ( x) x→ 2
En este límite, x tiende a 2 , que es el valor donde se divide el dominio de la función. Es en estos casos cuando estamos obligados a obtener los límites unilaterales, pues por cada lado de x = 2 , hay funciones diferentes y no sabemos con certeza qué es lo que sucederá cuando la x se acerque a 2 por lados diferentes. Para ubicarnos en qué parte sustituiremos, podemos elaborar una recta numérica como lo hicimos en la primera sección:
+
Cuando x → 2 , y se acerca a 0, pero no llega a ser igual a 0; esto lo puedes observar en la gráfica con el punto hueco que aparece en (2,0).
a)
lim f ( x) =| 2 − 1 | +2 =| 1 | +2 = 1 + 2 = 3.
x→2−
b) lim+ f ( x ) = −( 2) + 6( 2) − 8 = −4 + 12 − 8 = 0. 2
x→2
Como estos dos límites son diferentes, tenemos que:
lim f ( x ) = ∃
x→2
Observa que si el límite no existe, tenemos que las dos partes de la función quedan separadas en la gráfica.
Ejemplo 7. Tenemos la función si ⎧− 2 f ( x) = ⎨ 2 si ⎩x − 2 Obtener: lim f ( x ) , lim f ( x ) y lim f ( x ) . x → −1
x→ 2
x≤0 x>0
.
x→0
Solución:
lim f ( x) = −2.
x → −1
lim f ( x) = (2) 2 − 2 = 4 − 2 = 2. x→2
Como 0 es el valor donde se divide el dominio, obtendremos los límites unilaterales: a) lim− f ( x) = −2. x →0
b) lim+ f ( x) = (0) − 2 = 0 − 2 = −2. 2
x →0
Tenemos que los dos límites unilaterales son iguales, por lo tanto:
lim f ( x) = −2.
Fig. 1.5 En este ejemplo el límite es igual a -2. Observa cómo las dos partes de la gráfica de la función se juntan en el punto (0,-2).
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x →0
Ahora observa la Figura 1.5, y relaciona el hecho de que el límite sea − 2 y la forma que ésta presenta a pesar de ser por partes.
Límites
Estrategias para calcular límites. 1. Aprende a reconocer los límites calculables por sustitución directa. 2. Si el límite de f ( x ) cuando x → c no puede evaluarse por sustitución directa, intenta, por medio de álgebra, hallar una función g que coincida con f en x = c (es decir, encuentra una función g de modo que su límite sea calculable por sustitución directa)
x2 + x + 2 Ejemplo 8. Encuentra el límite de f ( x) = cuando x → 1. x +1 Solución: Debido a que el denominador no es cero para x = 1 , se puede evaluar directamente quedando:
lim x →1
x 2 + x + 2 (1) 2 + (1) + 2 4 = = 2. = x +1 (1) + 1 2 x2 + x − 6 . x → −3 x+3
Ejemplo 9. Hallar lim
Solución: Puesto que el denominador es cero para x = −3 , no se puede hacer la sustitución directa, entonces se factoriza x + x − 6 : 2
x 2 + x − 6 = ( x + 3)( x − 2) y hacemos la sustitución en el límite, lim
x → −3
x2 + x − 6 ( x + 3)( x − 2 ) = lim x → − 3 x+3 x+3
Técnica de cancelación
= lim ( x − 2) = (−3) − 2 = −5. x → −3
En la Figura 1.6 se muestra gráficamente este resultado. Observa que la gráfica de la función f coincide con la de la función g ( x ) = x − 2 , excepto que la de
f tiene una abertura o hueco en el punto (−3,−5) . En el ejemplo 9, la sustitución directa produjo la forma fraccionaria sin significado 0 . Una expresión de este tipo se le conoce como “forma
Fig. 1.6 Observa que
f ( x)
está definida cuando
x = −3 .
no
0
indeterminada o indefinida”, porque no se puede (a partir sólo de la forma) determinar el límite. Cuando intentes evaluar un límite y te encuentres esta forma, recuerda que debes volver a escribir la fracción de modo que el nuevo denominador no sea 0 cuando x = c . Una manera de llevar a cabo esto es cancelar los factores iguales, como se mostró en este ejemplo. Una segunda manera es racionalizar el numerador, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10. Hallar lim x →0
Solución:
x +1 −1 . x
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Cálculo Diferencial e Integral I
Dado que el denominador es cero en x = 0 , no se puede hacer la sustitución directa, entonces se racionaliza el numerador, es decir, se multiplica y divide por el binomio conjugado del numerador. (Recuerda que una diferencia de cuadrados se factoriza como un producto de binomios conjugados).
x +1 −1 ( x + 1 − 1)( x + 1 + 1) ( x + 1) 2 − 1 ; = = lim x→0 x→0 x x ( x + 1 + 1) x ( x + 1 + 1) Se cancela la raíz cuadrada con el cuadrado, al igual que , + 1 − 1 en consecuencia: x +1 −1 x 1 1 1 1 = lim = lim = = = . lim x →0 x →0 x ( x + 1 + 1) x →0 x x +1 +1 1 +1 1+1 2 lim
EJERCICIO 3
En cada una de las siguientes funciones, obtén el límite indicado, si es que existe. Entrégalo a tu profesor: 4−x si x1 ⎩3− x ⎩ a) lim f ( x) b) lim f ( x ) x→0
⎧x2 − 4 3. f ( x) = ⎪ ⎨ x−2 ⎪⎩ 3 a)
lim f ( x)
x → −3
a) lim f ( x)
b)
si si
b) lim f ( x )
x → −3
x→1
x≠2
4.
x=2
lim f ( x) x→ 2
a)
x→ 2
si x < −4 ⎧ −x−4 ⎪⎪ − 2 si − 4 ≤ x < −1 f ( x) = ⎨ 2 si x ≥ −1 ⎪x − 3 ⎪⎩
b)
lim f ( x)
x → −4
lim f ( x) x→0
c) lim f ( x ) x→ 1
2 x 2 − x − 15 5. lim x → −5 2x + 5 2
x→ 2
2
7. lim
x 3 − 27 x 2 + 5 x − 24
8. lim
9. lim
x −5 x − 25
10. lim
x →3
x →5
x →3
Consideremos la función f dada por:
x 3 − 27 x 2 + 5 x − 24
x →7
1.1.4. Límites infinitos.
26
3x − 2 3 3 x − 14 x + 8
6. lim
f ( x) =
3 . x−2
x+2 +3 x 2 − 49
Límites
Con base en la gráfica y la tabla, es posible ver que
f (x) decrece sin cota cuando x tiende a 2 desde la izquierda, es decir, para valores de x menores que 2 , f (x) se va haciendo más y más pequeña indefinidamente; y f (x) crece sin cota cuando x tiende a 2 desde la derecha, esto es, para valores de x mayores que 2 , f (x) se va haciendo más y más grande indefinidamente . Este
comportamiento se denota como:
lim−
x→2
y
lim+
x→2
3 = −∞ x−2
f (x) decrece sin cota cuando x → 2 desde la izquierda
3 =∞ x−2
f (x)
crece sin cota cuando
x tiende a 2 desde la izquierda
x f ( x)
1.5 -6
1.9 -30
1.99 -300
f ( x) decrece sin cota
1.999 -3000
x → 2 desde la derecha
x tiende a 2 desde la derecha 2 ?
2.001 3000
2.01 300
2.1 30
2.5 6
f ( x) crece sin cota
Explicaremos de una manera sencilla lo que acabamos de decir a través de los límites unilaterales, del párrafo anterior. Los límites anteriores significan que podemos hacer a f ( x ) suficientemente tan grande como se desee, haciendo a x
Recuerda que el valor absoluto es una distancia; por tanto, su resultado siempre tiene que ser un valor positivo.
suficientemente cercana a 2 . Esto es, que el valor absoluto de la diferencia entre x y 2 ( | x − 2 | ) sea tan pequeña como se desee. En términos matemáticos esto se puede expresar como sigue: | x − 2 |< δ , donde δ es un valor positivo muy pequeño, tan pequeño como se quiera. (Por esta razón agregamos más nueves por la izquierda de 2 y más ceros por la derecha de 2 ). Entonces si la distancia 27
Cálculo Diferencial e Integral I
Recuerda que cuando hablamos de números negativos, entre más lejos esté del cero un número que es negativo, éste es más pequeño.
entre x y 2 es cada vez más pequeña tanto por la izquierda como por la derecha, el valor que toma f (x ) se va haciendo cada vez más pequeño o más grande, es decir, se va a − ∞ ó + ∞ respectivamente. En otras palabras va decreciendo y creciendo sin cota alguna. En términos matemáticos, se dice, que el valor de f (x ) es menor que algún número positivo M (ó M > 0 ) si el acercamiento es por la izquierda, por otro lado decimos que f (x ) es mayor que un número N > 0 , si el acercamiento es por la derecha. El razonamiento anterior nos lleva a una definición formal de límites infinitos, definición un tanto compleja que omitiremos en este curso y que seguramente verás en el nivel superior. Un límite en el que f ( x ) crece o decrece sin cota cuando x tiende a un número c se llama límite infinito. En la proposición lim f ( x) = ∞ , el signo igual no significa que el límite existe. Por x →c
el contrario expresa cómo el límite deja de existir al denotar un comportamiento no acotado de f (x ) , cuando x tiende a c . Esto último lo podemos visualizar en la gráfica de la función. Observa el comportamiento de la función: cuando hacemos que x se aproxime al valor 2 tanto por la izquierda como por la derecha, la función se curvea sin tocar una recta vertical imaginaria en x = 2 ; esta recta recibe el nombre de asíntota. Ahora fíjate en el denominador de la función x − 2 ; no es casualidad que en x = 2 pase la asíntota. Esto se debe a que el valor 2 es el que hace cero al denominador, es decir, 2 es la raíz del polinomio x − 2 . Mas allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es saber identificar lo que es un límite infinito. De manera sencilla podemos decir que un límite infinito es cuando el resultado del límite es infinito, es decir no está determinado.
Ejemplo11. Encontrar lim x→4
2−x . x − 2x + 2 2
Solución: Si intentas hacer el cálculo del límite por simple sustitución como en los casos anteriores, cuando x se aproxima a 4 el denominador de la función se hace cero. Esto se debe a que el polinomio se puede descomponer en factores como sigue: x − 2 x − 8 = ( x − 4)( x + 2) , de esta manera el 4 hace cero a uno de los factores haciendo que todo el polinomio se haga cero, es decir, el 4 es una raíz del polinomio; además el valor de − 2 también hace que el denominador de la función se haga cero. Esto quiere decir que la función se indefine en dos valores, en x = −2 y en x = 4 , resulta lógico puesto que la función es de segundo grado, significando esto que cuenta con dos raíces. Considerando entonces la aproximación por la izquierda y por la derecha, tenemos que los límites unilaterales de acuerdo a la tabla son: 2
x f (x)
lim−
x→4
28
3.9 3.2203
3.99 33.22203
2− x =∞; x − 2x + 2 2
3.999 333.2
y
3.9999 3333.2
lim+
x→4
4 ?
4.0001 -3333.
4.001 -333.
2− x = −∞ . x − 2x + 2 2
4.01 -33.
4.1 -3.4
Límites
La gráfica de la función te dará una idea del comportamiento de una función que tiene dos valores donde ésta se indefine. A estos valores se les llama singularidades, pasando justamente por esos valores las asíntotas.
Ejemplo12. Resolución de límites infinitos. Encuentra qué signo debe tener ∞ en las siguientes funciones con límites cuando x tienda a la izquierda o a la derecha. 1.
lim−
x→2
3x . x−2
Se toma un valor muy cercano a sustituimos en la función
2 por la izquierda, consideremos 1.999 y los
3x 3(1.999) 5.997 = = = −5997 . x − 2 1.999 − 2 − 0.001
Como el resultado es un valor negativo muy alejado del cero, entonces:
3x = −∞ . x→2 x − 2 x2 2. lim+ ; x→4 4 − x lim−
Consideramos un valor muy cercano a sustituimos:
4 por la derecha, 4.001 por ejemplo y
x2 (4.001) 2 16.008001 = = = −16008.001 . 4 − x 4 − 4.001 − 0.001 Entonces:
x2 lim = −∞ . x→4+ 4 − x 2x − 3 3. lim + ; 1 5 x + 1 x→− 5 2 x − 3 2(−0.2001) − 3 − 3.4002 = 6800.4 . = = 5 x + 1 5(−0.2001) + 1 − 0.0005 29
Cálculo Diferencial e Integral I
Entonces:
lim +
x→− 1 5
Recuerda que para saber hacia dónde tiende el límite de la función tienes que dar un valor de x muy, pero muy cercano al valor de c.
2x − 3 = ∞. 5x + 1
x = ∞. x →1 x − 1 x 5. lim− = −∞ . x→4 x + 4 x+5 6. lim+ 2 =∞. x →5 x − 25 4.
lim+
Límites en el infinito. Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha aproximado a algún número real. Trataremos ahora con el cálculo de límites donde x aumenta o disminuye sin fronteras, es decir, indefinidamente. Para ello definimos lo siguiente: A. Si x aumenta sin cota (es decir crece infinitamente hacia la derecha), se dice que tiende hacia un infinito positivo. Se denota por: x → ∞. B. Si x decrece sin cota (disminuye infinitamente hacia la izquierda), se dice que tiende a un infinito negativo. Se denota por: x → −∞ . En la resolución de los límites infinitos se utiliza fundamentalmente un teorema sobre límites, el cual nos dice que el límite de una constante dividida entre una variable, cuando la variable tiende a infinito, es igual a cero.
lim x →∞
c = 0; donde c es una constante. x
Ejemplo13. Hallar el límite de las siguientes funciones: 3x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 − 3x + 6 ; x →∞ 6 x 4 + 8 x 3 − 4 x 2 + 8 x + 10
1. lim
Dividimos cada término del numerador y del denominador por la potencia más
x 4 . Obtenemos 5 x 3 4 x 2 3x 6 − 4 + 4 − 4+ 4 x x x x , 3 2 8x 4 x 8 x 10 + 4 − 4 + 4+ 4 x x x x
grande de x que aparezca en la función, esto es
3x 4 3x − 5 x + 4 x − 3x + 6 x4 = lim 4 lim x → ∞ 6 x + 8 x 3 − 4 x 2 + 8 x + 10 x →∞ 6 x 4 x4 4
30
3
2
Límites
hacemos la división de las x
5 4 3 6 + 2 − 3 + 4 3x − 5x + 4 x − 3x + 6 x x x x ; = lim lim 4 x → ∞ 6 x + 8 x 3 − 4 x 2 + 8 x + 10 x →∞ 8 4 8 10 − 2 + 3 + 4 6+ x x x x c y aplicamos el teorema lim = 0; entonces todos los términos divididos entre x x →∞ x 4
3
2
3−
se harán cero,
0
5 4 3 6 3− + 2 − 3 + 4 3x4 − 5x3 + 4 x2 − 3x + 6 x x x x lim = lim x → ∞ 6 x 4 + 8 x 3 − 4 x 2 + 8 x + 10 x→ ∞ 8 4 8 10 6+ − 2 + 3 + 4 x x x x Por tanto
3x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 − 3x + 6 3 1 = = . x → ∞ 6 x 4 + 8 x 3 − 4 x 2 + 8 x + 10 6 2
lim
3 − 2x3 ; x →∞ x + 1
2. Hallar lim
x3 , 3 2x3 − 3 3 3 − 2x3 x x = lim = lim lim x →∞ x + 1 x →∞ x x →∞ 1 + 3 3 x x
Calcula el
Dividimos numerador y denominador por
3 −2 x3 ; 1 1 + x2 x3
Ya que el límite del denominador de la función es cero, no podemos aplicar el
1 x →∞ x
lim
Para que comprendas por qué a la función del ejemplo 2 no se le puede aplicar el teorema
c = 0; sin embargo, podemos argumentar hacia dónde se indefine x el límite. En el numerador 3 3 se aproxima a 0 cuando x → +∞ así que teorema lim x →∞
3
x − 2 es eventualmente negativo y se aproxima a − 2 . Como ya dijimos,
x3 cuando x → +∞ , el denominador es una cantidad positiva que se aproxima a 0 . Así que la razón es una cantidad negativa que decrece sin cota. Esto es,
3 − 2x3 = −∞ . x →∞ x + 1
lim 2x 3 + 6 3. lim ; x →∞ 8 x 5 + 10 x 5 Dividimos entre x
31
Cálculo Diferencial e Integral I
2x3 6 2 6 + 5 + 5 5 2 2x + 6 x ; x = lim x lim 5 = lim x 5 x →∞ 8 x + 10 x x →∞ 8 x x → ∞ 10 10 x 8+ 4 + 5 5 x x x 3
aplicamos el teorema,
Observa dónde se encuentra, dentro de la función, la potencia más grande y elabora tus conclusiones acerca de la existencia o no existencia de los límites.
2 6 + 5 2 2x3 + 6 x = 0 =0. lim 5 = lim x x →∞ 8 x + 10 x x →∞ 10 8 8+ 4 x Recuerda que aunque el número cero represente la ausencia de valor, eso no significa que el límite no exista. En el ejemplo 3 el límite existe y su valor es 0 . 3
4. lim
x →∞ 3
x+ x ; x− x
Tendríamos que expresar los radicales a potencias, como 1 > 1 , entonces 1 es 2 2 3 el mayor exponente,
x
1 3
2 x+ x lim 3 = lim x 1 x →∞ x − x x →∞ x 3 1
3
x
1
2
+
x x
−
x x
1 1 1 1
2 2 2
x
1 3 1
= lim x 1 x →∞ x 3
2
x
1
+1
2
;
−1
2
aplicamos el teorema y obtenemos, 3
lim 3 x →∞
1 x+ x = = −1 . x − x −1
Pareciera que un tema tan abstracto como éste, de límites en el infinito, no tuviera manera de aplicarse. Para que te des una idea de dónde se puede aplicar, te presentamos el siguiente problema.
f (t ) el nivel de oxígeno en un estanque, donde f (t ) = 1 es el nivel normal (sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t = 0 , se arroja materia
5. Sea
orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de oxígeno en el estanque viene dado por:
t2 − t +1 f (t ) = 2 t +1
¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el porcentaje de oxígeno para t desmesuradamente grande? Solución: Cuando t = 1, 2 y 10 , los niveles de oxígeno son:
f (1) =
32
(1) 2 − (1) + 1 1 = = 50% en 1 semana; 2 (1) 2 + 1
Límites
f ( 2) =
( 2 ) 2 − ( 2) + 1 3 = = 60% en 2 semanas, 5 ( 2) 2 + 1
f (10) =
(10) 2 − (10) + 1 91 = = 90.17% en 10 semanas; 101 (10) 2 + 1
TAREAS 3 y 4
Para un tiempo infinitamente grande calculamos el límite al infinito de f (t ) ,
t2 − t +1 = lim lim 2 t →∞ t →∞ t +1
1 1 1− + 2 t t = 1 − 0 + 0 = 1 = 10% . 1 1+ 0 1+ 2 t
Páginas. 43 y 45.
Por tanto el porcentaje de oxígeno del nivel normal del estanque en un tiempo en el infinito es aproximadamente un 10%. Determina el signo que debe tener ∞ en los siguientes límites infinitos: 2 1. lim 6 x 2. lim x 3. lim 3 x − 2 4. lim 3 x − x →3− x − 3 x→2+ 4 − x x →2 + x + 2 4x +1 x→ 1 4
EJERCICIO 4
Resuelve los siguientes límites en el infinito:
4 x 3 + 9 x 2 + 3x 10 x 2 + 5 x − 3 5. lim x →∞ 6 x 3 − 3 x + 5 x →∞ 5 x 3 + 2 x − 7 5 4x − x 10 x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 6. lim 7. lim x →∞ − 3 x + 5 x 5 x →∞ − 8 x 9 − 5 x 7 + 2 x 2 − 1 4. lim
1 . 2.
TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.
En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el proyecto. Por ejemplo, cuando vas caminando y encuentras algún obstáculo, como un charco de agua, es necesario brincarlo para poder seguir tu camino. En este ejemplo nos damos cuenta que el salto que diste fue un impedimento para que tu caminar se diera de manera continua, en otras palabras, te diste cuenta que para continuar la marcha tuviste que despegar los pies del suelo. En las gráficas de funciones también se presenta el mismo caso; es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En el caso de que la gráfica de una función la podamos realizar sin despegar el lápiz del papel, decimos que la función es una función continua. En el caso contrario, es decir, cuando despegamos el lápiz del papel para poder dibujar la gráfica diremos que la función es discontinua.
33
Cálculo Diferencial e Integral I
Observa las siguientes figuras para obtener las definiciones de continuidad y discontinuidad de una manera intuitiva. 9
y
8 7 6 5 4 3 2 1 x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
En forma intuitiva se puede decir que la gráfica de esta función puede dibujarse en un trazo ininterrumpido. Concluimos que es una función continua.
La gráfica representada en esta función, presenta un hueco, es decir, hay un trazo interrumpido. Concluimos que es una función discontinua.
En el siguiente subtema llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a establecer las condiciones para que una función sea continua. 1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD. En estos ejemplos te presentaremos distintas formas de discontinuidad que puede tomar una función.
x 2 − 3 x − 10 1. Sea la función f ( x ) = . x−5 La gráfica de la función es:
f (x) no está definida para x = 5 ; esto nos dice que hay una ruptura en la gráfica en x = 5 concluimos que la función f es discontinua en x = 5 y continua para todos los otros valores de x diferentes de 5 ( x ≠ 5 ). Si calculamos el límite de esta función cuando x tiende a 5 tenemos: x 2 − 3 x − 10 ( x − 5)( x + 2) lim = lim = lim( x + 2) = 7. x →5 x →5 x →5 x−5 x−5 Como te darás cuenta el límite existe y es igual a 7; sin embargo, f (5) no existe, es decir, el valor que toma la función en x = 5 no existe ya que hace 0 al
En esta función
denominador de la función racional provocando que ésta se indefina. 34
Límites
Concluimos entonces que el valor del límite es diferente al valor de la función valuada en x = 5. Esto es, lim f ( x ) ≠ f (5) . x →5
2. Consideremos ahora la función
g:
⎧ x −8 ⎪ g ( x) = ⎨ x − 2 cuando x ≠ 2 . ⎪⎩ 12 cuando x = 2 3
Esta función g (x) se compone de dos partes (Figura 1.7), la primera parte está definida para todos los números reales x ≠ 2 excepto para x = 2 , ya que en ese valor el denominador de la función racional se hace 0 , haciendo que esa parte de la función quede indefinida; es precisamente en ese valor que la gráfica de la función presenta un hueco. Por otro lado en la segunda parte de g (x) , la función toma el valor de un punto con coordenadas ( 2, 12) , haciendo que el hueco que existe de la primera parte de la función quede definido en esta segunda parte; es decir, el hueco se rellena. Ya que no hay una ruptura en la gráfica de g (x ) debemos afirmar entonces que g es una función continua. Nuevamente, si calculamos el límite de esta función g tenemos:
Fig. 1.7 Gráfica de la función g (x ) .
x3 − 8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) = lim = lim ( x 2 + 2 x + 4) = 12. x→2 x − 2 x→2 x→2 x−2 Si comparamos el valor del límite, es igual al valor que toma la función g en x = 2 . Esto es lim g ( x) = g (2) . lim
x→2
Otro ejemplo es la función presentada en el ejemplo 6 de este módulo (pág. 21),
⎧| x − 1 | +2 f ( x) = ⎨ 2 ⎩− x + 6 x − 8
si
x≤2
si
x>2
,
su forma es un claro ejemplo de una función discontinua, ya que ésta presenta un salto en el valor x = 2 . Si recuerdas, el cálculo de los límites unilaterales de la función a)
f fueron:
lim f ( x) =| 2 − 1 | +2 =| 1 | +2 = 1 + 2 = 3.
x→2−
b) lim+ f ( x ) = −( 2) + 6( 2) − 8 = −4 + 12 − 8 = 0. 2
x→2
Como estos dos límites son diferentes, tenemos que:
lim f ( x ) = ∃
x→2
Por otro lado tenemos que el valor de la función f (x ) valuada en 2 es igual a 3 . Lo anterior nos dice que aún teniendo a una función definida en algún punto, en este caso 2 , es una condición necesaria para la continuidad en ese punto, pero no suficiente para asegurar que la continuidad exista ya que el límite no existe en ese mismo punto. Los ejemplos antes mencionados son suficientes para determinar ahora las condiciones que una función debe cumplir para hablar de continuidad en un punto.
35
Cálculo Diferencial e Integral I
Continuidad en un punto: Sea
f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c . Decimos que f es continua en c si lim f ( x) = f (c). x →c
El significado de esta definición nos asegura tres condiciones: I. f (c ) esté definida. Es decir que exista, que c pertenezca al dominio de f . II.
lim f ( x) exista. x→c
III. lim f ( x ) = f (c ). x→c
Si cualquiera de estas tres condiciones falla, decimos que la función f no es continua en el punto c , esto es, que es discontinua en c . En pocas palabras, si quieres determinar si una función es continua en un punto dado c , tienes que verificar primero si la función está bien definida en c , esto lo logras sustituyendo en la función dicho valor para determinar si el resultado es un número real. Luego determinar que el límite de la función en ese valor c existe, y por último verificar que el valor del límite y el de la función valuada en c es el mismo.
Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes casos: 1. Una división entre cero. 2. Extraer una raíz de índice par a una cantidad negativa. Esto es, si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente x y no se presenta ninguno de los dos casos anteriores, la función será continua para ese valor.
Ejemplo14. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en los puntos que se te indican:
⎧2 ⎪
si
x =1
⎪⎩
si
x ≠1
1. Sea f ( x ) = ⎨ 2 x 2 + x − 3
x = 1.
x −1
; determina si es continua en
Aplicando las tres condiciones: I. Veremos primero que f (x ) en x = 1 , existe. (Tomamos ese valor ya que es el punto crítico donde la función cambia de forma).
f (1) = 2.
Efectivamente se cumple la condición I. Calcularemos ahora el límite de la función f cuando x tiende a 1 .
2x 2 + x − 3 ( x − 1)(2 x + 3) = lim = lim(2 x + 3) = 5. x →1 x →1 x →1 x −1 x −1
II. lim
Como el valor del límite es un número real, entonces existe. Por último verificaremos que se cumpla la condición lim f ( x ) = f (c ). x →c
36
Límites
III. lim f ( x ) = 5, pero f (1) = 2. x →1
Entonces
lim f ( x) = 5 ≠ 2 = f (1). x →1
La condición III no se cumplió, por lo tanto la función es discontinua en ese valor. 2. Sea f ( x ) =
f no es continua en x = 1 ;
1 ; determina si es continua o discontinua en x = 3 . x−3
En el caso de las funciones racionales es necesario, primeramente, ver para qué valores de x la función se indefine; es decir, dónde el denominador de la función se hace 0. Para ello se toma el denominador x − 3 y se iguala a cero con la finalidad de despejar x .
x − 3 = 0;
x − 3 + 3 = 0 + 3; x = 3. Entonces f (x ) se indefine cuando x toma el valor 3 , ya que la división por cero no es posible. Así vemos inmediatamente que la condición I no se cumple ya que f (3) no existe; por lo que f es discontinua en x = 3 .
Fig. 1.8 Gráfica de la función
f ( x) =
1 . x−3
Observa en la Figura 1.8 que si cambiamos el valor de c , entonces f estaría bien definida, por lo que
f (c) existiría. Haciendo posible que sea continua en un valor
de c diferente de 3 .
⎧2 x + 1 ⎩2x − 1 discontinua en x = 5 .
3. Sea g ( x ) = ⎨
si
x≥5
si
x 3 ; en x = 3 . h) f ( x ) = ⎨ 3 x ⎪ x2 si x > 3 ⎪ ⎩ 2 2. Demostrar que la función f ( x ) = x − 1 es continua en x = 3 . ⎧3 x − 2 ⎩ kx + 1
3. Dada la función g ( x ) = ⎨ Página 47.
38
es continua en x = 3 .
si x ≥ 3 si x < 3
; para que valor de k la función
Límites
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 1
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide en cada caso y entrega los resultados a tu profesor. A) Para cada una de las siguientes funciones elabora la gráfica correspondiente y construye para cada una la tabla de valores para encontrar el límite dado. 1. lim(1 − 2 x ) x →1
2. lim( x − 2) x →5
3. lim( x − 2 x ) 2
x →0
4. lim( x − 2 x + 3) 2
x→2
5.
lim
x → −3
2x + 1 x−3 x2 − 9 x−3
6.
lim
7.
lim f ( x) si
⎧2 x + 1 si f ( x) = ⎨ ⎩ x + 5 si
x 1
, en x = 1 .
3 , en x = −1 . x −1
⎧ 2x − 3 ⎪ i) g ( x) = ⎨− 11 ⎪ 3 − 2x ⎩
si x ≥ 4 si x = 4 , en x = 4 . si x < 4
47
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
48
Límites
Nombre _________________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Examínate contestando las siguientes preguntas, señalando la respuesta correcta en la letra que corresponda:
x 2 − 25 1. lim x → −5 x + 5 6 − 10 No existe 1 2. lim( x − 4 x + 1) 2
x→2
0 7 − 3 2
4 − x2
3. lim
3 − x2 + 5
x→2
1
7
2 x 5 6
3x − 2 9x + 7
4. lim x →∞
1
3
6
5
0 − 2 5. lim senx x →π
2
∞ 1 0 − 1
49
Cálculo Diferencial e Integral I
⎧x + 3 ⎩ kx + 6
6. El valor de k en la función f ( x ) = ⎨
si x ≤ 2 si x > 2
es:
2 − ∞ − 1
2
4
7. lim ln(2e x →3
2x
⋅ 3e 4 x )
− 32 8 100 180
6
y
5
8. La siguiente gráfica corresponde a una función:
4 3 2 1
continua en x = 0 discontinua en x = 0 constante en x = 0 constante en x < 0
−4
−3
−2
−1
−1
x 1
2
−2 −3 −4 −5
9. ¿Cómo es la función g ( x ) = x − 4 en x = 0 ?
−6
2
continua continua removible discontinua discontinua removible 10. La función f ( x) =
1 es continua en x = −2 : 2−x
Verdadero Falso Verdadero si x = 2 Falso si x = 2
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que repases los temas. ¾ Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. 50
3
4
5
Límites
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos, resuélvelos y entrega un reporte a tu profesor. 1. Obtén los siguientes límites: a) lim x →3
x 3 − 27 x−3
( x + 5) 2 − 25 x →0 x
b) lim
c) lim x→4
x −2 x−4
d) lim[ 2 + 3senθ ] θ →0
x 3 − 2x 2 − 5x + 6 x → −1 x 3 − 3 x 2 − x + 3
e) lim
e x −e − x f) lim x →0 3 g) lim ln[(2 x − 8) + 5 x ] 2
3
x→2
h) lim ( x − 3 x + 2)( x − 3) 2
x → −3
i)
4x + 4 x →∞ 2 x + 5
lim
j) lim x →∞
3x + 4 2x 2 − 5
51
Cálculo Diferencial e Integral I
+ ó − del ∞ , resolviendo los siguientes ejercicios con límites infinitos. 5x a) lim+ x→2 − x + 2
2. Determina el signo
x2 b) lim− x →3 x − 3
c) lim + x→− 2
7
2x − 3 7x + 2
3. Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado. a) f ( x) = 3 x + 5 ; en x = 2 . b) f ( x ) = 5( x + 2) − 7 ; en x = −1 . 2
c) f ( x ) = −1 | x − 1 | +4 ; en x = 0 .
d) f ( x ) =
x 2 − 36 ; en x = 36 . x−6
⎧⎪ 1 x 3 si x ≤ 2 ; en x = 2 . 2 ⎪⎩( x + 1) + 5 si x > 2
e) f ( x ) = ⎨ 2
⎧ 3( x + 1) 2 − 1 si x < −1 ⎪ si x = −1 ; en x = −1 . f) g ( x ) = ⎨ − 1 ⎪x − 1 si x > −1 ⎩ 4. Hallar el valor de x donde la función es discontinua y determina si esa discontinuidad puede ser removible o no; es decir, si la función se puede expresar como otra función mediante factorización. a) f ( x ) =
2 x
b) f ( x ) =
x 3 − 27 x2 − 9
⎧ 0 si x = 0 ⎩2 si x ≠ 0
c) g ( x ) = ⎨
52
Unidad 2 Las razones de cambio y la derivada
Objetivo: El alumno:
El libro de la naturaleza
Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económicoadministrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.
“El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él… Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está escrito… Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos matemáticos). Galileo Galilei Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos.
Temario: ¾ La derivada. ¾ Reglas de derivación.
Cálculo Diferencial e Integral I
Mapa Conceptual de Unidad La Derivada.
Se obtiene por
Interpretación geométrica de la derivada. Lo que nos permite calcular
La ecuación de la recta tangente en un punto.
Las reglas de derivación. De la cual obtenemos
Razón de cambio promedio e instantánea.
Las cuales son:
Regla de la potencia.
Reglas del producto y del cociente.
Regla de la cadena.
Derivadas de funciones trigonométricas.
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
54
Las razones de cambio y la derivada
2.1.
LA DERIVADA.
Durante los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio. El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y como puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo. La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII:
Gottgried Wilhem Leibniz (16461716) Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal
1. El problema de la tangente. 2. El problema de la aceleración. 3. El problema de máximos y mínimos. 4. El problema del área. Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.
2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada. Sea f (x ) una función cualquiera, si tomamos los puntos (x1 , f ( x1 ) ) y (x2 , f ( x 2 ) ) como se muestra en la figura:
f (x)
(x2 , f ( x 2
f ( x2 )
f ( x1 )
(x1 , f ( x1 ) x1
x2
55
Cálculo Diferencial e Integral I
Llamaremos m s a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(x1 , f ( x1 ) ), (x2 , f ( x 2 ) ) ,
la cual la podemos calcular de la siguiente
manera:
ms =
f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1
Si hacemos que el punto x 2 se aproxime al punto x1 , la pendiente de las rectas secante que se van generando la podemos calcular utilizando la misma fórmula, esto lo podemos observar en la siguiente figura:
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ) x1
x2
x2
x2
Apoyándonos en la gráfica anterior se puede observar también que conforme x 2 se aproxima a x1 , las rectas secantes que se generaron se aproximan a la recta tangente a f ( x ) en el punto x1 , y por lo tanto las pendientes de las rectas secantes se estarán aproximando a la pendiente de la recta tangente, la cual la denotaremos como mt . Si recuerdas, al proceso de ir aproximando lo relacionamos con el concepto de límite; de tal manera que podemos afirmar que el valor de la pendiente de la recta tangente de una función f ( x ) en el punto x1 es igual al límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el punto x 2 se aproxima a
x1 y esto lo podemos escribir de la siguiente manera: 56
Las razones de cambio y la derivada
mt = lím m s x2 → x1
Es decir:
mt = lím
x2 → x1
f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1
Si en la fórmula anterior hacemos h = x 2 − x1 , se puede observar fácilmente que si x 2 se aproxima a x1 , la diferencia x 2 − x1 se va haciendo cada vez más pequeña; de tal manera que podemos decir que si x 2 se aproxima a x1 , entonces h = x 2 − x1 se aproxima a cero. Por otro lado, si de la igualdad h = x 2 − x1 despejamos x 2 , obtenemos
x 2 = x1 + h ; si estos cambios los sustituimos en: mt = lím
x2 → x1
f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1
Ecuación 2.1
Se obtiene:
mt = lím h →0
f ( x1 + h) − f ( x1 ) h
Ecuación 2.2 Ejemplos: 1) Hallar el valor de la pendiente de la recta tangente ( mt ) de la función f ( x ) = x + 1 en el punto x1 = 2 . 2
Para utilizar la fórmula, debemos calcular:
f ( x1 ) = ( x1 ) 2 + 1 f ( x1 + h) = ( x1 + h) 2 + 1 Si estos valores los sustituimos en:
mt = lím h →0
f ( x1 + h) − f ( x1 ) h
Tendremos:
( x1 + h) 2 + 1 − (( x1 ) 2 + 1) ( x ) 2 + 2( x1 )(h) + h 2 + 1 − ( x1 ) 2 − 1 2( x1 )(h) + h 2 = lím 1 = lím = h →0 h →0 h →0 h h h h(2( x1 ) + h) lím = lím 2( x1 ) + h = 2( x1 ) h →0 h →0 h mt = lím
57
Cálculo Diferencial e Integral I
Por lo tanto mt = 2( x1 ) , si sustituimos x1 = 2 obtenemos mt = 2( 2) ,
mt = 4 2) Hallar la ecuación de la recta tangente ( Rt ) a la función
f ( x) = x 2 − 2 en x1 = 2 Para resolver este ejercicio, necesitamos calcular mt , y punto formado por
P(x1 , f ( x1 ) ) para sustituirlo en la ecuación de la recta, que si recuerdas está dada por y − f ( x1 ) = mt ( x − x1 ) .
Para calcular mt procederemos como en el ejemplo anterior:
f ( x1 ) = ( x1 ) 2 − 2 f ( x1 + h) = ( x1 + h) 2 − 2 Estos valores los sustituimos en:
mt = lím h →0
f ( x1 + h) − f ( x1 ) h
Tendremos:
( x1 + h) 2 − 2 − (( x1 ) 2 − 2) ( x ) 2 + 2( x1 )(h) + h 2 − 2 − ( x1 ) 2 + 2 2( x1 )(h) + h 2 = lím 1 = lím = h→0 h→0 h→0 h h h h( 2( x1 ) + h) = lím 2( x1 ) + h = 2( x1 ) lím h →0 h →0 h mt = lím
Por lo tanto mt = 2( x1 ) , si sustituimos x1 = 2 obtenemos mt = 2( 2) ,
mt = 4 El punto es P (2,2) ya que x1 = 2 y
Sustituyendo
f ( x1 ) = ( x1 ) 2 − 2 = (2) 2 − 2 = 4 − 2 = 2
estos
valores en y − f ( x1 ) = mt ( x − x1 ) , obtenemos:
la
ecuación
de
la
recta
y − 2 = 4( x − 2) desarrollando y − 2 = 4 x − 8 igualando a cero Rt : −4 x + y + 6 = 0 que corresponde a la ecuación de la recta tangente a f ( x) = x 2 − 2 en el punto x1 = 2 .
58
Las razones de cambio y la derivada
EJERCICIO 1 Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros. I.
Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:
1) f ( x) = x 2 − 2 x + 3 en x = 0 2) f ( x) = x en x = 4 3) f ( x) = 3x 2 + 6 x + 4 en x = −
1 2
II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:
1) f ( x) = x 2 − 1 en x = −1 2) f ( x) = x en x = 1 3) f ( x) = − x 2 + 2 en x = 1 4) f ( x) = x 2 + 4 x + 3 en x = −3 5) f ( x) = x 3
III.
en x = −1
Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas correspondientes (Función y Recta tangente) de los ejercicios del punto II.
TAREA 1
Página 85.
59
Cálculo Diferencial e Integral I
DEFINICIÓN: La derivada de una función
f (x) que representaremos
como f ´(x) se define como el valor de la pendiente de la recta tangente a la función
f (x) en el punto x , es decir:
f ´(x) = mt = lím h →0
f ( x + h) − f ( x ) h
Ecuación 2.3 Existen otras formas para representar a la derivada, las cuales puedes encontrar en diferentes bibliografías, algunas de ellas son:
df dy , y´ , dx dx Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición (Ecuación 2.3). 1)
f ( x) = 3x + 2 Para resolverlo, necesitamos encontrar:
f ( x + h) = 3( x + h) + 2 = 3x + 3h + 2 f ( x) = 3x + 2
Si estas expresiones las sustituimos en la Ecuación 2.3, obtenemos:
3x + 3h + 2 − (3x + 2) 3x + 3h + 2 − 3 x − 2 f ( x + h) − f ( x ) = lím = lím = h 0 h 0 → → h h h 3h = lím = lím 3 = 3. h →0 h h →0
f ´(x) = lím h →0
Por lo tanto:
f ´(x) = 3
60
Las razones de cambio y la derivada
2) f ( x ) = x − 2 x + 5 Calculemos: 2
Recuerda que:
f ( x + h) = ( x + h) 2 − 2( x + h) + 5 = x 2 + 2 xh + h 2 − 2 x − 2h + 5
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
f ( x) = x 2 − 2 x + 5 Sustituyendo en la Ecuación 2.3, se obtiene:
f ( x + h) − f ( x ) x 2 + 2 xh + h 2 − 2 x − 2h + 5 − ( x 2 − 2 x + 5) = lím h→0 h→0 h h 2 2 2 x + 2 xh + h − 2 x − 2h + 5 − x + 2 x − 5 2 xh + h 2 − 2h = lím = lím = h→0 h→0 h h
f ´(x) = lím
Si factorizamos
h
h(2 x + h − 2) = lím = lím 2 x + h − 2 = 2 x − 0 − 2 = 2 x − 2 h→0 h→0 h Por lo tanto:
f ´(x) = 2 x − 2
3) f ( x )
=
1 x−2
1 1 − f ´(x) = lím x + h − 2 x − 2 si multiplicamos cruzado para realizar la h →0 h resta de las fracciones, obtenemos:
x−2− x−h+2 1( x − 2) − 1( x + h − 2) −h ( x + h − 2)( x − 2) ( x + h − 2)( x − 2) f ´(x) = lím = lím = = lím h →0 h →0 h →0 h( x + h − 2)( x − 2) h h 1 −1 −1 −1 −1 = lím = = = h →0 ( x + h − 2)( x − 2) ( x + 0 − 2)( x − 2) ( x − 2)( x − 2) ( x − 2) 2 Por lo tanto:
f ´(x) = −
1 ( x − 2) 2 61
Cálculo Diferencial e Integral I
4)
f ( x) = x x+h − x si multiplicamos y dividimos por el conjugado de h →0 h x + h − x que es x + h + x , tendremos:
f ´(x) = lím
(
) ( )
h 1 = lím = h →0 h ( x + h + x ) h→0 x + h + x
1 = x+0 + x
2
2
x+h − x x+h + x x+h − x x+h−x = lím f ´(x) = lím = lím = h →0 h → 0 h → 0 h h( x + h + x ) h( x + h + x ) x+h + x = lím
Por lo tanto:
f ´(x) =
62
1 2 x
1 1 = x+ x 2 x
Las razones de cambio y la derivada
I. Calcula la derivada de las siguientes funciones (utilizando la ecuación 2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros.
EJERCICIO 2
f ( x) = 5 x − 2 3 2) f ( x ) = x + 5 4 3) f ( x) = − x x −3 4) f ( x ) = 8
1)
5) f ( x ) = x + x 2
6) f ( x) = 3 x
2
7) f ( x ) = 4 x − 5 x + 3 2
2 2 1 5 x − x+ 3 2 4 3 9) f ( x) = x 8) f ( x ) =
1 x+5 1 f ( x) = − x 3 f ( x) = 2x + 5 x f ( x) = x+3 1 f ( x) = 2 x
10) f ( x ) = 11) 12) 13) 14)
15) f ( x ) =
x−2
16) f ( x ) = 3 x 17) f ( x ) =
3x + 1
1 x 2 19) f ( x ) = x+5 1 20) f ( x ) = − 5x − 7 18) f ( x ) =
TAREA 2
Página 87.
63
Cálculo Diferencial e Integral I
2.1.2. Razón de cambio promedio. En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) denotada como "m " , la cual la podías calcular utilizando la fórmula:
m=
y 2 − y1 x 2 − x1
La podemos transcribir como:
∆
Es una letra griega llamada delta. Que significa: CAMBIO.
m=
∆y ∆x
Donde:
∆x = x2 − x1 . Es la diferencia de las abscisas ( x ) ∆y = y 2 − y1 . Es la diferencia de las ordenadas ( y ) Como se muestra en la siguiente gráfica:
y P2
y2 y1
∆y
P1
∆x
x1
x2
x
Por lo tanto:
∆y se lee como “razón de cambio de “ y ” con respecto a “ x ”. ∆x
Lo que nos permitir definir:
Razón de cambio promedio.
Sea f una función tal que y = f ( x) y P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) un par de puntos de Definimos la razón de cambio promedio de “ y ” con respecto a “ x ” como:
∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = x2 − x1 ∆x x2 − x1
64
f.
Las razones de cambio y la derivada
Ejemplo 1. Determinar la razón de cambio promedio de la función
f ( x) = 3 x + 1 en el intervalo [3,7] Solución: Hagamos una partición del intervalo [3,7] de la siguiente
3
4
5
6
7
Si realizamos una tabla de valor como la siguiente:
x
y = f ( x)
3
f (3) = 10
4 −3 =1
f (4) − f (3) = 13 − 10 = 3
4
f (4) = 13
5− 4 =1
f (5) − f (4) = 16 − 13 = 3
5
f (5) = 16
6 −5 =1
f (6) − f (5) = 19 − 16 = 3
6
f (6) = 19
7 − 6 =1
f (7) − f (6) = 22 − 19 = 3
7
f (7) = 22
∆y
∆x
∆y ∆x 3 1 3 1 3 1
3 1
Observamos la tabla y nos damos cuenta que la razón de cambio promedio de la función en el intervalo [3,7] con la partición del intervalo dada permanece constante y es igual a :
∆y 3 = =3 ∆x 1 NOTA: Si tomamos el punto x1 = 4.5 y x 2 = 6.2 , si sustituimos estos valores en la función se tiene que f ( x1 ) = 3( 4.5) + 1 = 13.5 + 1 = 14.5 y
f ( x 2 ) = 3(6.2) + 1 = 18.6 + 1 = 19.6 Entonces la razón de cambio promedio de la función será:
∆y f ( x 2 ) − f ( x1 ) 19.6 − 14.5 5.1 = = = =3 ∆x x 2 − x1 6 .2 − 4 .5 1 .7 Es decir que la razón de cambio promedio de independientemente de la partición permanece constante.
la
función
65
Cálculo Diferencial e Integral I
Ejemplo 2. Determinar la razón de cambio promedio de la función:
f ( x) = x 2 + 2 x + 3 En el intervalo [−2,1] Solución: Si tomamos x1 = −2
y x 2 = 1 , entonces
f ( x1 ) = (−2) + 2(−2) + 3 = 4 − 4 + 3 = 3 f ( x 2 ) = (1) 2 + 2(1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 2
Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.
∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = x2 − x1 ∆x x2 − x1 f ( x 2 ) − f ( x1 ) ∆y y 2 − y1 6−3 6−3 3 = = = = = =1 ∆x x 2 − x1 x 2 − x1 1 − (−2) 1 + 2 3
∆y =1 ∆x
Geométricamente,
∆y = 1 es la pendiente de la recta secante que une ∆x
Los puntos . ( −2, 3)
y (1, 6) como se muestra en la siguiente figura:
y
x
66
Las razones de cambio y la derivada
En equipo realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los miembros de tu equipo.
EJERCICIO 3
1.- Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan.
y = x 2 , para x ∈ [-3, 4] 2 b) y = x (7 x − 3) , para x ∈ [1, 6]
a)
2.- Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se te da en las siguientes funciones: a)
y = x 2 + 5 x − 8 , x ∈ [1,1.2] Respuesta:
b)
y = x 2 + 2 x , x ∈ [1, 1.5]
c) Hallar ∆y , dado que y y de “ y ” cuando x = 4.9? Respuesta:
Respuesta:
∆y = 7.2 ∆x
∆y = 4.5 ∆x
= x 2 − 3x + 5 , y ∆x = 0.01. ¿Cuál es el valor
∆y = - 0.0699 y = 14.9301
3.- Resuelve los siguientes problemas. a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas. Recordar que:
4 V = π r3 3 b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son: 0, 29, 55, 78, 97, 114, 128, 138 y 145. c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no. e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando? f) Realiza la gráfica. TAREA 3
Página 89.
67
Cálculo Diferencial e Integral I
2.1.3. La razón de cambio instantánea. Razón de cambio instantáneo. Sea y = f ( x ) una función definida en todos puntos del intervalo ( x1 , x 2 ) Definimos la razón de cambio instantáneo de la función en x .
lím
∆x →0
O bien:
lím
x2 → x1
∆y ∆x
f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1
La que corresponde, a la Ecuación 2.1 que representa la pendiente de la recta tangente a la función. Una definición más general de la derivada sería entonces: La derivada es la razón de cambio instantánea de una función en un intervalo.
2.2.
REGLAS DE DERIVACIÓN.
Existen reglas que nos permiten encontrar la derivada de una función de una manera más práctica las cuáles están basadas en la definición formal mediante límites, pero tiene la desventaja de que es muy laborioso y en algunas ocasiones difícil de aplicar. Algunas de estas reglas son:
2.2.1. REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS.
1.- Regla de la función constante.
= c , donde "c" es una constante, entonces: f ´(x) = 0
Si f ( x )
Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) f ( x) = 5
f ´(x) = 0 2) f ( x)
=−
f ´(x) = 0
68
7 8
Las razones de cambio y la derivada
2.- Regla de una constante por la función identidad:
= c x entonces: f ´(x) = c
Si f ( x )
Ejemplos: calcular la derivada de las siguientes funciones:
= 4 x entonces: f ´(x) = 4
1) f ( x)
5 = − x entonces: 3 5 g´(x) = − 3 3) f ( x) = x entonces: f ´(x) = 1
2) g ( x )
3.- Regla de la función potencia:
= cx n , entonces: f ´(x) = (c)(n) x n −1
Si f ( x )
Ejemplo: 1) f ( x ) = x
2
f ´(x) = 2 x 2−1 = 2 x
1 1 −3 si recuerdas 3 = 1x , entonces: 3 x x −3−1 −4 f ´(x) = −3 x = −3x o bien: 3 f ´(x) = − 4 x
2) f ( x)
=
69
Cálculo Diferencial e Integral I
1
3) f ( x ) =
x que la podemos representar:
f ( x) = x 2
1
1 −1 f ´(x) = x 2 y restando los exponentes quedaría 2 1 1 − f ´(x) = x 2 o bien 2 1 f ´(x) = 2 x = −5 x 3 entonces: f ´(x) = (−5)(3) x 3−1 = −15 x 2
4) f ( x )
5) f ( x ) = 3
5
2 5
x , es decir f ( x) = 3x entonces: 2
2
3
6 2 −1 6 − f ´(x) = (3) x 5 = x 5 = 5 5 5 5 x3 4.- Regla de la suma o diferencia de funciones:
f ( x) = g ( x) ± h( x) entonces: f ´(x) = g´(x) ± h´(x)
Si
Es decir, la derivada de una suma es la suma de las derivadas; o bien, la derivada de una resta es la resta de las derivadas. Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1)
f ( x) = 4 x + 6 entonces: f ´(x) = 4 + 0 = 4
2)
g ( x) = −2 x 4 + 8 x − 7 entonces: g´(x) = −8 x 3 + 8
3)
h( x ) = 3 x 5 −
2 4 5 + x + 10 para este tipo de ejercicio, primero hay que x4
preparar la función para que podamos derivar cada uno de sus términos, es decir: 5
h( x ) = 3 x 5 −
2 4 5 + x + 10 = 3x 5 − 2 x −4 + x 4 + 10 , entonces: 4 x
h´(x) = 15 x + 8 x 4
70
−5
1
5 8 5 + x 4 = 15 x 4 + 5 + 4 x 4 4 x
Las razones de cambio y la derivada
Individual: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1)
f ( x) = 3 x 3 − 5 x + 7
2)
g ( x) = −4 x 5 + 7 x −2 + 8 x − 9
3)
h( x ) = x 5
EJERCICIO 4
1
4)
f ( x) = 6 x 2 + 4 x 4 − 9 x + 3
5)
g ( x) = 7 x 2 + 5 x − 1
1 2 3 4 + 2 − 3+ 4 x x x x 3 7) T ( x ) = −5 5 x7 x 3 − 3x 2 + 5 x − 7 8) Q ( x ) = x2 9) f (x ) = π 6 5 4 3 2 10) h( x) = 5 x − 4 x + 9 x − 2 x + 7 x − x + 2 6)
M ( x) =
TAREA 4
Página 91.
71
Cálculo Diferencial e Integral I
5.-Regla del producto de funciones.
f ( x) = g ( x) h( x) entonces:
Si
f ´(x) = g ( x) h´(x) + h( x) g´(x)
Escrito en palabras: La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera.
Ejemplos: 1)
f ( x) = (3x 2 − 5)(5 x 3 + 3) entonces:
f ´(x) = (3x 2 − 5)(10 x 2 ) + (5 x 3 + 3)(6 x ) o bien: f ´(x) = 30 x 4 − 50 x 2 + 30 x 4 + 18 x , si sumamos los términos semejantes, obtenemos:
f ´(x) = 60 x 4 − 50 x 2 + 18 x
2)
f ( x) = (x 5 − 2 x + 5)(x 3 + 9 ) entonces:
f ´(x) = (x 5 − 2 x + 5)(3x 2 ) + (x 3 + 9 )(5 x 4 − 2 ) o bien: f ´(x) = 3 x 7 − 6 x 3 + 15 x 2 + 5 x 7 − 2 x 3 + 45 x 4 − 18 , si sumamos los términos semejantes, obtenemos:
f ´(x) = 8 x 7 + 45 x 4 − 8 x 3 + 15 x 2 − 18 Hay ocasiones que es mucho más práctico multiplicar primero y después derivar, por ejemplo:
(
)(
)
1) f ( x) = x − 5 x + 5 Como puedes darte cuenta, tenemos un producto de binomios conjugados. Si recuerdas, el resultado de la multiplicación es una diferencia de cuadrados, es decir f ( x) la podemos expresar de la siguiente manera: 2
2
f ( x) = x 4 − 25 de tal manera que: f ´(x) = 4 x 3
72
Las razones de cambio y la derivada
6.- Regla del cociente de funciones.
Si
g ( x) con h( x) ≠ 0 entonces: h( x )
f ( x) =
f ´(x) =
h( x) g´(x) − g ( x) h´(x)
[h( x)]2
Escrito en palabras: La derivada del cociente de funciones es igual a la de abajo por la derivada de la de arriba menos la de arriba por la derivada de la de abajo todo sobre la de abajo elevada al cuadrado. Ejemplo:
x3 − 5 1) f ( x) = 3x 2 + 7
(3x f ´(x) =
2
)( ) ( (3x + 7)
f ´(x) =
2
2
obtenemos:
f ´(x) =
)
+ 7 3 x 2 − x 3 − 5 (6 x )
9 x 4 + 21x 2 − 6 x 4 + 30 x
(3x
2
+7
)
2
,
si
eliminamos
paréntesis
, sumando términos semejantes tenemos:
3 x 4 + 21x 2 + 30 x
(3x
2
+7
)
2
Al igual que en el caso de la multiplicación, hay ocasiones que es mucho más práctico dividir primero y después derivar, por ejemplo: 1)
f ( x) =
x 2 − 36 como puedes observar tenemos una diferencia de x+6
cuadrados que podemos factorizar como el producto de binomios conjugados, de tal manera que la función f (x ) podemos expresarla de la siguiente manera:
f ( x) =
( x − 6)( x + 6) o bien, x+6
f ( x) = x − 6 , entonces: f ´(x) = 1
73
Cálculo Diferencial e Integral I
EJERCICIO 5
En equipo de cuatro, deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus resultados con los de tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
f ( x) = (3 x + 6)(5 x 4 ) 3 2) f ( x) = ( −6 x − 3 x )(4 x − 8) 2 4 3) f ( x) = ( 4 x + 5 x)( x − 3 x + 1) 1)
(
)(
)
f ( x) = 1 + x 1 − x 2 4 2 5) h( x) = (x − 3)(x + 3 x + 9 )
4)
5x 3 + 3 5x 3x 2 − 5 x 7) f ( x) = 6x + 2 8 x 3 + 27 8) M ( x ) = 4x 2 − 6x + 9 x −1 9) g ( x ) = 1+ x x 2 − 6 x − 27 10) G ( x ) = x 2 − 81 6)
TAREA 5
Página 93.
74
f ( x) =
Las razones de cambio y la derivada
2.2.2. REGLA DE LA CADENA 7.- Teorema de la regla de la cadena.
f ( x) = ( g o h)( x) es decir, f ( x) = g (h( x)) entonces: f ´(x) = g´(h( x))h´(x)
Si
Antes de ejemplificar ejercicios donde se utilice la regla de la cadena para derivar, es necesario que veamos unos ejemplos donde puedas encontrar la función composición: Ejemplos: 1)
Sean
f ( x) = x + 3x − 5, 2
g ( x) = x − 2 ,
y
h( x ) = 4 x + 7 ,
entonces:
( f o g )( x) = f ( g ( x)) = ( g ( x)) 2 + 3( g ( x)) − 5 = ( x − 2 ) 2 + 3( x − 2 ) − 5 = = x−2+3 x−2 −5 = = x+3 x−2 −7 Como puedes darte cuenta, para encontrar la función composición ( f o g )( x) lo que tuvimos que hacer fue sustituir la función g (x) donde
aparece la variable x en la función
f ( x) . Si encuentras la función
( g o f )( x) te darás cuenta que no es la misma que la función composición ( f o g )( x ) , veámoslo: composición
( g o f )( x) = g ( f ( x)) =
TAREA 6
f ( x) − 2 = x + 3 x − 5 − 2 = x + 3x − 7 2
2
Puedes observa que:
( f o g )( x) = x + 3 x − 2 − 7
obviamente no son iguales.
Página 95. y
( g o f )( x) = x 2 + 3 x − 7
que
EJERCICIO 6 Con las funciones señaladas en el ejemplo anterior, encuentra: 1) ( f o h)( x)
(h o g )( x) 3) ( g o h)( x ) 4) ( h o f )( x) 2)
75
Cálculo Diferencial e Integral I
Para aplicar el teorema de la regla de la cadena en la derivación de funciones composición, primero resolveremos un ejemplo haciendo una separación de las funciones: Sea
f ( x) = ( g o h)( x) donde g ( x) = x 3 y h( x) = x 2 + 9 , entonces:
f ( x) = (x 2 + 9) Para calcular f ´(x) utilizando la regla de la cadena que como anteriormente lo mencionamos está dada por 1. f ´(x) = g´(h( x))h´(x) 3
Tenemos que calcular:
g´(x) = 3 x 2 g´(h( x)) = 3(h( x)) 2 = 3( x 2 + 9) 2 h´(x) = 2 x Si sustituimos estos resultados en: f ´(x) = g´(h( x))h´(x) , obtenemos:
f ´(x) = g´(h( x))h´(x) = f ´(x) = 3( x 2 + 9) 2 (2 x) Si comparamos el ejercicio original con el resultado que obtuvimos al derivar, se observa lo siguiente:
f ( x) = (x 2 + 9)
3
f ´(x) = 3( x 2 + 9) 2 (2 x)
Puedes darte cuenta de que lo que sucedió fue que el exponente 3 lo
( x 2 + 9) y se le restó 1 al exponente para que nos quedara el 2; y el resultado de esto se multiplicó por 2 x que corresponde a bajamos multiplicando a
la derivada de lo que aparece dentro del paréntesis. Esto último es lo que estaremos aplicando para hallar la derivada de una función composición utilizando la regla de la cadena. Resolvamos algunos ejemplos: Ejemplos: Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1)
2)
f ( x) = (3x 5 − 9) entonces: f ´(x) = 6(3x 5 − 9) 5 (15 x 4 ) = 90 x 4 (3x 5 − 9) 5 6
f ( x) = 8(7 x 3 − 3x 2 + 6) entonces: 9
f ´(x) = 72(7 x 3 − 3 x 2 + 6) (21x 2 − 6 x) = (1512 x 2 − 432 x)(7 x 3 − 3x 2 + 6) 8
3) f ( x ) =
4
8
7 4
(3x − 8) = (3 x − 8) entonces: 4
7
3
4
7 f ( x) = (3x 4 − 8) 4 (12 x 3 ) = 21x 3 4 (3x 4 − 8) 3 4
76
Las razones de cambio y la derivada
I. En equipo de cuatro personas deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
EJERCICIO 7
F ( x) = (2 x 2 + 8) 5 3 7 2) F ( x ) = ( −5 x + 6) 4 3 3) F ( x ) = ( − x − 3 x )
1)
4)
f ( x) = 4 (5 x − 3) 5
5)
f ( x) = 4 x 3 + 6
II. Con el apoyo de tu profesor(a), deriva las siguientes funciones utilizando las diferentes reglas de derivación. 1)
F ( x) = ( x 2 + 1) 5 ( x 3 − 7) 4
2)
F ( x) = (− x 3 + 6) 7 (6 + x 3 ) 7
3)
F ( x) =
(3x + 2) 5 ( x 2 − 5) 3
4)
F ( x) =
( x 2 − 3x − 40) 5 ( x − 8) 5
5)
f ( x) = ( 4 x 3 + 6 )(3 x − 3 )
6)
x −2 g ( x) = x +5
7)
M ( x) = ( x − 5)( x 4 + 2)
8)
Q( x) = 4
2+ x x2 − 5
9)
G ( x) =
x−9 x +1
8
TAREA 7
10) L( x ) = ( x − 5 )( x + 3 ) 7
3
7
2
Páginas 97.
77
Cálculo Diferencial e Integral I
2.2.3. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TEOREMAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS. 1.Si f ( x ) = Sen( g ( x )) entonces:
f ´(x) = g´(x)Cos ( g ( x)) 2.Si
f ( x) = Cos( g ( x)) entonces: f ´(x) = − g´(x) Sen( g ( x))
3 Si f ( x ) = Tan( g ( x )) entonces:
f ´(x) = g´(x) Sec 2 ( g ( x)) 4.Si f ( x ) = Cot ( g ( x )) entonces:
f ´(x) = − g´(x)Csc 2 ( g ( x)) 5.Si f ( x ) = Sec( g ( x )) entonces:
f ´(x) = g´(x) Sec( g ( x))Tan( g ( x)) 6.Si f ( x ) = Csc ( g ( x )) entonces:
f ´(x) = − g´(x)Csc( g ( x))Cot ( g ( x))
78
Las razones de cambio y la derivada
Ejemplos: Encuentra trigonométricas.
la
derivada
de
las
siguientes
funciones
1) f ( x ) = Sen( x ) , entonces: 2
f ´(x) = 2 xCos( x 2 ) 2) g ( x ) = Cos (3 x − 2 x + 1) , entonces: 5
g´(x) = −(15 x 4 − 2) Sen(3 x 5 − 2 x + 1) 1
3) h( x) = Tan( x ) = Tan( x 2 ) , entonces: 1
h´(x) =
1 −2 1 x Sec 2 ( x ) = Sec 2 ( x ) 2 2 x
4) M ( x ) = Cot ( 2 x − 5) , entonces: 3
M ´(x) = −3(2 x − 5) 2 (2) Csc 2 (2 x − 5) = −6(2 x − 5) 2 Csc 2 (2 x − 5) x +3 , entonces: x −2
5) H ( x) = Sec
( x − 2)(1) − ( x + 3)(1) x +3 x +3 H ´(x) = Tan Sec 2 ( x − 2) x −2 x−2 x − 2 − x − 3 x +3 x +3 H ´(x) = Tan Sec 2 x −2 x−2 ( x − 2) −5 x +3 x +3 H ´(x) = Sec Tan 2 x −2 x −2 ( x − 2) 6) T ( x ) = Csc ( 3 x − 7 )
T ( x) = Csc (3x − 7)
1 2
1
− 1 T ´(x) = − (3 x − 7) 2 (3) Csc ( 3x − 7 ) Cot ( 3x − 7 ) 2 1
− 3 T ´(x) = − (3 x − 7) 2 Csc ( 3x − 7 ) Cot ( 3x − 7 ) 2
T ´(x) = −
3 Csc ( 3 x − 7 ) Cot ( 3x − 7 ) 2 3x − 7 79
Cálculo Diferencial e Integral I
EJERCICIO 8
Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1.- f ( x ) =
sen( x) x
2.- f ( x ) = sen(5 x ) − tan(2 x ) 3.- f ( x ) = tan( x ) 2
4.- f ( x ) = tan ( x ) 2
5.- f ( x ) = cot(1 − 2 x ) 2
6.- f ( x ) = sec (6 x + 3) 6
7.- h( x) = Cos ( x − 2 ) 8.- L( x ) = Sec(6 x + 3)
6
x2 − 4 9.- Q ( x ) = Csc x+2 10.- f ( x ) = Sen (5 x − 8 ) + Cos (5 x − 8 ) 2
11.- g ( x ) =
2
Cos ( x) Sen( x)
1 Cot ( x) 3 2 13.- G ( x ) = Sen(3 x − 2 x + 8 x − 9) 12.- T ( x) =
1 x x 15.- g ( x) = Sen( x) 2 2 16.- K ( x ) = Cos (5 x + 3) Sec(5 x + 3) 1 17.- F ( x) = Cos 2 ( x)
14.- f ( x ) = Cos
TAREA 8
18.- f ( x ) = ( 4 x )Tan (3 x − 2) 3
Páginas 99.
x −1 tan( x) 5 3 20.- M ( x) = Sen( x ) Cos ( x )
19.- h( x) =
80
Las razones de cambio y la derivada
2.2.4. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. Derivada de la función exponencial. Si f ( x ) = e
g ( x)
, entonces:
f ´(x) = g´(x) e g ( x )
Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales. 1)
2)
f ( x ) = e ( 5 x + 3) f ´(x) = 5e ( 5 x +3) f ( x) = e Cos ( 4 x ) f ´(x) = −4 Sen(4 x)e Cos ( 4 x )
3)
h( x ) = e
x −5 x+2
( x + 2)(1) − ( x − 5)(1) xx+−52 x + 2 − x + 5 xx+−52 7 xx+−52 = e = h´(x) = e e 2 2 ( x + 2) 2 ( x + 2) ( x + 2) Derivada de la función logaritmo natural. Si f ( x ) = Ln ( g ( x )) , entonces:
f ´(x) =
g´(x) g ( x)
con
g ( x) ≠ 0
Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones.
f ( x) = Ln( x 4 − 3 x 2 + 6) 1)
f ´(x) =
4x3 − 6x x 4 − 3x 2 + 6
g ( x) = 3Ln( Sen( x 3 + 1)) 2)
g´(x) =
3(3x 2 )Cos ( x 3 + 1) 9 x 2 Cos ( x 3 + 1) = = 9 x 2 Cot ( x 3 + 1) 3 3 Sen( x + 1) Sen( x + 1) 81
Cálculo Diferencial e Integral I
Hay ocasiones en las cuales es conveniente aplicar las leyes de los logaritmos, antes de derivar, porque al hacerlo se facilita el cálculo de la derivada. Estas leyes las viste en el curso de Matemáticas 4, pero si no las recuerdas te las volvemos a presentar: Leyes de Logaritmos:
1) Ln[( A)( B)] = Ln( A) + Ln( B) A 2) Ln = Ln( A) − Ln( B) B 3) Ln( A n ) = n Ln( A) 4) Ln
n
1 A = Ln( A) n
Veamos un ejemplo donde, al aplicar estas leyes, se facilita el cálculo de la derivada: EJEMPLOS: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 7
1)
x4 + 5 si observas la función, para derivarla sería f ( x) = Ln 3 x −1
necesario aplicar primeramente la regla de la cadena, el teorema de la división y el teorema de la función logaritmo; sin embargo, si aplicamos las leyes de los logaritmos anteriormente mencionadas te darás cuenta que encontrar la derivada de la misma función se hará de una manera más fácil. Enseguida te la presentamos: 7
x4 + 5 Si aplicamos la ley #3 tenemos: f ( x) = Ln 3 x −1 x4 + 5 ahora si aplicamos la ley #2 se tiene: f ( x) = 7 Ln 3 x − 1
[
]
f ( x) = 7 Ln( x 4 + 5) − Ln( x 3 − 1) si por último derivamos se obtiene: 4x3 3x 2 − 3 o bien si simplificamos: f ´(x) = 7 4 x + 5 x − 1 (4 x 3 )( x 3 − 1) − (3x 2 )( x 4 + 5) 4 x 6 − 4 x 3 − 3x 6 − 15 x 2 f ´(x) = 7 = 7 ( x 4 + 5)( x 3 − 1) ( x 4 + 5)( x 3 − 1)
x 6 − 4 x 3 − 15 x 2 7 x 6 − 28 x 3 − 105 x 2 f ´(x) = 7 4 = 3 ( x 4 + 5)( x 3 − 1) ( x + 5)( x − 1)
82
Las razones de cambio y la derivada
Encuentra la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logaritmicas y preséntalas a tu profesor para su revisión:
EJERCICIO 9
1
1.- f ( x ) = e 3.-
Sen ( x )
g ( x) = e
f ( x) = e
2.-
4.- M ( x) = e
x
2 x+4
5.-
h( x ) = e x
6.- L( x ) = e
−2
(
3 x 2 − 2 x +5
(
Sen 2 ( x )
7.- F ( x) = e 9.- T ( x ) = e 11.-
5
)(e
)(e
x 2 + 5 x −1
Cos 2 ( x )
)
8.-
)
[
( x 4 −5 )( x 7 +1)
( 5 x 2 − 3 x +1) 9
e 4 x+7 e 2 x −5
10.- G ( x ) = e
f ( x) = Ln( x 3 )
13.- f ( x ) = Ln ( x + 6)( x − 2)
g ( x) =
x2
12.-
]
Ln ( x 2 + x −1) 5
1 g ( x) = Ln x 3x 2 − 1
14.- M ( x ) = Ln 2x + 5
15.-
H ( x) = Ln(4 x 3 + 2 x + 5)
16.-
f ( x) = Ln[Cos ( x 2 − 5)]
17.-
1 h( x) = Ln x
18.-
G ( x) = Ln 3 (3x 5 − 7) 5
7
( )
19.- h( x) = Ln e
x 2 +5
[
]
Ln( x 3 ) 20.- T ( x) = Ln( x 2 )
TAREA 9
Página 101.
¡Ojo! Recuerda que debes resolver la auto evaluación y los ejercicios de reforzamiento; esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.
83
Cálculo Diferencial e Integral I
84
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 1
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros. I.
Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:
1) f ( x) = x 2 + 2 x + 3 en x = 0 2) f ( x) = x en x = 1 3) f ( x) = 3x 2 − 6 x + 4 en x = 0 4) g ( x) = 2 x + 1 en x = −2 5) h( x) = − x 2 + 2 en x = −1 1 6) f ( x) = 2 x 2 en x = 2 7) f ( x) = x − 2 en x = 6 II.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:
1) f ( x) = x 2 − 1 en x = 2 2) f ( x) = x − 2 en x = 3 3) f ( x) = − x 2 + 1 en x = −1 4) f ( x) = x 2 + 4 x + 3 en x = 0 5) f ( x) = x 3 III.
en x = 11
Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas correspondientes (Función y Recta tangente) de los siguientes ejercicios:
1 2 x en x = 2 2 2) f ( x) = − x 2 + 3 en x = −1
1) f ( x) =
3) f ( x) = x + 2 en x = −1
85
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
86
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 2
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la (Ecuación 2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros. 1)
f ( x) = 2 x − 5
3) f ( x ) = − x
2
5) f ( x ) = x − x 2
7) f ( x ) = 3 x − x + 5 2
9) f ( x ) = − x
3
1 x2 x 13) f ( x ) = x −3
11) f ( x ) = −
15) f ( x ) =
4 x+2 3 3− x 4) f ( x ) = 5 2) f ( x ) =
6) f ( x ) = 5 x
2
3 2 1 5 x − x+ 2 3 4 1 10) f ( x ) = x −5 2 12) f ( x ) = 3x + 5 1 14) f ( x ) = 2 x +1 8) f ( x ) =
x+2
87
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
88
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 3
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus compañeros. 1.- Determina la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan.
x ∈ [− 1, 1 ] b) y = 2 x + 3 , para x ∈ [0, 4] a) y = x , para 2
[
]
c) y = x − 4 x + 5 , x ∈ 1, 1.5 2
[
d) y = x + 2 x , x ∈ − 2, 0 2
]
2.- Hallar ∆y , dado que y y = x − 3 x + 5 , y ∆x = 0.001. ¿Cuál es el valor de “ y ” cuando x = 4.9? 2
3.- Resuelve los siguientes problemas. a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 2.1 pulgadas. Recordar que:
4 V = π r3 3 b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son: 0, 39, 65, 88, 107, 124, 138, 148 y 155. c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,155] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no. e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando? f) Realiza la gráfica.
89
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
90
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 4
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados con tus compañeros. . 1) f ( x ) = 5 x − x + 2 6
2) g ( x ) = −5 x + 3 x 3
3) h( x) =
5
−4
+ x − 11
x7 1 8
4) f ( x ) = 7 x + 8 x − 9 x + 1 5
5)
g ( x) = 3 x 5 + 7 x − 2
1 2 3 4 + 4 − 3+ 2 5 x x x x 1 7) T ( x ) = +3 8 x9 x 3 − 3x 2 + 5 x − 7 8) Q ( x ) = x5
6) M ( x) =
9) f ( x ) = e 10) h( x) = 6 x + 4 x − 9 x + 2 x − 7 x + x + 10 5
5
4
3
2
91
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
92
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 5
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus resultados con los de tus compañeros. 1)
f ( x) = (8 x + 4)(4 x 5 )
2)
f ( x) = ( x 3 − 2 x)(5 x − 7)
3)
f ( x) = (4 x 2 + 5 x + 9)( x 4 − x + 10)
4)
f ( x) = 1 + 3 x 1 − 3 x
5)
h( x ) = x 2 + 3 x 4 − 3 x 2 + 9
6)
3x 5 + 5 f ( x) = 3x
7)
2x 2 − 7 x f ( x) = 3x − 2
8)
M ( x) =
9)
g ( x) =
x +1 1− x
10)
G ( x) =
x 2 − 6 x − 27 x2 − 9
(
)(
(
)(
) )
8 x 3 − 27 4x 2 + 6x + 9
93
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
94
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 6
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Dadas las siguientes funciones, encuentra la función composición señalada en cada uno de los siguientes ejercicios y coteja tus resultados con los de tus compañeros.
f ( x) = 2 x + 9
g ( x) = x 2 − x + 3
h( x ) = x + 5
M ( x) = x 3
T ( x) = 10
Hallar:
1) ( f o g )( x) = 2) ( f o h)( x) = 3) ( f o M )( x) = 4) ( f o g )( x) = 5) ( f o T )( x) = 6) ( g o h)( x) =
7) ( g o M )( x) = 8) ( g o T )( x) = 9) (h o M )( x) = 10) (h o T )( x) = 11) ( M o T )( x) = 12) ( f o f )( x) = 13) ( g o f )( x) = 14) ( M o g )( x) = 15) (T o M )( x) =
95
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
96
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 7
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: I. Deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1)
F ( x) = (3 x 2 + 1) 5
2)
F ( x) = (−2 x 4 + 9) 6
3)
F ( x) = (−2 x 3 − x) 2
4)
f ( x) = 9 (3 x − 2)10
5)
f ( x) = x 3 + 2
6)
G ( x) =
7)
M ( x) = −
8)
h( x ) =
9)
f ( x) = (3x 2 − 9 x + 1) 8
10) g ( x) =
1 ( x − 2 x + 5) 4 2
2 x −1 1
3
( x + 4) 5 3
1 x −x+7 2
97
Cálculo Diferencial e Integral I
II. Con el apoyo de tu profesor (a), deriva las siguientes funciones utilizando las diferentes reglas de derivación. 11) F ( x) = (1 − x ) (7 + x ) 2 5
3 4
12) F ( x ) = ( −4 x + 9) (9 + 4 x ) 3
5
3 5
(5 x + 1) 5 13) F ( x ) = ( x 9 − 4) 3 ( x 2 − 3 x − 40) 5 14) F ( x ) = ( x + 5) 5 15) f ( x ) = ( x − 4 )(3 2 x + 3 ) 5
3
x −1 16) g ( x ) = x+7
5
17) M ( x) =
( x + 5)( x 3 + 1)
18) Q ( x ) =
1+ x x3 − 6
5
x+9 x −1
19) G ( x ) =
20) L( x ) = ( x − 5 )( x + 5 ) 9
2
9
2
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
98
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 8
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1.- f ( x ) = 2.3.4.5.6.-
Cos ( x) x
f ( x) = Cos(5 x) − Cot (2 x) f ( x) = Cot ( x 2 ) f ( x) = Sec 2 ( x) f ( x) = Tan(1 − 2 x 2 ) f ( x) = Sen 6 (6 x + 3)
7.- h( x ) = Csc ( x − 2 ) 8.- L( x) = Sen(6 x + 3)
6
x2 − 4 x+2
9.- Q ( x ) = Cos
10.- f ( x ) = Sen (5 x − 8 ) 2
11.- g ( x ) =
Sen( x) Cos ( x)
12.- T ( x ) =
1 Tan( x)
10
+ Cos 2 (5 x − 8 )10
99
Cálculo Diferencial e Integral I
13.- G ( x ) = Cos (3 x − 2 x + 8 x − 9) 3
2
1 x x 15.- g ( x ) = Cos ( x)
14.- f ( x ) = Sen
16.- K ( x ) = Csc (5 x + 3) Sen(5 x + 3) 2
17.- F ( x ) =
2
1 Sen 2 ( x)
18.- f ( x ) = ( 4 x )Cot ( x − 2) 3
19.- h( x) =
x −1 Cot ( x)
20.- M ( x) = Sec( x ) Csc ( x ) 5
3
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
100
Las razones de cambio y la derivada
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 9
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Hallar la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logaritmicas y presentalas a tu profesor para su revisión: 1
1.- f ( x ) = e
2.- f ( x) = e
Cos ( x )
x5
3.- g ( x) = e
4.- M ( x) = e
5 x +9
5.- h( x) = e x
8
6.- L( x) = e
−3
(
2 x 2 − x +3
(
Sen 2 ( 5 x +1)
7.- F ( x ) = e 9.- T ( x ) = e
x10
)(e
x 2 + 4 x −1
)(e
)
8.- g ( x) =
Cos 2 ( 5 x +1)
[
13.- f ( x ) = Ln ( x + 10)( x − 1)
2
e 3 x +1 e x−2
10.- G ( x ) = e
Ln ( x 2 + 2 x −11) 6
1 11 x
7
(
( 2 x 2 + 2 x −1)10
12.- g ( x ) = Ln
11.- f ( x ) = Ln( x )
15.- H ( x ) = Ln 6 x + 5 x + 8
)
( x 6 −1)( x 9 + 3)
)
]
4
2x 2 + 1
14.- M ( x ) = Ln x+5 16.- f ( x ) = Ln[Cos ( x − 6)] 7
101
Cálculo Diferencial e Integral I
[
1 2 x
18.- G ( x ) = Ln 5 (8 x − 9)
( )
20.- T ( x ) =
17.- h( x) = Ln
19.- h( x) = Ln e
x5 +3
5
Ln( x 2 ) Ln( x 3 )
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
102
6
]
Las razones de cambio y la derivada
Nombre _________________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta. 1. La interpretación geométrica de la derivada de una función es: La pendiente de la recta secante a la función. La pendiente de la recta tangente a la función. Es límite de la función cuando x permanece constante. La gráfica de la función. 2. El valor de la pendiente de la recta tangente a la función
f ( x) = 3 x 2 − 2 x + 5 en x = 1 es: mt = 4 mt = 6 mt = No existe mt = 0 3. La derivada de una función constante es igual a: La misma constante. No existe. Cero. Uno 4. Si f ( x ) = g ( x ) h( x ) entonces el valor de su derivada es:
f ´(x) = g ( x)h´(x) + h( x) g´(x) f ´(x) = g ( x)h´(x) − h( x) g´(x) f ´(x) = g´(x)h´(x) g ( x)h´(x) − h( x) g´(x) f ´(x) = [g ( x)]2
5. Si f ( x ) =
1 3
, entonces, f ´(x) es igual a:
x4
f ´(x) = x
f ´(x) = −
f ´(x) =
f ´(x) = −
4 3
−
4 3
4 x 3 3
x 4
3 x7 3
103
Cálculo Diferencial e Integral I
6. La derivada de f ( x ) = ( x + 3) es: 3
f ´(x ) = 15 x ( x + 3)
4
f ´(x ) = 15 x ( x + 3)
5
f ´(x ) = 15 x ( x + 3)
4
2
3
2
3
3
5
f ´(x) = 5(3 x )
2 4
7. La derivada de la función
f ( x) = Cos( x) es:
= 1 Cos( x) f ´(x ) = − Sen( x ) f ´(x) = Sen( x) f ´(x) = − Sen( x) Cos ( x) f ´(x)
8. Es el valor de la derivada de
f ( x) = Ln( x)
= Ln( x) 1 f ´(x ) = − x 1 f ´(x) = x f ´(x) = − Ln( x) f ´(x)
9. La razón de cambio promedio de la función f ( x ) = x − 1 en el 2
[
]
intervalo 0, 2 es: 2 1 –1 – 2 10. El resultado de derivar la función f ( x ) = e 3
f ´(x ) = e
x
f ´(x) = e
3x2
f ´(x) = 3 x e
3x2
f ´(x) = 3 x e
x3
2
2
104
x3
es:
Las razones de cambio y la derivada
Nombre _________________________________________________________
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión. I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada en el punto dado:
1) f ( x) = − x 2 + 2 2) h ( x ) = 2 x 3) M ( x) =
en x = 1 en
x=4
1 en x = 2 x−3
II. Hallar y graficar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado: 1) f ( x ) = x − 4 x + 7 en x = 1 2
2) f ( x ) = −
en x = 4
x
III. Hallar la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en el intervalo dado:
[
1) f ( x ) = x + 2 x − 3 si x ∈ − 2, 0 2
]
1 1 10 x + 1 si x ∈ , 2 2 3 2 3) f ( x ) = 3 x + 6 x − 1 si x ∈ [− 2, 1]
2) f ( x ) =
IV. Calcula la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla según le corresponda. 1) f ( x ) = ( −2 x + 3 x − 6) 3
3)
f ( x) =
2) f ( x ) = ( 4 x − 3 x )(7 x − 2)
5
3
− 6x 4 + 9x 5x 2 + 3
4) f ( x ) = 5 (4 x − 5) 3
3x ) 5 2 8) f ( x ) = Csc ( 2 x + 1)
5) f ( x ) = Sec ( 2 x − 4)
6) f ( x ) = Cot (
2
7) f ( x ) = Tan (8 x − 2) 2
4
9) f ( x ) = Sen ( 5 x ) + Cos ( 5 x ) 2
2
11) f ( x ) = (Tan x )( Sec x) 2
13) f ( x ) =
3
Cos (3x)
3
2
10) f ( x ) = Cot (6 x − 2) 3
Cosx x 14) f ( x ) = ln( Sen( 2 x )) 12) f ( x ) =
15) f ( x ) = ln(3 x − 9)
16) f ( x ) = x ln x
17) f ( x ) = e
18) f ( x ) = e
Csc 3 x
3
8 x 3 −3 x + 6
105
Cálculo Diferencial e Integral I
19) f ( x ) = 5 x − x + 2
20) f ( x ) =
106
3 5 + x− −2 2 5 x x4
1 x + x − x+3 3
2
U n id a d 3
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones Objetivo: El alumno: Calculará los valores máximos y mínimos relativos de una función mediante la aplicación de los criterios de la primera y segunda derivada, analizando los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de puntos de inflexión, para su graficado y solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de cooperación.
Organizador anticipado: El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias de ingeniería, ciencias naturales, económico-administrativas y sociales. En esta unidad se verá como utilizar la derivada para resolver problemas de la vida diaria. La mayor parte de los problemas de las ciencias sociales son propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aún, la computadora, exacta y rápida para manejar cantidades discretas. Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos primero en curvas continuas? Por esta razón los invito a ver el contenido de esta Unidad.
Temario: ¾ ¾ ¾
Aplicaciones de la primera derivada. Concavidad. Aplicaciones de la derivada.
Cálculo Diferencial e Integral I
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVOS Y SUS APLICACIONES
APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA
108
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
3 . 1.
APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA.
3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera derivada. A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, problemas de esta naturaleza pueden formularse, de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema, que es lo que se verá en esta unidad. Supongamos entonces que nos dan una función
f y un dominio S como en la
Figura 1. Nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un mínimo en el dominio S . Suponiendo que tales valores existen, queremos determinar los valores máximos y mínimos.
Isaac Newton 1642-1727 Descubrió el Teorema del binomio, los elementos de Cálculo tanto Diferencial como Integral, la Teoría del color y la Ley Universal de la Gravitación.
y Y=f(x)
S
x
Figura 1
Definición: Sea c un punto en el dominio S de la función f . Decimos que: a) f (c ) es el valor máximo de f en S si: f (c ) ≥ f ( x ) Para toda “ x ” que pertenezca a S . b) f (c) es el valor mínimo de f en S si: f (c ) ≤ f ( x ) Para toda “ x ” que pertenezca a S . c) f (c) es el valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo. Para la cuestión de existencia ¿tiene f un máximo o un mínimo en S ?, la respuesta depende, antes que todo, del dominio; esto es, del conjunto S .
109
Cálculo Diferencial e Integral I
Veremos algunos teoremas que responde a las pregunta para algunos de los problemas que se presenten en la práctica. Recuerda que un intervalo sea cerrado, significa que contiene a los extremos. Por ejemplo el intervalo cerrado [2,5] incluye todos los números que van del 2 al 5, incluyendo a ambos.
TEOREMA DE EXISTENCIA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS: Si f es continua en un intervalo cerrado a, b , entonces f tiene allí un valor máximo y un mínimo.
[ ]
Fíjate bien que para que exista un punto máximo o un mínimo se requiere que
f
sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado. TEOREMA DEL PUNTO CRÍTICO: Sea
f definida en un intervalo I que contiene al punto c . Si f (c ) es un valor extremo, entonces c debe ser
un punto crítico; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos: a) Un punto frontera de I . b) Un punto estacionario de f ( f ´(c) = 0) . c) Un punto singular de f en el que f ´(c ) no existe.
Máx.
Máx.
Min.
Min.
Puntos estacionarios
Puntos frontera Máx.
mín
Puntos singulares.
Si observas bien, los puntos frontera son los extremos del intervalo, o lo que es lo mismo, los extremos de la función en el dominio considerado. Los puntos estacionarios son los puntos donde la función cambia de dirección, es decir, son los puntos de inflexión donde la función sube o baja. Por último los puntos singulares son los puntos donde la derivada de la función en ese valor c no existe. 110
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Esto último se ve representado en el corte que presenta la función, es decir, en la discontinuidad. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS: Sea f una función continua sobre un intervalo abierto (a, b) que contenga al punto crítico c . (i) Si f ´(x) > 0 para toda x del intervalo ( a, c) y f ´( x ) < 0 para toda x del intervalo (c, b) , entonces f (c ) es un máximo local (o relativo) de
f . (es decir: si f ´(x) cambia de positiva a negativa en c ). (ii) Si f ´(x) < 0 para toda x del intervalo ( a, c) y f ´( x ) > 0 para toda x del intervalo (c, b) , entonces f (c ) es un mínimo local (o relativo) de f . (es decir: si f ´(x) cambia de negativa a positiva en c ). (iii) Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de c , entonces f (c) no es un extremo local de f .
Los siguientes gráficos te darán una idea de lo que dicen los criterios anteriores. Máximo relativo en
Mínimo relativo en
En vista de los teoremas anteriores, podemos establecer ahora un procedimiento muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua f en un intervalo cerrado I .
111
Cálculo Diferencial e Integral I
Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función. Los valores extremos del Intervalo como son:
−
1 2
y
2
se
consideran puntos críticos sólo por ser puntos frontera de I . (Teorema del punto crítico).
⎡ 1 ⎤ f ( x) = −2 x 3 + 3 x 2 ; en el intervalo I = ⎢− ,2⎥ ⎣ 2 ⎦ Paso 1.- Encontramos los puntos críticos de f en I , para ello: a) Derivamos la función:
f ´(x) = −6 x 2 + 6 x b) E igualamos a cero la derivada f ´(x) , para obtener las raíces x1 , x2 ya que es de segundo grado. Recuerda que puedes resolver una ecuación de segundo grado por factorización, fórmula general o completando el Trinomio cuadrado perfecto. Resolviendo dicha ecuación cuadrática por factorización tenemos.
− 6x 2 + 6x = 0 6 x(−x + 1) = 0 Por lo tanto: 6x = 0 y
x1 = 0
− x +1 = 0
x2 = 1
Los puntos críticos son: −
1 ,0,1,2 2
Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo. a) En
x=−
1 tenemos: 2
f ( x ) = −2 x 3 + 3 x 2 f (−1 / 2) = −2(−1 / 2) 3 + 3(−1 / 2) 2
⇒
f (−1 / 2) =
f (−1 / 2) = 1 . b) En x1 = 0 tenemos:
f ( x) = −2 x 3 + 3 x 2 ⇒ f ( x) = −2(0) 3 + 3(0) 2 f ( 0) = 0 . c) En x2 = 2 tenemos:
f ( x) = −2 x 3 + 3 x 2 ⇒ f (2) = −2(2) 3 + 3(2) 2 f ( 2) = − 4 .
112
2 3 + ⇒ 8 4
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
d) En x = 1 tenemos:
f ( x ) = −2 x 3 + 3 x 2 ⇒ f (1) = 1 .
f (1) = −2(1) 3 + 3(1) 2
Acomodando los datos en una tabla, tenemos:
x
f (x)
-1/2
1
0
0
1
1
2
-4
El valor máximo es 1 y el valor mínimo es -4. la gráfica de la función
f ( x) = −2 x 3 + 3 x 2 es: 4
y = -2X^3+3X^2
3 2 1 −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 −2 −3 −4
Observa en la gráfica que efectivamente en el extremo derecho del intervalo, x = 2 , f (2) = −4 que es el valor mínimo que presenta la función en toda la curva. Por otro lado en x = − 1
2
y en x = 1 , f (− 1 ) = f (1) = 1 , que es el 2
máximo valor que alcanza la curva de la función, es decir, es el máximo valor de f .
Ejemplo 2.- Encuentra los valores máximos y mínimos de la siguiente función. f ( x) = x 2 + 3 x , en I = [− 2,1] Paso 1.- Encontramos los puntos críticos de a) Derivamos la función:
f en I .
f `( x) = 2 x + 3 b) Igualamos a cero f ´(x) para obtener la raíz x1 , en esta ocasión sólo f ( x) = x 2 + 3x
⇒
obtendremos una solución puesto que la ecuación es de primer grado.
113
Cálculo Diferencial e Integral I
Resolviendo la siguiente ecuación tenemos:
2x + 3 = 0 3 x1 = − 2 Los puntos críticos son:
3 − ,−2,1 2
Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo. a) En x = −
3 tenemos: 2
f ( x) = x 2 + 3x
9 ⇒ f (−3 / 2) = (−3 / 2) 2 + 3(−3 / 2) ⇒ f (−3 / 2) = − . 4
b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos, nuestra tabla de valores queda de la siguiente manera:
x
f (x)
-3/2 -2 1
-9/4 -2 4
El valor máximo es 4 y el valor mínimo es -9/4. 4
y = x^2+3x
y
3 2 1 x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1 −2 −3 −4
Esta es la grafica correspondiente a la función f ( x ) = x + 3 x 2
114
5
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
EJERCICIO 1
Identifica los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos, realiza la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones, compara los resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
I = [0,3] 3 3 b) f ( x ) = x − 3 x + 1 en I = (− ,3) 2 3 2 c) h(t ) = 4t + 3t − 6t + 1 en I = [− 2,1] a) f ( x ) = − x + 4 x 2
en
[
d) f ( x) = x + 3 en I = − 2,2 2
]
3.1.2. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada. Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares. La segunda derivada es una derivada de orden superior que consiste en volver a derivar la derivada de una función. La primer derivada la denotamos como f ' ( x ) ; para la segunda derivada utilizamos dos comillas,
f ' ' ( x) .
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sean f ´ y f ´´ dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo
(a, b) que contenga a c . Supóngase que f ´(x) = 0 . (i) f ´´(x) < 0, f (c ) es un máximo local de f . (ii) f ´´(x ) > 0, f (c ) es un mínimo local de f .
abierto
Ejemplo 1.- Para f ( x) = x 2 − 6 x + 5 , usa la prueba de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos. Paso 1.- Derivar la función.
f ( x) = x 2 − 6 x + 5 ⇒
f `( x) = 2 x − 6
Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar el valor de x1 , es decir, el valor donde se hace cero la ecuación lineal f `( x ) = 2 x − 6 .
2x − 6 = 0 x = 3 ⇒ x1 = 3
TAREA 1
Este es un punto crítico. Página 127.
115
Cálculo Diferencial e Integral I
Paso 3.- Sustituimos ese punto crítico en la segunda derivada.
f ´(x) = 2 x − 6 ⇒ f ' ' ( x) = 2 ⇒ f ' ' (3) = 2 . f ´´(3) > 2 (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva.) De acuerdo al teorema de la segunda derivada f ´´(x ) > 0, f (c ) Es un mínimo local de f . Y ese mismo punto crítico valuado en la primera derivada veremos que se cumple que f ' ( x ) = 0 .
f ´(x) = 2 x − 6 ⇒ f ´(3) = 2(3) − 6 ⇒ f ´(3) = 0 . Tenemos entonces que
f (3) es efectivamente un mínimo local. El punto crítico valuado en la función f resulta: f ( x) = x 2 − 6 x + 5 ⇒ f (3) = (3) 2 − 6(3) + 5 ⇒ f (3) = −4 . Paso 4.- Tabulamos para señalar los valores máximos y mínimos.
x
f (x)
3
-4
El valor mínimo de la función es − 4 .
Ejemplo 2.- Calcula los valores máximos y mínimos aplicando el criterio de la
segunda derivada de la función.
f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2 Paso 1.- Derivamos la función
f ' ( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar las raíces x1 , x2 de f ' mediante factorización.
Al inicio de la Unidad se vio cómo encontrar puntos críticos. (Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces).
6 x 2 − 6 x − 12 = 0 x2 − x − 6 = 0 ( x − 2)( x + 1) = 0 x1 = 2 y x2 = −1
Dividimos entre 6 para simplificar la ecuación
Factorizamos Igualamos a cero cada binomio para determinar las raíces
Los cuales son puntos críticos. Paso 3.- Sustituimos las raíces en la segunda derivada.
f ´´(x) = 12 x − 6 f ´´(2) = 12(2) − 6 ⇒
f ´´(2) = 18
Por el criterio de la segunda derivada como
x1 = 2 . 116
f ´´(2) > 0 hay un mínimo en
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Y por otro lado, para x2 = −1 tenemos:
f ´´(−1) = 12(−1) − 6 ⇒ f ´´(−1) = −18 Por lo tanto, para este valor f ``(−1) < 0 entonces hay un máximo en x2 = −1 . Paso 4.- Calculamos las coordenadas y tabulamos.
x
f (x)
-1
9
2
-18
f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2 f (−1) = 2(−1) 3 − 3(−1) 2 − 12(−1) + 2 f (−1) = 9 El valor del máximo está en (−1, 9) ). Y es 9 . f (−1) = 2(2) 3 − 3(2) 2 − 12(2) + 2 f (−1) = −18 El valor del mínimo está en (2, − 18) . Y es − 18 .
TAREA 2
Página 129.
Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.matematicastyt.cl/... /inicio.htm
117
Cálculo Diferencial e Integral I
3 . 2.
APLICACIONES DE LA DERIVADA.
3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos. Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande, menor costo, menor tiempo, más voltaje, la mayor productividad, menor esfuerzo, más resistente, etcétera, se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de máximos y mínimos. Te presentamos los siguientes casos: a) En el primero, el problema incluye una función específica que permite su solución. b) En el segundo caso, la función se desconoce y es necesario obtenerla utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema, o únicamente con los datos disponibles. c) En ambos casos, para obtener la solución se recomienda: ¾ De ser posible trazar una gráfica. ¾ Asignar una incógnita a cada una de las cantidades que se citan en el problema. ¾ Seleccionar la cantidad a obtener su máximo o su mínimo y expresarla en función de las otras cantidades. ¾ Si resulta una función de una sola variable aplicamos los procedimientos ya estudiados para obtener los máximos y los mínimos. La primera derivada en física se le llama velocidad y a la segunda derivada se le llama aceleración.
PROBLEMA 1. Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace su recorrido de t4 2 15 minutos según la ecuación f (t ) = 144t − + 100 ; si se mide el tiempo y 4 el espacio en metros, calcula: a) Distancia que recorre el móvil. b) Velocidad máxima que alcanza. c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima. RESOLUCIÓN: a) Distancia que recorre en 15 minutos. Ya que f es la expresión del recorrido del móvil, esto significa que sólo tenemos que evaluar en la función f el tiempo t = 15 . Cuando t = 15 tenemos:
f (15) = 144(15) 2 −
118
(15) 4 + 100 ⇒ f (15) = 19,844 min . 4
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
b) Velocidad y aceleración máximas que alcanza. Ya que la velocidad y la aceleración son cambios, para determinarlas tenemos que considerar la derivada de f (t ) = 144t − 2
t4 + 100 y para la 4
velocidad y luego volver a derivar la derivada para determinar la segunda derivada para la aceleración, puesto que nuestro objetivo es maximizar.
f ´(t ) = 288t −
4t 3 4
⇒ f ´(t ) = 288t − t 3 ⇒ f ´´(t ) = 288 − 3t 2
Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo (imagínate al móvil subiendo una montaña), debe haber aceleración (positiva) en el momento en que la aceleración es cero (es decir, cuando está en la cima de la montaña); pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a disminuir (esto es, se mantiene en línea recta o empieza a descender de la montaña); por esto, el punto crítico es cuando a = 0 (aceleración igual a cero). Entonces: a = f ´´(t ) = 288 − 3t
2
288 − 3t 2 = 0 Igualamos a cero, para encontrar sus raíces. 2 Despejamos − 3t = −288 288 t2 = 3 t = ± 96 = 9.8 min , se cancela la cantidad negativa puesto que el tiempo no puede ser negativo. Por tanto 9.8 es un punto crítico. Analizamos en la aceleración para observar su comportamiento:
a = 288 − 3t 2 con t = 9.8 Para un valor menor de t = 9.8 , sea t = 9 f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(9) = 288 − 3(9) 2 = 45 La f ´´(t ) > 0 . (La aceleración resultó positiva) Para un valor mayor de t = 9.8 , sea t = 10
f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(10) = 288 − 3(10) 2 = −12 La f ´´(t ) < 0 . (La aceleración resultó negativa) Como pasa de positiva a negativa, decimos que existe un máximo en t = 9.8 . Y la velocidad máxima en ese tiempo es:
f ´(t ) = 288 − t 3 f ´(t ) = 288 − (9.8) 3 = 1881.21 v = 1881.21m / min .
TAREA 3
Página 131.
119
Cálculo Diferencial e Integral I
c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima. Consiste en sustituir en la expresión del recorrido del móvil, el tiempo crítico t = 9.8 .
f (t ) = 144t 2 − f (9.8) = 144(9.8) 2 −
t4 + 100 . 4
(9.8) 4 + 100 = 13,829.76 − 2305.67 + 100 = 11,624m 4
SOLUCIÓN: El móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos; a los 9.8 minutos alcanza su máxima velocidad de 1881.21 m/min., habiendo recorrido 11,624 metros.
PROBLEMA 2.
Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares 2
adyacentes idénticos, cada uno de 900m de área, como se muestra en la figura. ¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda?
y x PLANTEAMIENTO: Área = A = 1800m2 Perímetro = P
A = 2 xy P = 4x + 3y
Paso 1. Para no utilizar dos incógnitas, despejaremos una de ellas de la ecuación del área. Y la sustituiremos en la ecuación del perímetro (con la finalidad de que la ecuación quede en términos de una variable), ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales en la construcción de la barda.
A = 2 xy 1800 = 2 xy 1800 y= 2x 900 y= x
Sustituimos el valor del Área Despejamos
y
Simplificamos
Sustituimos el valor de y en el perímetro
P = 4x + 3y ⎛ 900 ⎞ P( x) = 4 x + 3⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ 2700 Así queda el perímetro en función de “ x ”. P ( x) = 4 x + x 120
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Paso 2. Derivamos P (x) .
P ( x) = 4 x +
2700 x
Si subimos la variable x al numerador, esta función se puede expresar de la siguiente manera:
P ( x) = 4 x + 2700 x −1 Ya que así es más fácil para derivarla. P´(x) = 4 − 2700 x −2 Es decir:
P´(x) = 4 −
2700 x2
Paso 3. Igualamos a cero la derivada para obtener sus raíces.
P´(x) = 4 − 4−
−
2700 x2
2700 =0 x2
Despejamos “
2700 = −4 x2
x”
Resolvemos
x = 675 = 25.98 . Este es un punto crítico. Paso 4. Analizamos los valores de la primera derivada para ese punto crítico Tomamos un valor menor a x = 25.98 , sea x = 24 .
P´(x) = 4 −
2700 x2
P´(24) = 4 −
2700 = −0.6875 (24) 2
P´(x) < 0 . Tomamos un valor mayor a x = 25.98 , sea x = 27 .
P´(27) = 4 −
2700 = 0.2962 . (27) 2
P´(x) > 0 . Ya que tuvo un comportamiento de negativo a positivo. Eso quiere decir que tiene un mínimo en x = 25.98 . Es decir, el ranchero requiere para sus terrenos un largo mínimo de 25.98 para minimizar la construcción de la barda.
121
Cálculo Diferencial e Integral I
El valor del ancho del terreno en ese largo mínimo es.
900 x 900 y= = 34.64 25.98
y=
SOLUCIÓN: Los valores que deben medir el largo y ancho “ x ” y “
y ” de los
terrenos son: x = 25.98 y y = 34.64 respectivamente, y la mínima cantidad de barda que se necesita es de 207.84m .
3.2.2. Aplicaciones en las ciencias administrativas y sociales.
naturales,
económico-
PROBLEMA 3. Una maquiladora puede vender 1,000 aparatos por mes a
Vocabulario económico: Como la economía tiende a ser el estudio de fenómenos discretos, su profesor puede definir el costo marginal de x como el costo de producir una unidad adicional, esto es,
C ( x + 1) − C ( x)
Y
dC dx
$5.00 cada uno; si acepta bajar el precio unitario en dos centavos, podrá vender 10 piezas más. Calcula cuántas piezas se deben vender para obtener la utilidad máxima y cuál sería el ingreso al venderlas. PLANTEAMIENTO: 1000+x número de unidades por vender.
⎛ x⎞ 5 − 0.02⎜ ⎟ = 5 − 0.002 x Precio de cada unidad. ⎝ 10 ⎠ Paso 1. El ingreso I es igual al número de unidades por el precio unitario. I = (1000 + x)(5 − 0.002 x)
Es el costo marginal
I = 5000 + 5 x − 2 x − 0.002 x 2 I = 5000 + 3x − 0.002 x 2 Paso 2. Calculamos la derivada de I .
I = f ( x) = 5000 + 3 x − 0.002 x 2 f ´(x) = 3 − 0.004 x Paso 3. Igualamos a cero la derivada para obtener las raíces.
3 − 0.004 x = 0 3 x= 0.004
x = 750 Punto crítico.
Tomamos un valor poco menor a x = 750 , sea x = 700
f ´(x) = 3 − 0.004 x f ´(700) = 3 − 0.004(700) f ´(700) = 0.200 La f ´(x) > 0
122
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Tomamos un valor poco mayor a x = 750 , sea x = 800
f ´(800) = 3 − 0.004(800) f ´(800) = −0.200 La f ´(x ) < 0 Como pasa de positivo a negativo, decimos que existe un máximo en x = 750 . SOLUCIÓN: El ingreso es máximo si se vende 1000 +750 =1750 piezas a $4.98 cada una; se obtiene un ingreso de $8,715.00 pesos.
PROBLEMA 4. El director de una editorial ha observado que si fija el precio
de un determinado libro, $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho Ingreso? PLANTEAMIENTO:
I = Ingreso x = número de pesos en que se incrementa el precio del libro. 20 + x = es el nuevo precio del libro. 400 x = es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que
¿Cómo crees que se calculan los ingresos? Los ingresos se calculan multiplicando el precio de artículos vendidos
aumenta el precio. 10,000 − 400 x = es el nuevo número de ejemplares vendidos. Entonces la función que representa al ingreso en términos del número de pesos en que se aumenta el precio del libro es:
I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) Esta función I (x ) recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que requiere optimizar. SOLUCION: PASO1. Aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la función resultante, para encontrar el valor de x.
I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) I ´(x) = (1)(10,000 − 400 x) − 400(20 + x) I ´(x) = 10,000 − 400 x − 8000 − 400 x I ´(x) = 2000 − 800 x Igualando a cero tenemos:
− 800 x + 2000 = 0 Por lo tanto, despejando el valor de x tenemos:
− 2000 − 800 x = $ 2 .5
x=
123
Cálculo Diferencial e Integral I
Que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el máximo Ingreso. De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el máximo Ingreso. Para calcular el Ingreso máximo se sustituye x=2.5 en la función objetivo y resulta:
I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) I (2.5) = (20 + 2.5)(10,000 − 400(2.5)) I (2.5) = 202,500.00 Que representa el máximo Ingreso.
para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.http://actividadesinf or.webcindario.com/.com /derivadasaplicaciones.ht m www.cidse.itcr.ac.cr/curs oslinea/calculodiferencial.
124
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
EJERCICIO 2
Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de máximos y mínimos; compara con tus compañeros los resultados obtenidos y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1. El costo total de producir y vender 100x unidades de una mercancía particular por semana es C ( x ) = 1000 + 33 x − 9 x + x encuentra: a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo. b) El costo marginal mínimo. 2
2. Para la función precio dada por P ( x ) =
3
800 − 3 encuentra el número x+3
de x1 de unidades que hace máximo el ingreso total y establece el valor de éste. ¿Cuál es el ingreso marginal cuando se vende el número óptimo x1 de unidades? 3. El gas de un globo esférico se escapa a razón de 1,000
cm 3 en el mismo min
instante en que el radio es de 25cm. a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio? b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?
125
Cálculo Diferencial e Integral I
126
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 1
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Identifica los puntos críticos. Usa después el criterio de la primera derivada para calcular los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1)
f ( x) = −3 x 2 ; I = [− 2,2]
2)
f ( x) = x 2 + 5 x + 2 ; I = [− 3,4]
3)
f ( x) = x 2 + 6 x − 1; I = [0,3]
4)
f ( x) = x 2 − 3 x;
5)
f (t ) = −4t 3 + 3t 2 − 6t + 1; I = [− 2,1]
I = [− 2,1]
3 2 6) f ( x ) = x + 3 x − 90 x + 5;
2
I = [− 3,4]
4 3 2 7) f ( x ) = x + 4 x − 8 x − 16 x − 3;
3
8) f ( x ) = x + 3
768 ; x
I = [− 2,1]
9) f ( x ) = ( x − 2) + 2;
I = [− 1,1]
10) f ( x ) = x − 4 x + 7;
I = [0,3]
3
2
I = [− 2,3]
11) f ( x ) = − x − 2 x + 1; 2
12) f ( x ) = x + 2 x − 3 x − 4 x + 4 4
13) f ( x ) = x + 3
3
48 ; x
I = [0,3]
2
I = [− 1,3]
I = [− 1,2]
127
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
128
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 2
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y utiliza el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores máximos y mínimos. Entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1) f ( x ) = x − 3 x + 2 3
2
2)
f ( x) = x 3 − 4 x + 5
3)
f ( x) =
4)
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3
1 4 x +1 4
5) f ( x ) = x − 6 x + 9 x − 8 3
2
6) f ( x ) = ( x − 1)( x + 2)
2
7) f ( x ) = x − 3 x + 2 x 4
3
2
8) f ( x ) = −2 x + 4 x + 2 3
2
9) f ( x ) = 2 x − 2 x + 9 x − 8 x 4
10) f ( x ) =
3
2
1 3 48 x + x 4
129
Cálculo Diferencial e Integral I
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
130
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 3
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de las derivadas. 2
1.- Suponga que un ranchero escoge hacer tres corrales adyacentes, cada uno de 900m de área, como se muestra en la figura, ¿Cuánto deben medir x y y para hacer mínima la cantidad de barda que se necesita?
y
x 2.- Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 15 centímetros de largo por 9 de ancho; cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados, como se muestra en la figura, encuentra las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?
x x 9
x
15
15- 2x 9-2x
3.- La compañía ZEE fabrica abrigos que vende al precio de P ( x) = 10 − 0.001x dólares, donde x es el número producido cada mes. Su costo mensual total es C ( x ) = 200 + 4 x − 0.01x . 2
La producción máxima es de 300 unidades. ¿Cuál sería la utilidad máxima mensual y qué nivel de producción da esta utilidad?
131
Cálculo Diferencial e Integral I
4. La manta de un póster con la foto impresa de uno de los candidatos a la gubernatura del Estado de Sonora debe tener 18 pies2 de área, márgenes laterales de 6 pies y márgenes superior e inferior de 9 pies. ¿Cuáles han de ser las dimensiones de la manta para maximizar la foto del candidato? 5. Una lata cilíndrica de base circular ha de tener 64 plg3 de volumen. Hallar las dimensiones de manera que la cantidad de material requerida sea mínima, suponiendo que la lata está: a) Abierta, es decir, no tiene tapa superior. b) Cerrada.
6. Divide el número 150 en dos partes, tales que el producto de una parte por el cuadrado de la otra sea un máximo.
2 7. El costo total de producción de x spots de radio en un día es C ( x ) = 1 x + 35 x + 25 dólares, y el
4
precio de venta de cada spot es de V ( x ) = 50 − 1 x dólares.
2
a) ¿Con qué producción diaria se consigue mayor ganancia? b) Probar que el costo de producción de un spot es mínimo para ese nivel de producción.
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
132
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Nombre _________________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.
1.
El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) = 3 x + 6 x + 1 utilizando el criterio de la primera 2
derivada en el intervalo I = [−2,1] es:
(−1,−2) y el valor máximo está en (1,10) El valor mínimo está en (−1,2) y el valor máximo está en (−1,10) El valor mínimo está en (−1,4) y el valor máximo está en (−1,9) El valor mínimo está en (1,5) y el valor máximo está en (1,10)
El valor mínimo está en
2.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) =
x4 +1 , según el criterio de la segunda derivada x2
son: El valor mínimo está en (−2,2) y un máximo está en ( 2,6) . El valor mínimo está en (1,2) y un mínimo está en (−1,2) . El valor mínimo está en
(5,2) y un mínimo está en (−2,2) . El valor mínimo está en (1,6) y un máximo está en (−1,5) . 3.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) = x − 6 x + 8 , según el criterio de la segunda derivada son: El valor mínimo está en (0,2) y un máximo está en ( 2,−3) . 3
2
El valor mínimo está en
(−4,2) y un máximo está en (4,6) . El valor mínimo está en ( 4,−24) y un máximo está en (0,8) . El valor mínimo está en (−2,0) y un máximo está en (0,6) . 4.- Los intervalos en que la función f ( x ) = 3 x + 6 x + 1 es creciente o decreciente son: 2
En ( −∞,−1) es decreciente y en ( −1, ∞) es creciente.
(−∞,−2) es decreciente y en (2, ∞) es creciente. En (−∞,1) es decreciente y en ( −1, ∞) es creciente. En (−∞,−5) es decreciente y en ( −4, ∞) es creciente. En
5.- La concavidad de la siguiente función f ( x ) = 2 x − 6 x + 3 está dada en los intervalos: 3
2
(−∞,3) y cóncava hacia arriba en (3, ∞) . Cóncava hacia abajo en (−∞,1) y cóncava hacia arriba en (1, ∞) . Cóncava hacia abajo en ( −∞,−1) y cóncava hacia arriba en ( −1, ∞) . Cóncava hacia abajo en ( −∞,−4) y cóncava hacia arriba en (3, ∞) . Cóncava hacia abajo en
133
Cálculo Diferencial e Integral I
6.- Los puntos de inflexión de la siguiente función f ( x ) = ( − x + 2) son: 3
(5,0) y (3,2) ( −1,4) y ( 2,3) ( 2,0) (3,2) 7.-Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuyo producto sea de 288 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo. Los números son: Un número es el 12 y el otro es el 24 . Un número es el 10 y el otro es el 20 . Un número es el − 12 y el otro es el − 24 . Un número es el 11 y el otro es el 22 . 8.- Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuya suma sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo de otro sea el producto máximo; el valor de éste es: Cuando x = 6 se obtiene un máximo igual a 3,456 . Cuando x = 3 se obtiene un máximo igual a 1,289 . Cuando x = 8 se obtiene un máximo igual a
8,496 . Cuando x = 6 se obtiene un máximo igual a 3,956 . 9.- Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 metros, de manera que el rectángulo sea de área máxima. El área y sus dimensiones son: 2
El área máxima es de 1600m ; las dimensiones del rectángulo son de 40 m por lado.
3600m 2 ; las dimensiones del rectángulo son de 60m por lado. 2 El área máxima es de 2500m ; las dimensiones del rectángulo son de 50m por lado. 2 El área máxima es de 4900m ; las dimensiones del rectángulo son de 70m por lado. El área máxima es de
10.- En la manufactura y venta de x unidades de cierta mercancía la función precio p y la función costo C (en dólares) están dados por:
p( x) = 5.00 − 0.002 x C ( x) = 3.00 + 1.10 x
Determine el nivel de producción que produce la máxima utilidad total. La utilidad máxima es de p (995) = $1998.25
p (562) = $898.25 La utilidad máxima es de p ( 255) = $698.55 La utilidad máxima es de p (975) = $1898.25 La utilidad máxima es de
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que repases los temas. ¾ Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. 134
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- Encuentra los puntos críticos, los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando el criterio de la primera derivada. Realiza su gráfica.
I = [−2,2] . b) f ( x ) = 3 x − 6 x + 1 en I = [−3,2]
a) f ( x ) = x + 5 x en 2
3
2.- Calcula la primera, segunda, tercera, cuarta derivada si existe de las siguientes funciones. a) f ( x ) = 5 x − 6 x + 3 x + 9 4
3
b) f ( x ) = (8 x − 6 x ) 3
c)
5
f ( x) = csc(4 x)
3.- Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones. Realiza su gráfica. a) f ( x ) = 5 x + 2 x + 1 2
b) f ( x ) = −6 x − 3 x + 6 3
2
4.- Encuentra en qué intervalos la función es creciente o decreciente, utiliza las funciones del ejercicio 1.
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Cálculo Diferencial e Integral I
5.- Utiliza el teorema de concavidad para determinar dónde es cóncava hacia abajo o hacia arriba y además indica cuáles con los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Realiza la gráfica. a) f ( x ) = x − 2 x + 2 4
3
b) f ( x ) = x + 2 x + 1 3
2
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
6.- Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto que tiene como radio b = 4cm y como altura a = 12cm . Ver la figura.
7.- El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles es de $8000 y hay un costo directo de $110, por cada unidad producida. Escribe una expresión C (x ) , el costo total de fabricar muebles en un mes.
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Glosario CÁLCULO DIFERENCIAL
Estudia el incremento en las variables; puede ser la distancia recorrida por un objeto en movimiento en un tiempo determinado. CONCAVIDAD Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba) cuando su segunda derivada es positiva. CONVEXIDAD Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa) cuando su segunda derivada es negativa DERIVADA La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero. DIFERENCIACIÓN Es el proceso de calcular derivadas. FUNCIÓN Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la CRECIENTE variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) también aumenta. FUNCIÓN Una función es decreciente cuando al aumentar la variable DECRECIENTE independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) disminuye. FUNCIÓN Es aquella en la es posible expresar una variable en EXPLÍCITA términos de la otra. FUNCIÓN IMPLÍCITA Es aquella en la que no se le puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Es decir, no es posible expresar una variable en términos de la otra. LIMITE DE UNA Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente FUNCIÓN cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo. PUNTO DE Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un INFLEXIÓN cambio en la concavidad de la gráfica. RAZÓN Es comparar dos cantidades por cociente. RECTA NORMAL Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto a la curva en dicho punto. VELOCIDAD Es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. VELOCIDAD Es la distancia entre la primera posición y la segunda, PROMEDIO dividida entre el tiempo consumido. FUNCIÓN Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento de X le corresponda uno y solamente uno de los elementos de Y. DOMINIO DE UNA Es el conjunto de los elementos del conjunto. FUNCIÓN RANGO DE UNA Es el conjunto de los elementos del conjunto y que son FUNCIÓN imagen de un valor X. LÍMITES DE UNA Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente, FUNCIÓN cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo. EVALUAR O Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten DETERMINAR EL convertir a una función indeterminada a una función LÍMITE DE UNA determinada. FUNCIÓN COC IENTE GRÁFICA DE UNA Representación en un sistema rectangular de coordenadas FUNCIÓN de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera) de una función particular. PAR ORDENADO Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del punto. Al valor de X se llama abcisa y el valor de Y se llama ordenada. 137
CONTINUIDAD
Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el dominio de f(x) y si:
1) f(c) está definida 2) Lim f(x) existe x c 3) Lim f(x)=f(c) x c LÍMITES LATERALES Son una herramienta desarrollada para dar lugar a precisiones. DISCONTINUIDAD Cuando una función no cumple con las tres condiciones de continuidad. RAZÓN Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra. PENDIENTE DE UNA La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación RECTA por ø y la pendiente por m tenemos: Tanø =m DERIVADA DE UNA Existencia de límite: (definición) FUNCIÓN Lim f(x+h) – f(x) razón de cambio instantáneo x 0 h PENDIENTE DE UNA La pendiente de una curva en p(x,f(x)), punto de la curva de CURVA ecuación Y= f(x), es f´(x1), pendiente de la tangente a la curva en p. LEYES DE Si M > 0 y N > 0 entonces; LOGARITMOS 1. Log M . N = Log M+ Log N 2. Log M/N = Log M – Log N 3. Log MN = N Log M DISCONTINUIDAD Es cuando f(x) está definida y al cambiar el valor de la función REMOVIBLE En x0 produce una función que es continua en x0. DISCONTINUIDAD Una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto DE SALTO Lim f(x) como Lim f(x) existen y Lim f(x) ≠ Limf(x) x x0x x0+ x x0x x0+ tal discontinuidad no es removible. TEOREMA DE Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo VALOR número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0 INTERMEDIO en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c TEOREMA DE Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M VALOR EXTREMO y un valor máximo M en el infinito. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES Y LA FUNCIONES EXPONENCIALES SON INVERSAS
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RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
∆Y = cambio en Y = f(x+h) – f( ∆X cambio en X h
VELOCIDAD PROMEDIO DE UN CUERPO EN UN INTERVALO DE TIEMPO
∆S = desplazamiento ∆t tiempo
alnx = x Ln(ax) = x
Bibliografía General
AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill. FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de la Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V. FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill. MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica. PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Prentice Hall. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.
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